EuPhO 2021, экспериментальный тур

Подсказка

Горизонтальная составляющая поля провода везде перпендикулярна проекции провода, а стрелка компаса стоит вдоль суммы этой составляющей и поля Земли; сильнее всего стрелку отклоняет точка над проводом. Теорема синусов для треугольника векторов даёт линейную связь между током и подходящей функцией угла.

Ответ

a) \(y=ax+b=-0{,}58\,x+75{,}3\) мм при \(\delta a\approx0{,}01\), \(\delta b\approx0{,}4\) мм; положительный ток идёт от западной стороны квадрата к восточной;  b) \(h=5{,}0\) мм, \(B_{\mathrm E}=4{,}0\cdot10^{-5}\) Тл (по методу фиксированного тока: \(5{,}3\) мм и \(3{,}9\cdot10^{-5}\) Тл).

Решение

Что происходит. Магнитная стрелка компаса стоит вдоль горизонтальной составляющей полного поля: поля Земли \(\vec B_{\mathrm E}\) (оно направлено на север) и поля провода. У провода горизонтальная составляющая \(\vec B_{\mathrm h}\) в любой точке плоскости перпендикулярна проекции провода, а её величина тем больше, чем ближе точка к проекции провода. Поэтому, во-первых, отклонение \(|\varphi|\) при заданном токе максимально прямо над проводом, и по максимумам \(|\varphi|\) можно проследить, где проходит провод. Во-вторых, треугольник векторов \(\vec B_{\mathrm E}\), \(\vec B_{\mathrm h}\), \(\vec B\) связывает измеренный угол с отношением \(B_{\mathrm h}/B_{\mathrm E}\), а оно зависит от \(I\), \(h\) и расстояния до провода — отсюда линеаризация и определение \(h\) и \(B_{\mathrm E}\).

Обозначения. \(\vec B_{\mathrm E}\) — горизонтальная составляющая поля Земли (на север), \(\vec B_{\mathrm h}\) — горизонтальная составляющая поля провода, \(\vec B=\vec B_{\mathrm E}+\vec B_{\mathrm h}\) — полное горизонтальное поле, вдоль него стоит стрелка. \(\theta\) — угол между направлением тока и положительным направлением оси \(x\), \(d\) — расстояние от точки до проекции провода на плоскость \(xy\), \(r=\sqrt{d^2+h^2}\) — расстояние до самого провода. Угол \(\varphi\) отсчитываем от севера, к востоку — положительный.

Теория. Поле прямого тока по закону Ампера (теореме о циркуляции) на расстоянии \(r\) от провода \[B_{\mathrm w}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},\] вектор \(\vec B_{\mathrm w}\) перпендикулярен плоскости, проходящей через провод и точку наблюдения. Его проекция на горизонталь получается умножением на \(\cos\alpha=h/r\), где \(\alpha\) — угол между вертикалью и направлением на провод: \[B_{\mathrm h}=B_{\mathrm w}\cos\alpha=\frac{\mu_0 I h}{2\pi\,(d^2+h^2)}. \tag{1}\] Направление \(\vec B_{\mathrm h}\) в точках по обе стороны от провода одно и то же (проекции \(\vec B_{\mathrm w}\) с обеих сторон направлены одинаково) и перпендикулярно проекции провода. Если ток течёт под углом \(\theta\) к оси \(x\), то \(\vec B_{\mathrm h}\) составляет с севером угол \(\psi=180^\circ-\theta\) (рис. 1).

Рис. 1. Вид сверху: проекция провода, ток \(I\), поле Земли \(\vec B_{\mathrm E}\), горизонтальная составляющая поля провода \(\vec B_{\mathrm h}\) и полное поле \(\vec B\), вдоль которого стоит стрелка. Рисунок иллюстративный.

