Эстонская, 2022/23, заключительный этап, 9-11 класс, теоретический тур

Пока автобус тормозит, пассажир наклоняется назад, чтобы равнодействующая сил трения и реакции пола шла вдоль его тела. Что произойдёт с силой трения в самый момент остановки?

Движение не плавное: в момент остановки сила трения мгновенно обращается в нуль, и стоящие пассажиры начинают падать назад.

Не плавное: в момент остановки сила трения мгновенно становится равной нулю, а это значит, что люди, которые во время торможения слегка наклонились назад, чтобы стоять параллельно действующим на их ноги силе трения и силе реакции опоры, теряют равновесие и начинают падать назад.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Пока провод ни с чем не соединён, тока нет и напряжение на нём равно ЭДС. Когда человек касается провода, ЭДС с внутренним сопротивлением замыкается на сопротивление кожи руки.

\(R_{\min}\approx 500\) кОм.

Когда провод электропастуха изолирован от земли, тока в нём нет, падения напряжения нет, и, следовательно, напряжение относительно земли равно электродвижущей силе, то есть \(\mathcal E=15\) кВ. Когда человек касается провода, он по сути замыкает его накоротко, то есть к электродвижущей силе подключено её внутреннее сопротивление. Электродвижущая сила \(\mathcal E\) с внутренним сопротивлением \(R\) подключена к резистору \(r\):

Следовательно, \(R_{\min}+r=\mathcal E/I_{\max}=500\) кОм. Видно, что \(r\ll R_{\min}\), поэтому \(R_{\min}\approx\mathcal E/I_{\max}=500\) кОм.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Постройте сначала изображение в линзе вместе с зеркалом под ней (изображение получается в плоскости линзы), а затем отразите и сам предмет, и это изображение в полупрозрачном зеркале.

Проведём из точки \(A\) горизонтальный синий луч; после отражения в полупрозрачном зеркале он вертикален, линза собирает его на оптической главной оси, где он отражается и возвращается к линзе. Вторым лучом проведём лиловый луч из точки \(A\) в середину полупрозрачного зеркала; после прохождения линзы он идёт дальше прямо (так как фокус линзы находится в середине полупрозрачного зеркала) и пересекается в плоскости линзы с первоначальным лучом. Эта точка и есть изображение точки \(A\). Аналогично строим изображение точки \(B\) в плоскости линзы. Изображение объекта \(AB\) в плоскости линзы такого же размера, каким был исходный предмет. Стоит отметить, что это изображение видно при взгляде сверху (если бы зеркало было обычным, его можно было бы видеть, только находясь между полупрозрачным зеркалом и линзой).

И у исходного объекта, и у его изображения в плоскости линзы есть также изображения в полупрозрачном зеркале, как будто оно обычное. Построим и их. Всего получается три изображения. Верхнее изображение видно при взгляде снизу на полупрозрачное зеркало. Правое изображение видно при взгляде слева на полупрозрачное зеркало. Как уже упоминалось, изображение в плоскости линзы мы видим, глядя сверху.

Так как в этой схеме есть полупрозрачное зеркало, изображения несколько темнее, чем при обычном зеркале. Нижнее изображение в 2 раза темнее при взгляде на него между полупрозрачным зеркалом и линзой и в 4 раза темнее при взгляде на него сквозь полупрозрачное зеркало. Правое и верхнее изображения оба в 4 раза темнее.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Корабль упирается в берега под углом к оси канала, а буксиры тянут его вдоль канала. Сила трения о дно действует против движения; при сдвиге корабль начинает поворачиваться вокруг своего центра, поэтому эффективная сила буксиров перпендикулярна кораблю.

\(F=\dfrac{\mu g l}{2d}\,(m-\rho lwhk)\).

Угол между кораблём и поперечным направлением канала равен \(\alpha=\arccos(d/l)\). Сила реакции опоры со стороны дна канала, действующая на корабль, равна \(N=(m-\rho lwhk)g\).

