Белорусская, 2023/24, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Две пружины действуют на шайбу как одна с суммарной жёсткостью. Остановка наступает в зоне застоя, где сила упругости не превышает силу трения покоя; каждое прохождение зоны «отражает» координату относительно её границы.

Ответ

1.2) \(k=k_1+k_2\); 1.4) \(h=\dfrac{\mu mg}{k}\); 1.5) \(x_F=x_S\) при \(|x_S|\le h\), далее \(x_F=2h-x_S\) (при \(h<x_S<3h\)) и т.д. — ломаная; 2.1) \(X_0=(149\pm1)\) мм, \(h=(15\pm1)\) мм, \(k=(1{,}3\pm0{,}2)\) Н/м, \(\mu=0{,}20\pm0{,}08\); 3.4) \(a_{\max}\approx 20\) м/с\(^2\); 3.7) \(z=2\dfrac{\mu mg}{k}\approx53\) мм — уменьшение отклонения между двумя последовательными остановками.

Решение

Часть 1. Чисто теоретическая

1.1 Так как удлинения пружин, когда шайба находится в положении равновесия, равны \(\Delta l_1\) и \(\Delta l_2\). Тогда при смещении шайбы на величину \(x\) удлинения пружин станут равными

\[\begin{aligned} \Delta L_1 &= \Delta l_1 + x \\ \Delta L_2 &= \Delta l_2 - x \end{aligned}\tag{1}\]

Следовательно, суммарная проекция силы упругости будет равна

\[\begin{aligned} F_x &= F_2 - F_1 = k_2(\Delta l_2 - x) - k_1(\Delta l_1 + x) = \\ &= (k_2\Delta l_2 - k_1\Delta l_1) - (k_2 + k_1)x \end{aligned}\tag{2}\]

Первое слагаемое в этом выражении равно нулю, как условие равновесия при \(x=0\). Поэтому окончательно получаем, что

\[F_x = -(k_2 + k_1)x\tag{3}\]

что совпадает с формулой, приведенной в условии.

1.2 Из формулы (3) следует, что жесткость установки равна

\[k = k_2 + k_1\tag{4}\]

1.3 Запишем выражение для изменения потенциальной энергии двух пружин и преобразуем его:

\[\begin{aligned} \Delta U &= \frac{k_1(\Delta l_1 + x)^2}{2} - \frac{k_1(\Delta l_1)^2}{2} + \frac{k_2(\Delta l_2 - x)^2}{2} - \frac{k_2(\Delta l_2)^2}{2} = \\ &= k_1\Delta l_1 \cdot x + \frac{k_1x^2}{2} - k_2\Delta l_2 \cdot x + \frac{k_2x^2}{2} = \\ &= (k_1\Delta l_1 - k_2\Delta l_2)x + \frac{(k_1 + k_2)x^2}{2} \end{aligned}\tag{5}\]

Первое слагаемое равно опять обращается в нуль (условие равновесия!), поэтому окончательно получаем

\[\Delta U = \frac{(k_1 + k_2)x^2}{2} = \frac{kx^2}{2}\tag{6}\]

что и требовалось доказать.

1.4 На границах зоны застоя (при \(x = \pm h\)) максимально возможная сила трения покоя уравновешивает силу упругости, поэтому

\[\mu mg = kh\tag{7}\]

откуда следует, что полуширина зоны застоя равна

\[h = \frac{\mu m g}{k}\tag{8}\]

1.5 Очевидно, что функция \(x_F(x_S)\) является нечетной: при изменении знака начальной координаты изменяется знак координаты точки остановки. Поэтому достаточно рассмотреть случай \(x_0 > 0\). Если начальная координата \(x_0\) лежит в зоне застоя \(x_S \in [-h, +h]\), то шайба не сдвинется с места, поэтому в этой области

\[x_F = x_S\tag{9}\]

Рассмотрим случай, когда \(x_S > h\). Запишем уравнения закона сохранения энергии между начальным и конечным положением шайбы (изменение потенциальной энергии пружины равно работе силы трения):

\[\frac{k x_S^2}{2} - \frac{k x_F^2}{2} = \mu m g (x_0 - x_S).\tag{10}\]

Из этого уравнения следует, что

\[x_F = 2 \frac{\mu m g}{k} - x_S = 2h - x_S.\tag{11}\]

Т.е. отклонение от положения равновесия уменьшается на ширину зоны застоя \(2h\). Это соотношение можно записать в виде

\[x_S - h = h - x_F.\tag{12}\]

Это выражение показывает, что точка остановки зеркально отражает начальную точку относительно границы зоны застоя. Поэтому при построении графика можно провести такое же отражение!

Формула (11) будет справедлива до тех пор, пока координата точки остановки не станет меньше левой границы зоны застоя \(x_F > -h\), или что равносильно \(x_S < 3h\). Если начальная координата превысит это значение \(x_S < 3h\), то шайба в процессе движения проскочит зону застоя и остановится в некоторой точке с координатой \(x_1\). После этого она начнет движение в противоположном направлении. Не повторяя проведенных рассуждений, заметим, что координата следующей остановки зеркально отразится относительно левой границы зоны застоя. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока очередная точка остановки не окажется в зоне застоя.

Таким образом, теоретический график зависимости координаты точки окончательной остановки шайбы от ее начальной координаты представляет собой ломаную линию, показанную на рисунке. На графиках по осям отложены значения \(\frac{x}{h}\).

Часть 2. Экспериментальная - подготовительная.

2.1 Масса шайба равна \(m = (10{,}0 \pm 0{,}1) \text{г}\).

