зад 1 Соленоид и виток
Замкнутый круговой виток радиуса \(r\) состоит из идеальной батареи с электродвижущей силой \(\mathcal E\) и провода сопротивлением \(R\). Длинный тонкий соленоид без сердечника расположен на оси витка (ось \(z\)). Его длина \(\ell\gg r\), площадь поперечного сечения \(A\) (\(r\gg\sqrt A\)), число витков \(N\). Соленоид питается постоянным током \(I\) от идеального источника тока. Направления токов в соленоиде и в витке одинаковы (на рисунке — по часовой стрелке).
Рис. 1. Соленоид с головкой \(O_1\) и хвостом \(O_2\) на оси \(z\) витка радиуса \(r\) с батареей \(\mathcal E\); соленоид питает источник тока \(I\).
a) Найдите силу \(F_1\), действующую на соленоид, когда его головка \(O_1\) находится в центре витка \(O\). Чему равна сила \(F_2\), действующая на соленоид, когда в центре витка находится его хвост \(O_2\)?
b) Пусть теперь соленоид медленно движется с постоянной скоростью \(v\) вдоль оси \(z\): он начинает движение далеко от витка, проходит мимо его центра и движется дальше вправо, в положительном направлении оси \(z\). Постройте график зависимости тока \(J\) в витке от времени. Отметьте на графике важные особенности и значения. Скорость \(v\) настолько мала, что самоиндукцией витка можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Снаружи длинный тонкий соленоид действует как два магнитных «заряда» на концах: поток поля внутри него целиком выходит из головки и целиком входит в хвост. Силу на соленоид найдите как силу на виток в поле точечного полюса, а ток в витке при движении — через ЭДС индукции, считая поток через виток от двух полюсов.
▶ОтветСкрыть
a) \(F_1=\dfrac{\mu_0 N I A\,\mathcal E}{2\ell R r}\), сила направлена вдоль \(+z\) (виток и соленоид притягиваются); \(\vec F_2=-\vec F_1\), то есть вдоль \(-z\) и той же величины; b) \(J(t)=\dfrac{\mathcal E}{R}-\dfrac{v\mu_0NIA}{2R\ell}\left[\dfrac{r^2}{(z_1^2+r^2)^{3/2}}-\dfrac{r^2}{(z_2^2+r^2)^{3/2}}\right]\), где \(z_{1,2}=\pm\ell/2+vt\) — координаты концов соленоида; график: ток почти равен \(\mathcal E/R\), кроме двух коротких (длительностью порядка \(r/v\)) выбросов: сначала провал до \(J_{\min}\approx\dfrac{\mathcal E}{R}-\dfrac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}\) при \(t=-\dfrac{\ell}{2v}\), затем пик до \(J_{\max}\approx\dfrac{\mathcal E}{R}+\dfrac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}\) при \(t=+\dfrac{\ell}{2v}\); \(J-\mathcal E/R\) — нечётная функция времени.
▶РешениеСкрыть
Что происходит. Вне длинного тонкого соленоида магнитное поле безвихревое и не имеет источников — точно так же устроено электрическое поле вне зарядов. Поэтому снаружи соленоид неотличим от двух магнитных «зарядов» — полюсов на концах: из головки \(O_1\) выходит, а в хвост \(O_2\) входит весь поток \(\Phi_0\), идущий внутри соленоида. Это и есть главная идея: поле полюса точечное и радиальное, как поле заряда. Сила на соленоид по третьему закону Ньютона равна и противоположна силе на виток, а силу на виток в радиальном поле полюса, стоящего в его центре, считаем сразу: она одинакова на всех элементах. В части b) ток в витке меняется из-за ЭДС индукции, а её находим по потоку поля двух полюсов через виток — он выражается через телесный угол, под которым виток виден из полюса.
Обозначения. Ось \(z\) — ось витка, начало в центре витка \(O\). Ток в витке — \(J\); пока ничего не движется, потока через виток нет, ЭДС индукции нет и \(J=\mathcal E/R\). Поле внутри соленоида \(B_{\text{в}}=\mu_0NI/\ell\), поток через его сечение \[\Phi_0=B_{\text{в}}A=\frac{\mu_0 N I A}{\ell}.\] Полюса: «С» — у головки \(O_1\) (поток выходит), «Ю» — у хвоста \(O_2\) (поток входит). Размер области, откуда выходит поток, порядка \(\sqrt A\ll r\), поэтому полюс считаем точкой.
Рис. 2. Поле тонкого соленоида: внутри оно однородно, снаружи — как у двух полюсов; линии выходят из «С» (головка \(O_1\)) и входят в «Ю» (хвост \(O_2\)).
a) Силы на соленоид. Окружим головку маленькой сферой. Поток через неё равен \(\Phi_0\), а поле точечного полюса по симметрии радиально и зависит только от расстояния \(\rho\) до него; значит, \(B(\rho)\cdot4\pi\rho^2=\Phi_0\): \[B(\rho)=\frac{\Phi_0}{4\pi\rho^2}=\frac{\mu_0NIA}{4\pi\ell\rho^2}.\] Поле второго полюса (хвоста) у центра витка не учитываем: оно слабее в \((r/\ell)^2\ll1\) раз, потому что хвост лежит на расстоянии \(\ell\gg r\).
