Белорусская, 2024/25, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Не снимайте установку со штатива. не разматывайте ее нити – сами не восстановите. Следите, чтобы нити все время были намотаны с одной стороны (см. рисунок). Если установка вышла из строя, немедленно обращайтесь за помощью к организаторам!}

В данной задаче Вам необходимо исследовать движение системы, состоящей из вертушки на нитях (см. рис.) и подвешенного груза в зависимости от массы подвешенного груза. Во всех пунктах считайте движение вертушки равноускоренным.

Оборудование: вертушка, подвешенная на штативе, набор грузов: 2 груза по 50 г, набор гаек (масса гайки Вам будет указана), мерная лента, секундомер с памятью этапов.

Внимательно осмотрите установку, особенно способ намотки нитей. В зависимости от массы подвешенного груза вертушка может двигаться как вверх, так и вниз. Для этого подвесьте 2 груза по 50 г. Убедитесь, что при этом вертушка поднимается вверх. После того, как вертушка поднялась в крайнее верхнее положение. снимите один груз, убедитесь, что при этом вертушка начинает опускаться вниз.

Обозначим: \(M\) - масса вертушки; \(m\) - масса подвешенного груза; \(r\) - радиус стержня, на который намотаны нити вертушки; \(R\) - радиус валиков, на которые намотаны нити подвеса грузов.

В данной задаче вам необходимо измерять ускорение, с которым движется ось вертушки. Положительным направлением движения вертушки считается движение вверх.

При измерении ускорения сложно (практически невозможно) точно зафиксировать начало движения, Т.е. добиться выполнения «теоретического» условия \(v_0 = 0\).

Поэтому для измерения ускорения рекомендуем использовать следующую методику. На вертикальной измерительной ленте (или на нитях подвеса вертушки) установите 3 отметки. Когда ось вертушки будет проходить через нулевую точку, запускайте секундомер. Затем (с помощью памяти этапов) измерьте времена \(t_1, t_2\), когда ось проходит через отметки \(x_1, x_2\). При использовании такой методики Вы можете подтолкнуть вертушку из начального положения.

1. Получите формулу для расчета ускорения \(a\) по измеренным значениям \(x_1, x_2\) и \(t_1, t_2\).

При изучении движения вверх и вниз можете использовать различные отметки на ленте. Все измерения рекомендуется повторять несколько раз и рассчитывать средние значения ускорений. Тщательно продумайте, в каком порядке Вы будете изменять массы подвешиваемых грузов.

2. Измерьте зависимость ускорения оси вертушки от массы подвешенного груза. Постройте график полученной зависимости.

Результаты измерений занесите в таблицу 1 Листов ответов, график постройте на бланке Листов ответов. Все длины измеряйте в см, а ускорения в см/с\(^2\). Укажите значения координат \(x_1, x_2\), при которых Вы фиксировали времена \(t_1, t_2\).

3. Предложите простой и достаточно точный метод измерения отношения радиусов \(R/r\). Проведите необходимые измерения и рассчитайте это отношение.

4. Используя только результаты измерений, проведенных в п. 2 и 3, рассчитайте массу вертушки \(M\). Оцените погрешность ее измерения \(\Delta M\).

Не забудьте кратко описать ваши методы проведения измерений и расчетов в пп. 3-4. Приведите расчетные формулы, окончательные результаты занесите в Листы ответов. Вывод расчетных формул с необходимыми пояснениями приведите на рабочих листах.

Приведенные в Листах ответов численные результаты без краткого описания способа их получения не оцениваются!}

▶РешениеСкрыть

Решение

1. На основании закона равноускоренного движения запишем значения координат тела в два различных момента времени

\[x_1 = v_0 t_1 + \frac{a}{2} t_1^2\]

\[x_2 = v_0 t_2 + \frac{a}{2} t_2^2\tag{1}\]

Из этой систему уравнений, избавляясь от неизвестной (да и ненужной) начальной скорости, получаем формулу для расчета ускорения

\[a = 2 \frac{\frac{x_2}{t_2} - \frac{x_1}{t_1}}{t_2 - t_1}.\tag{2}\]

2. Ниже приведены Таблицы результатов измерений.

Движение вниз. Координаты точек фиксации времени \(x_1 = -10\) см, \(x_2 = -20\) см. Таблица результатов измерений времен и расчета ускорений. Для каждой массы груза проведено 3 измерения, для них рассчитаны ускорения, после чего найдено его среднее значение \(\langle a \rangle\). Ниже построен требуемый график зависимости ускорения оси вертушки от массы подвешенного груза.

