EuPhO 2017, теоретический тур

Подсказка

В основном колебании верёвка почти прямая, так что она качается как жёсткий стержень на оси подвеса. В пункте b часть верёвки ниже неподвижного узла колеблется как целая верёвка меньшей длины, подвешенная в этом узле.

Ответ

a) \(f_1=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3g}{2L}}\approx 0{,}61\) Гц;  b) \(f_1:f_2:f_3\approx 1:2{,}2:3{,}5\).

Решение

Что происходит. Верёвка возвращается к вертикали под действием силы тяжести: при боковом отклонении натяжение, равное весу нижней части, тянет каждый участок обратно. Масса верёвки входит и в инерцию, и в силу тяжести и сокращается, поэтому любая собственная частота определяется только \(g\) и \(L\). Идея пункта a — в основном колебании верёвка почти прямая, значит, её можно заменить жёстким однородным стержнем, качающимся около точки подвеса, то есть физическим маятником. Идея пункта b — точка верёвки, которая в данном колебании не движется (узел), играет роль неподвижной точки подвеса для всей части ниже неё: эта часть колеблется как целая верёвка меньшей длины.

Обозначения. \(m\) — масса верёвки, \(L\) — длина, \(O\) — точка подвеса, \(A\) и \(B\) — верхний (точка подвеса) и нижний (свободный) концы верёвки, \(C\) — центр масс, \(\varphi\) — угол отклонения от вертикали, \(z\) — расстояние от потолка вниз.

a) Основное колебание как колебание физического маятника.

Рис. 2. Жёсткий однородный стержень на оси \(O\): центр масс \(C\) находится на расстоянии \(b=L/2\) от оси.

Для основного колебания на рис. 1 кривизна верёвки мала: наибольшее отклонение формы от прямой — около десятой доли смещения нижнего конца (рис. 3). Поэтому заменяем верёвку однородным жёстким стержнем длиной \(L\), закреплённым в точке \(O\) (рис. 2).

Рис. 3. Форма верёвки в основном колебании (чёрная, по рис. 1) и прямой стержень с тем же смещением нижнего конца (бирюзовая). Масштабы по горизонтали и по вертикали разные.

Запишем уравнение вращения стержня вокруг неподвижной оси \(O\). Момент силы тяжести относительно \(O\) — единственный момент, возвращающий стержень к вертикали (сила реакции оси проходит через \(O\) и момента не создаёт); сила тяжести приложена в центре масс, \(b=L/2\): \[I\ddot\varphi=-mgb\sin\varphi .\] Колебания малые, \(\sin\varphi\approx\varphi\): \[\ddot\varphi+\frac{mgb}{I}\,\varphi=0 ,\qquad \omega^2=\frac{mgb}{I}.\] Момент инерции стержня относительно оси через конец найдём, разбив его на элементы длиной \(dz\) и массой \(\dfrac{m}{L}\,dz\) на расстоянии \(z\) от оси: \[I=\int_0^L \frac{m}{L}\,z^2\,dz=\frac{mL^2}{3}.\] Подставим \(b=L/2\): \[\omega^2=\frac{mg\,L/2}{mL^2/3}=\frac{3g}{2L},\qquad f_1=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3g}{2L}} .\] Числа: \(\omega=\sqrt{\dfrac{3\cdot 9{,}8}{2\cdot 1{,}0}}\approx 3{,}83\) с\(^{-1}\), откуда \[f_1=\frac{3{,}83}{2\pi}\approx 0{,}61~\text{Гц},\qquad T_1=\frac{1}{f_1}\approx 1{,}6~\text{с}.\] В официальном решении под корнем напечатано \(2L/3g\), а период записан без множителя \(2\pi\) — это опечатки: число \(0{,}61\) Гц там соответствует нашей формуле.

Обратите внимание: модель годится, только пока верёвка почти не изогнута. Для вторых и третьих колебаний на рис. 1 есть узлы и изгибы, и жёсткий стержень их не опишет — поэтому в пункте b нужен другой приём.

