зад 1 Колебания линейки на цилиндре
Если положить линейку на неподвижный цилиндр так, чтобы в положении равновесия она располагалась горизонтально, и если вывести ее из положения равновесия, то она будет совершать колебания. В данном задании Вам необходимо исследовать такие колебания.
Приборы и оборудование: набор цилиндров, 2 деревянных линейки 40 см, штангенциркуль, секундомер, кусок пластилина.
Часть1. Зависимость периода от диаметра.
Чтобы цилиндр оставался неподвижным, прикрепите его к столу с помощью кусочка пластилина. В данной части вам необходимо исследовать зависимость периода колебаний линейки от диаметра цилиндра. Измерения следует провести для одной линейки и двух линеек скрепленных друг с другом параллельно (сдвоенная линейка).
1.1 Измерьте периоды колебаний одной линейки и сдвоенной линейки на цилиндре самого малого диаметра с максимально возможной точностью.
1.2 Рассчитайте приборную, случайную и полную погрешности измерения этих периодов.
Все результаты занесите в Таблицу 1 листов ответов. В первом столбце приведите формулы, по которым были проведены расчеты.
1.3 Измерьте зависимости периодов колебаний линейки и сдвоенной линейки от диаметра цилиндров. Не забудьте измерить диаметры цилиндров. Постройте графики полученных зависимостей. Оценка погрешностей не требуется. Результаты измерений занесите в Таблицы 2 и 3.
Теоретическая подсказка Можно показать, что зависимость периода рассмотренных колебаний \(T\) от диаметра цилиндра \(d\) описывается формулой (вывод этой формулы не требуется и не оценивается)
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{A}{d - a}}.\tag{1}\]
где \(A\) и \(a\) - постоянные, зависящие от размеров линейки.
1.4 Линеаризуйте зависимость (1) таким образом, что бы по ней можно было а) проверить формулу (1); и б) определить параметры этой зависимости \(A\) и \(a\).
1.5 Постройте графики линеаризованных зависимостей. Укажите, применима ли формула (1) для описания результатов ваших измерений. Результаты расчетов занесите в свободные столбцы Таблиц 2 и 3.
1.6 Рассчитайте численные значения параметра \(a\) и его погрешность для одной и сдвоенной линеек. Попытайтесь «угадать» наглядный смысл этого параметра.
1.7 Определите, при каких значениях диаметра цилиндра, горизонтальное положение линейки будет устойчивым.
Часть2. Зависимость периода колебаний от положения грузов.
Оценка погрешностей в данной части не требуется.}
Измерения в этой части проводите только с одной линейкой и на цилиндре максимального диаметра.
Прикрепите к линейке симметрично две пары магнитов. Обозначим расстояние от середины линейки \(x\).
2.1 Измерьте зависимость периода колебаний линейки от положения магнитов \(x\). Постройте график полученной зависимости.
Результаты измерений занесите в Таблицу 4 листов ответов.
Для данных колебаний формула для периода колебаний (1) также применима, только величина \(A(x)\) является некоторой функцией от \(x\).
2.2 На основании простых физических рассуждений предложите вид зависимости \(A(x)\).
2.3 Постройте линеаризованный график зависимости периода колебаний от положения магнитов \(x\), который подтверждает предложенную Вами зависимость \(A(x)\). Сделайте вывод о правильности предложенной Вами зависимости \(A(x)\).
Результаты необходимых промежуточных расчетов приведите в свободных столбцах Таблицы 4.
▶ПодсказкаСкрыть
Чтобы проверить формулу для периода, постройте график \(1/T^2\) от диаметра цилиндра: по прямой найдите параметр \(a\). Положение грузов учтите через зависимость \(A(x)\).
▶ОтветСкрыть
1.1) одна линейка \(T=(3{,}72\pm0{,}01)\) с, две линейки \(T=(4{,}22\pm0{,}04)\) с; 1.4) \(z=T^{-2}=C(d-a)\), \(a=-B/K\); 1.6) \(a_1=(4{,}8\pm2{,}7)\) мм, \(a_2=(3{,}5\pm1{,}4)\) мм, это порядка толщины линейки; 1.7) устойчиво равновесие при \(d>a\); 2.2) \(A(x)=\alpha+\beta x^2\), график \(T^2(x^2)\) линеен.
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Зависимость периода от диаметра.
