зад 1 Сифон
Приборы и оборудование: мензурка 250 мл, пластиковая бутылка 0,5 л, линейка 40 см, тонкая стеклянная трубка, гибкий силиконовый шланг с зажимом и с деревянным стержнем, штатив с лапкой, секундомер с памятью этапов, стакан 500 мл, салфетка дезинфицирующая, салфетка бумажная.
Внимание!
1. Будьте предельно аккуратны в работе – не разбейте стеклянную трубку – вторая трубка выдаваться не будет!
2. Если Вы пролили воду на стол – протрите его бумажной салфеткой.
3. Вам будет необходимо брать конец шланга в рот, поэтому регулярно протирайте его конец дезинфицирующей салфеткой.
4. В данном задании требуется (и будет оцениваться) точность измерений, корректность проведения обработки результатов и, конечно, понимание физических законов, описывающих проводимые эксперименты.
Рекомендации по подготовке установки.
1. В пробке бутылки проделаны отверстия, в которые вставляются стеклянная трубка и гибкий шланг. Для закрепления шланга внутри бутылки в вертикальном положении используется деревянный стержень. Положения трубки и шланга внутри бутылки можно регулировать, Вам необходимо регулярно заполнять бутылку водой. Просим Вас не спешить и быть аккуратным (чтобы не разбить трубку): чтобы открутить пробку с трубками, держите ее одной рукой, а второй вращайте бутылку.
2. После того, как Вы налили в бутылку нужное количество воды, закрутите пробку, перекройте зажимом шланг и после этого закрепляйте бутылку в лапке штатива на нужной высоте. Чтобы вода начала выливаться, открой зажим шланга (при необходимости можно продуть воздух в шланге).
3. Все измерения объемов проводите только с помощью мензурки.
4. Измеряемые объемы вытекающей воды должны быть не менее 200 мл. При проведении временных измерений используйте все 10 этапов памяти секундомера.
5. К секундомеру прилагается Инструкция по его использованию, при необходимости обращайтесь к организаторам за помощью.
Математическая подсказка.
Если некоторая переменная величина \(X(t)\) подчиняется уравнению
\(\frac{\text{dX}}{\text{dt}} = - \text{aX}\), (1)
где \(a\) - постоянный коэффициент, то зависимость этой величины от времени описывается функцией
\(X(t) = X_{0}e^{- \text{at}} = X_{0}\text{exp}( - \text{at})\), (2)
где \(X_{0}\) значение функции \(X(t)\)при \(t = 0\).
Физическая подсказка.
Расход жидкости (т.е. объем, который протекает через поперечное сечение трубки в единицу времени) пропорционален разности давлений на концах трубки (закон Пуазейля):
\(q = \frac{\Delta V}{\Delta t} = K\left( P_{1} - P_{2} \right)\), (3)
где \(K\) - коэффициент, зависящий от геометрических размеров трубки и вязкости протекающей жидкости. В данной работе давление измеряется в сантиметрах водяного столба (обозначайте \(\lbrack P\rbrack = \text{см}\)). Так как в данной работе используется одна трубка, а течет только вода, то этот коэффициент остается постоянным.
Объем жидкости измеряйте в миллилитрах (мл), все расстояния в сантиметрах (см).
Часть 1. Предварительные измерения.
1.1 Измерьте длину трубки \(l\).
Для дальнейших расчетов удобно ввести цилиндрические параметры сосудов \(b = \frac{\Delta z}{\Delta V}\), имеющих наглядный смысл: изменение объема уровня воды в сосуде \(\Delta z\), при изменении объема на величину \(\Delta V\). Или – чему равна высота \(\Delta z\) столбика 1 мл воды в сосуде.
1.2 Проведите необходимые измерения и рассчитайте значения этих параметров: \(b_{0}\) - для мензурки и \(b_{1}\) - для бутылки. Укажите, какие величины вы непосредственно измеряли и по каким формулам рассчитали требуемые параметры.
Примечание. Измерять внутренние диаметры сосудов не рекомендуем.
Погрешности измерения этих трех величин рассчитывать не требуется, в дальнейших расчетах ими следует пренебрегать.
Используйте эти параметры, чтобы быстро оценивать, какой объем воды следует заливать в бутылку в каждом эксперименте.
Часть 2. Вытекание из бутылки.
В этой части вам необходимо исследовать вытекание воды из вертикально расположенной бутылки при различных расположениях трубки и шланга внутри бутылки. Во всех экспериментах свободный конец шланга прикрепляйте к верхней части штатива выше уровня воды в бутылке. Вода должна наливаться в мензурку, при этом нижний край трубки не должен касаться воды.
2.1 Расположите трубку и шланг внутри бутылки, как показано на рисунке. Все высоты измеряйте от нижнего края пробки.
В данном эксперименте используйте следующие значения:
высота уровня шланга \(h_{1} = 10{,}0\text{см};\)
высота уровня трубки \(h_{2} = 1{,}0\text{см}\);
Начальную высоту уровня жидкости \(z_{0}\) подберите таким образом, чтобы в ходе вытекания 200 мл воды верхние концы шланга и трубки оставались в воде
2.1.1 Укажите значение начального уровня воды в трубке \(z_{0}\).
2.1.2 Измерьте зависимость объема вытекшей воды от времени \(V(t)\). Постройте график полученной зависимости. Укажите формулу, описывающую полученную зависимость. Найдите численные значения параметров этой формулы.