Проверка a. Размерность: \(\sqrt{g/L}\) имеет размерность с\(^{-1}\). Предел: чем длиннее верёвка, тем ниже частота, как у любого маятника. Второй способ — точное решение уравнения колебаний верёвки, в котором форма выражается функцией Бесселя \(J_0\!\bigl(2\omega\sqrt{s/g}\bigr)\), где \(s\) — расстояние от свободного конца. Условие \(J_0=0\) в точке подвеса \(s=L\) даёт \(\omega=j_{01}\sqrt{g/L}/2\), \(j_{01}=2{,}405\), то есть \(f_1=0{,}599\) Гц при \(L=1{,}0\) м. Модель стержня даёт на 2 % больше: запрет на изгиб добавляет жёсткости системе, а такое ограничение только повышает частоту.

b) Отношение частот по узлам.

Размерность. Частота \(f_k\) собственного колебания номер \(k\) определяется величинами \(g\) (размерность м/с\(^2\)) и \(L\) (м); масса не может входить ни в какую комбинацию, иначе в размерности останутся килограммы. Единственная комбинация с размерностью с\(^{-1}\) — \(\sqrt{g/L}\), остаётся безразмерный множитель \(c_k\), зависящий только от номера колебания: \[f_k=c_k\sqrt{\frac{g}{L}} .\] Для верёвок разной длины в колебании с одним и тем же номером \(k\) получаем \[\frac{f_k(\ell)}{f_k(L)}=\sqrt{\frac{L}{\ell}} .\]

Часть верёвки ниже узла. В \(k\)-м колебании есть \(k-1\) узлов — точек, которые в приближении малых колебаний не смещаются. Рассмотрим часть верёвки ниже верхнего узла \(N\). Верхняя часть действует на неё только в точке \(N\), а эта точка неподвижна, так что нижняя часть — верёвка длиной \(L-NA\), подвешенная в неподвижной точке: та же самая задача с меньшей длиной. У неё одна и та же частота, а число узлов на единицу меньше, чем у всей верёвки; значит, это колебание номера \(k-1\): \[f_k(L)=f_{k-1}(L-NA).\] Объединим с отношением для разных длин: \[\frac{f_k(L)}{f_{k-1}(L)}=\frac{f_{k-1}(L-NA)}{f_{k-1}(L)}=\sqrt{\frac{L}{L-NA}} .\]

Рис. 4. Второе колебание: узел \(N\) неподвижен, и часть \(NB\) (справа, бирюзовая) колеблется как основное колебание верёвки длиной \(L-NA\), подвешенной в точке \(N\).

Второе колебание. На рис. 1 (середина) верёвка пересекает ось нулевого смещения на расстоянии \(NA\approx 0{,}8\) м от потолка, \(L=1\) м: \[\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{L}{L-NA}}=\sqrt{\frac{1{,}0}{0{,}2}}\approx 2{,}2 .\]

Рис. 5. Третье колебание: узлы \(N_1\) и \(N_2\). Часть ниже \(N_1\) (справа) — второе колебание верёвки длиной \(L-N_1A\); ниже \(N_2\) — основное колебание ещё более короткой верёвки.

Третье колебание. Верхний узел \(N_1\) на рис. 1 (справа) лежит на расстоянии \(N_1A\approx 0{,}6\) м от потолка. Ниже него лежит ещё один узел, так что часть ниже \(N_1\) колеблется во втором колебании верёвки длиной \(L-N_1A\approx 0{,}4\) м (рис. 5): \[\frac{f_3}{f_2}=\sqrt{\frac{1{,}0}{0{,}4}}\approx 1{,}6 .\] Перемножим отношения: \[\frac{f_3}{f_1}=\frac{f_3}{f_2}\cdot\frac{f_2}{f_1}\approx 1{,}58\cdot 2{,}24\approx 3{,}5 .\] Получаем \(f_1:f_2:f_3\approx 1:2{,}2:3{,}5\).

Обратите внимание: рассуждение применимо именно к части ниже узла. Верхняя часть над узлом подвешена не к неподвижной точке, а к потолку, и снизу на неё действует натяжение нижней части, так что подобия с короткой верёвкой для неё нет.