Измерения параметров установки можно проводить различными способами, но во всех экспериментах непосредственно измеряются координаты центра шайбы. Поэтому приборная погрешность этих измерений может быть принята равной цене деления линейки

\[\Delta x_{\text{пр.}} = 1 \text{мм}.\tag{13}\]

Наличие случайной ошибки может увеличить полную погрешность

Предлагается следующая последовательность проведения измерений. Располагаем прибор горизонтально и, смещая шайбу по линейке находим границы зоны застоя (т.е. предельные положения шайбы, когда она может находиться в положении равновесия):

\[\begin{aligned} X_1 &= (144 \pm 1) \text{мм} \\ X_2 &= (164 \pm 1) \text{мм} \end{aligned}.\tag{14}\]

Точка положения равновесия находится на середине зоны застоя, поэтому ее координата равна

\[X_0 = \frac{X_1 + X_2}{2} = (149 \pm 1) \text{мм}.\tag{15}\]

Полуширина зоны застоя равна

\[h = \frac{X_2 - X_1}{2} = (15 \pm 1) \text{мм}.\tag{16}\]

Располагаем прибор вертикально, измеряем смещение шайбы относительно положения равновесия \(\Delta X = (225 - 149) \text{мм} = (76 \pm 2) \text{мм}\). Затем по формуле, следующей из условия равновесия шайбы, рассчитываем коэффициент жесткости

\[k = \frac{mg}{\Delta x} = (1{,}3 \pm 0{,}2) \frac{\text{Н}}{\text{м}}.\tag{17}\]

Примечание. Можно попытаться измерить смещения шайбы при двух вертикальных положениях. По этим измерениям найти координату точки равновесия (по формуле аналогичной (15)), а затем рассчитать коэффициент жесткости. Однако в таком эксперименте возможно, что короткая пружина полностью сожмется, что сделает второе измерение невозможным.

Коэффициент трения можно рассчитать, зная границы зоны застоя и найденное значение жесткости установки

\[\mu = \frac{k(X_2 - X_1)}{2mg} = 0{,}20 \pm 0{,}08.\tag{18}\]

Примечание. Допустимо проведение экспериментов с наклонным положением прибора.

Часть 3. Экспериментальная – зона застоя.

3.1 Результаты измерений зависимости координаты точки окончательной остановки \(x_S\) от начальной координаты \(x_0\) приведены в Таблице 1.

Таблица 1. Результаты измерений

В таблице приведены: \(X_S\) - начальная координата шайбы по шкале линейки; \(X_1\), \(X_2\) - координаты промежуточных остановок (если они есть) по шкале линейки; \(X_F\) - координата окончательной остановки по шкале линейки; \(x_S\), \(x_F\) - координаты начальной и конечной точек относительно положения равновесия \(X_0\):

\[x_{S,F} = X_{S,F} - X_0.\tag{19}\]

3.2 График полученной зависимости с набором аппроксимирующих отрезков прямых показан на рисунке.

3.3 Качественно график похож на график теоретической зависимости — четко видна «зигзагообразная» линия. Самым существенным отступлением от теоретической зависимости являются существенные отклонения «точек изломов». Теоретически они должны отстоять на ширину зоны застоя, т.е. 15 мм. На экспериментальном графике расстояния между этими точками значимо больше (превышают 20 мм, максимальное – даже 60 мм). Теоретически это расстояние равно ширине зоны застоя. Однако эксперимент не подтверждает этот вывод. По-видимому, основной причиной таких различий является различие между коэффициентом трения покоя (именно он измерялся в описанных выше экспериментах) и коэффициентом трения скольжения, который определяет путь шайбы между двумя последовательными остановками. Обычно коэффициент трения скольжения меньше коэффициента трения покоя, что и объясняет полученные данные.

3.4 Максимальное ускорение шайба имеет при максимальном смещении от положения равновесия. В проведенных экспериментах это отклонение равно \(x_{\text{max}} = 170\) мм, поэтому на основании второго закона Ньютона можно рассчитать:

\[a_{\text{max}} = \frac{k x_{\text{max}}}{m} - \mu g \approx 20 \frac{\text{м}}{\text{с}^2},\tag{20}\]

что в два раза превышает ускорение свободного падения.

3.5 Путь, пройденный шайбой до полной остановки, можно рассчитать по формуле

\[S = \sum_{i} \vert X_i - X_{i-1}\vert .\tag{21}\]

где \(X_i\) - координаты последовательных остановок шайбы. Результаты таких расчетов приведены в Таблице 1.

3.6 Изменение потенциальной энергии пружин следует рассчитывать по формуле

\[\Delta U = \frac{k}{2} \left( x_S^2 - x_F^2 \right),\tag{22}\]

В качестве изменения энергии в относительных единицах, можно взять разность квадратов начального и конечного отклонений. В таблице приведены результаты расчетов величин

\[\Delta \tilde{U} = \frac{x_S^2 - x_F^2}{1000}\tag{23}\]

Мы разделили на 1000, чтобы оперировать с меньшими числами. График зависимости \(\Delta \tilde{U}\) от пройденного пути \(S\) показан на рисунке.

3.7 Из закона сохранения энергии следует, что

\[\frac{k}{2} \left( x_S^2 - x_F^2 \right) = \mu m g S \quad \Rightarrow \quad \left( x_S^2 - x_F^2 \right) = 2 \frac{\mu m g}{k} S.\tag{24}\]

Из построенного графика можно найти коэффициент наклона графика \(a = 0{,}053\). Простой пересчет к одним единицам измерения дает следующее значение коэффициента пропорциональности в функции (24)

\[2 \frac{\mu m g}{k} = 53 \text{ мм}.\tag{25}\]

Эта величина показывает, на сколько уменьшается отклонение от положения равновесия между двумя последовательными остановками шайбы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.