зад 1 Долгопериодный маятник
Приборы и оборудование: крутильный маятник (линейка с грузами на подвесе в штативе), секундомер с памятью этапов, линейка 1 м, лазер с блоком питания, пластилин.
Крутильный маятник устроен следующим образом: деревянная линейка (1) подвешена на четырёх вертикальных нитях (2), закрепленных в штативе. На линейку поставлены два одинаковых груза (3), которые Вы можете передвигать по линейке, изменяя их расстояние до середины линейки \(l\). В центре линейки на пластилине закреплено небольшое стеклышко (4), на которое падает луч лазера (5), отраженный луч должен попадать на метровую линейку (6), прикрепленную к столу с помощью пластилина. Линейка может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, которые Вам предстоит исследовать. Амплитудой колебания называется максимальное отклонение от положения равновесия.
Расположите лазер так, чтобы его луч попадал на стеклышко маятника, а его отражение попадало на метровую линейку. При вращении линейки отраженный луч должен двигаться по метровой линейке, или вблизи нее. Координату зайчика следует отсчитывать от его положения при неподвижной линейке (1) (в положении равновесия).
Не изменяйте длину нитей подвеса и расстояние между ними! Расстояние от стёклышка до метровой линейки (Вашей шкалы) должно равняться 30 см. Рассчитывать погрешности в данной работе не требуется!}
Часть 1. Закон движения. Расположите грузы на концах линейки (1).
1.1 Используя секундомер с памятью этапов, измерьте зависимость координаты зайчика на шкале от времени \(x(t)\). Постройте график полученной зависимости.
1.2 Укажите, в каких пределах координат зайчика, его движение можно считать равномерным. Найдите скорость этого движения.
Часть 2. Изучение колебаний.
2.1 Исследуйте зависимость периода колебаний маятника от их амплитуды. Измерения проводите при грузах, расположенных на концах линейки. Сформулируйте закон, описывающий Ваши результаты.
При изменении положения грузов на линейке период колебаний маятника изменяется. Теоретические расчеты показывают, что при симметричном положении грузов на линейке период колебаний зависит от величины \(l\) по закону
\[T = \sqrt{Al^2 + B}\tag{1}\]
2.2 Экспериментально докажите, что данная формула является верной, рассчитайте численные значения постоянных коэффициентов \(A\), \(B\) в этой формуле. Для доказательства постройте график линеаризованной зависимости периода колебаний от положения грузов.
▶ПодсказкаСкрыть
Следите за зайчиком на линейке: его движение почти равномерно на середине шкалы. Чтобы проверить формулу для периода, постройте \(T^2\) как функцию \(l^2\).
▶ОтветСкрыть
1.2) движение равномерно примерно при \(|x|\le 15\) см, \(v\approx 6{,}3\) см/с; 2.1) период от амплитуды не зависит; 2.2) \(A\approx 54\ \text{с}^2/\text{см}^2\), \(B\approx 29\ \text{с}^2\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Закон движения.
1.1 Для измерений удобно записывать в память секундомера времена прохождения зайчика через определенные точки – фактически снимается зависимость времени от координаты. Результаты этих измерений приведены в таблице 1 и на графике (рис. 1).
Таблица 1. Зависимость координаты зайчика от времени.
| \(X\), см | \(T\), с |
| 20 | 0,00 |
| 15 | 1,39 |
| 10 | 2,00 |
| 5 | 2,89 |
| 0 | 3,59 |
| -5 | 4,35 |
| -10 | 5,23 |
| -15 | 6,17 |
| -20 | 7,89 |
Как это не странно на первый взгляд, график является практически прямой линией – т.е. движение близко к равномерному.
1.2 Как следует из рисунка 1, движение можно считать равномерным в интервале координат примерно равным \([-15\text{см}, +15\text{см}]\). Скорость найденная по графику примерно равна \(v = 6{,}3\) см/с.
Часть 2. Изучение колебаний.
2.1 Эксперимент однозначно говорит, что период колебаний от амплитуды не зависит!
2.2 Результаты измерений периодов колебаний, при различных расстояниях до грузов приведены в Таблице 2.