Проверка b. Отношения безразмерны. Второй способ — взять нижний узел \(N_2\), ниже которого узлов нет: часть ниже него — основное колебание верёвки длиной \(L-N_2A\), откуда \(f_3/f_1=\sqrt{L/(L-N_2A)}\). При \(N_2A\approx 0{,}92\) м получаем \(\sqrt{1/0{,}08}\approx 3{,}5\), то же, что и по цепочке; сам узел \(N_2\) на рисунке прочитать труднее, поэтому в расчёте использован \(N_1\). Точное решение через нули \(j_{0k}=2{,}405;\ 5{,}520;\ 8{,}654\) даёт \(f_1:f_2:f_3=1:2{,}30:3{,}60\); наш результат отличается на 3 % и 2 %, что соответствует точности чтения узлов с рисунка (сдвиг \(NA\) на \(0{,}02\) м меняет \(f_2/f_1\) на \(0{,}1\)). Физический смысл: узлы собираются к нижнему концу, а колеблющиеся нижние куски становятся всё короче, и чем короче верёвка, тем выше её частота.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Давление на грань — это число ударов молекул в секунду, умноженное на импульс, который передаёт одна молекула. Число ударов у граней одинаково, а импульс молекулы, улетающей с горячей грани, во много раз больше. Диск перестанет разгоняться, когда догонять горячую грань смогут лишь редкие быстрые молекулы.

Ответ

\(a_0\approx\dfrac{S\rho k_B}{mM}\sqrt{T_0T_1}\) (до множителя порядка единицы; ускорение направлено от горячей грани к изолированной);  \(v_{\max}\approx\sqrt{\dfrac{k_BT_0}{m}}\).

Решение

Что происходит. Газ настолько разрежен, что молекулы летят свободно и бьются о диск поодиночке; давление на грань есть отдача от этих ударов. Две грани различаются температурой отлетающих молекул. От изолированной грани молекулы отскакивают упруго, с прежней скоростью. С грани в хорошем тепловом контакте они вылетают со скоростью, соответствующей температуре диска \(T_1\), то есть намного большей. Число падающих молекул на обеих гранях одинаково, поэтому давление на горячую грань больше, и диск толкает в сторону изолированной грани. Идея оценки — давление равно потоку молекул, умноженному на передаваемый импульс. Разгон прекращается, когда скорость диска сравнивается с тепловой скоростью холодного газа: горячая грань убегает от молекул, и поток на неё резко падает.

Обозначения. \(n=\rho/m\) — концентрация молекул газа; \(v_0=\sqrt{k_BT_0/m}\) — характерная тепловая скорость молекул холодного газа; \(v_{x0}\) — составляющая скорости падающей молекулы вдоль нормали к диску; \(v_{x1}\) — такая же составляющая скорости молекулы, улетающей с горячей грани; \(P_0\) и \(P_1\) — давления на изолированную и горячую грани. Ось \(x\) направлена от горячей грани к изолированной. Массу атома диска считаем порядка \(m\) (\(M\approx Nm\)). Все численные множители порядка единицы в оценке не уточняем.

Рис. 1. Удары молекул о диск (длины стрелок не в масштабе). Слева — горячая грань: молекула падает медленно, улетает быстро. Справа — теплоизолированная грань: скорость молекулы не меняется. \(P_1S\gg P_0S\), ускорение \(\vec a_0\) направлено вправо.

1. Давление на изолированную грань. Молекула со скоростью \(v_{x0}\) вдоль нормали отражается упруго и передаёт грани импульс \(2mv_{x0}\). Число ударов за единицу времени на единицу площади (поток) пропорционально \(nv_{x0}\). Давление — поток, умноженный на передаваемый импульс, усреднённый по молекулам: \[P_0\sim nv_{x0}\cdot 2mv_{x0}\sim nm\,\overline{v_{x0}^2}\sim nk_BT_0 ,\] как и должно быть для давления идеального газа.

