Эстонская, 2025/26, заключительный этап, 9-11 класс, теоретический тур

Подсказка

За один полный оборот болт смещается ровно на один шаг резьбы, поэтому число оборотов равно числу витков резьбы на болте — их можно просто сосчитать по рисунку.

Ответ

\(N=25\) оборотов (допустимый диапазон \(23\)–\(27\)).

Решение

Если повернуть болт на один полный оборот, он сдвигается вверх на один шаг резьбы. Чтобы узнать, сколько раз нужно повернуть болт, чтобы он вышел из алюминиевого блока, просто сосчитаем, сколько «этажей» резьбы находится внутри алюминия, то есть сколько витков имеет болт. По рисунку насчитываем \(N=25\) витков, то есть требуется \(N=25\) полных оборотов; допустимым считается диапазон \(23\)–\(27\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Свет проходит линзу дважды: сначала в прямом направлении, затем после отражения от зеркала. Так как \(d=f/2\), положение окончательного изображения получается очень простой функцией от \(a\); скорость найдите, сравнив малые изменения \(a\) и положения изображения.

Ответ

\(v_k\approx 0{,}11\) м/с; изображение удаляется от линзы.

Решение

На рисунке: allikas — источник, lääts — линза, peegel — зеркало.

1. Положение изображения в начальный момент.

При первом прохождении через линзу выполняется формула линзы \[\frac1f=\frac1a+\frac1{b_1},\qquad \frac1{10}=\frac1{30}+\frac1{b_1},\qquad b_1=15\text{ см}.\] Это изображение находится относительно зеркала на расстоянии \(b_1-d=15-5=10\) см за зеркалом.

Плоское зеркало создаёт изображение на таком же расстоянии перед зеркалом, поэтому для второго прохождения расстояние до предмета равно \[a_2=2d-b_1=10-15=-5\text{ см}.\] При втором прохождении через линзу \[\frac1f=\frac1{a_2}+\frac1{b_2},\qquad \frac1{10}=\frac1{-5}+\frac1{b_2},\qquad b_2=\frac{10}{3}\text{ см}\approx 3{,}33\text{ см}.\]

Связь расстояния \(x\) до изображения и расстояния \(a\) до источника света. Пусть источник света находится на расстоянии \(a\) от линзы.

1) Первое прохождение через линзу: \[\frac1f=\frac1a+\frac1{b_1}\;\Rightarrow\; b_1=\frac{af}{a-f}.\] 2) Отражение от плоского зеркала: \[a_2=2d-b_1=2d-\frac{af}{a-f}.\] 3) Второе прохождение через линзу: \[\frac1f=\frac1{a_2}+\frac1{b_2}\;\Rightarrow\; b_2=\frac{fa_2}{a_2-f}.\] 4) В данной задаче \(d=f/2\), откуда \[a_2=-\frac{f^2}{a-f}\;\Rightarrow\; b_2=\frac{f^2}{a}.\] Итак, \[x=b_2=\frac{f^2}{a}=\frac{100}{a}.\]

2. Скорость движения изображения.

В общем случае справедливо соотношение \(x=100/a\). Рассмотрим малый промежуток времени: \(a\to a-\Delta a\), \(x\to x+\Delta x\). Тогда \[(a-\Delta a)(x+\Delta x)=100.\] Так как вначале \(ax=100\), то \[(a-\Delta a)(x+\Delta x)=ax,\qquad a\,\Delta x-x\,\Delta a-\Delta a\,\Delta x=0.\] При малых изменениях получаем \(a\,\Delta x=x\,\Delta a\). Выражая скорость изображения \(v_k\), находим \[v_k=\frac{x}{a}\,v\approx 0{,}11\text{ м/с}.\] Поскольку \(a\) уменьшается, \(x\) увеличивается, то есть изображение движется от линзы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В нижней точке вся потенциальная энергия прыгуна переходит в энергию растяжения каната; в этой точке ускорение максимально и задаёт силу каната. Складывание каната вдвое уменьшает его длину в два раза, а жёсткость увеличивает в два раза.

Ответ

а) примерно на \(33{,}3\,\%\);  б) \(75\) м.