Пусть головка \(O_1\) в центре витка. Все элементы витка находятся на расстоянии \(\rho=r\) от полюса, поле на них направлено радиально наружу, то есть лежит в плоскости витка и перпендикулярно проводу. Тогда сила Ампера на элемент провода \(d\ell\) с током \(J=\mathcal E/R\) по модулю равна \(dF=J\,B(r)\,d\ell\) и направлена перпендикулярно плоскости витка, вдоль оси \(z\). Для всех элементов направление одно и то же, поэтому силы складываются арифметически: \[F_{\text{виток}}=J\,B(r)\cdot2\pi r=\frac{\mathcal E}{R}\cdot\frac{\mu_0NIA}{4\pi\ell r^2}\cdot2\pi r=\frac{\mu_0NIA\,\mathcal E}{2\ell Rr}.\] По третьему закону Ньютона такая же по модулю сила действует на соленоид.
Направление найдём из того, что токи сонаправлены, а параллельные токи притягиваются. При \(O_1\) в центре витка весь соленоид лежит слева от плоскости витка, значит, его витки притягиваются к этой плоскости, то есть сила на соленоид направлена вдоль \(+z\) (рис. 3 а). Тот же знак даёт сила Ампера. Поле витка в центре и поле внутри соленоида направлены вдоль \(+z\) (головка — северный полюс), поэтому ток в верхнем проводе направлен к нам (\(\odot\) на рис. 3). Поле полюса там направлено вверх, и \(J\,d\vec\ell\times\vec B\) смотрит влево, вдоль \(-z\): сила на виток отрицательна, а на соленоид положительна.
Теперь хвост \(O_2\) в центре витка. Соленоид лежит справа от плоскости, его витки притягиваются к ней влево. Поле южного полюса направлено радиально внутрь, поэтому сила на каждый элемент витка поменяла знак и направлена вдоль \(+z\), а на соленоид — вдоль \(-z\) (рис. 3 б). Модуль тот же, потому что поле южного полюса отличается только знаком: \[F_1=\frac{\mu_0NIA\,\mathcal E}{2\ell Rr}\ \ (\text{вдоль }+z),\qquad \vec F_2=-\vec F_1.\]
Рис. 3. Разрез плоскостью, содержащей ось \(z\): провод витка виден в двух точках, ток сверху направлен к нам (\(\odot\)), снизу — от нас (\(\otimes\)). а) Головка в центре, поле радиально наружу; б) хвост в центре, поле радиально внутрь.
Проверка вторым способом. Разобьём соленоид на короткие отрезки длины \(dz\); у каждого магнитный момент \(dm=\dfrac{NIA}{\ell}\,dz\) направлен вдоль \(z\), а сила на магнитный момент вдоль оси равна \(dm\,\dfrac{dB_z}{dz}\), где \(B_z(z)=\dfrac{\mu_0}{2}\dfrac{\mathcal E}{R}\dfrac{r^2}{(z^2+r^2)^{3/2}}\) — поле витка на его оси (закон Био — Савара). Для головки в центре соленоид занимает \(-\ell<z<0\): \[F_1=\frac{NIA}{\ell}\bigl[B_z(0)-B_z(-\ell)\bigr]=\frac{\mu_0NIA\,\mathcal E}{2\ell Rr}\left[1-\frac{r^3}{(\ell^2+r^2)^{3/2}}\right]\approx\frac{\mu_0NIA\,\mathcal E}{2\ell Rr},\] поправка порядка \((r/\ell)^3\). Результат тот же. Размерность: \(\mu_0 I\mathcal E/R\) имеет размерность силы, а множитель \(NA/(\ell r)\) безразмерен.
b) Ток в витке при движении соленоида. Закон Ома для витка с батареей и ЭДС индукции, самоиндукцией пренебрегаем: \[J=\frac{\mathcal E+\mathcal E_{\text{инд}}}{R},\qquad \mathcal E_{\text{инд}}=-\frac{d\Phi}{dt},\] где \(\Phi\) — поток поля соленоида через виток; положительным считаем поток в том направлении, в котором создаёт поле сам ток \(J>0\). Токи в соленоиде и в витке сонаправлены, поэтому внутри соленоида на оси поток положителен.
Поток одного полюса через виток. Из полюса, лежащего на оси на расстоянии \(|z|\) от плоскости витка, виден круг радиуса \(r\) под телесным углом \(\omega=2\pi(1-\cos\alpha)\), где \(\cos\alpha=|z|/\sqrt{z^2+r^2}\) (рис. 4). Полюс излучает поток \(\Phi_0\) равномерно по всем направлениям, значит, через круг идёт доля \(\omega/4\pi\) этого потока: \[\Phi_{\text{п}}=\frac{\Phi_0}{2}\left(1-\frac{|z|}{\sqrt{z^2+r^2}}\right).\]
Рис. 4. Полюс «С» на расстоянии \(z\) от плоскости витка радиуса \(r\): через круг проходят линии поля (бирюзовые), попадающие в конус с полууглом \(\alpha\).