2.1.3 Предложите теоретическую формулу описывающую полученную зависимость \(V(t)\).
2.1.4 Рассчитайте значения коэффициента \(K\) в формуле для данной трубки. Оцените его погрешность.
2.2 Измените положение трубки и шланга, как показано на следующем рисунке. Измерения проводите при следующих значениях высот: \(h_{1} = 2{,}0\text{см};\) \(h_{2} = 11{,}0\text{см}\).
2.2.1 Укажите значение начального уровня воды в бутылке \(z_{0}\).
2.2.2 Измерьте зависимость объема вытекшей воды от времени \(V(t)\). Постройте график полученной зависимости на том же бланке, что и в п. 2.1.2
2.2.3 Предложите теоретическую формулу описывающую полученную зависимость \(V(t)\).
2.2.4 Рассчитайте значение коэффициента \(K\) в формуле для данной трубки. Оцените его погрешность.
2.2.5 Укажите, можно ли считать найденные значения \(K\) в (п.2.1.4 и 2.2.4) равными. Укажите, какое значение \(K\) Вы будете использовать в дальнейшем.
2.3 Еще раз измените положения трубки и шланга, как показано на следующем рисунке. Верхний край шланга все время должен находиться в верхней части бутылки, заполненной воздухом.
Верхний уровень трубки установите на высоте \(h_{2} = 3{,}0\ \text{см}\).
Начальную высоту уровня воды \(z_{0}\) подберите такой, чтобы после вытекания 200 мл уровень воды совсем немного превышал уровень трубки.
2.3.1 Укажите значение начального уровня воды в бутылке \(z_{0}\).
2.3.2 Измерьте зависимость объема вытекшей воды от времени \(V(t)\). Постройте график полученной зависимости. На отдельном бланке.
2.3.3 Рассчитайте на основании экспериментальных данных коэффициенты наклона (с погрешностями) сглаживающих прямых изменения объема на участках: а) от 0 до 100 мл; б) от 100 до 200 мл. Укажите, можно ли считать полученную зависимость нелинейной.
2.3.4 Рассчитайте по найденным в п. 2.3.3 коэффициентам наклона значения коэффициента \(K\). Рассчитывать погрешности в данном пункте не требуется.
Часть 3. Всасывание.
Измените положение трубок внутри бутылки:\(h_{1} = 3{,}0\text{см};\) \(h_{2} = 6{,}0\text{см}\). Расположите штатив таким образом, чтобы нижний конец стеклянной трубки находился рядом с краем стола и ниже его. Вода из трубки должна выливаться в большой пластиковый стакан, который Вы расположите на полу. Свободный конец шланга опустите в мензурку, он должен находиться у дна мензурки, закрепите шланг к верхнему краю мензурки. Разность высот \(h_{3} - h_{4}\) установите в пределах от 8 до 9 см.
Налейте в бутылку примерно 300 мл воды. Мензурку полностью заполните водой. Если теперь полностью заполнить шланг водой (для этого надо подсосать ее через стеклянную трубку), то вода начнет переливаться из мензурки в бутылку, а затем в стакан на полу.
В данном задании Вам необходимо исследовать изменение объема воды в мензурке с течением времени \(V(t)\). Этот объем измеряйте по шкале мензурки, учитывать объем погруженной части трубки не надо (подумайте на досуге, почему?). В начальный момент мензурка должна быть полностью заполнена.
Укажите в Листах ответов значения всех параметров установки \(h_{1},\ h_{2},\ h_{3},\ h_{4}\).
3.1 Измерьте зависимость объема воды в мензурке от времени \(V(t)\). Постройте график полученной зависимости.
3.2 Выведите теоретическую формулу, описывающую зависимость объема от времени \(V(t)\).
3.3 Постройте линеаризованный график полученной экспериментальной зависимости, т.е. найдите такую функцию \(Y(V)\), чтобы ее зависимость от времени была линейной. Постройте график линеаризованной зависимости \(Y(t)\). Результаты расчетов этих величин занесите в Таблицу п. 3.1.
3.4 Используя построенный линеаризованный график, найдите численное значение коэффициента \(K\). Оценивать его погрешность не требуется.
▶ПодсказкаСкрыть
Расход воды в трубке пропорционален разности давлений на её концах. Напишите дифференциальное уравнение для изменения объёма и найдите, когда разность давлений постоянна (линейная зависимость), а когда меняется (экспонента).
▶ОтветСкрыть
1.1) \(l=35{,}0\) см; 1.2) \(b_0=9{,}00\cdot10^{-2}\) см/мл, \(b_1=3{,}15\cdot10^{-2}\) см/мл; 2.1.3) \(V(t)=K(l+h_2-h_1)\,t\); 2.1.4) \(K=(3{,}27\pm0{,}03)\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с); 2.2.4) \(K=(3{,}38\pm0{,}06)\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с), среднее \(3{,}33\cdot10^{-2}\); 2.3.3) зависимость нелинейна: \(a=1{,}34\pm0{,}03\) и \(1{,}27\pm0{,}02\) мл/с; 3.2) \(V+V^*=(V_0+V^*)e^{-b_0Kt}\), \(Y=\ln(V+V^*)\); 3.4) \(K=-a/b_0\approx2{,}32\cdot10^{-2}\).