2. Давление на горячую грань. Падающий поток \(j_0\propto nv_{x0}\) тот же самый: он определяется газом, а не диском. Но молекула, уже побывавшая на горячей грани, улетает с температурой диска, поэтому нормальная составляющая её скорости \(v_{x1}\sim\sqrt{k_BT_1/m}\gg v_{x0}\). Импульс, переданный грани при ударе, — импульс падающей и улетающей молекулы: \[p_1=m(v_{x0}+v_{x1})\approx mv_{x1},\] так как \(T_1=1000\,T_0\) и \(v_{x1}\gg v_{x0}\). Отношение давлений получаем как отношение переданных импульсов при одинаковом потоке: \[\frac{P_1}{P_0}=\frac{p_1}{2mv_{x0}}\sim\frac{v_{x1}}{v_{x0}}\sim\sqrt{\frac{T_1}{T_0}}\approx 30 , \qquad P_1\sim nk_B\sqrt{T_0T_1}.\]

3. Начальное ускорение. На диск действует сила давления газа на горячую грань, направленная вдоль оси \(x\), и меньшая сила на изолированную грань, направленная против оси \(x\) (рис. 1). Так как \(P_1\gg P_0\), \[F=(P_1-P_0)S\approx Snk_B\sqrt{T_0T_1}.\] Запишем второй закон Ньютона для диска в проекции на ось \(x\) и подставим \(n=\rho/m\): \[a_0=\frac{F}{M}\approx\frac{Snk_B}{M}\sqrt{T_0T_1}=\frac{S\rho k_B}{mM}\sqrt{T_0T_1}.\]

4. Максимальная скорость. Пусть диск уже движется со скоростью \(v\) вдоль оси \(x\). Горячая грань убегает от молекул: догнать её могут лишь молекулы, у которых составляющая скорости вдоль оси \(x\) больше \(v\) (рис. 2). Распределение Максвелла при \(v\gtrsim v_0\) обрезается быстрее экспоненты, поэтому поток на горячую грань резко падает: по расчёту он составляет \(0{,}2\,j_0\) при \(v=v_0\), \(0{,}02\,j_0\) при \(v=2v_0\) и около \(10^{-3}j_0\) при \(v=3v_0\). С грани улетает столько молекул, сколько на неё упало, поэтому вместе с потоком во столько же раз падает и давление \(P_1\). На изолированную грань, наоборот, молекулы налетают со скоростью \(v_x+v\), и давление \(P_0\) растёт.

Начальный перевес \(P_1/P_0\sim\sqrt{T_1/T_0}\approx 30\) снимается уже при \(v\sim v_0\): при \(v=v_0\) давление на горячую грань падает примерно в 5 раз, а на изолированную растёт примерно в 4 раза (рис. 3). Скорость, при которой давления сравниваются, порядка \(v_0\): \[v_{\max}\approx v_0=\sqrt{\frac{k_BT_0}{m}}.\] Расчёт по распределению Максвелла (рис. 3) даёт \(v_{\max}\approx 0{,}96\,v_0\).

Обратите внимание: если считать \(P_1\) не зависящим от скорости и приравнять его встречному давлению \(P_0\sim\rho v^2\), получится \(v_{\max}\sim v_0\sqrt{T_1/T_0}\approx 30\,v_0\) — это неверно: задолго до такой скорости горячую грань перестают догонять молекулы, и толкать диск становится нечем.

В официальном решении для потока приведены значения \(10^{-3}j_0\) при \(2v_0\) и \(10^{-6}j_0\) при \(3v_0\); они получаются, если мерить скорость в единицах \(\sqrt{2k_BT_0/m}\). На вывод это не влияет.

Рис. 2. Распределение \(f(u)\) молекул газа по скорости \(u\) вдоль оси \(x\). Диск движется со скоростью \(v\) вправо; горячую грань (слева на диске) догоняют только молекулы с \(u>v\) — закрашенный хвост.

Рис. 3. Давление на горячую грань (падающие и улетающие молекулы) и на изолированную грань как функции скорости диска, расчёт по распределению Максвелла при \(T_1=1000\,T_0\). Давления равны в точке \(v_{\max}\approx 0{,}96\,v_0\).

Обратите внимание: предполагаем, что диск при разгоне остаётся горячим, \(T_1\) не меняется. Это нужно проверить — следующий пункт.

