Белорусская, 2022/23, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

При установившемся движении по малому наклону сила тяжести мыла и «двигателя» уравновешена трением \(kv^\gamma m_0 g\cos\alpha\): отсюда скорость степенно зависит от высоты и от отношения масс, а показатель \(\gamma\) находят из наклона графика в двойном логарифмическом масштабе.

Ответ

1.1) \(v=C_0 f\cdot h^\beta\);  1.2) \(\beta=\dfrac1\gamma\);  1.3) \(f=\left(1+\dfrac{m}{m_0}\right)^{1/\gamma}\);  2.1) движение равномерно после 2–3 см пути;  2.3) \(v=(13{,}3\pm0{,}6)\) мм/с;  2.4) \(v=13{,}0\) мм/с;  3.2) \(\beta=4{,}53\pm0{,}14\);  3.3) \(\gamma=1/\beta=0{,}22\pm0{,}01\);  4.2) \(\gamma\approx0{,}37\);  4.3) не учтено трение между цилиндрами.

Решение

Часть 1. Теоретическое введение.

1.1 При движении куска мыла по наклонной плоскости с постоянной скоростью выполняется уравнение, следующее из 2 закона Ньютона:

\[(m + m_0)g \sin \alpha - kv^\gamma m_0 g \cos \alpha = 0.\tag{1}\]

Из этого уравнения следует, что

\[v = \left( \frac{1}{k} \frac{m + m_0}{m_0} \frac{h}{L} \right)^{\frac{1}{\gamma}} = C \left( 1 + \frac{m}{m_0} \right)^{\frac{1}{\gamma}} h^{\frac{1}{\gamma}}.\tag{2}\]

1.2 Из полученного выражения следует, что

\[\beta = \frac{1}{\gamma}.\tag{3}\]

1.3 Из формулы (2) находим, что

\[f\left( \frac{m}{m_0} \right) = \left( 1 + \frac{m}{m_0} \right)^{\frac{1}{\gamma}}\tag{4}\]

Часть 2. Закон движения.

2.1 Предварительные измерения показывают, что движении становится равномерным практически сразу после начала движения, после 2-3 см пройденного пути.

2.2 С помощью секундомера проще засекать времена прохождения мыла через фиксированные отметки координат. Результаты измерений приведены в Таблице 1 и на графике.

Таблица 1.

Полученная зависимость линейна, что подтверждает равномерность движения.

2.3 Максимальная точность достигается при использовании метода наименьших квадратов (МНК). Расчет по данным, приведенным в Таблице 1, дает результат

\[v = (13{,}3 \pm 0{,}6) \frac{\text{мм}}{c}.\tag{5}\]

2.4 Расчет «примитивным» способом дает значение

\[v = \frac{S}{t} = \frac{100 \text{мм}}{7{,}71 c} = 13{,}0 \frac{\text{мм}}{c}.\tag{6}\]

Что попадает в доверительный интервал, рассчитанный по МНК.

Часть 3. Зависимость установившейся скорости от наклона плоскости.

3.1 В Таблице 2 приведены результаты измерения времени движения мыла \(t\) на участке равномерного движения \(s = 50 \text{мм}\). В таблице приведены результаты расчета скорости движения, а также расчеты, для построения линеаризованного графика в двойном логарифмическом масштабе. Таблица 2.

Ниже показан график полученной зависимости.

3.2 Из формулы (2) следует, что зависимость скорости от высоты подъема наклонной плоскости в двойном логарифмическом масштабе линейна

\[\ln v = \beta \ln h + b.\tag{7}\]

График этой зависимости показан на рисунке.

Линейность данного графика подтверждает справедливость формулы (3). Как следует из формулы (7) коэффициент наклона этой зависимости равен показателю степени \(\beta\). Расчет по МНК дает значение

\[\beta = 4{,}53 \pm 0{,}14\tag{8}\]

3.3 Значение показателя степени \(\gamma\):

\[\begin{aligned} \gamma &= \frac{1}{\beta} = 0{,}22 \\ \Delta\gamma &= \gamma \frac{\Delta\beta}{\beta} = 0{,}01 \end{aligned}\tag{9}\]

Часть 4. Зависимость скорости от массы цилиндров.

4.1 Эксперимент проводился для куска мыла массой \(m_0 = 75\text{г}\) для разных масс «двигателя». Высота края \(h=80\) мм. Путь мыла в каждом опыте \(S = 100\text{мм}\).