▶РешениеСкрыть
Что происходит. Вода вытекает из бутылки только через тонкую стеклянную трубку, и её расход подчиняется закону Пуазейля \(q=K\,\Delta P\), где \(\Delta P\) — движущая разность давлений на трубке в сантиметрах водяного столба. Шланг — воздушный канал: его верхний конец внутри бутылки открыт в атмосферу (в опытах 2.1 и 2.2 пузырьки воздуха входят именно через него). Главная идея: в каждом положении трубки и шланга выяснить, чему равна \(\Delta P\) и как она меняется при вытекании, а затем подставить \(q=K\Delta P\) и получить \(V(t)\).
Обозначения. \(l\) — длина трубки; \(h_1\), \(h_2\) — высоты верхних концов шланга и трубки над нижним краем пробки; \(z\) — высота уровня воды над тем же краем, \(z_0\) — её начальное значение; \(V\) — объём вытекшей воды; \(p_0\) — атмосферное давление. Данных измерений в условии нет: опыт ставит сам ученик. Ниже обработка показана на условных данных (числа примера организаторов), поэтому цифры — пример, а формулы и ход решения — общие.
Часть 1. Предварительные измерения.
1.1 Линейкой измеряем трубку по всей длине: \(l=35{,}0\) см (пример).
1.2 Параметр \(b\) — высота столбика воды объёмом 1 мл, то есть \(b=\Delta z/\Delta V\). Для мензурки измеряем линейкой расстояние между двумя метками шкалы, объёмы которых различаются на \(\Delta V=200\) мл (например, 50 и 250 мл): \(\Delta z=18{,}0\) см, отсюда \[b_0=\frac{\Delta z}{\Delta V}=\frac{18{,}0}{200}=9{,}00\cdot10^{-2}\ \frac{\text{см}}{\text{мл}}.\] Для бутылки доливаем в частично заполненную бутылку воду, отмеряя её мензуркой, и измеряем линейкой, на сколько поднялся уровень: на \(\Delta V=400\) мл — на \(\Delta z=12{,}6\) см, \[b_1=\frac{12{,}6}{400}=3{,}15\cdot10^{-2}\ \frac{\text{см}}{\text{мл}}.\] Непосредственно измерены длины и объёмы, внутренние диаметры не нужны. Измерение берём на цилиндрической части бутылки, где сечение постоянно.
Часть 2. Вытекание из бутылки.
Опыты 2.1 и 2.2: шланг и трубка под водой. В бутылке вода течёт медленно, поэтому давление в ней распределено так же, как в покоящейся воде: оно растёт вниз на 1 см вод. ст. на каждый сантиметр глубины. Воздух входит в бутылку только через верхний конец шланга, поэтому именно на его уровне давление воды равно \(p_0\) (точка \(A\)). Конец трубки \(B\) лежит на \(h_1-h_2\) ниже точки \(A\), поэтому там давление выше атмосферного на \(h_1-h_2\) см вод. ст. (при \(h_2>h_1\) — ниже). Выход \(C\) открыт в атмосферу, давление \(p_0\). На воду в трубке действует ещё и её вес: трубка вертикальна, длина воды в ней — \(l\). Движущая разность давлений равна \[\Delta P=(h_1-h_2)+l=l+h_1-h_2.\] Это то же, что высота точки \(A\) над выходом \(C\): в обеих точках давление атмосферное, значит, вся разность высот «работает» на трубке.
Уровень \(z\) в \(\Delta P\) не входит, пока верхние концы шланга и трубки под водой. Значит, расход постоянен, и вытекание идёт равномерно: \(V=K(l+h_1-h_2)\,t\).
Обратите внимание. Условие «концы под водой» должно выполняться до конца опыта: уровень падает на \(200\,b_1=6{,}3\) см, поэтому нужно \(z_0>\max(h_1,h_2)+6{,}3\) см — не менее 16,3 см в опыте 2.1 и 17,3 см в опыте 2.2 (в примере организаторов \(z_0=15{,}0\) см, и тогда последние миллилитры вытекают уже по закону п. 2.3, но на графике это почти не видно). Если шланг выйдет из воды раньше, \(\Delta P\) начнёт убывать и прямая загнётся.
2.1.1 \(z_0>h_1+200\,b_1=10{,}0+6{,}3=16{,}3\) см (в примере 15,0 см).
2.1.2 Данные опытов (условные) — в таблице; \(t\) — по секундомеру с памятью, показания через каждые 20 мл.
\[\begin{array}{|r|r|r|r|} \hline V,\ \text{мл} & t_{2.1},\ \text{с} & t_{2.2},\ \text{с} & t_{2.3},\ \text{с}\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline 20 & 13,64 & 23,23 & 13,13 \\\hline 40 & 27,41 & 45,38 & 28,47 \\\hline 60 & 41,54 & 68,6 & 43,71 \\\hline 80 & 55,37 & 91,28 & 58,75 \\\hline 100 & 69,4 & 113,96 & 74,21 \\\hline 120 & 83,02 & 137,32 & 89,75 \\\hline 140 & 97,64 & 160,07 & 105,41 \\\hline 160 & 111,13 & 182,37 & 120,68 \\\hline 180 & 124,47 & 204,78 & 136,78 \\\hline 200 & 138,31 & 226,76 & 153,44 \\\hline \end{array}\] Метод наименьших квадратов для \(V=at+b\) по точкам опыта 2.1 даёт \(a=(1{,}442\pm0{,}003)\) мл/с, \(b=0{,}14\pm0{,}24\) мл. Свободный член не отличается от нуля (в пределах погрешности), поэтому зависимость — пропорциональность: \[V=at,\qquad a=(1{,}442\pm0{,}003)\ \text{мл/с},\quad \varepsilon_a=0{,}2\,\%.\] Для опыта 2.2: \(a=(0{,}880\pm0{,}002)\) мл/с, \(b=-0{,}30\pm0{,}23\) мл — тоже нуль.
