Эстонская, 2018/19, заключительный этап, 9-11 класс, теоретический тур

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта одного из автомобилей: в ней другой подъезжает с суммарной скоростью и тормозит до нуля на всём расстоянии \(s\).

Ответ

\(t=24\) с.

Решение

Поскольку автомобили останавливаются одновременно, перейдём в систему отсчёта, связанную с одним из автомобилей. Относительная скорость автомобилей \(v=v_1+v_2=180\) км/ч \(=50\) м/с.

Суммарный тормозной путь автомобилей равен \(s=600\) м, конечная скорость равна \(0\) м/с, поэтому время торможения \[s=\frac{v+v_0}{2}\cdot t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{2s}{v+v_0}=24\text{ с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Давление в сауне вырастает на парциальное давление нового пара при \(100\,^\circ\)C; найдите силу на дверь и момент этой силы относительно петель.

Ответ

\(\tau\approx 891\) Н\(\cdot\)м.

Решение

Испарение воды, плеснутой на каменку, добавило в помещении сауны давление \[p=\frac{\rho V_v}{\mu}\cdot\frac{RT}{V}=\frac{200}{18}\cdot\frac{8{,}314\cdot 373}{3\cdot 2{,}5\cdot 2{,}4}\approx 1914\text{ Па},\] где мы воспользовались тем, что температура пара \(T=373\) К. Площадь двери сауны \(S_u=0{,}7\cdot1{,}9=1{,}33\) м\(^2\), и на неё действует сила \(F=pS_u\approx 2546\) Н.

Чтобы давление пара не открыло дверь, момент силы трения, действующий на петли двери, должен быть не меньше \[\tau=F\cdot\frac{l}{2}=2546\cdot\frac{0{,}7}{2}\approx 891\text{ Н}\cdot\text{м}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

За час самолёт проходит 500 км: засечками циркулем с этим радиусом ищите возможные положения в каждый час, отбрасывая те, что не ложатся на одну прямую в первые 4 часа.

Решение

Мы знаем, что большие дуги отмечают положение самолёта через каждый час, а за час самолёт проходит 500 км. По масштабу на рисунке получаем длину, соответствующую 500 км. Возьмём эту длину и проведём циркулем окружность соответствующего радиуса вокруг начального положения самолёта. Эта окружность отмечает положение самолёта через 1 ч после взлёта, а её точки пересечения с имеющейся первой большой дугой (которая тоже отмечает положение самолёта через 1 ч после взлёта) дают нам возможные положения самолёта через 1 ч. Поскольку мы не знаем, в каком направлении летел самолёт, мы должны продолжить построение пути из обеих точек, проводя вокруг новых точек такие же окружности, соответствующие 500 км.

Но так как мы знаем, что самолёт 4 ч подряд летел прямо, мы можем начать исключать точки пересечения, потому что подходящие точки образуют прямую. Около дуги, соответствующей 4 ч, мы знаем лишь то, что самолёт изменил направление. Поэтому для каждого из двух исходных путей получаем ещё по 2 возможных новых направления (всего 4 возможных направления). Зная, что дальше самолёт тоже летел только прямо, мы можем построить все 4 пути до конца.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Скорость пластины меняется скачком в тот момент, когда сила трения о вторую ленту сравняется с силой трения о первую; найдите, какая часть пластины лежит на каждой ленте в этот момент.

Ответ

\(t=\dfrac{x(v_1+v_2)-lv_1+\dfrac{l(v_1-v_2)}{1+\mu_1/\mu_2}}{v_1v_2}\).

Решение

Пока пластина целиком лежит на первой ленте, её скорость равна \(v_1\), а на второй ленте — \(v_2\). Скорость пластины меняется с \(v_1\) на \(v_2\) в тот момент, когда сила трения о вторую конвейерную ленту превысит силу трения о первую ленту. Пусть масса пластины \(M\), а линейная плотность пластины вдоль конвейера \(\rho=M/l\). В предельном случае из равенства сил трения получаем: \[\mu_1M_1g=\mu_2M_2g,\] где \(M_1\) и \(M_2\) — массы частей пластины, лежащих соответственно на первой и второй лентах. Пусть длина части на первой ленте \(l_1\), а на второй \(l_2\). Используя линейную плотность, получаем: \[\mu_1\rho l_1g=\mu_2\rho l_2g.\] Сократив общие множители, получаем систему уравнений: \[\mu_1l_1=\mu_2l_2,\qquad l_1+l_2=l.\] Отсюда выражаем \(l_1\): \[l_1=\frac{l}{1+\dfrac{\mu_1}{\mu_2}}.\]