5. Диск не успевает остыть. Время разгона \[t_a\approx\frac{v_{\max}}{a_0}=\frac{M}{\rho S}\sqrt{\frac{m}{k_BT_1}}.\] Остывает диск за счёт горячей грани: каждая падающая молекула уносит энергию порядка \(k_BT_1\), поток по порядку величины равен \(nv_0\). Верхняя оценка мощности теплоотвода (она максимальна в начале, когда \(v=0\)) \[P_{\text{тепл}}\approx S\,nv_0\,k_BT_1=Snk_BT_1\sqrt{\frac{k_BT_0}{m}} .\] Запас тепла \(Q\approx Nk_BT_1=(M/m)k_BT_1\). Время остывания не меньше \[t_c\approx\frac{Q}{P_{\text{тепл}}}=\frac{M}{\rho S}\sqrt{\frac{m}{k_BT_0}} .\] Сравним: \[\frac{t_a}{t_c}\approx\sqrt{\frac{T_0}{T_1}}\approx\frac{1}{30}\ll 1 ,\] так что диск остаётся горячим до тех пор, пока разгонится.

Проверка. Размерность: \(S\rho k_BT/(mM)\) — \(\text{м}^2\cdot\text{кг}/\text{м}^3\cdot\text{Дж}/\text{кг}^2=\text{м}/\text{с}^2\); \(\sqrt{k_BT_0/m}\) — \(\text{м}/\text{с}\). Предел: чем плотнее газ и больше площадь, тем быстрее разгон. Второй способ — точный расчёт в этой модели (газ максвелловский, от изолированной грани молекулы отражаются упруго, с горячей вылетают с распределением Максвелла при температуре \(T_1\)): \(P_0=nk_BT_0\), \(P_1=\dfrac{nk_B}{2}\bigl(T_0+\sqrt{T_0T_1}\bigr)\), откуда \[F=\frac{Snk_B}{2}\bigl(\sqrt{T_0T_1}-T_0\bigr),\qquad a_0=\frac{F}{M}\approx\frac12\cdot\frac{S\rho k_B}{mM}\sqrt{T_0T_1}\quad(T_1\gg T_0).\] Это наша оценка с множителем \(1/2\) — порядка единицы, как и обещано; точная формула ещё и обращается в нуль при \(T_1=T_0\), как должна. Скорость из уравнения \(F(v)=0\) получается \(0{,}96\,v_0\) при \(T_1/T_0=1000\), \(0{,}59\,v_0\) при \(100\) и \(1{,}33\,v_0\) при \(10^4\): она очень слабо зависит от перегрева диска, и \(v_{\max}\approx v_0\) оправдано. Смысл ответа: диск разгоняется до скорости, с которой движется сам холодный газ, а не до скорости горячих молекул.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сверхпроводящая сетка не пускает изменение магнитного потока через свои отверстия, так что в её плоскости остаётся прежней нормальная составляющая поля. Это граничная задача: подберите два диполя-изображения за сеткой, которые сохранят поле в плоскости, и найдите силу между диполем и изображениями.

Ответ

\(F=\dfrac{3\mu_0m^2}{2\pi}\left[\dfrac{1}{16\,b^4}-\dfrac{1}{(a+b)^4}\right]\); при \(b<a\) диполь отталкивается от сетки (\(F>0\)), при \(b>a\) притягивается; при \(b=a\) сила равна нулю, а при \(b=a+\delta\), \(\delta\ll a\): \(F\approx-\dfrac{3\mu_0m^2}{16\pi a^5}\,\delta\).

Решение

Что происходит. Сверхпроводящий контур сохраняет магнитный поток через себя. Каждое отверстие сетки окружено сверхпроводником, поэтому при переходе сетки в сверхпроводящее состояние поток через каждое отверстие замораживается и дальше не меняется, что бы мы ни делали с диполем. Отверстия много меньше расстояний \(a\) и \(b\), так что можно говорить о нормальной (перпендикулярной сетке) составляющей поля \(B_z\) в плоскости сетки как о заданной функции координат: она равна той, которую создавал диполь на расстоянии \(a\). Поле над сеткой при этом определяется заданной нормальной составляющей в плоскости — это граничная задача, которую решает метод изображений. Идея решения: подобрать за сеткой воображаемые диполи, которые вместе с настоящим диполем дадут в плоскости сетки прежнюю нормальную составляющую поля, и найти силу как силу взаимодействия диполя с ними.