1.1 Чтобы провести измерения с максимальной точностью и оценить случайную погрешность необходимо провести измерения времен максимального числа периодов колебаний несколько раз. В данном эксперименте провести измерения времен более 3 колебаний практически невозможно из-за сильного затухания. Поэтому проведены измерения 3 колебаний по 5 раз для одной и для сдвоенных линеек. Результаты этих измерений приведены в Таблице 1., в которой также приведены формулы, по которым проведен расчет погрешностей
Таблица 1.
| одна линейка | две линейки | |
| Времена 3 колебаний \(t_i\) | 11,18 | 12,86 |
| 11,15 | 12,69 | |
| 11,22 | 12,65 | |
| 11,13 | 12,51 | |
| 11,17 | 12,55 | |
| Среднее время \(\langle t \rangle = \frac{\sum\limits_i t_i}{N}\) | 11,170 | 12,652 |
| Случайная погрешность \(\Delta t_{\text{сл}} = 2\sqrt{\frac{\sum\limits_i (t_i - \langle t \rangle)^2}{n(n-1)}}\) | 0,030 | 0,123 |
| Приборная погрешность \(\Delta t_{\text{пр.}}\) | 0,010 | 0,010 |
| Полная погрешность \(\Delta t = \sqrt{\langle \Delta t_{\text{сл}} \rangle^2 + \langle \Delta t_{\text{пр.}} \rangle^2}\) | 0,032 | 0,123 |
| Период колебаний \(T\) | 3,723 | 4,217 |
| Погрешность измерения периода \(\Delta T\) | 0,011 | 0,041 |
Окончательные результаты измерения периодов колебаний одна линейка
\[T = (3{,}72 \pm 0{,}01) c \,;\tag{1}\]
две линейки
\[T = (4{,}22 \pm 0{,}04) c \,;\tag{2}\]
1.2 Зависимости периодов колебаний от диаметра цилиндра приведены в Таблице 2 (одна линейка) и Таблице 3 (две линейки).
Таблица 2. Одна линейка
| время N колебаний | \(T\), с | \(\frac{1}{T^2}\) | ||||
| \(d\), мм | N | \(t_1\), с | \(t_2\), с | \(t_3\), с | ||
| 10 | 3 | 3,723 | 0,072 | |||
| 20 | 3 | 8,93 | 8,69 | 8,91 | 2,948 | 0,115 |
| 25 | 5 | 12,03 | 12,07 | 12,08 | 2,412 | 0,172 |
| 35 | 5 | 9,69 | 9,66 | 9,75 | 1,940 | 0,266 |
| 40 | 5 | 8,97 | 8,98 | 8,86 | 1,787 | 0,313 |
| 60 | 5 | 7,05 | 6,98 | 7,01 | 1,403 | 0,508 |
| 87 | 10 | 11,67 | 11,64 | 11,68 | 1,166 | 0,735 |
Таблица 3. Две линейки
| время N колебаний | \(T\), с | \(\frac{1}{T^2}\) | ||||
| \(d\), мм | N | \(t_1\), с | \(t_2\), с | \(t_3\), с | ||
| 10 | 3 | 4,210 | 0,056 | |||
| 20 | 3 | 8,15 | 8,33 | 8,22 | 2,744 | 0,133 |
| 25 | 5 | 11,61 | 11,74 | 11,55 | 2,327 | 0,185 |
| 35 | 5 | 9,65 | 9,64 | 9,56 | 1,923 | 0,270 |
| 40 | 5 | 9,5 | 9,04 | 8,56 | 1,807 | 0,306 |
| 60 | 5 | 7,12 | 7,08 | 7,13 | 1,422 | 0,495 |
| 87 | 10 | 11,86 | 11,88 | 12,03 | 1,192 | 0,703 |
Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.
1.4 Линеаризация зависимости (1), приведенной в условии задачи достигается очевидным способом: необходимо построить зависимость величины \(z = T^{-2}\) от диаметров цилиндров. Эту зависимость можно представить в виде
\[z = C(d - a).\tag{3}\]
Если определить параметры линейной зависимости \(z = Kd + B\), то искомый параметр \(a\) выражается через коэффициенты линейной зависимости следующим образом:
\[a = -\frac{B}{K},\tag{4}\]
с погрешностью
\[\Delta a = \vert a\vert \sqrt{\left(\frac{\Delta K}{K}\right)^2 + \left(\frac{\Delta B}{B}\right)^2}.\tag{5}\]
В последних столбцах Таблиц 2 и 3 приведены значения величин \(z\).