В силу симметрии корабль начнёт поворачиваться вокруг своего центра. Поэтому эффективная сила буксиров перпендикулярна направлению корабля. Значит, \(F\cos\alpha=\mu N/2\). Выражая из этих уравнений, получаем \[F=\frac{\mu gl}{2d}\,(m-\rho lwhk).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Всё добавленное увлажнителем водяной пар уходит с вытяжным воздухом: масса пара в вышедшем воздухе больше, чем во вошедшем, ровно на массу испарившейся воды.

\(16\) м\(^3\)/ч.

Считываем с приложенного графика, что при температуре \(T_1=20\,^\circ\text{C}\) давление насыщенного пара равно \(p_{\text{н}1}=2340\) Па, а при температуре \(T_2=-5\,^\circ\text{C}\) давление насыщенного пара равно \(p_{\text{н}2}=420\) Па. Следовательно, парциальное давление водяного пара в комнате \(p_1=p_{\text{н}1}r_1=1170\) Па, а на улице парциальное давление водяного пара \(p_2=p_{\text{н}2}r_2=336\) Па.

Пусть \(V\) — объём воздуха, который выходит из комнаты за десять часов. Столько же должно и войти. Массу водяного пара \(m_1\) в выходящем из комнаты воздухе вычислим по формуле идеального газа: \[p_1V=\frac{m_1}{M}RT_1.\] А количество водяного пара \(m_2\) во входящем в комнату воздухе вычислим по формуле: \[p_2V=\frac{m_2}{M}RT_1.\] Так как количество водяного пара в комнате постоянно, то, следовательно, увлажнитель должен испарять столько воды, сколько уходит из комнаты. Поэтому получаем соотношение \(m=m_1-m_2\). Следовательно, можем выразить объём воздуха, выходящего из комнаты за десять часов: \[V=\frac{mRT_1}{M(p_1-p_2)}=160\text{ м}^3.\] Скорость обмена воздуха, таким образом, получаем \(16\) м\(^3\)/ч.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Сила тяжести иглы уравновешивается вертикальными составляющими двух сил поверхностного натяжения, каждая из которых действует вдоль поверхности воды.

\(\alpha\approx 34^\circ\).

Ситуация, описанная в задаче, приближённо показана на рисунке. Поверхность воды слегка прогибается и благодаря этому силой поверхностного натяжения уравновешивает силу тяжести иглы. Сила поверхностного натяжения действует вдоль поверхности воды в точках контакта (она не обязательно касательна к поверхности иглы, как показано на рисунке, но на решение задачи это не влияет). На каждую из сторон иглы действует сила \(\sigma\ell\). Если векторы силы поверхностного натяжения направлены под углом \(\alpha\) к горизонтали, то из равновесия сил получаем \(mg=2\sigma\ell\sin\alpha\). Так как поверхность воды расположена под тем же углом, что и векторы сил, то искомый угол равен \[\alpha=\arcsin\frac{mg}{2\sigma\ell}\approx 34^\circ.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

На дальней точке эллиптической орбиты скорость перпендикулярна радиусу. Запишите для новой орбиты сохранение момента импульса и энергии, а \(GM\) выразите из условия движения по исходной круговой орбите.

a) \(R_1=\dfrac{961}{191}\,r\approx 277\,729\) км;  b) \(R_2=\dfrac{24}{17}\,r\approx 77\,928\) км.

Заметим, что в самой дальней точке орбиты проекция вектора скорости спутника на отрезок, соединяющий спутник с центром планеты, должна быть равна 0. Если бы проекция вектора скорости была положительной, спутник двигался бы от планеты и в следующий момент времени оказался бы дальше от планеты. Если бы проекция вектора скорости была отрицательной, спутник двигался бы к планете и в предыдущий момент времени был бы дальше от планеты.

Для тела на круговой орбите центростремительной силой является сила тяготения, то есть \(\dfrac{mv^2}{r}=\dfrac{GMm}{r^2}\), где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M\) — масса планеты, \(m\) — масса спутника. Следовательно, \(GM=v^2r\).