Таблица 2. Зависимость периода от расстояния до грузов.
| \(L\), см | \(T\), с | \(L^2\), см | \(T^2\), с |
| 5 | 6,87 | 25 | 47,20 |
| 8 | 8,19 | 64 | 67,08 |
| 10 | 9,08 | 100 | 82,45 |
| 14 | 11,35 | 196 | 128,82 |
| 18 | 14,18 | 324 | 201,07 |
| 21 | 16,46 | 441 | 270,93 |
| 24 | 18,58 | 576 | 345,22 |
Для проверки приведенной формулы следует построить зависимость квадрата периода от квадрата расстояния.
\[T = \sqrt{Al^2 + B} \quad \Rightarrow \quad T^2 = Al^2 + B\]
Графики прямых измерений и возведенных в квадрат показаны на рис. 2 -3.
Видно, что «квадратная» зависимость линейна, что подтверждает справедливость приведенной формулы. По графику найдены параметры зависимости
\[A = 54 \frac{c^2}{\text{см}^2}, \quad B = 29 \, \text{с}^2.\]
Примечания. Период колебаний изменяется от \(8{,}5\) с до \(3{,}5\) с. Рисунок дает объяснение эффекта (функция «тангенс синуса» более линейна, чем «синус»)
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Деление токов и деление напряжений
Приборы и оборудование: Источник тока (батарея «Крона»), кусок проволоки длиной 110 см, мультиметр, амперметр стрелочный, вольтметр стрелочный, постоянный резистор, ключ, соединительные провода, линейка.
Часть 1. Делитель тока. В данной части Вам необходимо исследовать соотношения между силами токов в цепи.
Соберите цепь, показную на рисунке. Резистор \(R_0\) - резистор с постоянным сопротивлением. В качестве вольтметра используйте мультиметр в режиме измерения напряжения, в качестве амперметра используйте стрелочный амперметр. Обязательно используйте электрический ключ. Замыкайте ключ только при проведении измерений, чтобы не разрядить батарею.
В качестве резисторов \(R_1\) и \(R_2\) используйте длинный кусок проволоки. Согните проволоку в точке \(B\), так чтобы длина участка \(BC\) была равна \(l \approx 10\) см (этот участок играет роль резистора \(R_1\)), а длина участка \(BD\) равна \(L \approx 100\) см (этот участок играет роль резистора \(R_2\)). Длинный участок проволоки \(BD\) закрепите на столе. Амперметр подключайте к точке \(E\). Длину участка \(BE\) обозначим \(x\). Положение этой точки Вам необходимо изменять в ходе измерений. Сопротивление 1 см проволоки обозначим \(r\).
Также используйте следующие обозначения: \(I_0\) - сила тока через резистор \(R_0\); \(I_1\) - сила тока через резистор \(R_1\); \(U_0\) - напряжение на резисторе \(R_0\).
В данной части Вам необходимо измерять значения напряжения \(U_0\) и силы токов \(I_1\) при различных значения расстояния \(x\). В ходе измерений в этой части задания значение напряжения источника может изменяться, поэтому использовать его в расчетах не рекомендуется.
Задания.
1.1 Запишите формулу для расчета силы тока \(I_0\), по результатам измерений.
1.2 Получите формулу для расчета силы тока \(I_1\), выразите ее через силу тока \(I_0\), длины участков проволоки \(l\) и \(x\).
1.3 Измерьте с помощью мультиметра сопротивление постоянного резистора \(R_0\), укажите погрешность измерения.
1.4 Измерьте длины участков проволоки \(BC\) и \(BD\), приведите значения погрешностей измерения.
1.5 Измерьте зависимости напряжения \(U_0\) и силы тока \(I_1\) от длины участка \(BE\) - \(x\).
1.6 Постройте график зависимости отношения сил токов \(\frac{I_1}{I_0}\) от параметра \(x\).
1.7 Выберите такие новый переменные \(Y\left(\frac{I_1}{I_0}\right)\) и \(X(x)\), чтобы зависимость между ними была линейной
\[Y = aX + b.\tag{1}\]
Постройте график этой линеаризованной зависимости.
1.8 Используя экспериментальные данные, рассчитайте значения параметров \(a, b\) этой зависимости, оцените их погрешности.
1.9 Используя теоретическую формулу, полученную в п. 1.2, рассчитайте теоретические значения параметров \(a, b\).
1.10 Сравните теоретические и экспериментальные значения коэффициентов \(a, b\). Объясните возможные причины их расхождений.
Часть 2. Делитель напряжения.