Решение

а) Обозначим жёсткость каната \(k\), длину \(l\), изменение длины \(\Delta l\). В нижней точке прыжка выполняется равенство \(\frac12k\,\Delta l^2=mgh=mg(l+\Delta l)\). Так как наибольшее ускорение, которое испытывала Туули, было \(7g\), то в этой точке эластичный канат тянул с силой \(8mg\), то есть \(k\,\Delta l=8mg\). Подставляя это в первое равенство и упрощая, получаем \(3\,\Delta l=l\), то есть канат растянулся примерно на \(33{,}33\,\%\).

б) Обозначим жёсткость каната \(k/2\), поскольку канат больше не сложен пополам, длину \(L=2l=6\,\Delta l\) и изменение длины \(\Delta L\). В нижней точке прыжка выполняется равенство \[\frac12\cdot\frac k2\,\Delta L^2=mgH=mg(L+\Delta L)=mg(6\,\Delta l+\Delta L).\] Подставляя найденное ранее значение \(k\) (из пункта а), получаем квадратное уравнение \[2\,\Delta L^2-\Delta L\,\Delta l-6\,\Delta l^2=0,\] из которого получаем \((2\,\Delta L+3\,\Delta l)(\Delta L-2\,\Delta l)=0\). Так как речь идёт о длине каната, рассматриваем положительный случай \(\Delta L=2\,\Delta l\). Из условия известно, что \(L+\Delta L=6\,\Delta l+2\,\Delta l=8\,\Delta l=100\) м \(\Rightarrow\) \(\Delta l=12{,}5\) м. То есть начальная длина каната была \(6\,\Delta l=75\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Если колесо не теряет контакт с краем, его центр сразу после съезда движется по дуге окружности радиуса \(R\). Для такого движения нужно центростремительное ускорение, которое создают сила тяжести и сила пружины (она не успевает измениться и остаётся равной \(Mg/4\)).

Ответ

\(v\le\sqrt{Rg\,(1+M/4m)}\approx 6\) м/с \(\approx 21\) км/ч.

Решение

Чтобы колесо не поднималось в воздух, действующая на него сила пружины и сила тяжести должны давать в сумме необходимое центростремительное ускорение \(a=v^2/R\) (если колесо не теряет контакта, то траекторией его центра является окружность радиуса \(R\)). Каждая пружина удерживает четверть массы автомобиля, поэтому каждая пружина действует силой \(Mg/4\), и получаем условие \[\Bigl(m+\frac M4\Bigr)g\ \ge\ \frac{mv^2}{R},\] откуда \[v\le\sqrt{Rg\Bigl(1+\frac M{4m}\Bigr)}\approx 6\text{ м/с}\approx 21\text{ км/ч}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Чтобы давление пара в баллончике поднялось до нужного значения, смесь должна остыть до определённой температуры (её даёт график); энергия на остывание берётся из испарения части пропана.

Ответ

\(S\approx 0{,}46\) м\(^2\).

Решение

Краска выходит из баллончика, если давление в нём больше \(p_{\min}+p_0=300\) кПа. По графику находим, что для этого температура газа в баллончике должна быть больше \(T_{\min}=257\) К. Пусть в процессе распыления испарилась масса пропана \(\Delta m_p\). Необходимая для этого энергия взята за счёт тепловой энергии смеси. Масса смеси по ходу дела уменьшается, но по заданным величинам видно, что этим эффектом можно пренебречь. \[\Delta T\,mc=\Delta m_p L\;\Rightarrow\;\Delta m_p=\frac{\Delta T\,\rho Vc}{L}.\] Здесь \(\Delta T=T_0-T_{\min}\), поэтому, подставляя числа, получаем \(\Delta m_p=118\) г. Найдём, сколько смеси \(\Delta m_s\) вышло из баллончика: \[\Delta m_s=\frac{\Delta m_p}{1-k}\;\Rightarrow\;\Delta m_s=169\text{ г}.\] Следовательно, при быстрой покраске можно покрыть площадь \[S=\frac{\Delta m_s\,k}{\rho d}=0{,}46\text{ м}^2.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Из окна видна неподвижная точка на земле, значит, самолёт движется по окружности вокруг неё, а угол \(\phi\) связывает высоту с радиусом окружности. Подъёмная сила перпендикулярна плоскости крыльев: её вертикальная составляющая уравновешивает силу тяжести, горизонтальная создаёт центростремительное ускорение.