Результаты измерений скорости установившегося движения мыла от массы цилиндров приведены в таблице 3. В этой же таблице приведены результаты расчётов, для построения линеаризованного графика.

Таблица 3.

4.2 Из уравнения (2) при постоянном значении \(h\) следует.

\[\ln v = \frac{1}{\gamma} \ln \left( 1 + \frac{m}{m_0} \right) + b_2\tag{10}\]

Поэтому зависимость \(\ln v\) от параметра \(\ln \left( 1 + \frac{m}{m_0} \right)\) должна быть линейной. На рисунке показан график этой линеаризованной зависимости, который действительно близок к линейному. По наклону графика можно определить показатель степени в формуле для коэффициента трения:

\[\gamma \approx 0{,}37.\tag{11}\]

Это значение заметно отличается от значения, полученного ранее.

4.3 Основной причиной этого различия, по-видимому, является пренебрежение силой трения между цилиндрами. Можно сказать, что это трение «эффективно» уменьшает массу цилиндров, толкающих мыло.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Над водой давление воздуха в колбе складывается из давления сухого воздуха (закон Бойля — Мариотта) и давления насыщенного пара; по наклону зависимости \(\Delta P(\Delta V)\) находят \(P_s\), а производную \(dP_s/dT\) из нагрева при постоянном объёме подставляют в уравнение Клапейрона — Клаузиуса.

Ответ

1.1) \(P_0=735\) мм рт. ст.;  1.2) \(\Delta P=\dfrac{P_0}{V_0}(\Delta V_{\max}-\Delta V)\);  1.4) \(V_0\approx540\) мл;  2.1) \(t=51^\circ\)C;  2.3) \(\Delta P=\dfrac{P_0-P_s}{V_0'}(\Delta V_{\max}-\Delta V)\), \(P_s\approx130\) мм рт. ст.;  3.2) \(L=\dfrac{RT^2}{M}\dfrac{1}{P_s}\dfrac{dP_s}{dT}\approx3{,}0\cdot10^6\) Дж/кг.

Решение

Часть 1. Измерение внутреннего объема.

1.1 Все измерения проведены при атмосферном давлении

\[P_0 = 735\,\text{мм рт.ст.}\tag{1}\]

1.2 Используя закон Бойля – Мариотта, запишем для газа в приборе

\[P_0(V_0 + \Delta V_{\text{max}}) = (P_0 + \Delta P)(V_0 + \Delta V).\tag{2}\]

Проведем преобразование уравнения (2), полагая изменение объема малым:

\[P_0 + \Delta P = P_0 \frac{V_0 + \Delta V_{\text{max}}}{V_0 + \Delta V} = P_0 \frac{1 + \frac{\Delta V_{\text{max}}}{V_0}}{1 + \frac{\Delta V}{V_0}} \approx P_0 \left(1 + \frac{\Delta V_{\text{max}}}{V_0} - \frac{\Delta V}{V_0}\right) \Rightarrow\]

\[\Delta P = \frac{P_0}{V_0}(\Delta V_{\text{max}} - \Delta V)\tag{3}\]

1.3 В начале измерений поршень находился на отметке \(\Delta V_{\text{max}}\). После присоединения шприца к колбе изменялся объем воздуха \(\Delta V\), при этом измерялась разность давлений \(\Delta P\). Измерения проведены при уменьшении объема и в обратном порядке при его увеличении. В качестве окончательного результата использовано среднее значение. Результаты измерений данной зависимости приведены в таблице 1 и на графике.

Таблица 1.

Полученная зависимость с высокой точностью линейна, поэтому использование приближения (3) оказывается оправданным.

1.4 Из формулы (3) следует, что коэффициент наклона данной зависимости равен \(a = -\frac{P_0}{V_0}\). Экспериментальное значение этого коэффициента (рассчитанного по МНК) равно \(a = -1{,}37 \frac{\text{мм}}{\text{мл}}\), следовательно, внутренний объем прибора равен

\[V_0 = -\frac{P_0}{a} = 540 \text{мл}.\tag{4}\]

Часть 2. Изотермический процесс влажного воздуха.

2.1 Измерения проведены при температуре \(t = 51^\circ\text{C}\).