Введём \(f(z)=\dfrac{z}{\sqrt{z^2+r^2}}\) и координаты концов соленоида: головка \(z_1=\ell/2+vt\), хвост \(z_2=-\ell/2+vt\) (начало отсчёта времени — когда центр соленоида в центре витка). Сложим вклады полюсов в разных положениях:
оба конца слева от плоскости (\(z_1<0\)): головка даёт в \(+z\) поток \(\frac{\Phi_0}{2}\bigl(1+f(z_1)\bigr)\), а в хвост поток втекает со стороны плоскости, то есть через виток идёт в \(-z\): вклад хвоста \(-\frac{\Phi_0}{2}\bigl(1+f(z_2)\bigr)\); сумма \(\frac{\Phi_0}{2}\bigl(f(z_1)-f(z_2)\bigr)\);
соленоид пересекает плоскость (\(z_2<0<z_1\)): вклад головки \(-\frac{\Phi_0}{2}\bigl(1-f(z_1)\bigr)\), хвоста \(-\frac{\Phi_0}{2}\bigl(1+f(z_2)\bigr)\), и ещё весь поток \(\Phi_0\) внутри соленоида проходит через круг; сумма снова \(\frac{\Phi_0}{2}\bigl(f(z_1)-f(z_2)\bigr)\);
оба конца справа — так же.
Рис. 5. Три характерных момента движения (разрез, \(\ell=5r\)): головка в плоскости витка, виток посередине соленоида, хвост в плоскости витка.
Рис. 6. Поток поля соленоида через виток (рассчитано для \(\ell=5r\)): при \(\ell\gg r\) плато приближается к \(\Phi_0\).
Дифференцируем: \(f'(z)=\dfrac{r^2}{(z^2+r^2)^{3/2}}\), а \(\dot z_1=\dot z_2=v\), поэтому \[\mathcal E_{\text{инд}}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{v\mu_0NIA}{2\ell}\left[\frac{r^2}{(z_1^2+r^2)^{3/2}}-\frac{r^2}{(z_2^2+r^2)^{3/2}}\right],\] \[J(t)=\frac{\mathcal E}{R}-\frac{v\mu_0NIA}{2R\ell}\left[\frac{r^2}{(z_1^2+r^2)^{3/2}}-\frac{r^2}{(z_2^2+r^2)^{3/2}}\right].\]
Разберём, как ведёт себя эта функция, и по этому построим график.
\(|t|\ll\ell/2v\): оба конца далеко от плоскости витка (на расстоянии порядка \(\ell/2\gg r\)), оба слагаемых в скобке малы и почти равны, поэтому \(J\approx\mathcal E/R\).
\(|t|\gg\ell/2v\): соленоид далеко, поле у витка — как от диполя и убывает как \(t^{-3}\), поток и ЭДС убывают ещё быстрее (\(\mathcal E_{\text{инд}}\propto t^{-4}\)), поэтому \(J\to\mathcal E/R\).
\(t\approx-\ell/2v\): головка проходит плоскость витка, \(z_1\approx0\); первое слагаемое в скобке достигает максимума \(1/r\), второе (хвост далеко: \(z_2\approx-\ell\)) ничтожно, и ток минимален: \[J_{\min}\approx\frac{\mathcal E}{R}-\frac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}.\] Этот провал узкий: слагаемое меняется заметно, когда \(z_1=\ell/2+vt\) меняется на \(r\), то есть за время порядка \(r/v\).
\(t\approx+\ell/2v\): теперь \(z_2\approx0\), и второе слагаемое даёт максимум, а ток максимален: \[J_{\max}\approx\frac{\mathcal E}{R}+\frac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}.\] Ширина пика тоже порядка \(r/v\), а от провала он отстоит на время \(\ell/v\).
Рис. 7. Ток в витке: плавная кривая без разрывов; \(J_{\min}\) и \(J_{\max}\) отличаются от \(\mathcal E/R\) на \(\dfrac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}\), длительность провала и пика — порядка \(r/v\), расстояние между ними — \(\ell/v\).
Проверка. Размерность: \(\dfrac{\mu_0NI}{\ell}\) — индукция \(B\), поэтому \(\dfrac{v\mu_0NIA}{r\ell}\) имеет размерность \(B\cdot A\cdot v/r=\text{Тл}\cdot\text{м}^2/\text{с}=\text{В}\) — это ЭДС. Предел \(v\to0\) даёт \(J=\mathcal E/R\) — без движения нет индукции. Второй способ для высоты пика: при головке в плоскости витка виток пересекает радиальное поле полюса со скоростью \(v\), ЭДС движения \(\mathcal E_{\text{инд}}=v\,B(r)\cdot2\pi r=\dfrac{v\mu_0NIA}{2\ell r}\), как и в формуле. Связь с частью a): \(F_1v=\mathcal E_{\text{инд}}\,\dfrac{\mathcal E}{R}\) — это одна и та же взаимная индуктивность \(L_{12}\) витка и соленоида: сила равна \(I\,J\,dL_{12}/dz\), ЭДС индукции в витке равна \(-I\,v\,dL_{12}/dz\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Механический ускоритель
Невесомая нить делает \(N\) оборотов вокруг неподвижно закреплённого цилиндра, как показано на рисунке. Вначале свободные (не намотанные) концы нити параллельны оси \(X\). Затем к одному концу нити прикрепляют тяжёлое точечное тело \(P\), а другой конец тянут с постоянной скоростью \(u\) вдоль оси \(X\). Найдите максимальную скорость, которую приобретёт тяжёлое тело.
Рис. 1. Нить, намотанная на цилиндр в \(N\) витков; тело \(P\) на одном конце, другой конец тянут со скоростью \(\vec u\) вдоль оси \(X\).