В треугольнике из векторов \(\vec B_{\mathrm E}\), \(\vec B_{\mathrm h}\), \(\vec B\) напротив стороны \(B_{\mathrm h}\) лежит угол \(\varphi\) (между \(\vec B_{\mathrm E}\) и \(\vec B\)), а напротив стороны \(B_{\mathrm E}\) — угол \(\psi-\varphi\) между \(\vec B_{\mathrm h}\) и \(\vec B\). Теорема синусов: \[\frac{B_{\mathrm h}}{B_{\mathrm E}}=\frac{\sin\varphi}{\sin(\psi-\varphi)}=\frac{\sin\varphi}{\sin(\theta+\varphi)}. \tag{2}\] Здесь использовано \(\sin(180^\circ-\theta-\varphi)=\sin(\theta+\varphi)\). Формул (1) и (2) достаточно для обоих заданий.

a. Положение провода. При заданном токе \(B_{\mathrm h}\) наибольшее при \(d=0\), то есть прямо над проводом. Поле Земли постоянно, поэтому там же наибольший по модулю угол \(|\varphi|\): проекцию провода находим по точкам, где \(|\varphi|\) максимален. Порядок измерений:

• ставим \(I=+5\) А (наибольшее поле) и грубо, с шагом 10 мм, обходим границу квадрата — находим участки, где \(|\varphi|\) проходит через максимум. Проекция провода пересекает западную сторону (\(x=0\)) при \(y\in[60;90]\) мм и восточную (\(x=100\) мм) при \(y\in[10;30]\) мм;

• на этих участках сканируем с шагом 1 мм. Вблизи максимума \(|\varphi|\) меняется медленно и принимает одно и то же округлённое значение в трёх подряд точках, поэтому ордината точки пересечения известна с точностью около 1 мм: \(P_1=(0{,}0\pm0{,}5;\ 75\pm1)\) мм и \(P_2=(100{,}0\pm0{,}5;\ 17\pm1)\) мм;

• для точности повторяем поиск максимума вдоль вертикальных линий \(x=20,40,60,80\) мм. Максимальное значение \(|\varphi|=143^\circ\) при \(I=+5\) А достигается в точках

Прямая по этим точкам (метод наименьших квадратов, проверено на python): \[y=ax+b=-0{,}58\,x+75{,}3\ \text{мм}.\] Погрешности: разброс шести точек вокруг прямой даёт лишь \(\delta a\approx0{,}004\) и \(\delta b\approx0{,}3\) мм; учитывая округление максимума и погрешность установки компаса \(0{,}5\) мм, оценка организаторов — \(\delta a\approx0{,}01\), \(\delta b\approx0{,}4\) мм. Погрешности убывают как \(1/\sqrt N\) с числом точек \(N\).

Направление тока определяем по знаку угла. Направление \(\vec B_{\mathrm h}\) перпендикулярно проводу, поэтому есть два варианта: ток идёт по проводу вправо-вниз (\(\theta=-30{,}1^\circ\), \(\psi=210{,}1^\circ\), \(\vec B_{\mathrm h}\) смотрит на юго-юго-запад) или влево-вверх (\(\theta=149{,}9^\circ\), \(\psi=30{,}1^\circ\), \(\vec B_{\mathrm h}\) смотрит на северо-северо-восток). В первом случае сумма \(\vec B_{\mathrm E}+\vec B_{\mathrm h}\) при \(I>0\) отклоняет стрелку к западу (\(\varphi<0\)), во втором — к востоку. В измерениях при \(I>0\) получено \(\varphi<0\), значит, верен первый вариант: положительный ток течёт от западной границы квадрата к восточной, а \(\theta=\arctan a=-30{,}1^\circ\pm0{,}4^\circ\). Проекция провода и направление тока показаны на рис. 2.

Рис. 2. Проекция провода на плоскость \(xy\): точки максимума \(|\varphi|\) (таблица) и прямая \(y=-0{,}58x+75{,}3\) мм; стрелка — направление положительного тока.

b. Глубина \(h\) и поле Земли \(B_{\mathrm E}\). Из (1) и (2) при известном \(\theta\) \[\frac{\sin\varphi}{\sin(\theta+\varphi)}=\frac{\mu_0 I h}{2\pi B_{\mathrm E}\,(d^2+h^2)}. \tag{3}\] Неизвестны \(h\) и \(B_{\mathrm E}\); расстояние \(d\) от точки \((x,y)\) до проекции провода считаем по формуле расстояния от точки до прямой: \[d=\bigl|(ax+b-y)\cos\theta\bigr|\approx0{,}865\,|ax+b-y|. \tag{4}\] Двух углов при двух разных \(d\) уже достаточно, но один угол округлён до \(1^\circ\), а положение компаса задано с ошибкой \(0{,}5\) мм, поэтому такая оценка груба; надёжнее набрать много точек и линеаризовать (3). Есть два пути: менять ток при фиксированном расстоянии или менять расстояние при фиксированном токе.