Ответ

\(v=\dfrac{gT\tan\phi}{2\pi}\),  \(h=g\left(\dfrac{T\tan\phi}{2\pi}\right)^2\).

Решение

Самолёт движется по окружности радиуса \(R\), который определяется из уравнения \(\tan\phi=h/R\), с линейной скоростью \(v\), и один полный оборот занимает время \(T\), то есть \(R=\dfrac{vT}{2\pi}\).

На самолёт действуют: сила тяжести \(mg\), центростремительное ускорение \(v^2/R\) и подъёмная сила \(F_t\), которая действует на самолёт под углом \(\phi\) к вертикальной оси. Для равновесия сил, действующих на самолёт, выполняется равенство \(\dfrac{v^2/R}{g}=\tan\phi\). Используем найденные ранее уравнения и получаем \(\dfrac{v^2}{g}=\dfrac{vT}{2\pi}\tan\phi\;\Rightarrow\;v=\dfrac{gT\tan\phi}{2\pi}\). Чтобы найти \(h\), объединим два уравнения: \(h/R=\dfrac{v^2}{Rg}\;\Rightarrow\;h=g\left(\dfrac{T\tan\phi}{2\pi}\right)^2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Из измерений без нагревателя найдите сопротивление провода и напряжение подстанции. Нагреватель между нулём и землёй оказывается параллельным нулевому проводу; мощность на нём — дробь с квадратом в знаменателе, максимум ищите через неравенство \(y+1/y\ge 2\).

Ответ

а) \(R_k\approx 0{,}75\) Ом, \(P_{\max}\approx 86\) Вт;  б) \(P\approx 300\) Вт.

Решение

Подстанция даёт на конце фазного провода напряжение \(U_0\) относительно земли; нулевой провод на подстанции заземлён (0 В). У обоих проводов сопротивление \(R\). Нагрузочное сопротивление дома \(R_L\) подключено между фазой A и нулём B. Заземляющий провод дома идеально заземлён.

На рисунке: maandus — земля (заземление).

Шаг 1. Нагреватель \(R_k\) отключён.

Без нагревателя цепь представляет собой последовательное соединение: подстанция (\(U_0\)) \(\to\) фазный провод (\(R\)) \(\to\) домашние приборы (\(R_L\)) \(\to\) нулевой провод (\(R\)) \(\to\) подстанция.

Ток: \(I=P/U_{FN}=4200/210=20\) А.

Падение напряжения на нулевом проводе: \(U_{NM}=IR\), поэтому \(R=16/20=0{,}80\) Ом.

Напряжение подстанции: \(U_0=U_{FN}+2U_{NM}=210+32=242\) В.

Сопротивление домашних приборов: \(R_L=U_{FN}/I=10{,}5\) Ом.

Шаг 2. Подключение нагревателя \(R_k\).

\(R_k\) и нулевой провод \(R\) соединены параллельно (оба соединяют нулевую клемму с землёй). Сопротивление параллельного соединения: \(R_\parallel=RR_k/(R+R_k)\).

Вся цепь — последовательное соединение: \(U_0\to R\to R_L\to R_\parallel\to\) земля.

Ток: \(I=U_0/(R+R_L+R_\parallel)\). Напряжение на нулевой клемме: \(V=I\cdot R_\parallel\). Мощность нагревателя: \(P_k=V^2/R_k\).

Подставляем и выражаем: \[P_k=\frac{I^2R_\parallel^2}{R_k}=\frac{U_0^2R^2R_k}{\bigl[R(R+R_L)+(2R+R_L)R_k\bigr]^2}.\] Обозначим \(A=R(R+R_L)\) и \(B=2R+R_L\). Тогда \[\frac1{P_k}=\frac{AB}{U_0^2R^2}\left(\frac A{BR_k}+2+\frac{BR_k}A\right)=\frac{AB}{U_0^2R^2}\left(y+\frac1y+2\right),\] где \(y=BR_k/A\). Справедливо соотношение \(y+1/y\ge2\), причём равенство выполняется ровно при \(y=1\). Следовательно, \(P_k\) максимальна, когда \(1/P_k\) минимально, т. е. при \(y=1\) и \(R_k=A/B\): \[R_k=\frac{R(R+R_L)}{2R+R_L}=\frac{0{,}80\times11{,}3}{12{,}1}=0{,}75\text{ Ом}.\] \[P_{\max}=\frac{U_0^2R^2}{4AB}=\frac{242^2\times0{,}64}{4\times9{,}04\times12{,}1}\approx86\text{ Вт}.\] Замечание. Выражение для \(R_k\) можно найти и с помощью производной, рассматривая \(P_k\) как функцию от \(R_k\) и находя её максимум.