2.1.3 Из \(q=dV/dt=K\Delta P\) при постоянной \(\Delta P\): \[V(t)=K\,(l+h_1-h_2)\,t.\]
2.1.4 Коэффициент наклона \(a=K(l+h_1-h_2)\), отсюда \(K=a/(l+h_1-h_2)\). Здесь \(l+h_1-h_2=35{,}0+10{,}0-1{,}0=44{,}0\) см, и \[K=\frac{1{,}442}{44{,}0}=3{,}28\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\] Погрешность. Три отсчёта по линейке (\(l\), \(h_1\), \(h_2\)), каждый \(\pm0{,}2\) см, дают для \(\Delta P\) погрешность \(0{,}2\sqrt3\approx0{,}4\) см, то есть \(0{,}9\,\%\). Погрешность \(a\) меньше (\(0{,}2\,\%\)), поэтому \[\varepsilon_K=\sqrt{0{,}9^2+0{,}2^2}\,\%\approx0{,}9\,\%,\qquad K=(3{,}28\pm0{,}03)\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\]
2.2.1 \(z_0>h_2+200\,b_1=11{,}0+6{,}3=17{,}3\) см (в примере 15,0 см).
2.2.2 Результаты — второй столбец таблицы, график — на одном рисунке с опытом 2.1.
2.2.3 Теперь \(h_1<h_2\), а формула та же: давление у верхнего конца трубки ниже атмосферного на \(h_2-h_1\), но \(\Delta P=l+h_1-h_2=35{,}0+2{,}0-11{,}0=26{,}0\) см всё равно положительна и постоянна: \[V(t)=K\,(l+h_1-h_2)\,t.\]
2.2.4 \(K=a/(l+h_1-h_2)=0{,}880/26{,}0=3{,}38\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с). Погрешность \(\Delta P\) та же, \(0{,}4\) см, но относительная больше (\(1{,}5\,\%\)), поэтому \(\varepsilon_K\approx1{,}5\,\%\) и \[K=(3{,}38\pm0{,}05)\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\]
2.2.5 Разность \(3{,}38-3{,}28=0{,}10\) (в единицах \(10^{-2}\)) меньше удвоенной суммарной погрешности \(2\sqrt{0{,}03^2+0{,}05^2}\approx0{,}12\), поэтому значения можно считать равными. Дальше используем среднее \[K=3{,}33\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\]
Опыт 2.3: шланг над водой. Верхний конец шланга теперь в воздухе над водой, воздух над поверхностью соединён шлангом с атмосферой, давление на поверхности воды равно \(p_0\) (точка \(A\) лежит на поверхности). Давление у верхнего конца трубки выше атмосферного на \(z-h_2\), и \[\Delta P=(z-h_2)+l=z+l-h_2.\] Теперь \(\Delta P\) зависит от \(z\), а \(z\) убывает по мере вытекания.
2.3.1 Нужно, чтобы после вытекания 200 мл уровень остался выше трубки: \(z_0>h_2+200\,b_1=5{,}0+6{,}3=11{,}3\) см, и шланг (его верхний конец при \(h_1=16{,}0\) см) остался над водой: \(z_0<h_1\). В примере \(z_0=14{,}5\) см, \(h_1=16{,}0\) см, \(h_2=5{,}0\) см.
2.3.2 Результаты — третий столбец таблицы; график — слева на рисунке ниже. Из-за малой кривизны на таком графике зависимость выглядит как прямая.
2.3.3 Метод наименьших квадратов по точкам каждого участка даёт \[\begin{aligned}a_1&=(1{,}34\pm0{,}02)\ \text{мл/с}\quad (0\text{--}100\ \text{мл}),\\ a_2&=(1{,}27\pm0{,}01)\ \text{мл/с}\quad (100\text{--}200\ \text{мл}).\end{aligned}\] Разность \(0{,}07\) мл/с больше суммы погрешностей, поэтому наклон убывает, и зависимость нелинейна. Это ожидаемо: расход пропорционален \(\Delta P\), а \(\Delta P\) убывает.
2.3.4 Выразим \(z\) через \(V\): объём воды в бутылке уменьшился на \(V\), поэтому \(z=z_0-b_1V\). Тогда \[\frac{dV}{dt}=K(z+l-h_2)=K(z_0+l-h_2-b_1V)=b_1K\,(V_*-V),\] где \(V_*=(z_0+l-h_2)/b_1\). Решение этого уравнения (то же, что в математической подсказке, но для величины \(V_*-V\)): \(V=V_*\bigl(1-e^{-b_1Kt}\bigr)\). На коротком участке экспоненту можно считать прямой, наклон равен расходу при среднем уровне: \[a=K\bigl(\bar z+l-h_2\bigr),\qquad \bar z=z_0-b_1\langle V\rangle,\qquad K=\frac{a}{\bar z+l-h_2}.\] Для участка 0–100 мл \(\langle V\rangle=50\) мл, \(\bar z=14{,}5-3{,}15\cdot10^{-2}\cdot50=12{,}9\) см, \(K=\dfrac{1{,}34}{12{,}9+35{,}0-5{,}0}=3{,}1\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с). Для участка 100–200 мл \(\langle V\rangle=150\) мл, \(\bar z=9{,}8\) см, \(K=\dfrac{1{,}27}{9{,}8+30{,}0}=3{,}2\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с).