Метод I: меняем ток при фиксированных \(d\). Введём безразмерную величину \(U=\sin\varphi/\sin(\varphi-30{,}1^\circ)\). Тогда (3) превращается в прямую, проходящую через начало координат: \[I=kU,\qquad k=\frac{2\pi B_{\mathrm E}\,(d^2+h^2)}{\mu_0 h}. \tag{5}\] Измеряем \(\varphi\) при \(I=\pm1,\dots,\pm5\) А в двух точках: над проводом (\(x=0\), \(y=75\) мм, \(d_1=0\)) и на расстоянии \(d_2=10\) мм (по формуле (4), точка \(x=20\) мм, \(y=75\) мм). Результаты:

Графики \(I(U)\) — прямые через начало координат (рис. 3), наклоны по МНК (проверено на python; значения \(U\) взяты из таблицы организаторов, там они вычислены по неокруглённым \(\varphi\)): \[k_1=1{,}01\pm0{,}01\ \text{А},\qquad k_2=5{,}04\pm0{,}03\ \text{А}.\]

Рис. 3. Линеаризация \(I=kU\): точки измерений и прямые по МНК для двух расстояний до провода.

Из (5) для двух расстояний: \[k_1=\frac{2\pi B_{\mathrm E}h}{\mu_0}\quad(d_1=0),\qquad k_2=\frac{2\pi B_{\mathrm E}(d_2^2+h^2)}{\mu_0 h}.\] Вычитание даёт \(k_2-k_1=2\pi B_{\mathrm E}d_2^2/(\mu_0 h)\), откуда и из \(k_1\) \[\frac{B_{\mathrm E}}{h}=\frac{\mu_0(k_2-k_1)}{2\pi d_2^2}=8{,}06\cdot10^{-6}\ \frac{\text{Тл}}{\text{мм}},\qquad B_{\mathrm E}h=\frac{\mu_0 k_1}{2\pi}=2{,}02\cdot10^{-4}\ \text{Тл}\cdot\text{мм}.\] (Организаторы приводят \(B_{\mathrm E}h=\mu_0(d_2^2k_1-d_1^2k_2)/[2\pi(d_2^2-d_1^2)]=1{,}98\cdot10^{-4}\) Тл\(\cdot\)мм — та же формула при \(d_1=0\) с округлением.) Перемножением и делением: \[h=\sqrt{\frac{d_2^2\,k_1}{k_2-k_1}}=5{,}0\ \text{мм},\qquad B_{\mathrm E}=\sqrt{\frac{\mu_0 k_1}{2\pi}\cdot\frac{\mu_0(k_2-k_1)}{2\pi d_2^2}}=4{,}0\cdot10^{-5}\ \text{Тл}.\]

Метод II: фиксированный ток, меняем расстояние. Перепишем (3): \[\frac{\sin(\theta+\varphi)}{\sin\varphi}=\frac{2\pi B_{\mathrm E}}{\mu_0 I h}\,d^2+\frac{2\pi B_{\mathrm E}h}{\mu_0 I}.\] Введём \(U=d^2\) и \(V=\sin(\varphi-30{,}1^\circ)/\sin\varphi\) — получаем прямую \(V=\text{(наклон)}\,U+\text{(отрезок)}\). Измерения при \(I=5{,}0\) А вдоль линии \(y=75\) мм (\(d\) считаем по (4)):

Линейная регрессия (рис. 4, проверено на python): \(V=7{,}37\cdot10^{-3}\ \text{мм}^{-2}\,U+0{,}208\). Отсюда \(2\pi B_{\mathrm E}/(\mu_0 I h)=7{,}37\cdot10^{-3}\) мм\(^{-2}\) и \(2\pi B_{\mathrm E}h/(\mu_0 I)=0{,}208\): \[B_{\mathrm E}=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\sqrt{7{,}37\cdot10^{-3}\cdot0{,}208}=3{,}9\cdot10^{-5}\ \text{Тл},\qquad h=\sqrt{\frac{0{,}208}{7{,}37\cdot10^{-3}}}=5{,}3\ \text{мм}.\]

Рис. 4. Линеаризация \(V(U)\) при \(I=5{,}0\) А: точки (таблица) и прямая МНК.

Метод II менее точен: при малых \(d\) велика относительная ошибка положения компаса (переменная \(U=d^2\)), при больших \(d\) угол мал и велика относительная ошибка его отсчёта (переменная \(V\)). Метод I опирается на много значений тока при двух хорошо выбранных расстояниях и даёт значения, совпадающие с заданными в модели с точностью до двух значащих цифр: \(h=5{,}0\) мм, \(B_{\mathrm E}=4{,}0\cdot10^{-5}\) Тл.