Обозначения. Ось \(z\) перпендикулярна сетке, начало — в её плоскости, диполь находится выше сетки. Его момент направлен вдоль \(-z\) (к сетке). \(\rho\) — расстояние от оси в плоскости сетки. \(B_z^{(d)}(\rho)\) — нормальная составляющая поля в плоскости сетки от диполя \(m\), расположенного на оси на расстоянии \(d\) от неё.

Рис. 1. Диполь до охлаждения (серый, расстояние \(a\)) и после смещения (расстояние \(b\); для определённости \(b<a\)). Стрелка — направление дипольного момента.

1. Что остаётся неизменным. До охлаждения в плоскости сетки была нормальная составляющая поля \(B_z^{(a)}(\rho)\) диполя на расстоянии \(a\). После охлаждения поток через каждое отверстие не меняется, поэтому в плоскости сетки при любом положении диполя \[B_z(\rho)=B_z^{(a)}(\rho).\]

2. Какие диполи-изображения нужны. Поле диполя, направленного вдоль оси \(z\), обладает свойством: \(B_z\) зависит только от \(\rho\) и \(z^2\), то есть чётна по \(z\). Поэтому диполь с тем же моментом на расстоянии \(d\) по любую сторону плоскости создаёт в ней одну и ту же функцию \(B_z^{(d)}(\rho)\); диполь с противоположным моментом — функцию \(-B_z^{(d)}(\rho)\).

Рис. 2. Диполь на расстоянии \(b\) над сеткой и два воображаемых диполя за сеткой (бирюзовые): момент \(\vec m\) на расстоянии \(a\) и момент \(-\vec m\) на расстоянии \(b\).

Настоящий диполь на расстоянии \(b\) создаёт в плоскости \(B_z^{(b)}\). Нужно получить суммарно \(B_z^{(a)}\), поэтому добавляем за сеткой два диполя:

• изображение 1 — тот же момент \(\vec m\) на расстоянии \(a\) за сеткой: оно создаёт \(B_z^{(a)}\);

• изображение 2 — момент \(-\vec m\) на расстоянии \(b\) за сеткой: оно создаёт \(-B_z^{(b)}\) и гасит вклад настоящего диполя.

В сумме в плоскости получаем \(B_z^{(b)}+B_z^{(a)}-B_z^{(b)}=B_z^{(a)}\), как и требуется. Над сеткой поле определяется своим граничным значением нормальной составляющей и убыванием на бесконечности однозначно, поэтому поле над сеткой совпадает с полем настоящего диполя и этих двух изображений; сила на диполь — сила от поля изображений.

Обратите внимание: если бы сетка охлаждалась, когда диполя рядом нет, поток был бы нулевым, и нужно было бы только изображение 2 — как для диполя над сверхпроводящей плоскостью. Здесь же при охлаждении поток уже был, и изображение 1 обязательно.

3. Сила между двумя соосными диполями. Поле диполя можно получить из пары магнитных полюсов \(+q_m\) и \(-q_m\) на расстоянии \(d\) друг от друга, \(m=q_md\) (рис. 3). Точка \(P\) лежит на оси на расстоянии \(x\gg d\) от ближайшего полюса. Поле двух полюсов вдоль оси: \[B=\frac{\mu_0q_m}{4\pi}\left[\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+d)^2}\right] \approx\frac{\mu_0q_m}{4\pi}\cdot\frac{2d}{x^3}=\frac{\mu_0\,m}{2\pi x^3},\] где использовано \((x+d)^{-2}\approx x^{-2}(1-2d/x)\). Поле направлено вдоль момента диполя.

Рис. 3. Диполь \(\vec m\) как пара полюсов \(\pm q_m\) и точка \(P\) на его оси.

Второй диполь, момент которого параллелен оси, лежит на ней на расстоянии \(x\) от первого. Пусть \(\mu_1\) и \(\mu_2\) — проекции их моментов на общую ось. Энергия второго диполя в поле первого \[U=-\mu_2B=-\frac{\mu_0\mu_1\mu_2}{2\pi x^3}.\] Сила, отталкивающая второй диполь от первого (вдоль \(x\), от первого диполя): \[F_x=-\frac{dU}{dx}=-\frac{3\mu_0\mu_1\mu_2}{2\pi x^4}.\] Она отрицательна (притяжение), если моменты направлены одинаково (\(\mu_1\mu_2>0\)), и положительна (отталкивание), если противоположно.