В этой части Вам необходимо исследовать распределение напряжений в цепи электрического тока. В этой части напряжение источника \(U_S\) можно считать постоянным, так как силы токов в цепи малы. Используйте цепочку, состоящую из 5 одинаковых постоянных резисторов, включенную в цепь, как показано на рисунке.
Оценка погрешностей в данной части не требуется.}
2.1 Измерьте зависимость напряжения от числа подключенных резисторов \(U(n)\), используя а) мультиметр; б) стрелочный вольтметр. Постройте графики полученных зависимостей.
2.2 Дайте теоретическое объяснение зависимости (т.е. получите формулу, описывающую данную зависимость, сравните ее с результатами измерений), измеренной с помощью цифрового мультиметра.
2.3 Укажите, какова основная причина отличия результатов измерений, полученных с помощью мультиметра и стрелочного вольтметра.
2.4 Предложите теоретическую модель, объясняющую результаты, полученные с помощью стрелочного вольтметра. Сравните теоретические результаты, полученные в рамках вашей модели, с результатами измерений.
▶ПодсказкаСкрыть
Для делителя тока используйте правило параллельного соединения и выберите переменные так, чтобы зависимость стала линейной; для вольтметра с конечным сопротивлением запишите напряжение на параллельном участке.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(I_0=U_0/R_0\); 1.2) \(I_1=I_0\dfrac{x}{l+x}\); 1.3) \(R_0=(9{,}30\pm0{,}05)\) Ом; 1.7) \(Y=I_0/I_1\), \(X=l/x\), \(Y=1+X\); опыт: \(a=1{,}11\pm0{,}02\), \(b=0{,}94\pm0{,}01\), теория: \(a=b=1\); 2.2) \(U_n=\dfrac{n}{5}U_S\); 2.3) конечное сопротивление стрелочного вольтметра; 2.4) \(\dfrac{U_S}{U_n}=\dfrac5n+(5-n)\dfrac{R}{R_V}\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Делитель тока.
1.1 По закону Ома
\[I_0 = \frac{U_0}{R_0}.\tag{1}\]
1.2 Из законов параллельного и последовательного соединения проводников можно записать
\[I_1 l = (I_0 - I_1) x.\tag{2}\]
Из этого выражения следует, что
\[I_1 = I_0 \frac{x}{l + x}.\tag{3}\]
1.3 Сопротивление постоянного резистора равно
\[R_0 = (9{,}30 \pm 0{,}05) \, \text{Ом}\tag{4}\]
1.4 Длина участка проволоки равна
\[l = (10{,}0 \pm 0{,}5) \, \text{см}.\tag{5}\]
1.5 Результаты измерений зависимости напряжения \(U_0\) и силы тока \(I_1\) от длины участка \(BE\) - \(x\) приведены в Таблице 1.
Таблица 1.
| \(X\), см | \(U_0\), мВ | \(I_1\), мА | \(I_0\), мА | \(l/x\) | \(I_0/I_1\) |
| 0 | 2900 | 0 | 312 | ||
| 5 | 2940 | 100 | 316 | 2,000 | 3,161 |
| 10 | 3010 | 155 | 324 | 1,000 | 2,088 |
| 15 | 3100 | 202 | 333 | 0,667 | 1,650 |
| 20 | 3200 | 235 | 344 | 0,500 | 1,464 |
| 25 | 3310 | 255 | 356 | 0,400 | 1,396 |
| 30 | 3420 | 280 | 368 | 0,333 | 1,313 |
| 35 | 3560 | 310 | 383 | 0,286 | 1,235 |
| 40 | 3710 | 325 | 399 | 0,250 | 1,227 |
| 45 | 3840 | 350 | 413 | 0,222 | 1,180 |
| 50 | 4040 | 375 | 434 | 0,200 | 1,158 |
| 55 | 4230 | 400 | 455 | 0,182 | 1,137 |
| 60 | 4440 | 425 | 477 | 0,167 | 1,123 |
| 65 | 4650 | 450 | 500 | 0,154 | 1,111 |
| 70 | 4910 | 480 | 528 | 0,143 | 1,100 |
| 75 | 5180 | 505 | 557 | 0,133 | 1,103 |
| 80 | 5520 | 545 | 594 | 0,125 | 1,089 |
| 85 | 5930 | 608 | 638 | 0,118 | 1,049 |
| 90 | 6330 | 640 | 681 | 0,111 | 1,064 |
| 95 | 6800 | 685 | 731 | 0,105 | 1,067 |
| 100 | 7200 | 725 | 774 | 0,100 | 1,068 |
1.6 График зависимости отношения сил токов \(I_1 / I_0\) от длины участка проволоки \(x\) показан на рисунке.