1.5 Графики линеаризованных зависимостей \(z(d)\) показаны на следующем рисунке.
Так как полученные зависимости линейны, то формула (1) из условия задачи правильно описывает экспериментальные данные.
1.6 Расчет коэффициентов линейной зависимости проведен по МНК, в результате получены следующие значения для одной линейки:
\[K_1 = (9{,}0 \pm 0{,}4) \cdot 10^{-3} \frac{1}{c^2 \cdot \text{мм}}; \quad \Rightarrow \quad B_1 = (4{,}3 \pm 2{,}4) \cdot 10^{-2} \frac{1}{c^2};\tag{6}\]
для двух линеек
\[K_2 = (8{,}5 \pm 0{,}3) \cdot 10^{-3} \frac{1}{c^2 \cdot \text{мм}}; \quad \Rightarrow \quad B_2 = (3{,}0 \pm 1{,}1) \cdot 10^{-2} \frac{1}{c^2}.\tag{7}\]
Расчет параметров \(a\) по формулам (4) – (5) приводит к следующим значениям для одной линейки
\[a_1 = (4{,}8 \pm 2{,}7) \text{мм}\tag{8}\]
для двух линеек
\[a_1 = (3{,}5 \pm 1{,}4) \text{мм}\tag{9}\]
Данный параметр имеет смысл толщины линейки.
1.7 Если положение равновесия является устойчивым, то колебания возможны. Из формулы (1) следует, что колебания могут происходить при
\[d > a\tag{10}\]
Часть 2. Зависимость периода колебаний от положения грузов.
2.1 Результаты измерений зависимости периода колебаний от положения магнитов приведены в Таблице 4.
Таблица 4. Результаты измерений
| Время 5 колебаний | ||||||
| \(x\), см | \(t_1\), с | \(t_2\), с | \(t_3\), с | \(t_4\), с | \(t_5\), с | период \(T\), с |
| 19 | 8,38 | 8,37 | 8,27 | 8,14 | 8,23 | 1,66 |
| 16 | 7,47 | 7,37 | 7,34 | 7,42 | 7,28 | 1,48 |
| 13 | 6,17 | 6,28 | 6,22 | 6,37 | 6,21 | 1,25 |
| 10 | 5,08 | 5,03 | 5,12 | 5,2 | 5,09 | 1,02 |
| 7 | 4,19 | 4,28 | 4,11 | 4,26 | 4,28 | 0,84 |
График полученной зависимости показан на рисунке.
Простые теоретические рассуждения, основанные на анализе кинетической энергии линейки с грузами, приводят к следующему виду зависимости
\[A(x) = \alpha + \beta x^2.\tag{11}\]
Для проверки этой зависимости следует построить график линеаризованной зависимости \(T^2(x^2)\). График линеаризованной зависимости показан на следующем рисунке.
Линейность данной зависимости подтверждает справедливость формулы (11) для описания полученных экспериментальных данных.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Преломление света
Показатель преломления вещества является одной из важнейших оптических характеристик вещества. Показатель преломления зависит от длины волны света. Пусть при изменении длины на величину \(\Delta\lambda\) показатель преломления изменяется на величину \(\Delta n\). Тогда дисперсией показателя преломления называется отношение
\[D = \frac{\Delta n}{\Delta \lambda}.\tag{1}\]
В данном задании Вам необходимо провести ряд экспериментальных исследований, связанных с преломлением света в стекле и жидкости.
Приборы и оборудование: стеклянная равносторонняя призма, чашка Петри с исследуемой жидкостью, лазер полупроводниковый (длина волны \(\lambda = 670\)нм) с блоком питания, светодиодный фонарик белого света, штатив с лапкой, две собирающие линзы на подставках, экран на подставке, линейка измерительная 40 см, линейка прозрачная, пластилин, лист белой бумаги, 2 измерительных лимба на бумаге, два кусочка клейкой ленты.
Все оптические установки собирайте на листе белой бумаги, закрывающий стол, на этом листе может делать необходимые вам геометрические построения и измерения. При необходимости элементы оптических схем можете закреплять в нужном вам положении с помощью пластилина.