Шаг 3. Нулевой провод обрывается.

Единственный обратный путь — через \(R_k\). Последовательное соединение: \(U_0\to R\to R_L\to R_k\to\) земля. \[I=\frac{U_0}{R+R_L+R_k}=\frac{242}{12{,}05}=20{,}1\text{ А},\qquad P_k=I^2R_k=20{,}1^2\times0{,}75\approx300\text{ Вт}.\] Комментарий. При обрыве нулевого провода мощность нагревателя увеличивается в 3,5 раза: весь ток теперь идёт только через \(R_k\). «Бесплатная» энергия Пирет вовсе не бесплатна — она поступает от подстанции и отражается на электросчётчике.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Колебания пластины слегка меняют ёмкость, а значит и напряжение на конденсаторе; напряжение на резисторе (его и показывает вольтметр) затем релаксирует с характерным временем \(CR\). Сравните его с \(T\).

Ответ

(а) прямоугольные импульсы с размахом \(\pm U\dfrac{CR}{T}\dfrac hd\) (знак зависит от направления движения пластины);  (б) пилообразная кривая, повторяющая \(x(t)\), с максимумом \(U\dfrac hd\).

Решение

Ёмкость плоского конденсатора \(C=\varepsilon_0S/d=k/d\), где площадь пластин \(S\) постоянна, а константы мы объединили: \(k=\varepsilon_0S\). Так как расстояние между пластинами \(d\gg h\), можно считать ёмкость плоского конденсатора в крупном масштабе постоянной, поэтому и изменение напряжения мало по сравнению с полным напряжением. Отсюда получаем (приближённый) заряд, накопленный на пластинах конденсатора: \(q_0=CU=kU/d\).

С другой стороны, нужно учитывать именно изменение напряжения, возникающее из-за изменения ёмкости: пусть в данный момент времени заряд конденсатора равен \(q=q_0+\Delta q\) (\(\Delta q\) — изменение заряда от начального состояния), а ёмкость конденсатора \(C_1\); тогда напряжение на конденсаторе равно \[V=\frac q{C_1}=(q_0+\Delta q)\cdot\frac{d+x}{k}=U+\frac{\Delta q\,d+q_0x}k+\frac{\Delta q\,x}k.\] Так как \(x\ll d\) и \(\Delta q\ll q_0\), последним слагаемым можно пренебречь. Напряжение на резисторе определяется разностью напряжений конденсатора и источника напряжения, поэтому для падения напряжения получаем \[\Delta V=V-U\approx\frac{\Delta q\,d+q_0x}k=\frac{\Delta q+q_0\dfrac xd}C.\] Соответствующее падение напряжения измеряет и вольтметр, подключённый параллельно резистору.

Предположим, что некоторое время \(x\) постоянно, а падение напряжения на резисторе \(\Delta V\) (меняется). Тогда через резистор течёт ток \(dq/dt=-I=-\Delta V/R\), поэтому напряжение на резисторе меняется так: \[\frac{d(\Delta V)}{dt}=\frac{dq}{dt}\cdot\frac1C=-\Delta V\,\frac1{CR}.\] Следовательно, падение напряжения уменьшается пропорционально величине падения напряжения, то есть убывает экспоненциально. Конкретное решение: \[\Delta V=[\Delta V]_{t=0}\cdot e^{-t/(CR)}.\] Отсюда видно, что \(\Delta V\) уменьшается в \(e\) раз через каждый промежуток времени \(\tau=CR\), который называется характерным временем цепи.