\(m\), г	\(t_1\), с	\(t_2\), с	\(a\), см/с\(^2\)	\(\langle a \rangle\), см/с\(^2\)
11,6	1,19	1,80	-8,878	-9,173
	1,40	1,98	-10,201
	1,28	1,91	-8,440
15,6	1,43	2,18	-5,817	-6,086
	1,38	2,10	-6,326
	1,38	2,11	-6,116
20,6	1,39	2,30	-3,300	-3,910
	1,53	2,40	-4,132
	1,48	2,33	-4,299
25,6	1,68	2,63	-3,478	-3,348
	1,63	2,61	-3,118
	1,73	2,69	-3,447
30,6	1,91	2,97	-2,827	-2,939
	1,94	2,97	-3,067
	1,94	2,99	-2,923

Движение вверх.

Координаты точек фиксации времени \(x_{1} = 10\) см, \(x_{2} = 20\) см. Таблица результатов измерений времен и расчета ускорений.

\(m\), г	\(t_{1}\), с	\(t_{2}\), с	\(a\), см/с\(^{2}\)	\(\langle a \rangle\), см/с\(^{2}\)
120,6	1,14	1,84	5,993	5,481
	1,12	1,80	6,419
	1,08	1,85	4,030
115,6	0,96	1,70	3,643	3,755
	0,95	1,69	3,535
	0,98	1,71	4,087
110,6	0,91	1,69	2,167	2,216
	0,88	1,66	1,755
	0,92	1,68	2,724
105,6	0,84	1,65	0,534	1,870
	0,84	1,65	0,534
	0,82	1,57	1,450
100,0	0,75	1,47	0,756	1,540
	0,77	1,48	1,483
	0,80	1,50	2,381

3. Отношение радиусов равно отношению длин нитей, намотанных на установку. Измерив длины нитей с помощью мерной ленты, мы нашли, что

\[\frac{R}{r} = 1{,}60\tag{3}\]

4. Простое рассмотрение условия равновесия вертушки (см. рис), дает возможность утверждать, что ускорение вертушки будет равно нулю при выполнении условия

\[m(R - r) = Mr\tag{4}\]

Откуда следует, что масса вертушки может быть рассчитана по формуле

\[M = m^{(0)} \left( \frac{R}{r} - 1 \right).\tag{5}\]

где \(m^{(0)}\) - масса груза, при которой его ускорение стремится к нулю

Измерить непосредственно эту массу невозможно.

Поэтому следует на построенном графике следует провести сглаживающую прямую линию, соединяющую обе ветви полученной зависимости (см. график). Конечно, предпочтительнее использовать МНК, однако можно провести ее и «на глаз». Далее следует определить точку ее пересечения с осью абсцисс – и определить искомую массу.

По нашим измерениям эта масса равна \(m^{(0)} = 77\) г. Тогда по формуле (5) получаем, что масса вертушки равна

\[M = (30 \pm 5) \text{ г}.\tag{6}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Оборудование: фонарик с 4 лампочками, двойная расческа, измерительная линейка, экран на подставке, тонкая палочка, кусок пластилина для крепления фонарика, кусок изоленты.

Расческа освещается двумя лампочками, расположенными в плоскости, параллельной расческе. За расческой расположен экран, на котором можно наблюдать тени от зубцов расчески. На рисунке вертикальный масштаб сильно преувеличен. Оказывается, что существует несколько положений расчески и экрана при которых тени от зубцов видны наиболее четко, при других положениях они размыты. Обозначим: \(a\) - расстояние от лампочек до расчески; \(b\) - расстояние от расчески до экрана; \(h\) - расстояние между лампочками; \(d\) - период расчески (расстояние между соседними зубцами).

Часть 1. Теоретическая.

1.1 Получите соотношение между указанными параметрами установки \((a, b, h, d)\) и номером положения \(m = 1, 2, 3...\) при котором тени зубцов на решетке оказываются наиболее четкими.

1.2 Укажите наглядный смысл целочисленного параметра \(m\). Укажите, сколько положений с наиболее четкими тенями можно наблюдать в таком эксперименте.

Подсказка. Рассмотрите размер тени одного периода расчески, и смещение тени при смещении лампочки.

Часть 2. Подготовительная.