Часть 1. Показатель преломления и дисперсия стекла.
В данной части используйте равностороннюю стеклянную призму, которую размещайте непосредственно на столе. На призму направляйте луч лазера, который закрепите на столе с помощью кусочка пластилина. Если луч направить под малыйм углом к гоизонту, то на листе бумаги легко увидеть лучи отраженные и преломленные призмой ( см. фото 1).
В данной части неоходимо исследовать следующие лучи: 0 - луч, падающий на грань призмы; 1 – луч, отраженный этой гранью; 2 – луч преломленный призмой. Можно увидеть и другие лучи, испытывающие отражения внтури призмы. Их принимать во внимание не надо. Обозначим: \(\alpha\) - угол отклонения отраженного луча; \(\beta\) - угол отклонения преломленного луча (этот угол отсчитывается от направления падащего луча 0).
1.1 Измерьте зависимость угла \(\beta\) от угла \(\alpha\). Постройте график полученной зависимости.
При выполнении данного пункта задания для измерения углов используйте угомерный лимб №1, обеспечивающий достаточную точность измерений. Результаты измерений и необходимых расчетов приведите в Таблице 1.
При повороте призмы угол отклонения преломленного угла \(\beta\) изменяется не монотонно. При определенном угле падения преломленный угол принимает минимальное
значение \(\beta_{\text{min}}\), при этом угол отклонения отраженного луча принимает некоторое значение, которое мы обозначим \(\alpha_{\text{min}}\) (понятно, что это не есть минимальный угол \(\alpha\)).
1.2 Измерьте с максимальной точностью угол минимального отклонения \(\beta_{\text{min}}\) и соответствующий угол отклонения отраженного угла \(\alpha_{\text{min}}\). При выполнении этого пункта точности измерения углов с помощью бумажного лимба недостаточно. Поэтому проведите измерения с большей точностью. Укажите, как вы увеличили точность измерений. Оцените погрешность измерения этих углов.
1.3 Рассчитайте показатель преломления материала призмы по измеренному значению угла \(\alpha_{\text{min}}\).
1.4 Рассчитайте показатель преломления материала призмы по измеренному значению угла \(\beta_{\text{min}}\). Приведите вывод формул для расчета показателя преломления.
Подсказка. Минимальному углу отклонения соответствует симметричный ход луча через призму.
Закрепите фонарик в лапке штатива. С помощью двух линз сформируйте параллельный пучок белого света, распространяющийся параллельно столу.
1.5 Нарисуйте оптическую схему, формирующую параллельный пучок света. Укажите геометрические параметры вашей схемы (расстояния между элементами схемы) и примерный ход лучей.
Направьте параллельный пучок света на призму (для призмы используйте подставку). При «правильном» положении призмы и экрана, на экране можно получить спектр – цветную полоску (см. фото 2)
1.6 Приведите оптическую схему, с помощью которой вам удалось получить спектр на экране (укажите положение призмы, ее примерную ориентацию относительно падающего пучка света; положение экрана, примерный ход лучей) Для более четкой (но менее яркой) цветной полоски на экране, на передней грани призмы с помощью двух кусочков липкой ленты можно сделать небольшую щель толщиной в несколько мм.
1.7 Проведите необходимые измерения и определите, на сколько изменяется показатель преломления \(\Delta n\) стекла в пределах видимого диапазона. Укажите, какие величины вы измеряли, приведите расчетные формулы.
1.8 Оцените дисперсию показателя преломления \(D\) стекла в видимом диапазоне света.
Дисперсию показателя преломления указать с точностью до одной значащей цифры.
Часть 2. Преломление в жидкости и... радуга.
В данной части задания Вам необходимо исследовать преломление света в круглом сосуде (чашке Петри) с жидкостью. Чашку Петри расположите на столе, луч лазера направляйте на боковую поверхность чашки. Глядя сверху, можно видеть путь луча в жидкости (см. фото 3). Для измерения необходимых углов используйте угломерный лимб №2, который положите под чашку. Значения всех углов приводите в градусах.
На рисунке показан ход лучей через цилиндрический сосуд: 0 – падающий луч, 1 – луч, преломленный в сосуде, 2 – луч, испытавший одно отражение на стенке сосуда. Обозначим: \(\alpha\) - угол падения луча; \(\beta\) - угол преломления луча; \(\theta_1\) - угол отклонения луча 1 (от направления падающего луча); \(\theta_2\) - угол отклонения луча 2 (от направления падающего луча); \(\gamma\) - угол выхода луча 2 из сосуда.