На рисунке изображены начальное положение пластины, конечное положение и предельный случай, когда скорость меняется (за пренебрежимо малое время). От начального положения до предельного случая пластина проходит расстояние \(x-l_1\) со скоростью \(v_1\). От предельного случая до конечного положения пластина проходит расстояние \(x-l_2\) со скоростью \(v_2\). Поэтому полное время: \[t=\frac{x-l_1}{v_1}+\frac{x-l_2}{v_2}.\] Подставляя, получаем: \[t=\frac{v_2x-v_2l_1+v_1x-v_1l_2}{v_1v_2}=\frac{x(v_1+v_2)-lv_1-l_1v_2+l_1v_1}{v_1v_2}=\frac{x(v_1+v_2)-lv_1+\dfrac{l(v_1-v_2)}{1+\frac{\mu_1}{\mu_2}}}{v_1v_2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Удар должен быть центральным; запишите законы сохранения импульса и энергии (с потерей доли \(\eta\)) и условие, что оставшийся камень проскользит до остановки путь \(D\).

Ответ

\(v_0\approx 1{,}2\) м/с.

Решение

Сначала убедимся, что для того, чтобы изначально движущийся камень попал в центр мишени, между камнями должен произойти центральный прямой удар. Предположим от противного, что продолжение траектории движущегося камня не проходит до удара через центр масс стоящего камня, а проходит мимо него, например, справа (если смотреть по направлению движения). Поскольку сечения камней круглые и мы считаем, что центр масс камня находится в центре круга, то при ударе силы между камнями действуют вдоль прямой, соединяющей их центры масс. Разложив силу, с которой неподвижный камень действует на движущийся, на две составляющие, одна из которых направлена вдоль первоначальной траектории камня, а другая перпендикулярна ей, видим, что поперечная составляющая силы направлена вправо от направления движения. Значит, траектория движущегося камня в результате удара поворачивается ещё больше вправо и не может пройти через центр мишени. Следовательно, для выполнения условий задачи должен произойти центральный прямой удар, и далее мы можем рассматривать ситуацию как одномерную.

Чтобы попасть в центр мишени, изначально движущийся камень после удара должен продолжить движение с некоторой скоростью и затем из-за трения о лёд остановиться. Обозначим скорости: \(v_0\) и \(v\) — скорость изначально движущегося камня до и после удара, \(u\) — скорость изначально стоявшего камня после удара. Из закона сохранения импульса: \[mv_0=mv+mu, \tag{1}\] где \(m\) — масса камня, которая, как видно, сокращается. Также можем записать закон сохранения энергии \[(1-\eta)\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+\frac{mu^2}{2}, \tag{2}\] где \(\eta=0{,}4\) — доля энергии, потерянной при ударе.

Для скорости \(v\) выполняется условие \[\frac{mv^2}{2}=\mu mgs, \tag{3}\] то есть кинетическая энергия изначально движущегося камня после удара равна работе силы трения при остановке камня. В момент удара расстояние от центра изначально движущегося камня до мишени равно диаметру камня, то есть \(s=D\) и \(v=\sqrt{2\mu gD}\).

Для нахождения скорости \(v_0\) выразим из закона сохранения импульса \(u=v_0-v\) и подставим в выражение для энергии: \[(1-\eta)v_0^2=v^2+(v_0-v)^2, \tag{4}\] откуда \[\eta v_0^2-2v_0v+2v^2=0. \tag{5}\] Решение полученного квадратного уравнения \[v_0=\frac{v\left(1\pm\sqrt{1-2\eta}\right)}{\eta} \tag{6}\] или, используя найденное ранее выражение для \(v\), получаем \[v_0=\frac{\sqrt{2\mu gD}\left(1\pm\sqrt{1-2\eta}\right)}{\eta}. \tag{7}\] В зависимости от знака в формуле решения квадратного уравнения получили бы скорости

Поскольку камни после удара не могут пройти друг сквозь друга, должно выполняться \(u>v\), и физически подходит только решение со знаком плюс, то есть скорость камня перед ударом \(v_0=1{,}2\) м/с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Между ударами шарик движется по дугам одинаковых окружностей; найдите центральный угол каждой дуги и сложите их.