1.7 Теоретическая зависимость, описывающая эту кривую, определяется формулой (3), которая допускает простую линеаризацию
\[\frac{I_0}{I_1} = 1 + \frac{l}{x}.\tag{6}\]
Расчеты введенных переменных \(Y = \frac{I_0}{I_1}\) и \(X = \frac{l}{x}\) приведены в Таблице 1. График этой линеаризованной зависимости показан на рисунке.
1.8 Коэффициенты линеаризованной зависимости, рассчитанные по МНК, равны
\[\begin{aligned} a &= 1{,}11 \pm 0{,}02 \\ b &= 0{,}94 \pm 0{,}01 \end{aligned}.\tag{7}\]
1.9 Из формулы (6) следует, что теоретические значения этих коэффициентов равны \(a = b = 1\).
1.10 Полученные экспериментальные значения достаточно близки к теоретическим. Основной причиной полученных различий являются: - погрешности измерений (прежде всего силы тока); - систематические погрешности, связанные с неучтенными сопротивлениями проводов и контактов.
Часть 2. Делитель напряжения.
2.1 Результаты требуемых измерений приведены в Таблице 2.
Таблица 2.
| \(n\) | Мультиметр \(U_n\), В | Вольтметр \(U_n\), В | Линейаризация \(X = 5 - n\) | Линейаризация \(Y = \frac{U}{U_n} - \frac{5}{n}\) |
| 0 | 0 | 0 | 5 | |
| 1 | 1,76 | 0,80 | 4 | 6,25 |
| 2 | 3,53 | 1,21 | 3 | 4,94 |
| 3 | 5,30 | 1,82 | 2 | 3,28 |
| 4 | 7,08 | 3,34 | 1 | 1,44 |
| 5 | 8,86 | 0 | 0 |
Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.
2.2 Собственное сопротивление мультиметра значительно превышает сопротивления резисторов, поэтому его можно считать бесконечно большим. В этом случае напряжение источника поровну «делится» между резисторами, поэтому теоретическая формула для напряжения, измеренного мультиметром, имеет примитивный вид
\[U_n = \frac{n}{5} U_S.\tag{8}\]
Измеренное значение напряжения источника \(U_S = 8{,}9\) В, поэтому коэффициент наклона линейной зависимости должен быть равен \(\frac{\Delta U}{\Delta n} = 1{,}78\), что хорошо совпадает с экспериментальным значением.
2.3 Основной причиной различия результатов измерений, проведенных разными приборами, является конечное сопротивление вольтметра \(R_V\), считать которое бесконечно большим в данном случае нельзя.
2.4 Рассчитаем значение напряжения на вольтметре, если его сопротивление равно \(R_{V}\). Будем считать, что напряжение источника остается постоянным. В этом случае измеряемое напряжение описывается функцией
\[U_{n} = U_{S} \frac{R_{x}}{(5-n)R + R_{x}},\tag{9}\]
где \(n\) - число резисторов, на которых измеряется напряжение, \(R\) - сопротивление одного резистора;
\[R_{x} = \frac{nRR_{V}}{nR + R_{V}}.\tag{10}\]
сопротивление параллельно соединенных вольтметра и \(n\) резисторов. Преобразуем формулу (9), чтобы привести ее к линейной зависимости:
\[\frac{U_{S}}{U_{n}} = 1 + (5-n)\frac{R}{R_{x}} = 1 + (5-n)\frac{R}{nRR_{V}}(nR + R_{V}) = \frac{5}{n} + (5-n)\frac{R}{R_{V}}.\tag{11}\]
Интересно отметить, что при \(R_{V} \gg R\) формула (11) переходит в формулу (8). Из соотношения (11) следует, что величина \(Y = \frac{U_{S}}{U_{n}} - \frac{5}{n}\) пропорциональна величине \(X = 5-n\).
В последних столбцах Таблицы 2 приведены рассчитанные значения этих величин. График зависимости между ними показан на рисунке и подтверждает проведенные теоретические построения.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2022/23, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.