Нить нерастяжима и гибка. Считайте, что витки нити плотно прилегают друг к другу и расположены практически в одной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Трением в системе пренебрегите. Силу тяжести не учитывайте.
▶ПодсказкаСкрыть
Единственная сила, действующая на \(P\), — натяжение вдоль нити, поэтому поперёк нити у \(P\) ускорения нет. А вдоль нити скорость \(P\) равна скорости \(u\), с которой скользит сама нить. Выразите поперечную скорость через угол, на который повернулась нить, и найдите этот угол к моменту, когда нить сойдёт с цилиндра.
▶ОтветСкрыть
\(v_{\max}=u\,(1+2\pi N)\); она достигается уже после схода нити с цилиндра, когда прямая нить перпендикулярна оси \(X\). К моменту схода скорость равна \(u\sqrt{1+(2\pi N)^2}\).
▶РешениеСкрыть
Что происходит. Нить гладкая и нерастяжима, поэтому тянущий конец заставляет всю нить скользить вдоль самой себя со скоростью \(u\). На тело \(P\) действует только натяжение, направленное вдоль нити, значит, поперёк нити его ускорение равно нулю. Отсюда главное: поперечная составляющая скорости \(P\) растёт пропорционально углу \(\varphi\), на который повернулась свободная часть нити. Нить сматывается с цилиндра и успевает повернуться на \(2\pi N\), поэтому к моменту схода поперечная скорость равна \(2\pi N u\). После схода прямая нить вращается вокруг своего конца, движущегося равномерно, и скорость \(P\) максимальна, когда скорость вращения направлена так же, как \(\vec u\).
Обозначения. Смотрим сверху вдоль оси цилиндра (рис. 2). \(O\) — центр цилиндра, \(R\) — его радиус, ось \(X\) направлена вправо, \(m\) — масса \(P\). Оба свободных конца нити выходят из нижней точки цилиндра по касательной вдоль \(X\); тянут правый конец \(Q\). Свободный участок со стороны \(P\) — отрезок длины \(l\) от точки касания \(T_P\) до \(P\); его направление повернулось на угол \(\varphi\) (против часовой стрелки) от начального, при этом радиус \(OT_P\) повернулся на тот же угол. Свободный участок со стороны \(Q\) имеет длину \(l_Q\) и выходит из точки \(T_Q\). Введём единичные векторы: \(\vec e_1\) — вдоль нити от цилиндра к \(P\), \(\vec e_2\) — перпендикулярно нити, по направлению \(\overrightarrow{OT_P}\). Оба вектора поворачиваются вместе с нитью: \[\dot{\vec e}_1=\dot\varphi\,\vec e_2,\qquad \dot{\vec e}_2=-\dot\varphi\,\vec e_1 .\] В начальный момент считаем, что \(P\) находится у цилиндра: \(l=0\), \(\varphi=0\). (Если вначале он на расстоянии \(d\) от точки касания, то сперва он равномерно приближается вдоль нити, \(l=d-ut\), \(\varphi=0\), а когда дойдёт до цилиндра, всё идёт так же.)
Рис. 2. Вид сверху в момент, когда нить повернулась на \(\varphi=130^\circ\): свободный участок \(T_PP\) касается цилиндра, участок \(T_QQ\) идёт вдоль \(X\). Справа — скорость \(P\): \(-u\vec e_1\) вдоль нити и \(v_\perp\vec e_2\) поперёк.
Часть 1. Нить на цилиндре.
1. Длина свободного участка. Конец \(Q\) движется вдоль \(X\), а участок \(T_QQ\) остаётся прямым и параллельным \(X\), значит, точка касания \(T_Q\) неподвижна, и участок удлиняется со скоростью \(u\): \(l_Q=ut\). Намотанная часть нити лежит между \(T_P\) и \(T_Q\). Когда направление свободного участка повернулось на \(\varphi\), точка \(T_P\) сместилась по цилиндру на дугу \(R\varphi\) и намотанная часть стала короче: \(W=2\pi RN-R\varphi\). Нить нерастяжима, сумма трёх частей постоянна и равна начальной длине намотанной части (в начале \(l=l_Q=0\)), рис. 3: \[l+W+l_Q=2\pi RN\quad\Rightarrow\quad l=R\varphi-ut .\]
Рис. 3. Нить как отрезок: в начале вся нить намотана; со временем свободные части \(l_P\) и \(l_Q\) растут, намотанная часть \(W\) убывает; сходит она при \(W=0\).
2. Скорость \(P\). Радиус-вектор тела \(\vec r_P=R\vec e_2+l\,\vec e_1\). Дифференцируем, учитывая правила для \(\dot{\vec e}_{1,2}\): \[\vec v=\dot{\vec r}_P=-R\dot\varphi\,\vec e_1+\dot l\,\vec e_1+l\dot\varphi\,\vec e_2=-u\,\vec e_1+v_\perp\vec e_2,\qquad v_\perp=l\dot\varphi ,\] так как \(\dot l-R\dot\varphi=-u\) по предыдущему пункту. Составляющая скорости вдоль нити равна \(-u\): тело приближается к точке касания со скоростью скольжения нити; поперечная составляющая \(v_\perp=l\dot\varphi\) — вращение нити вокруг точки касания.