Часть 3. Всасывание.
Что происходит. Шланг теперь работает как сифон: он целиком заполнен водой и перекачивает воду из мензурки в бутылку, а из бутылки вода уходит через ту же трубку. Шланг широкий, его сопротивлением пренебрегаем, поэтому вся разность давлений приходится на трубку. Мензурка опускается по мере убыли воды, и движущая высота уменьшается.
Пусть \(z\) — высота воды в мензурке над её дном, где лежит конец шланга. Дно мензурки на \(h_4\), а выход трубки на \(h_3\) ниже нижнего края пробки. Точки \(M\) (поверхность воды в мензурке) и \(C\) (выход) открыты в атмосферу, давление в них \(p_0\), так что движущая высота равна разности их высот: \[H=z+h_3-h_4.\] Проверим на давлениях. Вода в бутылке и в шланге течёт медленно, поэтому давление в ней распределено как в покоящейся воде, и давление в верхней точке трубки \(B\) (высота \(h_2\)) равно \(p_0+(z-h_4-h_2)\), потому что поверхность \(M\) на \(z-h_4\) выше нижнего края пробки. С учётом веса воды в трубке (\(l=h_2+h_3\)) разность давлений на трубке \(z-h_4-h_2+h_2+h_3=z+h_3-h_4\).
3.2 Уровень в мензурке пропорционален объёму: \(z=b_0V\). Объём в мензурке убывает с расходом \(q=KH\): \[\frac{dV}{dt}=-K\bigl(b_0V+h_3-h_4\bigr)=-b_0K\,(V+V_*),\qquad V_*=\frac{h_3-h_4}{b_0}.\] Численно \(V_*=8{,}5/(9{,}00\cdot10^{-2})=94{,}4\) мл. Для величины \(X=V+V_*\) получили \(dX/dt=-b_0K\,X\) — уравнение (1) из подсказки, поэтому \[V(t)+V_*=(V_0+V_*)\,e^{-b_0Kt}.\] Объём \(V_*\) соответствует высоте \(h_3-h_4\) в мензурке (\(b_0V_*=h_3-h_4\)): даже в пустой мензурке остаётся движущая высота \(h_3-h_4\), и вода течёт, пока не кончится.
Обратите внимание. Объём погружённой части шланга учитывать не нужно: шкала мензурки определяет уровень, а \(b_0\) получено по той же шкале. Погружённый шланг уменьшает объём воды на единицу высоты лишь на несколько процентов, это меньше погрешностей опыта.
3.1 Условные данные: \(h_1=5{,}0\) см, \(h_2=3{,}0\) см, \(h_3=32{,}0\) см, \(h_4=23{,}5\) см (\(h_3-h_4=8{,}5\) см). Мензурка заполнена до \(V_0=250\) мл, показания времени — через каждые 20 мл. Столбец \(Y\) рассчитан по п. 3.3.
\[\begin{array}{|r|r|r|} \hline V,\ \text{мл} & t,\ \text{с} & Y=\ln(V+V^*)\\\hline 250 & 0,00 & 5,842 \\\hline 230 & 27,90 & 5,782 \\\hline 210 & 59,16 & 5,718 \\\hline 190 & 91,06 & 5,651 \\\hline 170 & 125,44 & 5,578 \\\hline 150 & 162,98 & 5,499 \\\hline 130 & 203,49 & 5,414 \\\hline 110 & 247,59 & 5,320 \\\hline 90 & 296,95 & 5,217 \\\hline 70 & 352,39 & 5,103 \\\hline 50 & 418,27 & 4,973 \\\hline \end{array}\]
3.3 Линеаризующая функция следует из п. 3.2: \[\ln(V+V_*)=\ln(V_0+V_*)-b_0K\,t,\qquad Y=\ln(V+V_*).\] Значения \(Y\) внесены в таблицу. Графики — на рисунке: слева \(V(t)\) (линия — формула п. 3.2 с найденным ниже \(K\)), справа линеаризованный \(Y(t)\) — прямая.
3.4 Метод наименьших квадратов даёт \(Y=5{,}840+at\), \(a=-(2{,}09\pm0{,}01)\cdot10^{-3}\) с\(^{-1}\). Наклон равен \(-b_0K\), поэтому \[K=-\frac{a}{b_0}=\frac{2{,}09\cdot10^{-3}}{9{,}00\cdot10^{-2}}=2{,}32\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\] Постоянная времени \(1/(b_0K)\approx480\) с.
Проверка. Размерность: \([K]=\dfrac{\text{мл/с}}{\text{см}}\), у \(b_0K\) — \(\dfrac{\text{см}}{\text{мл}}\cdot\dfrac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}=\text{с}^{-1}\), как у показателя экспоненты. Предельные случаи: при \(b_1\to0\) (бутылка очень широкая) формулы п. 2.3 переходят в линейную \(V=K(z_0+l-h_2)\,t\), как в п. 2.1; у п. 3.2 при \(h_3=h_4\) получаем \(V_*=0\) и чистую экспоненту. Второй способ: три независимых опыта части 2 дают \(K=3{,}28\), \(3{,}38\) и \(3{,}15\cdot10^{-2}\) (среднее по участкам п. 2.3) — одно число с разбросом около 5 %. Значение \(2{,}32\cdot10^{-2}\) из части 3 заметно меньше: в этой схеме на пути воды стоит ещё и сам водяной шланг, и он вносит дополнительное сопротивление (при последовательном соединении складываются обратные коэффициенты: \(1/K_{\text{эфф}}=1/K+1/K_{\text{ш}}\), откуда по данным примера \(K_{\text{ш}}\approx7{,}6\cdot10^{-2}\)). Это оценка, а не измерение.