2.1 Измерьте зависимость угла преломления \(\beta\) от угла падения \(\alpha\). Для изменения угла падения лучше передвигать чашку Петри (вместе с измерительным лимбом), чтобы направление падающего лазерного луча оставалось неизменным. Укажите на рисунке, какие величины Вы измеряли. Приведите формулы для расчета углов \(\alpha\), \(\beta\). Результаты непосредственных измерений и значения углов приведите в Таблице 2.
2.2 Постройте график связывающий результаты измерений углов \(\alpha\), \(\beta\), таким образом, чтобы он, во-первых, мог подтвердить закон преломления света; во-вторых позволил рассчитать значение показателя преломления жидкости.
2.3 Укажите, подтверждают ли ваши измерения закон преломления света.
2.4 Рассчитайте показатель преломления жидкости \(n\). Оцените погрешность его измерения.
Далее Вам необходимо провести расчеты.
2.5 Получите формулы выражающие углы отклонения \(\theta_1\) и \(\theta_2\) через углы \(\alpha\), \(\beta\).
2.6 Проведите расчет зависимостей углов \(\beta\), \(\theta_1\), \(\theta_2\) и угла \(\gamma\) от угла падения \(\alpha\). При расчетах используйте значение показателя преломления, найденное в п. 2.4. Результаты расчетов приведите в Таблице 3.
2.7 Постройте на одном бланке графики зависимостей углов \(\theta_1\) и \(\gamma\) от угла падения \(\alpha\).
2.8 Используя полученные графики, кратко (не более 50 слов) объясните, почему радуга наблюдается в отраженном свете и не наблюдается в проходящем свете.
Направьте на чашку параллельный пучок белого света от фонарика. При наблюдении под определенным углом на поверхности чашки можно увидеть радугу, или получить ее изображение на экране (конечно, не полную дугу, а ее малый участок).
2.9 Изобразите оптическую схему установки, позволяющую увидеть радугу (или получить ее изображение на экране). Укажите какие величины Вы измеряли.
2.10 Измерьте угловой размер радуги \(\psi\) и ее угловую ширину \(\Delta\psi\).
Покажите на схеме, как вы провели эти измерения.
Фотографии к заданию 11-2. Преломление света
Фото 1.
Фото 2.
Фото 3.
▶ПодсказкаСкрыть
Минимальному углу отклонения в призме отвечает симметричный ход луча. Для круглого сосуда выразите углы отклонения через \(\alpha\) и \(\beta\) с учётом одного отражения на задней стенке.
▶ОтветСкрыть
1.2) \(\alpha_{\min}=100^\circ\pm10^\circ\), \(\beta_{\min}=42^\circ\pm1^\circ\); 1.3) \(n=2\sin\dfrac{\alpha}{2}=1{,}5\pm0{,}1\); 1.4) \(n=2\sin\dfrac{\beta+\theta}{2}=1{,}55\pm0{,}01\); 1.7) \(\Delta n\approx0{,}03\); 1.8) \(D\approx1\cdot10^{-4}\ \text{нм}^{-1}\); 2.4) \(n=1{,}42\pm0{,}03\); 2.5) \(\theta_1=2(\alpha-\beta)\), \(\theta_2=\pi+2\alpha-4\beta\); 2.10) \(\psi\approx38^\circ\), \(\Delta\psi\approx3^\circ\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Показатель преломления и дисперсия стекла.
1.1 Результаты измерений углов \(\alpha\) и \(\beta\) приведены в Таблице 1. График полученной зависимости показан на рисунке.
Таблица 1.
| \(\alpha^\circ\) | \(\beta^\circ\) |
| 70 | 49 |
| 80 | 44 |
| 90 | 42 |
| 100 | 42 |
| 110 | 42 |
| 120 | 43 |
| 130 | 44 |
| 140 | 47 |
| 150 | 50 |
| 160 | 53 |
| 170 | 57 |
Важно отметить, что данная зависимость имеет точку минимума.
1.2 Для увеличения точности измерения следует продлить лучи на большее расстояния, нарисовать их на листе бумаги, а затем провести измерения углов.