2.2 Измерения проводились в том же порядке, что и в п.1.2. Результаты измерений приведены в таблице 2 и на графике.

2.3 Полученная зависимость также оказалась близка к линейной. Потому можно воспользоваться выводом, проведенным в п.1.2. Только необходимо учесть, что: – объем занимаемый воздухом уменьшился на объем налитой воды \(V'_{0} = V_{0} - V = 340\) мл; – полученное уравнение описывает изменения давление сухого воздуха, которое в данном случае оказывается меньше атмосферного на величину давления водяного пара \(P_{s}\), поэтому в итоговом уравнении надо давление атмосферное заменить на \((P_{0} - P_{s})\). В итоге теоретическая зависимость задается формулой

\[\Delta P = \frac{P_{0} - P_{s}}{V'_{0}} (\Delta V_{\text{max}} - \Delta V).\tag{5}\]

В данном случае коэффициент наклона экспериментальной зависимости оказался равным \(a = -1{,}78 \frac{\text{мм}}{\text{мл}}\), поэтому

\[a = -\frac{P_{0} - P_{s}}{V'_{0}} \quad \Rightarrow \quad P_{0} - P_{s} = -a V'_{0} \approx 605 \text{ мм рт. ст.}\tag{6}\]

Окончательно находим, что

\[P_{s} \approx 130 \text{ мм рт. ст.}\tag{7}\]

Часть 3. Зависимость давления насыщенных паров от температуры

3.1 Результаты измерений зависимости разности давлений от температуры при описанной методике эксперимента приведены в Таблице 3 и на графике.

Таблица 3.

3.2 Выразим удельный объем водяного пара из уравнения Менделеева - Клапейрона

\[PV = \frac{m}{M} RT \quad \Rightarrow \quad V' = \frac{V}{m} = \frac{RT}{MP}\tag{8}\]

и подставим его в уравнение Клапейрона – Клаузиуса:

\[\frac{dP_s}{dT} = \frac{L}{TV'} = \frac{LMP_s}{RT^2}.\tag{9}\]

Из этого выражение находим, что удельная теплота испарения выражается формулой:

\[L = \frac{RT^2}{M} \left( \frac{1}{P_s} \frac{dP_s}{dT} \right).\tag{10}\]

Для расчета по этой формуле требуется найти производную от давления насыщенного пара по температуре. Ее можно найти по результатам измерений зависимости разности давлений от температуры. Для этого запишем уравнение Клапейрона для сухого воздуха, содержащегося в колбе:

\[\frac{P_0 + \Delta P - P_s}{T} = \frac{P_0 + \Delta P_0 - P_{s0}}{T_0}.\tag{11}\]

Здесь \(\Delta P_0\) разность давлений, \(P_{s0}\) давление насыщенного водяного пара при некоторой температуре \(T_0\), в качестве которой лучше взять температуру, для которой измерено давление насыщенного пара в части 2. Из уравнения (11) находим

\[P_s = P_0 + \Delta P - \frac{T}{T_0} (P_0 + \Delta P_0 - P_{s0})\tag{12}\]

Теперь не сложно найти требуемую производную

\[\frac{dP_s}{dT} = \frac{d(\Delta P)}{dT} - \frac{P_0 + \Delta P_0 - P_{s0}}{T_0}\tag{13}\]

Из графика полученной зависимости находим, что коэффициент его наклона равен

\[a = \frac{d(\Delta P)}{dT} \approx 11{,}0 \frac{\text{мм}}{K}.\tag{14}\]

При средней температуре диапазона \(T = (60 + 273)K = 333K\) давление насыщенного водяного пара равно \(P_{s0} = 130 \text{мм рт.}\) поэтому

\[\frac{dP_s}{dT} = \frac{d(\Delta P)}{dT} - \frac{P_0 + \Delta P_0 - P_{s0}}{T_0} = 11{,}0 - \frac{735 + 100 - 130}{333} = 8{,}9 \frac{\text{мм}}{K}.\tag{15}\]

Тогда, окончательно получим для удельной теплоты испарения

\[L = \frac{RT^2}{M} \left( \frac{1}{P_s} \frac{dP_s}{dT} \right) = \frac{8{,}31 \cdot (333)^2}{18 \cdot 10^{-3}} \frac{8{,}9}{150} = 3{,}0 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}.\tag{16}\]

Найденное значение всего на 30% превышает табличное значение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.