Ответ

\(t=\dfrac{T}{2}=\pi\dfrac{m}{qB}\).

Решение

Траектория шарика в цилиндре состоит из трёх дуг, как показано на рисунке. Как видно из рисунка, центральный угол, соответствующий каждой дуге, равен \(60\) градусам, поэтому сумма центральных углов траекторий равна половине полной окружности, то есть шарик проводит в цилиндре половину циклотронного периода \(t=T/2=\pi\dfrac{m}{qB}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Идеальный амперметр можно заменить проводом, объединив узлы; затем используйте симметрию схемы: в симметричном проводе тока нет.

Ответ

Верхние амперметры показывают по \(5\) А, нижний — \(7\) А.

Решение

Упростим схему, учитывая, что внутреннее сопротивление идеальных амперметров равно нулю: мы можем замкнуть накоротко те узлы, которые соединены проводом через амперметр. Чтобы быть уверенными в отсутствии ошибок при преобразовании схемы, обозначим резисторы цифрами, а узлы буквами, см. первый рисунок. Заметим, что в силу закона Кирхгофа для токов амперметры показывают соответственно разность токов первого и пятого, седьмого и четвёртого, а также восьмого и второго резисторов.

Затем начнём отмечать узлы и соединим их теми же резисторами, что и в исходной схеме; результат показан на втором рисунке. Последним шагом разделим узел C на две части, мысленно разрезав по вертикальному проводу, лежащему на оси симметрии рисунка; это можно сделать, потому что в силу симметрии в этом вертикальном проводе тока нет. Теперь уже легко найти токи резисторов: общее сопротивление цепочки из резисторов 8 и 9 равно \(r_8=6\) Ом, поэтому через них течёт ток \(i_8=\mathcal E/r_8=8\) А. Сопротивление участка цепи из пяти резисторов между точками B и D равно \(\dfrac67\) Ом, и поэтому общее сопротивление верхней половины цепи равно \(r_1=\dfrac{48}{7}\) Ом, а ток резистора 1 равен \(i_1=\mathcal E/r_1=7\) А. Значит, на резисторах 1 и 7 вместе падает напряжение \(2i_1R=42\) В, поэтому напряжение между узлами B и D равно \(V_5=\mathcal E-2i_1R=6\) В. Следовательно, ток резистора 5 равен \(i_5=V_5/R=2\) А, а ток резистора 2 равен \(i_2=V_5/(2R)=1\) А.

Итак, ток левого верхнего амперметра равен \(i_8=i_1-i_5=5\) А, и в силу симметрии такой же ток показывает и правый верхний амперметр. Показание нижнего амперметра равно \(i_8-i_2=7\) А.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Изображение движущейся по прямой мухи движется по прямой, проходящей через фокус; сравните скорость мухи со скоростью изображения как векторы.

Ответ

\(u_{\min}=\dfrac{va}{\sqrt{a^2+f^2}}\).

Решение

Когда муха движется по показанной на рисунке горизонтальной прямой, пересекающей линзу в точке A, и начинает движение очень издалека, изображение мухи движется по наклонной прямой, проходящей через точку A и фокус F (потому что изображение прямой есть прямая и эти две прямые пересекаются в плоскости линзы), и начинает движение, удаляясь от точки F вначале очень медленно. Скорость изображения монотонно растёт, пока не достигает бесконечности в момент, когда муха пересекает фокальную плоскость. Поэтому, если скорость мухи изображена горизонтальным вектором \(v\) на правом рисунке, то вектор скорости изображения в различные моменты времени изображён наклонными векторами \(u\). Очевидно, что разность \(w\) этих двух векторов минимальна тогда, когда вектор \(w\) перпендикулярен вектору \(u\). Поэтому получаем \(u_{\min}=v\sin\alpha\). Из треугольника \(OAF\) имеем \(\sin\alpha=a/\sqrt{a^2+f^2}\) и \(u_{\min}=va/\sqrt{a^2+f^2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Потенциал центра заземлённого шара равен нулю; запишите его как сумму вкладов индуцированных зарядов (все на расстоянии \(R\)) и зарядов кольца (все на одном расстоянии).