3. Второй закон Ньютона для \(P\). Единственная сила — натяжение нити \(-T\vec e_1\) (оно направлено вдоль нити к цилиндру). Найдём ускорение: \[\vec a=\dot{\vec v}=-u\dot\varphi\,\vec e_2+\dot v_\perp\vec e_2-v_\perp\dot\varphi\,\vec e_1 .\] Проекция на \(\vec e_2\) равна нулю, потому что сила в этом направлении не действует: \[\dot v_\perp=u\dot\varphi\quad\Rightarrow\quad v_\perp=u\varphi ,\] в начале оба равны нулю. Проекция на \(\vec e_1\) даёт натяжение \(T=mv_\perp\dot\varphi\); оно положительно, нить остаётся натянутой.
4. Закон поворота. Из \(v_\perp=l\dot\varphi\) и \(v_\perp=u\varphi\) получаем \(l\dot\varphi=u\varphi\), а длину берём из пункта 1: \[(R\varphi-ut)\,\dot\varphi=u\varphi .\] В задаче нет другого масштаба времени, кроме \(R/u\), поэтому ищем решение вида \(\varphi=kt\): \((Rk-u)\,kt=ukt\), откуда \(k=2u/R\). Итак, \[\varphi=\frac{2u}{R}\,t,\qquad l=ut,\qquad v_\perp=\frac{2u^2}{R}\,t .\] Свободная часть со стороны \(P\) растёт с той же скоростью \(u\), что и со стороны \(Q\).
5. Момент схода. Нить сойдёт с цилиндра, когда намотанная часть исчезнет: \(W=2\pi RN-R\varphi=0\), то есть \(\varphi=2\pi N\) (для этого \(t_*=\pi NR/u\)). Тогда \[v_\perp=u\varphi=2\pi N u,\qquad v=\sqrt{u^2+v_\perp^2}=u\sqrt{1+(2\pi N)^2},\] а длины свободных участков \(l=l_Q=\pi NR\). Обратите внимание: это ещё не максимум — после схода тело продолжает двигаться, и его скорость растёт дальше.
Часть 2. Нить сошла с цилиндра. К моменту \(t_*\) направление нити повернулось на \(2\pi N\), то есть снова вдоль \(X\), и вся нить — прямая длины \(L=2\pi NR\) с концами \(P\) и \(Q\) на одной прямой, параллельной \(X\). Скорость \(P\): \(\vec v=-u\vec e_1+2\pi N u\,\vec e_2\), где теперь \(\vec e_1\) противоположен оси \(X\), а \(\vec e_2\) перпендикулярен ей. Перейдём в систему отсчёта, связанную с концом \(Q\): она движется равномерно со скоростью \(\vec u\) и потому инерциальна. В ней скорость \(P\) равна \(\vec w=2\pi N u\,\vec e_2\) — перпендикулярна нити. Натяжение направлено вдоль нити и работы не совершает, \(w\) остаётся постоянной, и \(P\) движется по окружности радиуса \(L\) вокруг \(Q\) с постоянной по модулю скоростью \(w=2\pi Nu\) (угловая скорость \(w/L=u/R\)).
В исходной системе \[\vec v=\vec u+\vec w ,\] где \(\vec u\) постоянен, а \(\vec w\) имеет постоянную длину и поворачивается. Модуль \(|\vec v|\) наибольший, когда \(\vec w\parallel\vec u\) (рис. 4), то есть когда нить перпендикулярна оси \(X\) (на четверть оборота позже схода, через \(\pi R/2u\)): \[v_{\max}=u+w=u\,(1+2\pi N).\]
Не помешает ли цилиндр? Поместим начало координат в центр \(O\), ось \(y\) — к цилиндру; в момент схода нить лежит на касательной \(y=-R\). Пусть после схода нить повернулась вокруг \(Q\) на угол \(\theta=ut'/R\) (\(t'\) — время после схода). Тогда \(Q=(\pi NR+R\theta,\,-R)\), \(P=Q+L(-\cos\theta,\,-\sin\theta)\). Пока \(0<\theta<\pi\), тело \(P\) ниже прямой \(y=-R\), и весь отрезок \(QP\) лежит по другую сторону касательной от цилиндра — задеть его нить не может. Максимум скорости (\(\theta=\pi/2\)) достигается именно на этом участке, так что цилиндр на ответ не влияет. Позже, почти через полный оборот (\(\theta\approx2\pi\)), прямая нить проходит снова у нижней точки цилиндра: расчёт расстояния от \(O\) до отрезка \(QP\) показывает, что при \(N<1{,}67\) она проходит мимо, а при больших \(N\) задевает цилиндр и начинает наматываться заново. Это уже новый процесс, за пределами задачи (официальное решение его тоже не рассматривает); на этапе разгона наибольшая скорость — \(u(1+2\pi N)\).
Рис. 4. Траектория \(P\) для \(N=1\): раскручивающаяся спираль \(A\to D\), затем дуга \(D\to M\), где нить прямая; \(A\) — начало, \(D\) — момент схода (нить лежит на прямой \(Q_DD\)), \(M\) — момент максимальной скорости \(\vec v_{\max}\).
Рис. 5. Модуль скорости \(P\) при \(N=1\): рост по закону \(v=u\sqrt{1+4u^2t^2/R^2}\) до схода, затем колебания \(v=u\sqrt{1+(2\pi N)^2+4\pi N\sin\theta}\) с максимумом \(u(1+2\pi N)\) и минимумом \(u\,\lvert1-2\pi N\rvert\), \(\theta\) — угол поворота нити после схода.