Проверка. Размерность: \(B_{\mathrm h}=\mu_0 I h/[2\pi(d^2+h^2)]\) — это \(\text{Тл}\cdot\text{м/А}\cdot\text{А}/\text{м}=\text{Тл}\), как и \(B_{\mathrm E}\); поэтому в (5) \(k\) имеет размерность тока (с учётом перевода миллиметров в метры). Для \(d=0\) получаем \(B_{\mathrm h}=\mu_0 I/(2\pi h)=2\cdot10^{-7}\cdot5/(5\cdot10^{-3})=2{,}0\cdot10^{-4}\) Тл при \(I=5\) А, то есть в 5 раз больше поля Земли; компоненты полного поля \(B_x=B_{\mathrm h}\sin\theta=-1{,}0\cdot10^{-4}\) Тл, \(B_y=B_{\mathrm E}-B_{\mathrm h}\cos\theta=-1{,}33\cdot10^{-4}\) Тл дают \(\varphi=-180^\circ+36{,}9^\circ=-143^\circ\), как в измерении. Расчётная кривая \(\varphi(d)\) по найденным \(h\) и \(B_{\mathrm E}\) ложится на измеренные точки (рис. 5); при \(d\to\infty\) поле провода убывает и \(\varphi\to0\): стрелка возвращается на север.

Рис. 5. Угол отклонения при \(I=5\) А: расчёт при \(h=5{,}0\) мм, \(B_{\mathrm E}=4{,}0\cdot10^{-5}\) Тл (линия) и измерения (точки).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Каждую величину удобно выделить отдельным опытом: короткий нагрев малой энергией даёт теплоёмкость, медленное остывание однородного стержня почти до комнатной температуры — суммарный линейный коэффициент потерь, стационарный режим при очень сильном нагреве — излучательную способность, а поток теплоты через середину стержня — теплопроводность.

Ответ

\(c=114\pm1\) Дж/(кг\(\cdot\)К);  \(\alpha\approx2{,}93\) Вт/(м\(^2\cdot\)К);  \(\beta=0{,}304\pm0{,}004\);  \(k\approx397\) Вт/(м\(\cdot\)К).

Решение

Что происходит. Стержень получает мощность \(P\) от нагревателя, а теряет её через боковую и торцевые поверхности: линейно по разности температур (воздух) и по закону \(T^4\) (излучение); вдоль стержня теплота переносится теплопроводностью. Четыре величины \(c\), \(k\), \(\alpha\), \(\beta\) входят в уравнения по-разному, и главная идея — так выбрать режимы, чтобы в каждом доминировала одна из них: при коротком слабом нагреве потери ничтожны, и температура определяется только \(c\); при остывании почти до \(T_0\) потери линейны и определяются комбинацией \(\alpha+4\beta\sigma T_0^3\); при очень сильном нагреве главным становится излучение, что даёт \(\beta\); а в стационарном режиме поток через сечение стержня определяется \(k\).

Рис. 1. Датчики на равных расстояниях по всей длине стержня и веса правила Симпсона для средней температуры.

Обозначения. Площадь поверхности стержня вместе с торцами \(A=2\pi rL+2\pi r^2=0{,}01948\) м\(^2\); площадь сечения \(S=\pi r^2=3{,}14\cdot10^{-4}\) м\(^2\). Пять датчиков расставлены равномерно: \(x=0;\ 7{,}5;\ 15;\ 22{,}5;\ 30\) см, их положения записываем один раз и в ходе опытов не меняем. Температуру стержня в целом находим как среднее по длине. Прямое среднее \(\overline T=(T_1+\dots+T_5)/5\) у неравномерно нагретого стержня даёт заметную ошибку, поэтому используем правило Симпсона (рис. 1): \[T_{\text{ср}}=\frac{T_1+4T_2+2T_3+4T_4+T_5}{12}.\] Для \(T^4\) применяем то же правило к значениям \(T_i^4\) (в кельвинах). Прямое среднее даёт завышение на \(5\,\%\) для температуры в опыте 1, на \(1{,}5\,\%\) для \(T\) и \(6{,}3\,\%\) для \(T^4\) в опыте 3.