Рассмотрим сначала случай, когда спутнику сообщается ускорение в направлении его движения. Сразу после получения ускорения скорость спутника была бы \(u_1=v+\Delta v=\frac{31}{24}v\). Его полная энергия была бы \(E_1=\dfrac{mu_1^2}{2}-\dfrac{GMm}{r}\), а момент импульса \(L_1=mru_1\). Пусть скорость спутника в самой дальней точке орбиты равна \(w_1\). По закону сохранения момента импульса \(L_1=mR_1w_1\), то есть \(w_1=\dfrac{r}{R_1}u_1\), а по закону сохранения энергии \(E_1=\dfrac{mw_1^2}{2}-\dfrac{GMm}{R_1}\), то есть \[\frac{u_1^2}{2}-v^2=\frac{u_1^2r^2}{2R_1^2}-\frac{v^2r}{R_1}.\] Это можно преобразовать к виду \[\left(\frac{u_1^2}{2}-v^2\right)R_1^2+v^2rR_1-\frac{u_1^2r^2}{2}=0.\] Решения этого уравнения: \[R_1=\frac{-v^2r\pm\sqrt{v^4r^2-2v^2u_1^2r^2+u_1^4r^2}}{u_1^2-2v^2} =\frac{-v^2r\pm\sqrt{1-2\left(\frac{31}{24}\right)^2+\left(\frac{31}{24}\right)^4}\,v^2r}{\left(\frac{961}{576}-2\right)v^2} =\frac{1\mp\left(\frac{961}{576}-1\right)}{\frac{191}{576}}\,r.\] Наибольшее расстояние, следовательно, \(R_1=\dfrac{961}{191}\,r=277\,729\) км.

Если бы ускорение было направлено от планеты, скорость спутника сразу после получения ускорения была бы \(u_2=\sqrt{v^2+\Delta v^2}=\frac{25}{24}v\). Его полная энергия была бы \(E_2=\dfrac{mu_2^2}{2}-\dfrac{GMm}{r}\), а момент импульса \(L_2=mrv\). Пусть скорость спутника в самой дальней точке орбиты на этот раз равна \(w_2\). По закону сохранения момента импульса \(L_2=mR_2w_2\), то есть \(w_2=\dfrac{r}{R_2}v\), а по закону сохранения энергии \[\frac{u_2^2}{2}-v^2=\frac{v^2r^2}{2R_2^2}-\frac{v^2r}{R_2}, \quad\text{то есть}\quad \left(\frac{u_2^2}{2}-v^2\right)R_2^2+v^2rR_2-\frac{v^2r^2}{2}=0,\] решения которого \[R_2=\frac{-v^2r\pm\sqrt{v^4r^2-2v^4r^2+v^2u_2^2r^2}}{u_2^2-2v^2} =\frac{-v^2r\pm\sqrt{\left(\frac{625}{576}-1\right)v^4r^2}}{\left(\frac{625}{576}-2\right)v^2} =\frac{1\mp\frac{7}{24}}{\frac{527}{576}}\,r.\] Наибольшее расстояние, следовательно, \(R_2=\dfrac{24}{17}\,r=77\,928\) км.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Выразите угол броска через дальность и начальную скорость: при дальности больше максимально возможной решения для угла не существует. Предельный случай — нулевой дискриминант.

a) \(\alpha\approx 42^\circ\);  б) \(v_0\approx 13{,}3\) м/с.

Так как ядро тяжёлое, а его скорость мала, вклад сопротивления воздуха в данном случае пренебрежимо мал. Отличие оптимального угла броска от \(45^\circ\) обусловлено, таким образом, главным образом тем, что начальная и конечная точки находятся не на одной высоте. Для прямого решения задачи следовало бы выразить зависимость дальности полёта ядра \(s\) от угла броска \(\alpha\) и определить её максимум. Этот путь приводит к очень громоздким выражениям. Однако задачу можно решить альтернативным способом.