Проверка. При \(N=0\) получаем \(v_{\max}=u\) — тело просто тянут за нить со скоростью \(u\). Баланс энергии на первом этапе: работа тянущей силы \(\int Tu\,dt=mu\!\int v_\perp\dot\varphi\,dt=mu^2\varphi^2/2\) при \(\varphi=2\pi N\) равна \(m u^2(2\pi N)^2/2\), а кинетическая энергия выросла с \(mu^2/2\) до \(\tfrac12mu^2\bigl(1+(2\pi N)^2\bigr)\) — совпадает. Второй способ для \(v_\perp\): в системе, вращающейся вокруг оси цилиндра с угловой скоростью \(\omega=u/R\), намотанная часть нити неподвижна, натяжение работы не совершает, и для \(P\) сохраняется энергия с центробежным потенциалом: \(\tfrac12mv'^2=\tfrac12m\omega^2l^2\), то есть \(v'=\omega l=\pi Nu\) при \(l=\pi NR\). Поперечная составляющая в лабораторной системе — сумма \(v'\) и поперечной части скорости вращения \(\omega l\), то есть \(2\pi Nu\), как и выше.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Кошачьи глаза
Вы, возможно, замечали, что в темноте, когда кошка попадает в пучок света фары, её глаза очень ярко светятся, см. фото слева. Это явление можно смоделировать с помощью линзы, см. фото справа и схему под фотографиями.
Рис. 1. Слева — глаза кошки в луче фары, справа — линза, моделирующая кошачий глаз; красная линия на правом фото — пиксели, вдоль которых построен график (ось \(x\)).
Рис. 2. Схема опыта: лампа и камера на расстоянии \(h\) друг от друга, на расстоянии \(L\) от листа бумаги; линза стоит перед листом, лист чуть дальше фокальной плоскости линзы.
Фото справа сделано цифровой зеркальной фотокамерой. Интенсивность света на пикселях матрицы камеры, отмеченных красной линией (на фото), показана на графике ниже: по вертикали отложен десятичный логарифм интенсивности света (измеренной числом фотонов, попавших на каждый пиксель), по горизонтали — координата \(x\); единицей длины служит сторона пикселя.
Рис. 3. График \(\lg I\) от \(x\) вдоль красной линии.
Линзу, моделирующую кошачий глаз, можно считать идеальной тонкой линзой с фокусным расстоянием \(f=55\) мм и диаметром \(D=39\) мм; однако помните, что на графике — реальные данные измерений, и у линзы есть неидеальные свойства. Главное из них: частичные отражения ярко освещённых областей от поверхностей линзы могут уменьшать контраст — тёмные области, видимые через линзу, кажутся менее тёмными, чем на самом деле; для объектива камеры этим эффектом можно пренебречь, а для линзы, моделирующей глаз кошки, — нет.
По приведённым данным оцените (с точностью порядка \(20\,\%\)) расстояние \(h\) между осью камеры и осью лампы (лампу можно считать точечным источником), если расстояние от камеры до листа бумаги было \(L=4{,}8\) м.
▶ПодсказкаСкрыть
Лампа далеко, поэтому линза собирает её свет в точку почти в фокальной плоскости, а лист чуть дальше — на нём получается яркое пятно, в которое собран весь свет, упавший на линзу. Яркость пятна на графике даёт его размер, а значит, и положение листа. Изображение пятна в линзе видно камере как круг того же углового размера, что и линза, и смещённый на величину, пропорциональную \(h\).
▶ОтветСкрыть
\(h\approx85\) мм (около \(8\)–\(9\) см): отношение яркости изображения пятна к яркости листа \(1/k=10^{4{,}41-1{,}96}\approx280\) даёт расстояние до листа \(d_0\approx59\) мм и расстояние до изображения пятна \(d_S\approx0{,}82\) м; по смещению круга изображения относительно апертуры, \(d_{\text{ср}}/D'=96/212\), находим \(h=\dfrac{d_{\text{ср}}}{D'}D\,\dfrac{L-d_0-d_S}{d_S}\).
▶РешениеСкрыть
Что происходит. Лампа далеко (\(L\gg f\)), поэтому линза собирает её свет почти в точку чуть дальше фокальной плоскости. Лист стоит ещё чуть дальше, и на нём получается яркое пятно диаметра \(D_{BS}\ll D\), в которое собран весь свет, упавший на линзу. Камера смотрит через линзу на лист и видит в линзе изображение этого пятна. Из его яркости — она в \(1/k\) раз выше яркости остального листа, где \(k=(D_{BS}/D)^2\) — находим размер пятна и положение листа, а значит, и расстояние от линзы до изображения пятна. Дальше главная геометрия: изображение пятна — сечение конуса «лампа — линза», поэтому камере оно кажется кругом того же размера, что линза, и смещённым относительно линзы пропорционально \(h\). Смещение читаем по графику.
Обозначения. \(L_1=L-d_0\) — расстояние от линзы до камеры и до лампы (камера и лампа почти в одной точке, \(h\ll L\)); \(d_0\) — расстояние от линзы до листа; \(b\) — расстояние от линзы до изображения лампы; \(d_S\) — расстояние от линзы до изображения пятна на листе; \(D_{BS}\) — диаметр пятна на листе; \(x\) — координата в пикселях вдоль красной линии; \(D'\) — диаметр апертуры линзы на графике (в пикселях), \(d_{\text{ср}}\) — смещение изображения пятна относительно апертуры.