1. Теплоёмкость \(c\). Нужен нагрев, при котором потери малы: подаём небольшую энергию за короткое время. Берём суммарное количество теплоты \(Q=1500\) Дж при разных мощностях и временах (всегда меньше \(50\) с), чтобы температура оставалась низкой, и дожидаемся выравнивания температуры по стержню. Пока потерями можно пренебречь, закон сохранения энергии для стержня как целого даёт \[Q=mc\,(T_{\text{ср}}-T_0)\quad\Longrightarrow\quad c=\frac{Q}{m\,(T_{\text{ср}}-T_0)}.\] Для времён нагрева меньше \(50\) с средняя температура получается \(T_{\text{ср}}=55{,}4\pm0{,}5\,^\circ\)C, то есть \(T_{\text{ср}}-T_0=28{,}5\) К, и \[c=\frac{1500}{0{,}46\cdot28{,}5}=114\pm1\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}.\] Проверяем несколько значений времени нагрева: если потери не успели сказаться, \(c\) не зависит от режима.

2. Линейные потери при остывании. Греем стержень на полной мощности \(300\) Вт в течение \(600\) с, затем выключаем нагреватель и наблюдаем остывание; к \(700\) с температура по стержню выравнивается, и в каждый момент берём среднюю по пяти точкам. При температурах, близких к \(T_0\), излучение тоже почти линейно (разложение первого порядка по \(T-T_0\)): \[A\beta\sigma(T^4-T_0^4)\approx A\beta\sigma\cdot4T_0^3\,(T-T_0),\] поэтому суммарная мощность потерь при \(T\) вблизи \(T_0\) равна \(A(\alpha+4\beta\sigma T_0^3)(T-T_0)\). Уравнение остывания однородного стержня (теплоёмкость \(mc\)): \[mc\,\frac{dT}{dt}=-A\,(\alpha+4\beta\sigma T_0^3)(T-T_0).\] Его решение — \(T-T_0=Ce^{-\gamma t}\), где \(\gamma=A(\alpha+4\beta\sigma T_0^3)/(mc)\). Значит, график \(\ln(T-T_0)\) от \(t\) — прямая с наклоном \(-\gamma\) (рис. 2); то же даёт график \(dT/dt\) от \(T-T_0\). Точки остывания организаторов (средняя температура раз в \(100\) с, от \(800\) до \(3600\) с) мы сняли с их графика. В начале остывания точки идут круче прямой: при больших \(T-T_0\) излучение ещё нелинейно. С \(t\approx2000\) с (\(T<45\,^\circ\)C) точки ложатся на прямую, а наклон организаторы находят по последним десяти точкам, \(t=2700\)–\(3600\) с. Метод наименьших квадратов по ним (python) даёт \[\gamma=(1{,}78\pm0{,}02)\cdot10^{-3}\ \text{с}^{-1}\qquad(\ln(T-T_0)\approx6{,}51-1{,}78\cdot10^{-3}\,t).\]

Рис. 2. Остывание однородного стержня: точки сняты с графика организаторов (таблицы у них нет); бирюзовые точки и прямая \(\ln(T-T_0)=6{,}51-1{,}78\cdot10^{-3}t\) — участок, по которому найден наклон, штрихом — её продолжение.

Отсюда комбинация, через которую далее выразится \(\alpha\): \[\alpha+4\beta\sigma T_0^3=\frac{\gamma\,mc}{A}=\frac{1{,}78\cdot10^{-3}\cdot0{,}46\cdot114}{0{,}01948}\approx4{,}79\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}}.\]

3. Излучательная способность \(\beta\). Чтобы излучение доминировало, греем стержень как можно сильнее: \(P=300\) Вт и ждём не менее \(600\) с, пока установится стационарный режим (по наблюдению организаторов он наступает примерно через \(600\) с). В нём вся мощность нагревателя уходит в потери: \(P=300\) Вт. Средняя по Симпсону температура \(T_{\text{ср}}=662\,^\circ\)C (то есть \(935\) К), среднее \(T^4=7{,}95\cdot10^{11}\) К\(^4\). Линейная часть потерь по найденному \(\gamma\) (с теми же \(mc\) и \(\Delta T=T_{\text{ср}}-T_0\)): \[\gamma\,mc\,\Delta T=1{,}78\cdot10^{-3}\cdot0{,}46\cdot114\cdot(935-300)\approx59\ \text{Вт}.\] Остаётся на излучение сверх линейной части \[300-59=241\ \text{Вт}=A\beta\sigma\bigl[\overline{T^4}-T_0^4-4T_0^3(T_{\text{ср}}-T_0)\bigr]\] (вычитаем вторую часть потому, что её мы уже отнесли к линейным потерям; рис. 3).