4. Сила на диполь. Положение настоящего диполя — \(z=b\). Проекции моментов на ось \(z\): у настоящего диполя \(\mu=-m\), у изображения 1 \(\mu_1=-m\), у изображения 2 \(\mu_2=+m\). Расстояния от настоящего диполя до изображений: \(x_1=a+b\) и \(x_2=2b\); оба изображения лежат ниже, так что <<от изображения>> означает направление \(+z\). Сила от изображения 1 — притяжение, \(\mu\mu_1=m^2>0\): \[F_{1}=-\frac{3\mu_0m^2}{2\pi(a+b)^4}.\] Сила от изображения 2 — отталкивание, \(\mu\mu_2=-m^2<0\): \[F_{2}=+\frac{3\mu_0m^2}{2\pi(2b)^4}=\frac{3\mu_0m^2}{2\pi}\cdot\frac{1}{16b^4}.\] Сложим: \[F=F_1+F_2=\frac{3\mu_0m^2}{2\pi}\left[\frac{1}{16\,b^4}-\frac{1}{(a+b)^4}\right].\] Знак \(F>0\) означает отталкивание диполя от сетки, \(F<0\) — притяжение. Условие \(F>0\) равносильно \(2b<a+b\), то есть \(b<a\): диполь, придвинутый ближе исходного положения, отталкивается, отодвинутый — притягивается. На сетку действует такая же по модулю сила в противоположном направлении.

Рис. 4. Сила как функция \(b/a\) и два её слагаемых (от изображения 2 — положительное, от изображения 1 — отрицательное). Сила обращается в нуль при \(b=a\); при \(b>a\) притяжение слабое, наибольшее, \(0{,}014\cdot\dfrac{3\mu_0m^2}{2\pi a^4}\), при \(b\approx 1{,}35\,a\).

5. Малое смещение. Пусть \(b=a+\delta\), \(\delta\ll a\). Разложим слагаемые по \(\delta/a\): \(\dfrac{1}{16(a+\delta)^4}\approx\dfrac{1}{16a^4}\left(1-\dfrac{4\delta}{a}\right)\), \(\dfrac{1}{(2a+\delta)^4}\approx\dfrac{1}{16a^4}\left(1-\dfrac{2\delta}{a}\right)\). Разность в скобках: \(\dfrac{1}{16a^4}\left(-\dfrac{4\delta}{a}+\dfrac{2\delta}{a}\right)=-\dfrac{\delta}{8a^5}\). Тогда \[F\approx-\frac{3\mu_0m^2}{2\pi}\cdot\frac{\delta}{8a^5}=-\frac{3\mu_0m^2}{16\pi a^5}\,\delta .\] Знак минус: при \(\delta>0\) (диполь отодвинули от сетки) сила направлена к сетке, при \(\delta<0\) — от неё, то есть сила возвращающая.

Проверка. Размерность: энергия взаимодействия \(\mu_0m^2/x^3\) — \(\text{Н/А}^2\cdot\text{А}^2\text{м}^4/\text{м}^3=\text{Н}\cdot\text{м}\), значит \(\mu_0m^2/x^4\) — ньютоны. Предел \(b=a\): изображения гасят друг друга (одинаковые по модулю и противоположные по знаку моменты на одном расстоянии \(a\) от сетки), сила равна нулю — положение диполя такое же, как при охлаждении, и ничего не должно меняться. Второй способ — предел \(a\to\infty\): тогда при охлаждении поток через сетку был нулевым, и должна получиться известная сила отталкивания диполя от сверхпроводящей плоскости; из формулы \(F\to\dfrac{3\mu_0m^2}{2\pi}\cdot\dfrac{1}{16b^4}=\dfrac{3\mu_0m^2}{32\pi b^4}\) — это сила взаимодействия диполя с одним изображением \(-m\) на расстоянии \(2b\). Смысл результата: смещение диполя от положения, где он был при охлаждении, вызывает возвращающую силу, линейную по смещению, и малые отклонения диполя дают гармонические колебания около \(b=a\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.