1. Что показывает график. Отсчёты сняты с графика условия по точкам кривой: масштаб найден по линиям сетки (\(x=0,100,\dots,500\) и \(\lg I=1{,}5;\,2;\dots;4{,}5\)), уровни — медиана кривой на плоском участке. На графике четыре уровня (рис. 4).
\(\lg I\approx4{,}41\), \(122\lesssim x\lesssim238\): самая яркая область — изображение пятна на листе. Левый край размытый (\(x\) от 100 до 140): камера сфокусирована на линзу, а изображение пятна находится далеко от линзы, поэтому его края нерезкие.
\(\lg I\approx3{,}34\), \(26\lesssim x\lesssim122\): «серп» — часть апертуры линзы вне изображения пятна. Здесь через линзу виден лист вне пятна, он должен быть тёмным, так как линза не пропускает к нему свет, но в неидеальной линзе свет от яркого пятна рассеивается по стёклам и добавляет фон, уровень \(10^{3{,}34}\).
\(\lg I<1{,}6\) (\(x<20\) и \(250<x<410\), минимум \(1{,}33\)): чёрная краска внутри оправы.
\(\lg I\approx1{,}96\), \(x>420\): лист вне линзы, освещённый лампой напрямую, интенсивность \(I_{\text{л}}\).
Рис. 4. Что видно в линзе вдоль красной линии: сплошной круг — апертура (серым залит серп), пунктир — круг изображения пятна (в пересечении самый яркий уровень); ниже — график \(\lg I(x)\), перенесённый по точкам кривой рис. 3, с найденными краями и уровнями.
2. Яркость пятна и размер пятна. Весь свет, упавший на линзу (площадь \(\propto D^2\)), собран в пятне (площадь \(\propto D_{BS}^2\)). Освещённость листа около линзы везде одна и та же, потому что \(L\gg f\) и \(d_0\) порядка \(f\). Лист рассеивает свет одинаково по всем направлениям, и его яркость пропорциональна освещённости, значит, в пятне она выше в \(D^2/D_{BS}^2=1/k\) раз. Идеальная линза даёт изображение той же яркости, а освещённость пикселя камеры от протяжённого предмета пропорциональна его яркости и не зависит от расстояния (поток от предмета в объектив убывает как \(\ell^{-2}\), и площадь его изображения на матрице — тоже как \(\ell^{-2}\)). Поэтому отношение интенсивностей на графике — это \(1/k\): \[\frac1k=\frac{I_{\text{ярк}}}{I_{\text{л}}}=10^{4{,}41-1{,}96}=10^{2{,}45}\approx280,\qquad \sqrt k=\frac{D_{BS}}{D}\approx0{,}0598 .\]
Рис. 5. Пучок за линзой в масштабе (\(D=39\) мм, \(f=55\) мм, \(d_0=59\) мм); справа — окрестность листа, увеличенная в 8 раз: лучи от лампы по краям линзы \(A\), \(B\) сходятся в изображении лампы \(S'\) почти в фокальной плоскости (\(b-f\approx0{,}6\) мм) и расходятся до листа; на листе — пятно диаметра \(D_{BS}\approx2{,}3\) мм.
3. Расстояние до листа. Изображение лампы лежит на расстоянии \(b\) от линзы: \[\frac1b=\frac1f-\frac1{L_1}\ \Rightarrow\ b=\frac{fL_1}{L_1-f}\approx55{,}65\ \text{мм},\] то есть почти в фокальной плоскости (\(b-f\approx f^2/L\approx0{,}6\) мм). Узкий пучок диаметром \(D\) у линзы сходится в точку на расстоянии \(b\) и расходится дальше; на листе, стоящем на расстоянии \(d_0>b\), его диаметр \[D_{BS}=D\,\frac{d_0-b}{b}\ \Rightarrow\ \sqrt k=\frac{d_0-b}{b},\qquad d_0=b\,(1+\sqrt k)\approx58{,}97\ \text{мм}.\] Второй корень, \(b(1-\sqrt k)\approx52{,}3\) мм, меньше \(f\) и отвечает листу ближе фокальной плоскости; по рис. 2 лист дальше, значит, он отбрасывается. Итак, \(d_0\approx59\) мм, \(d_0-f\approx4\) мм — лист лишь чуть дальше фокуса, а пятно на нём \(D_{BS}=\sqrt k\,D\approx2{,}3\) мм (рис. 5 — в масштабе).
4. Изображение пятна. Пятно на листе — предмет на расстоянии \(d_0\) от линзы. Формула линзы \(\dfrac1{d_S}=\dfrac1f-\dfrac1{d_0}\) даёт расстояние до его изображения: \[d_S=\frac{d_0f}{d_0-f}\approx\frac{58{,}97\cdot55}{3{,}97}\approx817\ \text{мм}\approx0{,}82\ \text{м}.\] Это меньше \(L_1\approx4{,}74\) м: изображение пятна — между линзой и камерой, и камера видит его на расстоянии \(L_1-d_S\approx3{,}92\) м.