Учитывая, что начальная высота ядра над землёй равна \(h_0\), выразим сначала высоту конечной точки (которая равна нулю): \[0=h_0+v_{0y}t-\frac12gt^2,\] где \(v_{0y}=v_0\sin\alpha\), а время полёта ядра \[t=\frac{s}{v_{0x}}=\frac{s}{v_0\cos\alpha}.\] Следовательно, \[0=h_0+s\tan\alpha-\frac{gs^2}{2v_0^2}\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha}.\] После использования тригонометрического соотношения \(1/\cos^2\alpha=1+\tan^2\alpha\) получаем квадратное уравнение относительно \(\tan\alpha\). Его физически разумное решение \[\tan\alpha=\frac{v_0^2}{gs}+\frac{1}{gs}\sqrt{v_0^4+2gh_0v_0^2-g^2s^2}.\] Следовательно, если \(h_0\) и \(v_0\) фиксированы, то полученное выражение даёт такой подходящий угол броска, при котором дальность полёта ядра будет равна \(s\). Но нас интересует такой угол броска, при котором \(s\) максимально (\(=s_\text{m}\)). Следовательно, если в последнем выражении взять \(s\) больше максимально возможного значения, то получаемое значение \(\tan\alpha\) должно выйти за физически возможные пределы, то есть из области вещественных чисел.

Предельный случай достигается тогда, когда подкоренное выражение (дискриминант) становится равным нулю: \[v_0^4+2gh_0v_0^2-g^2s_\text{m}^2=0.\] Это условие для определения начальной скорости ядра. Это квадратное уравнение относительно \(v_0^2\), решением которого является \[v_0=\sqrt{g\left(\sqrt{s_\text{m}^2+h_0^2}-h_0\right)}\approx 13{,}3\text{ м/с}.\] Наконец, тангенс искомого начального угла выражается как \[\tan\alpha=\frac{v_0^2}{gs_\text{m}}=\frac{\sqrt{h_0^2+s_\text{m}^2}-h_0}{s_\text{m}},\] откуда \(\alpha\approx 42^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Сила трения определяется силой притяжения заряженной плёнки к металлу, а её даёт поле заряда, наведённого на металле. При удалении плёнки поверхностные плотности зарядов остаются прежними — поле между плёнкой и пластиной не меняется.

\(U'\approx 42\) кВ.

Заряды на поверхности металла перераспределяются так, чтобы напряжённость электрического поля внутри металла была равна нулю. Это значит, что под плёнкой собирается равный по величине и противоположный по знаку поверхностный заряд с плотностью \(-\sigma=-Q/S\), где \(Q\) — полный заряд на плёнке.

Плёнка создаёт на поверхности металла электрическое поле с напряжённостью \(E=\sigma/2\varepsilon_0\); это можно получить либо из теоремы Гаусса, либо из формулы ёмкости плоского конденсатора \(C=\varepsilon_0S/d\), учитывая, что в поле между пластинами обе пластины вносят одинаковый вклад, то есть каждая создаёт поле напряжённостью \(E=U/2d\), где \(U\) — напряжение конденсатора, а \(d\) — расстояние между пластинами. Заметим, что диэлектрическую проницаемость \(\varepsilon\) материала плёнки нам вводить не нужно, так как мы рассматриваем электрическое поле непосредственно над металлом, в микроскопическом воздушном зазоре между пластиной и плёнкой. На индуцированный на поверхности металла заряд \(-Q\) действует сила \(F_\text{C}=QE=2\varepsilon_0E^2S\). Её компенсирует сила реакции опоры \(N=F/\mu\), благодаря чему приходим к уравнению \[F=2\mu\varepsilon_0E^2S\ \Rightarrow\ E=\sqrt{F/2\mu\varepsilon_0S}.\] Если отвести плёнку на расстояние \(h\), то поверхностные плотности зарядов на плёнке и на металле не изменяются, и поэтому не изменяется и напряжённость поля между плёнкой и пластиной, то есть напряжение между пластиной и плёнкой можно найти как \(U'=2Edh\); множитель 2 здесь возникает из-за того, что сейчас нам нужна суммарная напряжённость поля \(2E\) между плёнкой и пластиной, а не напряжённость \(E\), создаваемая одной пластиной. Итак, \[U'=h\sqrt{2F/\mu\varepsilon_0S}=42\text{ кВ}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Лучи от верхнего и нижнего краёв мяча почти параллельны; ширина мяча при взгляде сверху не искажается, а высота меняется из-за преломления. Свяжите углы лучей с водой законом преломления.