(а) Если \(T\gg CR\), то рассматриваем изменение напряжения в масштабе короткого времени \(CR\). Так как \(x\) изменяется за время \(T\gg CR\), считаем его постоянным. Любое возникшее на резисторе изменение напряжения за (несколько) характерных времён \(\tau\sim CR\ll T\) становится ничтожным (экспоненциально уменьшается). Поэтому на резисторе остаётся ровно такое постоянное падение напряжения, при котором рост падения напряжения, вызванный изменением \(x\), и его уменьшение из-за разрядки/зарядки конденсатора находятся в равновесии:

Замечание: напряжение не скачет мгновенно, а за короткое время приближается к указанному значению с обратным экспоненциальным отклонением.

\[0=\frac{d\Delta V}{dt}=-\Delta V\,\frac1{CR}+\frac{q_0}{Cd}\cdot\frac{dx}{dt}=-\Delta V\,\frac1{CR}\pm\frac{Uh}{Td},\] \[\Delta V=\pm U\,\frac{CR}T\,\frac hd.\]

(б) Если \(T\ll CR\), то напряжение из-за протекающего через резистор тока почти не успевает измениться (длина целого цикла намного меньше характерного времени), поэтому напряжение на резисторе меняется только пропорционально \(x\). Получаем для амплитудного значения падения напряжения \[V_{\max}=\frac{q_0\dfrac hd}C=\frac{CUh}{Cd}=U\,\frac hd.\] Замечание: если измерять напряжение в течение короткого времени после включения звука, график приблизительно такой, как показан на рисунке ниже; однако через длительное время система приходит в состояние, в котором среднее значение напряжения равно 0 — правильными засчитывались оба варианта.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Давление на высоте Пуно определяется весом столба воздуха над ним, а этот столб — адиабатическая атмосфера у побережья; плотность затем следует из уравнения состояния с реальной температурой в Пуно.

Ответ

\(\rho/\rho_0\approx 0{,}63\).

Решение

В адиабатической атмосфере температура падает с высотой: \(T(z)=T_1-gz/c_p'\). На высоте Пуно адиабатическая температура была бы \[T_{\mathrm{ad}}=293-\frac{9{,}81\times3800}{1003}\approx256\text{ К}=-17\,^\circ\text{C}.\] Для нахождения давления: \(p\propto\rho^\gamma\) и \(\rho\propto p/T\), поэтому \(p\propto(p/T)^\gamma\), откуда \(p\propto T^{\gamma/(\gamma-1)}=T^{3{,}5}\): \[\frac p{p_0}=\left(\frac{T_{\mathrm{ad}}}{T_1}\right)^{3{,}5}=\left(\frac{256}{293}\right)^{3{,}5}\approx0{,}62.\] Давление на высоте Пуно определяется весом столба воздуха над ним и существенно не зависит от местной температуры, поэтому \(p\approx0{,}62\,p_0\). Реальная же температура в Пуно (16 \(^\circ\)C) существенно выше адиабатического предсказания (\(-17\,^\circ\)C), потому что поверхность высокогорного плато нагревается солнечным излучением. Плотность из закона идеального газа: \[\frac\rho{\rho_0}=\frac p{p_0}\cdot\frac{T_1}{T_2}=0{,}62\times\frac{293}{289}\approx0{,}63.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Без силы тяжести форму капли определяет поверхностное натяжение: свободная поверхность — часть сферы. Найдите её радиус из объёма и радиуса основания, затем примените закон преломления для параксиального луча на одной сферической поверхности.

Ответ

\(f\approx 4{,}8\) см.

Решение

Форма капли. Так как влиянием силы тяжести можно пренебречь, форму капли определяет поверхностное натяжение, которое минимизирует площадь поверхности при заданном объёме. Фигура наименьшей площади для заданного объёма — шар; поскольку капля соприкасается с плоским стеклом, свободная поверхность капли — часть сферы, и капля представляет собой сферический сегмент.

Геометрия. Так как капля невысокая (\(h\ll r\)), её объём приближённо равен \(V\approx\frac12\pi r^2h\), где \(h\) — высота капли. Отсюда \(h=2V/(\pi r^2)\approx0{,}32\) см. Радиус кривизны выпуклой поверхности: \(R\approx r^2/(2h)\approx1{,}6\) см.