5. Угловой размер изображения. Докажем, что камера видит изображение пятна под тем же углом, что и линзу (рис. 6). Лучи \(SA\) и \(SB\) от лампы \(S\) через края линзы после линзы идут к краям пятна \(G\) и \(F\) на листе. По обратимости хода лучей луч \(FB\) после линзы идёт к лампе \(S\), то есть изображение точки \(F\) лежит на прямой \(BS\); оно лежит и на прямой \(FO\) (луч через центр линзы \(O\) не преломляется). Значит, изображение \(J\) точки \(F\) — пересечение прямых \(FO\) и \(BS\); аналогично изображение \(H\) точки \(G\) — пересечение \(GO\) и \(AS\). Тогда отрезок \(HJ\) — сечение конуса с вершиной \(S\) и основанием \(AB\) плоскостью, удалённой от линзы на \(d_S\). Из вершины конуса отрезок \(HJ\) и линза видны под одним углом: \[\frac{D_I}{L_1-d_S}=\frac{D}{L_1},\] где \(D_I\) — диаметр изображения пятна. Камера \(K\) отстоит от лампы \(S\) на \(h\ll L_1\), поэтому она видит то же самое с высокой точностью. Обратите внимание: по этому размеру расстояние \(d_0\) определить нельзя — изображение пятна на фото всегда того же размера, что и апертура; нужна именно яркость.
Рис. 6. Построение изображения пятна \(FG\) (рисунок не в масштабе; взяты \(d_0=1{,}25f\), \(L_1=10f\), чтобы построения были различимы): \(J\) и \(H\) — изображения \(F\) и \(G\), они лежат на лучах \(BS\) и \(AS\) и на лучах \(FO\) и \(GO\); \(K\) — камера, \(S\) — лампа на расстоянии \(h\) от неё.
6. Смещение изображения. Центр пятна на листе лежит на прямой, проходящей через лампу \(S\) и центр линзы \(O\) (луч через центр идёт без излома). Изображение пятна тоже лежит на этой прямой, на расстоянии \(d_S\) от линзы, со стороны лампы, и потому поднято над осью линзы (осью камеры) на \(h'=h\,d_S/L_1\). Камера на оси видит центр линзы в направлении оси, а центр изображения пятна — под углом \[\theta=\frac{h'}{L_1-d_S}=\frac{h\,d_S}{L_1(L_1-d_S)} .\] Угловой диаметр линзы \(\theta_L=D/L_1\). На фото круг изображения пятна и апертура — два равных круга, поэтому отношение сдвига центров к диаметру апертуры равно отношению углов: \[\frac{\theta}{\theta_L}=\frac{h\,d_S}{D\,(L_1-d_S)}=\frac{d_{\text{ср}}}{D'} .\] Отсюда \[h=\frac{d_{\text{ср}}}{D'}\,D\,\frac{L_1-d_S}{d_S}=\frac{96}{212}\cdot39\ \text{мм}\cdot\frac{4741-817}{817}\approx0{,}453\cdot39\cdot4{,}80\ \text{мм}\approx85\ \text{мм}.\] Ответ: \(h\approx85\) мм, то есть около \(8\)–\(9\) см. Чувствительность: сдвиг любого края на \(\pm2\) пикселя меняет \(h\) на \(\pm2\) мм; ошибка \(\pm0{,}05\) в разности уровней \(\lg I\) — примерно на \(\pm5\,\%\). Сильнее всего ответ зависит от того, как понимать «край»: если брать края посередине между уровнями в логарифмической шкале (\(x=20\), \(113\), \(249\)), получится \(h\approx76\) мм. Официальное решение снимает отсчёты на глаз (\(x=30\), \(120\), \(240\); уровни \(4{,}4\) и \(1{,}95\)) и получает \(h\approx80\) мм. Все эти значения отличаются от \(85\) мм не больше чем на \(11\,\%\) — в пределах требуемых \(20\,\%\).
Проверка. Размерность: \(h\) выражена через \(D\) и безразмерные отношения. Предел \(h\to0\): \(d_{\text{ср}}\to0\), круг изображения пятна совпадает с апертурой, и яркий свет заполняет линзу целиком — так и светятся «кошачьи глаза», когда лампа рядом с камерой. Второй способ: по формуле линзы \(\dfrac{L_1-d_S}{d_S}=\dfrac{L_1}{f}-\dfrac{L_1}{d_0}-1\) и \(\sqrt k\,\dfrac{L_1}{d_0}=\Bigl(\dfrac{d_0}{b}-1\Bigr)\dfrac{L_1}{d_0}=\dfrac{L_1}{f}-1-\dfrac{L_1}{d_0}\) — это одно и то же выражение, так что точно \(h=\dfrac{d_{\text{ср}}}{D'}\,D\sqrt k\,\dfrac{L_1}{d_0}=0{,}453\cdot39\cdot0{,}0598\cdot80{,}4\ \text{мм}\approx85\) мм — совпало: смещение пропорционально размеру пятна \(\sqrt k\), и \(d_S\) можно не вычислять. Обратите внимание на фон: если из яркости изображения пятна вычесть рассеянную составляющую \(10^{3{,}34}\), то \(1/k=(10^{4{,}41}-10^{3{,}34})/10^{1{,}96}\approx256\), \(d_S\approx0{,}79\) м и \(h\approx89\) мм — ответ изменился на \(4\,\%\), то есть метод устойчив.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Европейская физическая олимпиада (EuPhO) 2020, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.