В результате проведенных измерений получены следующие значения
\[\begin{aligned} \alpha_{\min} &= 100^\circ \pm 10^\circ \\ \beta_{\min} &= 42^\circ \pm 1^\circ \end{aligned}\tag{1}\]
1.3 – 1.4 Получим формулы для расчета показателя поглощения.
На рисунке показан симметричный ход луча через призму. Обозначим: \(\alpha_0\) - угол падения луча на грань призмы; \(\gamma\) - угол преломления на одной грани призмы; \(\theta = \frac{\pi}{3}\) - угол при вершине призмы Из закона отражения света следует, что \(\alpha = 2\alpha_0\).
\[{}\tag{2}\]
При симметричном ходе луча, используя известное значение суммы углов треугольника, можно выразить
\[\theta + 2\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \pi \quad \Rightarrow \quad \gamma = \frac{\theta}{2}.\tag{3}\]
Закон преломления в данном случае имеет вид
\[\sin \alpha_0 = n \sin \gamma,\tag{4}\]
из которого с учетом выражений для углов следует формула для расчета показателя преломления по измеренному углу \(\alpha\):
\[n = \frac{\sin \alpha_0}{\sin \gamma} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\pi}{6}} = 2 \sin \frac{\alpha}{2}.\tag{5}\]
Угол отклонения луча 2 равен (сумма отклонений при двух преломлениях)
\[\beta = 2(\alpha_0 - \gamma)\tag{6}\]
отсюда следует, что \(\alpha_0 = \frac{\beta + 2\gamma}{2} = \frac{\beta + \theta}{2}\)
Из закона преломления следует искомая формула для расчета показателя преломления по углу \(\beta\)
\[n = \frac{\sin \alpha_0}{\sin \gamma} = \frac{\sin \frac{\beta + \theta}{2}}{\sin \frac{\pi}{6}} = 2 \sin \frac{\beta + \theta}{2}.\tag{7}\]
При расчетах в эти формулы следует подставить измеренные значения \(\alpha_{\min}\) и \(\beta_{\min}\). Расчеты приводят к следующим результатам:
По углу \(\alpha_{\min}\):
\[n = 1{,}5 \pm 0{,}1\tag{8}\]
по углу \(\beta_{\min}\)
\[n = 1{,}55 \pm 0{,}01\tag{9}\]
1.5 Оптическая схема для получения параллельного пучка света показана на рисунке.
1.6 Оптическая схема для получения спектра на экране показана на следующем рисунке.
1.7 Для расчета показателя преломления необходимо измерить значения угла минимального отклонения \(\beta\) для крайних цветов спектра. а затем по формуле (7) рассчитать соответствующие показатели преломления. Результаты измерений и расчетов
Для красного цвета (примерное значение длины волны \(\lambda_{\text{кр}} \approx 700\text{нм}\)): \(\beta_{\text{кр}} = 41^\circ\) \(n_{\text{кр}} = 1{,}54\)
Для фиолетового цвета (примерное значение длины волны \(\lambda_{\text{кр}} \approx 400\text{нм}\)): \(\beta_{\text{кр}} = 38^\circ\) \(n_{\text{кр}} = 1{,}51\)
Таким образом, в пределах видимого диапазона показатель преломления изменяется на величину
\[\Delta n \approx 0{,}03\,.\tag{10}\]
1.8 Оценочный расчет дисперсии приводит к следующему значению дисперсии показателя преломления
\[D = \frac{0{,}03}{300\text{нм}} = 1 \cdot 10^{-4}\,\text{нм}^{-1}\,.\tag{11}\]
Часть 2. Преломление в жидкости и... радуга.
2.1 Для измерения углов \(\alpha\) и \(\beta\) следует расположить чашку Петри на угломерном лимбе, с помощью которого можно измерить угол входа луча (он же угол \(\alpha\)) и угол выхода луча \(\varphi\)
\[\varphi = \alpha + \pi - 2\beta\,.\tag{12}\]
Тогда угол преломления можно рассчитать по формуле
\[\beta = \frac{\pi + \alpha - \varphi}{2}\,.\tag{13}\]
Результаты измерений и последующих расчетов приведены в Таблице 2.