Ответ

\(Q=-\dfrac{qR}{\sqrt{r^2+d^2}}\).

Решение

Поскольку шар заземлён, потенциал его центра равен \(0\). По принципу суперпозиции его можно выразить как сумму вкладов индуцированных на поверхности шара зарядов \(Q_i\) и зарядов \(q_j\) на кольце: \(0=\sum_i kQ_i/R+k\sum_j q_j/l\), где \(l=\sqrt{r^2+d^2}\) — расстояние от точек кольца до центра шара. В суммах постоянные можно вынести за скобки: \(0=\dfrac{k}{R}\sum_i Q_i+\dfrac{k}{l}\sum_j q_j=kQ/R+kq/l\), поэтому \(Q=-qR/\sqrt{r^2+d^2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Для замкнутой траектории средняя скорость вдоль \(x\) равна нулю: это определяет скорость \(u\) в те промежутки, когда поле направлено по \(y\); дальше считайте смещения по участкам.

Ответ

Диаметр вдоль оси \(x\) равен \(\dfrac{3E_0qT^2}{4m}\).

Решение

Для того чтобы средняя скорость частицы вдоль оси \(x\) \(v_x\) была равна нулю, в периоды времени \(4nT+T\le t<4nT+2T\) и \(4nT+3T\le t<4nT+4T\) значения \(v_x\) должны быть равны и противоположны по знаку, соответственно \(u\) и \(-u\); в промежуток \(4nT+2T\le t<4nT+3T\) электрическое поле сообщает частице импульс вдоль \(x\), равный \(-E_0qT\), поэтому \[2mu=E_0qT\quad\Rightarrow\quad u=\frac{E_0qT}{2m}.\] В течение следующей четверти периода скорость частицы вдоль \(x\) остаётся постоянной, равной \(u\), и поэтому частица за это время смещается вдоль оси \(x\) на \(x_1=uT\). В течение следующей восьмой части периода (длительностью \(T/2\)) скорость линейно по времени убывает до нуля, поэтому дополнительное смещение находится с помощью средней скорости \(\dfrac u2\): \(x_2=\dfrac u2\cdot\dfrac T2=uT/4\); в силу симметрии такое же смещение происходило и за предшествовавшую четверти периода с постоянной скоростью восьмую часть периода, то есть полное смещение (и тем самым диаметр траектории вдоль оси \(x\)) равно \[x_1+2x_2=\frac32uT=\frac{3E_0qT^2}{4m}.\] В силу симметрии диаметр вдоль оси \(y\) такой же. Траектория — фигура, состоящая из четырёх парабол: каждая следующая парабола получена из предыдущей поворотом на прямой угол (длины парабол должны быть такими, чтобы в конечных точках угол наклона был \(45^\circ\): кривые должны смыкаться без точки излома).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Поднесите линейку так, чтобы её изображение в зеркале было ровно шириной с зеркало, и свяжите измеренные длины подобными треугольниками.

Ответ

\(f=\dfrac{da+Lx}{L-d}\); у большего зеркала (чёрного) \(f\approx7{,}7\) см, у меньшего (жёлтого) \(f\approx16\) см.

Решение

Выпуклое зеркало создаёт изображение за зеркалом. Поместим линейку перед зеркалом так, чтобы возникающее в зеркале изображение было точно шириной с зеркало. Это позволяет нам измерить размер изображения. Зеркало должно быть как можно дальше от нас, чтобы уменьшить погрешность из-за параллакса.