Фокусное расстояние. Капля действует как плосковыпуклая линза: снизу плоская, сверху сферически выпуклая. Рассмотрим луч, падающий параллельно оптической оси на высоте \(x\ll R\) от оси. Нормаль к сферической поверхности составляет с осью угол \(\theta\approx x/R\). По закону Снеллиуса луч при пересечении поверхности преломляется на угол \(\delta\approx(n-1)\theta=(n-1)x/R\) в сторону оси. Луч пересекает ось на расстоянии \[f=\frac x\delta=\frac R{n-1}=\frac{1{,}6}{0{,}33}\approx4{,}8\text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Графит одинаков в стержне и в слое, поэтому его удельное сопротивление находят по сопротивлению стержня известных размеров, а затем по сопротивлению закрашенной полосы определяют толщину слоя.

Ответ

В официальном решении получено \(X\approx31\) нм.

Решение

Предполагаем, что удельное сопротивление графита в стержне карандаша и графита, спрессованного на бумаге, одинаково. Удельное сопротивление материала и сопротивление изготовленного из него объекта постоянного сечения связаны формулой \(R=\rho\,\dfrac lS\).

Сопротивление стержня карандаша равно \[R_{\text{карандаш}}=\rho_{\text{графит}}\cdot\frac{l_{\text{стержень}}}{\pi D_{\text{стержень}}^2/4},\] откуда удельное сопротивление графита \[\rho_{\text{графит}}=R_{\text{карандаш}}\cdot\frac{\pi D_{\text{стержень}}^2}{4\,l_{\text{стержень}}}.\] Сопротивление бумажной полоски, покрытой слоем графита толщиной \(X\), равно \[R_{\text{полоска}}=\rho_{\text{графит}}\cdot\frac{l_{\text{полоска}}}{X\,D_{\text{полоска}}},\] откуда толщина слоя графита \[X=\frac{\rho_{\text{графит}}\,l_{\text{полоска}}}{R_{\text{полоска}}\,D_{\text{полоска}}}.\] Порядок действий.

Рисую линии желаемой ширины полоски как на задней, так и на передней стороне бумаги. Подкладываю под бумагу несколько слоёв бумаги, чтобы сгладить возможные неровности стола. Закрашиваю полоску (в том числе за края) графитовым карандашом основательно (желательно вдоль длины). Проверяю закрашенное на просвет на предмет просвечивающих мест. Просвечивающие места закрашиваю ещё, пока бумага не станет равномерно непрозрачной (не просвечивает). На всякий случай покрываю область полоски графитом карандаша ещё один раз. Вырезаю полоску по линиям на обратной стороне.

При определении удельного сопротивления тонкого поверхностного покрытия при измерении нужно обеспечить хороший контакт с поверхностью по ВСЕЙ ширине полоски. Поэтому контакт щупами тестера (точка) или «крокодилом» (несколько точек) не подходит, нужно использовать металлические зажимы. Присоединяю металлические зажимы перпендикулярно полоске к концам полоски так, чтобы вся ширина полоски оказалась между зажимами. Полоску не мну, не ломаю, не вытираю поверхность графита.

Измеряю \(R_{\text{полоска}}\) на клеммах. Проверяю, является ли полученный результат наименьшим возможным сопротивлением при данном расстоянии между клеммами. Отсоединяю зажимы от полоски и покрываю полоску графитом ещё раз основательно. Измеряю \(R_{\text{полоска}}\) снова, присоединяя клеммы в то же место, что и при предыдущем измерении. Если измеренное сопротивление оказалось меньше предыдущего, то, по-видимому, максимальная толщина слоя графита ещё не достигнута, и закрашивание нужно повторять, пока результат измерения не станет повторяться (больше не уменьшается). Теперь мы достигли максимальной толщины слоя.

Измеренные величины: сопротивление полоски \(R_{\text{полоска}}=24\,930\) Ом; ширина полоски \(D_{\text{полоска}}=27\) мм и длина полоски от края зажима до края параллельного ему зажима с противоположной стороны \(l_{\text{полоска}}=187\) мм.