\(L\approx 8{,}8\) м.

Нарисуем ход лучей света от глаза до верхнего и нижнего краёв мяча. Это ломаные линии, преломляющиеся на поверхности воды, которые почти параллельны, если рассматривать область вблизи мяча, так как размеры мяча значительно меньше расстояния (которое, очевидно, больше высоты \(H=2\) м). Расстояние \(a\) между нижними прямыми участками равно диаметру мяча, расстояние \(b\) между верхними прямыми участками соответствует видимой высоте мяча. При взгляде сверху прямые, проведённые к левому и правому краям мяча, кажущимся образом не преломляются, поэтому видимая ширина мяча равна его действительной ширине. Значит, видимая приплюснутость мяча \(k=a/b=3\). Если обозначить угол наклона верхней части ломаной к поверхности воды через \(\beta\), а нижней части — через \(\alpha\), то из сказанного выше получаем соотношения \(a=d\sin\alpha\) и \(b=d\sin\beta\), где \(d\) — расстояние между точками излома ломаных. Отсюда получаем уравнение \(\sin\alpha=k\sin\beta\) и из закона преломления \(\cos\alpha=\cos\beta/n\). Возводя эти выражения в квадрат и складывая левые и правые части, получаем \[1-n^{-2}=(k^2-n^{-2})\sin^2\beta,\] откуда \(\sin\beta=\sqrt{7/135}\). Расстояние от глаза до мяча \(L=H/\sin\beta=H\sqrt{135/7}\approx 8{,}8\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Если получить на экране резкое увеличенное изображение нити, то размеры спирали измеряются по изображению; расстояние от линзы до самой нити, недоступной для измерения, находят, поменяв местами линзу и экран.

\(L=\pi dNa/b\).

Поставим экран как можно дальше от лампы, насколько позволяет рабочий стол (например, 70 см), включим лампу и найдём вблизи лампы такое положение линзы, чтобы на экране получилось резкое увеличенное изображение нити накаливания. Измерим расстояние \(b\) между плоскостью линзы и экраном. Также измерим длину \(l\) изображения, ширину \(d\) и общее число витков спирали \(N\). Для последнего можно сосчитать число витков \(n\) на каком-либо отрезке длиной \(h\) и вычислить \(N=nl/h\). Теперь нужно ещё определить расстояние \(a\) между линзой и нитью накаливания. Непосредственно это сделать нельзя, так как лампа находится в корпусе. Поэтому переставим линзу ближе к экрану (не меняя при этом положений лампы и экрана) и снова получим резкое изображение. В силу обратимости хода лучей в новой ситуации расстояние между линзой и экраном равно \(a\), которое теперь можно измерить непосредственно. Полную длину нити находим по формуле \(L=\pi dNa/b\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Шприц с закрытым концом — динамометр: сила на поршне определяется изменением давления воздуха при изотермическом сжатии, а давление — по объёму по шкале шприца.

\(A=s(F_0+F_1)/2\).

Используем шприц как динамометр, пользуясь имеющейся на шприце шкалой объёма. Площадь поперечного сечения \(S\) цилиндра шприца находим как частное объёма и расстояния между линиями шкалы объёма. Набираем в шприц воздух, закрываем отверстие пальцем и давим на поршень шприца с силой \(F=S(p-p_0)\), где \(p\) обозначает давление внутри шприца, а \(p_0\) — атмосферное давление.

В изотермическом процессе для газа в цилиндре справедливо соотношение \(p=p_0V_0/V\), где \(V_0\) — начальный объём находящегося в шприце газа, а \(V\) — его текущее значение. Нажимаем поршнем шприца на конец прищепки и находим, при какой силе \(F_0\) прищепка начинает раскрываться и при какой силе \(F_1\) она полностью раскрыта. Предполагая, что выполняется закон Гука, можем найти работу, совершённую при раскрытии, \(A=s(F_0+F_1)/2\), где \(s\) обозначает расстояние между концами прищепки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.