Измеряем длину линейки \(L\), диаметр зеркала \(d\), расстояние от линейки до зеркала \(a\) и высоту центра зеркала над плоскостью края зеркала \(x\). Из подобных треугольников \(\triangle AOF\) и \(\triangle CDF\) можем записать соотношение \[\frac{AO}{CD}=\frac{OH+HF}{DF}.\] Зная, что \(AO=0{,}5L\), \(CD=0{,}5d\), \(OH=a\), \(HF=f\) и \(DF=f-x\), можем найти фокусное расстояние зеркала \(f\) \[f=\frac{da+Lx}{L-d}.\] У большего зеркала (чёрного) \(f\approx7{,}7\) см, а у меньшего (жёлтого) \(f\approx16\) см.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Измерьте напряжение на одном резисторе и токи короткого замыкания между разными парами проводов: каждое измерение даёт одно уравнение с \(\mathcal E\) и сопротивлениями.

Решение

Подключим между чёрным и белым проводами «чёрного ящика» вольтметр. Регистрируем напряжение \(U_3\).

\[\frac{U_3}{R_3}=\frac{\mathcal E}{R_1+R_2+R_3}\tag{1}\] Затем подключим между синим и белым проводами «чёрного ящика» миллиамперметр (точнее, микроамперметр) и измерим соответствующий ток \(I_1\):

\[I_1=\frac{\mathcal E}{R_1}\tag{2}\] Затем подключим между чёрным и белым проводами «чёрного ящика» миллиамперметр (ещё точнее, микроамперметр) и измерим соответствующий ток \(I_2\):

\[I_2=\frac{\mathcal E}{R_1+R_2}\tag{3}\] Затем подключим между синим и чёрным проводами «чёрного ящика» миллиамперметр (ещё точнее, микроамперметр) и измерим соответствующий ток \(I_3\):

\[I_3=\frac{\mathcal E}{R_1+R_3}\tag{4}\] Выразим электродвижущую силу \(\mathcal E\) в формулах (2), (3) и (4). Соединив формулы (2) и (3), получаем выражение: \[I_1R_1=I_2R_1+I_2R_2,\] откуда в свою очередь можем выразить \(R_2\) через резистор \(R_1\) \[R_2=\frac{I_1-I_2}{I_2}R_1.\tag{5}\] Соединив же формулы (2) и (4), получаем выражение: \[I_1R_1=I_3R_1+I_3R_3,\] откуда в свою очередь можем выразить \(R_3\) через резистор \(R_1\) \[R_3=\frac{I_1-I_3}{I_3}R_1.\tag{6}\]

Подставив полученные выражения в преобразованную формулу (1), получаем значение \(\mathcal E\) \[\mathcal E=U_3\,\frac{R_1+R_1\dfrac{I_1-I_2}{I_2}+R_1\dfrac{I_1-I_3}{I_3}}{R_1\dfrac{I_1-I_3}{I_3}} \quad\Rightarrow\quad \mathcal E=U_3\,\frac{1+\dfrac{I_1-I_2}{I_2}+\dfrac{I_1-I_3}{I_3}}{\dfrac{I_1-I_3}{I_3}}.\] Дальше из формул (5) и (6) находим значения \(R_2\) и \(R_3\), а по формуле (2) вычисляем \(R_1\): \[R_1=\frac{\mathcal E}{I_1}.\] В контрольном опыте значения, измеренные вольтметром и миллиамперметром, следующие: \[U_3=3{,}405\text{ В},\quad I_1=1{,}26\text{ мА},\quad I_2=1{,}022\text{ мА},\quad I_3=0{,}699\text{ мА}\] и вытекающие из них ответы: \[\mathcal E_1=9{,}220\text{ В},\quad R_1=7317\text{ Ом},\quad R_2=1463\text{ Ом},\quad R_3=5142\text{ Ом}.\]

Если же измерять вольтметром и микроамперметром, то: \[U_3=3{,}405\text{ В},\quad I_1=1{,}232\text{ мА},\quad I_2=1{,}022\text{ мА},\quad I_3=0{,}699\text{ мА}\] и вытекающие из них ответы: \[\mathcal E_1=8{,}788\text{ В},\quad R_1=7133\text{ Ом},\quad R_2=1465\text{ Ом},\quad R_3=5439\text{ Ом}.\] Различие приведённых выше ответов происходит от большого (в нашем случае — одного порядка с сопротивлениями резисторов) внутреннего сопротивления микроамперметра, которое, к сожалению, не указано в паспорте измерительного прибора.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.