2.1 Измерьте периоды двух расчесок (густой и редкой) \(d_1, d_2\) с максимальной точностью.

2.2 Измерьте непосредственно расстояния между соседними \(h_1\) и крайними лампочками \(h_2\).

С помощью кусочка изоленты Вы можете закрыть две из четырех лампочек фонарика (они расположены на его боковой поверхности). Во всех экспериментах измерения проводите для двух пар лампочек: а) открыты крайние лампочки; б) открыты две соседние лампочки.

Расположите между фонариком и экраном (их положения выберите самостоятельно) вертикально тонкую палочку. Регулируйте положения лампочки и экрана так, чтобы две тени на экране, были одинаковыми (по размерам и освещенности).

Используйте такой способ регулировки положения фонарика и экрана во всех экспериментах.}

Вам необходимо более точно определить расстояния между лампочками.

2.3 Измерьте зависимость расстояния между серединами теней палочки от отношения расстояний \(\frac{b}{a}\) для двух пар лампочек: соседних и крайних. Постройте графики полученных зависимостей.

2.4 По результатам этих измерений рассчитайте расстояния между соседними \(h_1\) и крайними лампочками \(h_2\). Оцените погрешность найденных значений.

Внимание! В дальнейшей работе будьте предельно аккуратны. Определять положения расчески и экрана довольно сложно. «подходите» к примерно найденному значению с двух сторон двигая расческу или экран сначала с одной стороны (запомните или запишите значение координаты), а затем с другой – после чего усредните полученные значения. Не подгоняйте результаты измерений под теоретические значения –не поверим и накажем.

Часть 3. Перемещение расчески.

Закрепите лампочки и экран на расстоянии \(S = a + b = 50\)см. Используя палочку отрегулируйте их взаимное положение.

3.1 Измерьте значения расстояний \(b_m\) для четырех случаев, выбирая разные пары лампочек и разные части расчески.

3.2 Проведите теоретический расчет значений \(b_m\) для всех четырех случаев.

3.3 Постройте график зависимости значений \(b_m\) от номера \(m\) для крайних лампочек и густой расчески. Определите параметры этой зависимости. Рассчитайте с помощью этого графика отношение \(\frac{d_1}{h_2}\).

Часть 4. Перемещение экрана.

Измерения проведите только для крайних лампочек и густой расчески. Закрепите фонарик и расческу на расстоянии \(a = 20\)см.

4.1 Измерьте зависимость расстояния от расчески до экрана \(b_m\) (при фиксированном значении \(a\)) от его номера \(m\).

4.2 Проведите теоретический расчет \(b_m\) для этого эксперимента.

4.3 Предложите линеаризацию полученной зависимости. постройте график линеаризованной зависимости.

4.4 Сделайте общий вывод: подтверждается ли ваша теория экспериментально.

▶РешениеСкрыть

Решение

Часть 1. Теоретическая.

1.1 Основная идея объяснения и описания наблюдаемого эффекта: каждая лампочка дает на экране свою картину теней, если смещение этих картин равно целому числк периодов изображения, то наблюдается четкая картина теней.

Из рисунка следует, что период тени на экране описывается формулой

\[D = d \frac{a + b}{a}.\tag{1}\]

Из следующего рисунка следует, что смещение теней, созданными двумя лампочками описывается формулой

\[H = h \frac{b}{a}.\tag{2}\]

Условие четкой картинки перекрытия теней имеет вид

\[H = mD\tag{3}\]

Из этих формул следует искомое соотношение

\[h \frac{b}{a} = md \frac{a + b}{a} \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{d} = m \frac{a + b}{b}.\tag{4}\]

Из этого соотношения можно легко рассчитать требуемые параметры.

1.2 Параметр \(m\) имеет простой смысл – он показывает, на сколько зубьев решетки смещается картина теней при переходе от одной лампочки к другой. Выразим из формулы (4)

\[m = \frac{h}{d} \frac{b}{a + b}.\tag{5}\]

Так как \(\frac{b}{a + b} < 1\), то число возможных положений удовлетворяет неравенству

\[m < \frac{h}{d}.\tag{6}\]

Мы не приводим результаты измерений, так как они сильно зависят от расчески и типа фонарика, которые закупают хозяева олимпиады.

Отметим, что измерения требуют аккуратности и терпения. Методика их проведения подробно изложена в условии задачи. При выполнении рекомендация, изложенных в условии, результаты согласуются с расчетными данными.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2024/25, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.