Вся физика опыта — правильно найти движущую разность давлений: для этого достаточно двух точек, где давление равно атмосферному.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Фотоэлемент
Приборы и оборудование: солнечный фотоэлемент, фонарик, мультиметр, переменный резистор 22 кОм, переменный резистор 5,0 кОм, ключ, соединительные провода, картонная папка, пластилин.
В данном задании вам необходимо исследовать свойства солнечного фотоэлемента, как источника электрической энергии. В качестве Солнца, используйте фонарик. Чтобы избежать излишней разрядки батареек фонарика, включайте его только во время проведения измерений. Фонарик и фотоэлемент закрепляйте на столе с помощью пластилина. Следите, чтобы панель фотоэлемента все время была полностью освещена светом фонарика. Если во время измерений изменится взаимное положение фонарика и солнечного элемента – измерения придется проводить сначала. Во время проведения измерений фонарик и фотоэлемент закрывайте от внешнего света картонной папкой.
Для проведения измерений используйте электрическую цепь, схема которой показана на рисунке. С помощью этой цепи Вы можете измерять, как сопротивление переменного резистора (для этого мультиметр переключить в режим омметра), так и напряжение на нем (переключив мультиметр в режим вольтметра). Правильно выбирайте диапазоны измерений.
Немного о фотоэлементе.
Основная часть фотоэлемента – два слоя полупроводников \(p -\)типа и \(n -\) типа (так, называемый \(p - n\) переход). Под действием света происходит разделение носителей зарядов в этих слоях, в результате чего, возникает ЭДС.
Электрические свойства фотоэлемента подобны свойствам обычного полупроводникового диода. В частности, зависимость силы тока через диод нелинейно зависит от напряжения на нем, как схематически показано на рисунке (при небольших токах)
При обратном подключении сила тока через диод практически равна нулю.
Непосредственно Вы можете измерять сопротивление переменного резистора \(R\) и соответствующее напряжение на нем \(U\). Для анализа работы Вам предстоит рассчитывать силы токов и мощности, выделяющиеся на переменных резисторах.
1. Запишите формулы, позволяющие по измеренным значениям сопротивления резистора \(R\) и напряжения на нем \(U\) рассчитывать силу тока в цепи \(I\) и мощность, выделяющуюся на резисторах.
Все измерения необходимо провести при двух значениях расстояния между фотоэлементом и фонариком. Для имитации дневного освещения фонарик расположите на расстоянии нескольких сантиметров от фотоэлемента. При этом напряжение на резисторе при его максимальном сопротивлении (примерно 22 кОм) должно быть не меньше 1,9 В.
Для проведения «вечерних» измерений отодвиньте фонарик, так чтобы напряжение на резисторе (опять 22 кОм) лежало в диапазоне 1,3 – 1,5 В.
Используйте максимальный диапазон изменения сопротивления (используйте оба переменных резистора). В таблице результатов укажите, какие резисторы Вы использовали для проведения измерений.
Обозначьте:
1 – использован резистор 22 кОм;
2 – использован резистор 5,0 кОм;
3 – использованы оба резистора (последовательно).
Рекомендуем сначала провести все измерения «днем», а потом все измерения «вечером».
2. Проведите в максимально широком диапазоне измерения зависимости напряжения на резисторе от его сопротивления \(U(R)\).
3. Для каждого измерения рассчитайте значения силы тока \(I\) и мощности на резисторе \(P\). Результаты занесите в Таблицу. Используйте указанные в таблице единицы измерения.
4. На одном бланке постройте нагрузочные характеристики фотоэлемента – зависимость напряжения на резисторе от силы тока через него \(U(I)\).
5. Дайте качественное объяснение полученным зависимостям: почему при малых токах напряжение слабо зависит от силы тока. Дайте качественное объяснение зависимостей при малых сопротивлениях. Можете предложить примитивную модель работы фотоэлемента – несколько формул не помешают.
6. Постройте графики зависимости мощности \(P\) от сопротивления нагрузки \(R\).
7. Укажите, при каких сопротивлениях достигается максимальная мощность. Кратко объясните, почему эти значения различаются «днем» и «вечером».
▶ПодсказкаСкрыть
Фотоэлемент ведёт себя как источник с внутренним сопротивлением, которое убывает с ростом тока; мощность в нагрузке максимальна при сопротивлении нагрузки, равном внутреннему сопротивлению элемента.
▶ОтветСкрыть
1) \(I=\dfrac UR\), \(P=UI\); 5) при \(r\approx a/I\) напряжение \(U=\varepsilon-Ir\approx\varepsilon-a\) почти не зависит от тока; 7) мощность максимальна при \(R\approx10\) кОм «днём» и при \(R\approx18\) кОм «вечером».