Таблица 2.
| \(\alpha^\circ\) | \(\varphi^\circ\) | \(\beta^\circ\) | \(\sin \beta\) | \(\sin \alpha\) | ||
| 0 | 180 | 0,0 | 0,000 | 0,000 | ||
| 10 | 176 | 7,0 | 0,122 | 0,174 | ||
| 20 | 170 | 15,0 | 0,259 | 0,342 | ||
| 30 | 170 | 20,0 | 0,342 | 0,500 | ||
| 40 | 166 | 27,0 | 0,454 | 0,643 | ||
| 50 | 164 | 33,0 | 0,545 | 0,766 | ||
| 60 | 165 | 37,5 | 0,609 | 0,866 | ||
| 70 | 166 | 42,0 | 0,669 | 0,940 | ||
| 80 | 173 | 43,5 | 0,688 | 0,985 |
2.2 Для проверки закона преломления
\[\sin \alpha = n \sin \beta\tag{14}\]
следует построить график зависимости \(\sin \alpha = F(\sin \beta)\). Тогда коэффициент наклона этого графика даст значение показателя преломления. Значения синусов углов приведены в Таблице 2. График полученной зависимости показан на рисунке.
2.3 Прямая пропорциональность между синусами углов подтверждает справедливость закона преломления света.
2.4 Расчет коэффициента наклона графика (по МНК) дает следующее значение показателя преломления
\[n = 1{,}42 \pm 0{,}03\tag{15}\]
2.5 Угол преломления \(\beta\) связан с углом падения \(\alpha\) соотношением (14), из которого следует, что угол преломления \(\beta\) рассчитывается по формуле
\[\beta = \arcsin \left( \frac{\sin \alpha}{n} \right).\tag{16}\]
При каждом преломлении на стенке чашки луч поворачивается по часовой стрелке на угол
\[\delta_1 = (\alpha - \beta).\tag{17}\]
Поэтому угол отклонения луча 1 равен
\[\theta_1 = 2(\alpha - \beta).\tag{18}\]
При отражении от внутренней поверхности угол поворота луча по часовой стрелке равен
\[\delta_2 = \pi - 2\beta.\tag{19}\]
Следовательно, угол поворота луча 2 равен
\[\theta_2 = 2\delta_1 + \delta_2 = \pi + 2\alpha - 4\beta.\tag{20}\]
Угол выхода луча из сосуда равен
\[\gamma = \pi - \theta_2 = 4\beta - 2\alpha.\tag{21}\]
2.6 Результаты расчетов по полученным выше формулам приведены в Таблице 3.
Таблица 3.
| \(\alpha^\circ\) | \(\beta^\circ\) | \(\theta_1^\circ\) | \(\theta_2^\circ\) | \(\gamma^\circ\) |
| 0 | 0,0 | 0,0 | 180,0 | 0,0 |
| 10 | 7,0 | 6,0 | 172,0 | 8,0 |
| 20 | 13,9 | 12,2 | 164,4 | 15,6 |
| 30 | 20,6 | 18,8 | 157,7 | 22,3 |
| 40 | 26,9 | 26,3 | 152,6 | 27,4 |
| 50 | 32,6 | 34,8 | 149,7 | 30,3 |
| 60 | 37,5 | 45,0 | 150,0 | 30,0 |
| 70 | 41,3 | 57,3 | 154,6 | 25,4 |
| 80 | 43,8 | 72,4 | 164,8 | 15,2 |
2.7 Графики полученных зависимостей.
2.8 Зависимость угла \(\gamma\) от угла падения на каплю имеет точку максимума. Вблизи экстремума происходит резкая концентрация лучей, поэтому в отраженном свете хорошо видна яркая граница отраженных лучей. Угол отклонения преломленных лучей экстремумов не имеет, поэтому резких ярких полос в проходящем свете не наблюдается.
2.9 Для наблюдения радуги на чашку следует направить параллельный пучок белого света от фонарика. Затем можно наблюдать глазом появление ярких бликов на стенке чашки, если смотреть в направлении угла \(\gamma\). при этом можно измерить с помощью прозрачной линейки углы \(\gamma\) и \(\Delta\gamma\) (эти углы совпадают с углами \(\psi\) в условии задачи) для границ видимого спектра.
2.10 Измерения дали следующие результаты
\[\begin{aligned} \psi &\approx 38^\circ \\ \Delta\psi &\approx 3^\circ. \end{aligned}\tag{22}\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2023/24, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.