Несколько раз измеряю штангенциркулем диаметр стержня карандаша; диаметром стержня считаю среднее из лучших показаний: \(D_{\text{стержень}}=3{,}0\) мм. Присоединяю «крокодилы» мультиметра к концам графитового стержня карандаша и измеряю сопротивление стержня, ища наименьшее значение сопротивления: \(R_{\text{карандаш}}=2{,}1\) Ом. Измеряю длину участка стержня карандаша между «крокодилами»: \(l_{\text{стержень}}=132\) мм.

Вычисляю \(\rho_{\text{графит}}=0{,}000\,112\,46\) Ом\(\cdot\)м. Вычисляю толщину слоя графита \(X=31{,}24\) нм.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Если смотреть через собирающую линзу вплотную к глазу, оптические силы складываются; в разности для двух цветов сила линзы и длина глаза сокращаются, остаются лишь предельные расстояния чёткого видения в красном и фиолетовом свете.

Ответ

\(\Delta D=\dfrac1{d_v}-\dfrac1{d_p}\); в примере \(\Delta D\approx0{,}7\) дптр.

Решение

Метод измерения. Рассматриваем глаз как тонкую линзу с оптической силой \(D_s\), создающую изображение на сетчатке (на расстоянии \(l\) от линзы). Оптическая сила собирающей линзы пусть будет \(D_L\). Предполагаем, что глаз находится непосредственно за собирающей линзой; в этом случае суммарная оптическая сила системы равна \(D_s+D_L\). Чтобы чётко видеть тестовый узор на расстоянии \(d\) от линзы, должно выполняться \[D_s+D_L=\frac1d+\frac1l.\tag{1}\] При расслаблении глазной мышцы оптическая сила глаза минимальна; пусть она равна \(D_{s,p}\) для красного света и \(D_{s,v}\) для фиолетового. Максимальные расстояния, при которых узор ещё виден чётко (т. е. глазная мышца расслаблена), равны соответственно \(d_p\) и \(d_v\): \[D_{s,p}+D_L=\frac1{d_p}+\frac1l,\tag{2}\] \[D_{s,v}+D_L=\frac1{d_v}+\frac1l.\tag{3}\] Вычитая уравнение (2) из уравнения (3), получаем \[\Delta D\equiv D_{s,v}-D_{s,p}=\frac1{d_v}-\frac1{d_p}.\tag{4}\] Оптическая сила собирающей линзы \(D_L\) и длина глаза \(l\) сокращаются — нужно измерить лишь расстояния \(d_p\) и \(d_v\).

Так как измерение проводится при освещении в помещении, нужно позаботиться о том, чтобы бумага, освещаемая УФ- или красным источником света, освещалась только УФ- или красным светом. Общее освещение комнаты не должно падать на ту часть листа, с которой проводится измерение!

Проведение измерений.

1. Осветить тестовый узор красным светодиодом. Смотреть на узор через собирающую линзу и отодвигать узор дальше, пока он только что не станет расплывчатым. Измерить расстояние от линзы до узора: \(d_p\).

2. Повторить с фиолетовым светодиодом: \(d_v\).

3. Вычислить \(\Delta D\) по формуле (4).

Так как для фиолетового света показатель преломления глаза больше, \(D_{s,v}>D_{s,p}\), а значит \(d_v<d_p\). Измерения желательно проводить в полумраке, чтобы зрачок был больше, а глубина резкости меньше — это позволяет лучше определять границу чёткости.

Пример вычисления. Пусть оптическая сила собирающей линзы \(D_L=5\) дптр. Для наблюдателя с нормальным зрением глаз в красном свете приблизительно эмметропичен (дальняя точка в бесконечности), поэтому \[d_p\approx\frac1{D_L}=\frac1{5\text{ дптр}}=20{,}0\text{ см}.\] Измерено \(d_v=17{,}5\) см. Тогда \[\Delta D=\frac1{0{,}175\text{ м}}-\frac1{0{,}200\text{ м}}=5{,}71\text{ дптр}-5{,}00\text{ дптр}\approx0{,}7\text{ дптр}.\] Замечание о сильной близорукости. Для близорукого глаза (сила очков \(-S\)) дальняя точка без линзы равна \(d_{\mathrm{far}}=1/S\). Без использования собирающей линзы: \[\frac1{d_p}=S,\qquad\frac1{d_v}=S+\Delta D,\] и формула (4) остаётся справедливой.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.