▶РешениеСкрыть
Что происходит. Освещённый фотоэлемент — не батарейка с постоянной ЭДС, а источник, у которого сила тока почти постоянна, пока напряжение мало, а затем быстро падает: избыток тока уходит через \(p\)–\(n\) переход, который работает как диод. Поэтому нагрузочная характеристика \(U(I)\) состоит из почти вертикального участка (малые \(R\)) и почти горизонтального (большие \(R\)) с изгибом между ними. Мощность на нагрузке максимальна у изгиба. Главная идея: свет задаёт ток \(I_{\text{ф}}\), а диод — форму изгиба; при уменьшении освещённости изгиб сдвигается к большим сопротивлениям.
Обозначения. \(R\) — сопротивление резистора (омметр), \(U\) — напряжение на нём (вольтметр), \(I\) — сила тока в цепи, \(P\) — мощность на резисторе. Данных измерений в условии нет: опыт ставит сам ученик, ниже обработка показана на данных примера организаторов, то есть числа — пример, ход и формулы — общие.
1. Резистор и фотоэлемент соединены последовательно через ключ, вольтметр подключён параллельно резистору. Входное сопротивление мультиметра в режиме вольтметра (порядка мегаом) во много раз больше \(R\le27\) кОм, поэтому ток вольтметра можно не учитывать, и весь ток цепи идёт через резистор. По закону Ома для участка цепи и по формуле мощности \[I=\frac UR,\qquad P=UI=\frac{U^2}{R}.\] В выбранных единицах: \(I\,[\text{мкА}]=1000\,U\,[\text{В}]/R\,[\text{кОм}]\), \(P\,[\text{мкВт}]=U\,[\text{В}]\cdot I\,[\text{мкА}]\). Например, \(U=1{,}990\) В, \(R=20{,}60\) кОм: \(I=96{,}6\) мкА, \(P=192{,}2\) мкВт.
Обратите внимание. Сопротивление резистора измеряют омметром при разомкнутом ключе: омметр подаёт свой маленький ток, и при подключённом фотоэлементе он покажет не сопротивление резистора. Напряжение измеряют при замкнутом ключе, не меняя положения ручки после измерения \(R\).
2–3. Таблица измерений и расчётов (в столбцах № — способ включения резисторов: 1, 2 или 3 из условия). Для каждого измерения \(I\) и \(P\) вычислены по формулам п. 1. В таблице организаторов строки после 18-й в столбце «днём» повторяют начало таблицы, а часть строк «вечером» набрана дважды; здесь оставлены только различные измерения.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{5}{|c|}{\text{днём}}\\\hline \text{№} & U_0,\ \text{В} & R,\ \text{кОм} & I,\ \text{мкА} & P,\ \text{мкВт}\\\hline 1 & 1,990 & 20,60 & 96,6 & 192,2\\\hline 1 & 1,964 & 17,64 & 111,3 & 218,7\\\hline 1 & 1,937 & 16,02 & 120,9 & 234,2\\\hline 1 & 1,863 & 12,68 & 146,9 & 273,7\\\hline 1 & 1,815 & 11,92 & 152,3 & 276,4\\\hline 1 & 1,695 & 9,76 & 173,7 & 294,4\\\hline 1 & 1,540 & 8,18 & 188,3 & 289,9\\\hline 1 & 1,424 & 7,16 & 198,9 & 283,2\\\hline 1 & 1,275 & 6,21 & 205,3 & 261,8\\\hline 1 & 1,118 & 5,27 & 212,1 & 237,2\\\hline 1 & 0,939 & 4,39 & 213,9 & 200,8\\\hline 1 & 0,801 & 3,71 & 215,9 & 172,9\\\hline 1 & 0,691 & 3,19 & 216,6 & 149,7\\\hline 2 & 0,508 & 2,32 & 219,0 & 111,2\\\hline 2 & 0,398 & 1,82 & 218,7 & 87,0\\\hline 2 & 0,348 & 1,58 & 220,3 & 76,6\\\hline 2 & 0,278 & 1,26 & 220,6 & 61,3\\\hline 2 & 0,229 & 1,03 & 222,3 & 50,9\\\hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{5}{|c|}{\text{вечером}}\\\hline \text{№} & U_0,\ \text{В} & R,\ \text{кОм} & I,\ \text{мкА} & P,\ \text{мкВт}\\\hline 1 & 1,406 & 20,60 & 68,3 & 96,0\\\hline 1 & 1,383 & 19,97 & 69,3 & 95,8\\\hline 1 & 1,310 & 18,07 & 72,5 & 95,0\\\hline 1 & 1,248 & 16,64 & 75,0 & 93,6\\\hline 1 & 1,217 & 15,84 & 76,8 & 93,5\\\hline 1 & 1,173 & 15,06 & 77,9 & 91,4\\\hline 1 & 1,128 & 14,30 & 78,9 & 89,0\\\hline 1 & 1,083 & 13,66 & 79,3 & 85,9\\\hline 1 & 0,994 & 12,31 & 80,7 & 80,3\\\hline 1 & 0,960 & 11,91 & 80,6 & 77,4\\\hline 1 & 0,897 & 10,92 & 82,1 & 73,7\\\hline 1 & 0,777 & 9,38 & 82,8 & 64,4\\\hline 1 & 0,688 & 8,17 & 84,2 & 57,9\\\hline 1 & 0,614 & 7,34 & 83,7 & 51,4\\\hline 1 & 0,545 & 6,46 & 84,4 & 46,0\\\hline 1 & 0,496 & 5,92 & 83,8 & 41,6\\\hline 2 & 0,434 & 5,22 & 83,1 & 36,1\\\hline 2 & 0,396 & 4,76 & 83,2 & 32,9\\\hline 2 & 0,320 & 3,87 & 82,7 & 26,5\\\hline \end{array}\] 4. Нагрузочные характеристики — точки \((I,U)\) из таблицы, на одном рисунке для двух освещённостей. Линии — расчёт по модели из п. 5.
5. Качественно. Часть напряжения фотоэлемента «съедает» его собственное внутреннее сопротивление. Определим его как \(r(I)=(\varepsilon-U)/I\), где \(\varepsilon\) — напряжение разомкнутой цепи. Из рисунка видно, что \(r\) не постоянно и уменьшается с ростом тока: если \(r\approx a/I\), то \[U=\varepsilon-Ir\approx\varepsilon-a,\] то есть напряжение при малых токах почти не зависит от силы тока: пока \(R\) велико, фотоэлемент держит почти постоянное напряжение. При малых \(R\) напряжение на нагрузке мало, \(p\)–\(n\) переход почти закрыт, и сила тока перестаёт зависеть от \(R\): \(I\approx I_{\text{ф}}\) — ток, который создаёт свет. Тогда фотоэлемент — источник тока, \(U=IR\) растёт пропорционально \(R\).
Модель. Заменим фотоэлемент источником тока \(I_{\text{ф}}\) (он пропорционален освещённости), параллельно которому включены диод и сопротивление утечки \(R_{\text{ш}}\) (рисунок ниже). Ток нагрузки равен фототоку минус токи диода и утечки: \[I=I_{\text{ф}}-I_s\left(e^{U/U_T}-1\right)-\frac{U}{R_{\text{ш}}}.\] Здесь \(I_s\) — обратный ток насыщения диода, \(U_T\) — характерное напряжение \(p\)–\(n\) перехода (у панели из нескольких последовательных элементов оно в несколько раз больше \(kT/e\)). Решение относительно напряжения при \(I<I_{\text{ф}}\) даёт \[U\approx U_T\ln\frac{I_{\text{ф}}-I}{I_s},\] то есть логарифм: ток меняется на десятки процентов, а напряжение — на доли \(U_T\). Это и есть слабая зависимость при малых токах. При \(U\ll U_T\) экспонента близка к единице, диодный ток мал и \(I\approx I_{\text{ф}}-U/R_{\text{ш}}\) — практически постоянный ток. Подбор по точкам «днём» даёт \(I_{\text{ф}}\approx224\) мкА, \(U_T\approx0{,}25\) В, \(I_s\approx0{,}04\) мкА, \(R_{\text{ш}}\approx100\) кОм. Остальные точки «вечером» описываются теми же \(U_T\), \(I_s\), \(R_{\text{ш}}\) и одним новым параметром \(I_{\text{ф}}\approx91\) мкА (меньше света — меньше фототок); среднее отклонение расчёта от опыта около 2 мкА.
6. Графики \(P(R)\) — по значениям из таблицы (линии — та же модель).
7. «Днём» максимум мощности \(P\approx294\) мкВт приходится на \(R\approx10\) кОм (в примере — точка \(R=9{,}76\) кОм; расчёт по модели — \(9{,}0\) кОм, \(298\) мкВт). «Вечером» мощность растёт вплоть до конца диапазона и почти не меняется на участке 18–20{,}6 кОм (\(95\)–\(96\) мкВт); максимум — около \(18\)–\(20\) кОм (расчёт — \(20{,}5\) кОм, \(94\) мкВт).
Почему так. Мощность \(P=UI\) максимальна, когда \(dP/dI=U+I\,dU/dI=0\), то есть \[R=\frac UI=-\frac{dU}{dI}=r_d.\] Сопротивление нагрузки должно равняться дифференциальному внутреннему сопротивлению элемента \(r_d=-dU/dI\) — наклону нагрузочной характеристики (для источника с постоянными \(\varepsilon\) и \(r\) это обычное условие \(R=r\)). Штриховые прямые \(U=RI\) на рисунке к п. 4 проходят через точки изгиба: их наклоны \(9\) и \(20{,}5\) кОм. У изгиба \(dI/dU\) пропорционально \(I_{\text{ф}}-I\), то есть доле фототока, поэтому \(r_d\sim U_T/I_{\text{ф}}\), и при ослаблении света фототок падает, а \(r_d\) растёт обратно пропорционально \(I_{\text{ф}}\). Отношение фототоков \(224/91\approx2{,}5\), и сопротивление нагрузки в максимуме выросло примерно в 2,3 раза: с \(9\) до \(20\) кОм.
Проверка. Размерность: В/кОм = мА, поэтому в таблице множитель 1000 для мкА; В\(\cdot\)мкА = мкВт. Предельные случаи: при \(R\to\infty\) ток \(I\to0\), \(U\to\varepsilon\approx2{,}2\) В («днём»), при \(R\to0\) напряжение \(U\to0\), \(I\to I_{\text{ф}}\): в обоих пределах \(P\to0\), значит, максимум лежит между ними, как на графике. Второй способ: независимое условие \(R=-dU/dI\) по модели даёт \(8{,}8\) кОм («днём») против \(9{,}0\) кОм прямого перебора и \(9\)–\(10\) кОм в опыте. Фактор заполнения \(P_{\max}/(\varepsilon I_{\text{ф}})=298/(2{,}2\cdot224)\approx0{,}6\) — типичное значение для солнечного элемента (доля прямоугольника \(\varepsilon\times I_{\text{ф}}\), которую занимает точка максимальной мощности).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2025/26, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.