Рис. 3. Тепловой баланс стационарного режима при \(P=300\) Вт: линейная часть потерь и остаток излучения (длины пропорциональны мощностям).

Подставляем: \(\overline{T^4}-T_0^4-4T_0^3(T_{\text{ср}}-T_0)=7{,}95\cdot10^{11}-8{,}1\cdot10^{9}-6{,}86\cdot10^{10}=7{,}18\cdot10^{11}\) К\(^4\), откуда \[\beta=\frac{241}{A\sigma\cdot7{,}18\cdot10^{11}}=\frac{241}{0{,}01948\cdot5{,}67\cdot10^{-8}\cdot7{,}18\cdot10^{11}}=0{,}304\pm0{,}004.\] Обратите внимание: если вторую часть не вычесть, получится \(\beta=0{,}277\approx0{,}28\) — систематическая ошибка около \(9\,\%\).

4. Коэффициент \(\alpha\). Из комбинации пункта 2: \[\alpha=\frac{\gamma\,mc}{A}-4\beta\sigma T_0^3=4{,}79-4\cdot0{,}304\cdot5{,}67\cdot10^{-8}\cdot(300)^3=4{,}79-1{,}86=2{,}93\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}}.\] Независимая проверка \(\beta\) по остыванию от высокой температуры, когда доминирует излучение: \(mc\,dT/dt\approx-A\beta\sigma(T^4-T_0^4)\), то есть график \(dT/dt\) от \(T^4-T_0^4\) имеет наклон \(-A\beta\sigma/(mc)=-7{,}8\cdot10^{-12}\) К\(^{-3}\cdot\)с\(^{-1}\), откуда \(\beta\approx0{,}37\). Это заметно выше \(0{,}304\): пренебрежение линейными потерями недопустимо — около \(20\,\%\) теплоты (59 Вт из 300) в этом режиме уходит по линейному закону. Поэтому основной результат — \(\beta=0{,}304\).

5. Теплопроводность \(k\). В стационарном режиме при \(P=300\) Вт поток теплоты через сечение в середине стержня (\(x=15\) см) равен всем потерям правой, ненагреваемой половины (рис. 4): теплота уходит с её поверхности и торца, а притекает только через это сечение. Площадь правой половины с торцом \(A_{1/2}=S+2\pi r\cdot0{,}15=9{,}74\cdot10^{-3}\) м\(^2\). Усреднённые по этой половине \(T=599\,^\circ\)C (\(872\) К) и \(T^4\approx5{,}8\cdot10^{11}\) К\(^4\) (в тексте организаторов степень опечатана как \(10^4\); \(10^{11}\) согласуется с результатом \(112\) Вт) дают мощность потерь \[Q_{1/2}=A_{1/2}\bigl[\alpha(T-T_0)+\beta\sigma(\overline{T^4}-T_0^4)\bigr]\approx112\ \text{Вт}.\]

Рис. 4. Стационарный режим при \(P=300\) Вт: потери левой и правой половин и поток через среднее сечение.

Тот же поток по закону Фурье: \(Q_{1/2}=-kS\,dT/dx\). Градиент температуры в середине находим по симметричной разностной производной по датчикам, отстоящим от середины не далее \(5\) см и не ближе \(1\) см: \[\frac{dT}{dx}\approx\frac{T(x+\Delta)-T(x-\Delta)}{2\Delta}=-898\ \text{К/м}.\] Отсюда \[k=\frac{Q_{1/2}}{S\,|dT/dx|}=\frac{112}{3{,}14\cdot10^{-4}\cdot898}\approx397\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot\text{К}}.\] Обратите внимание: поток нужно делить на площадь сечения \(S=\pi r^2\), так как формула \(-k\,dT/dx\) даёт плотность потока.

Проверка. Все пять значений пересчитаны на python по формулам решения: \(c=114{,}4\); \(\alpha+4\beta\sigma T_0^3=4{,}79\); линейные потери \(59{,}3\) Вт; \(\beta=0{,}303\); \(\alpha=2{,}93\); \(Q_{1/2}=112{,}2\) Вт; \(k=397\). Независимая проверка \(k\) и \(c\) — время выравнивания температуры. Плотность металла \(\rho=m/(\pi r^2L)=4{,}9\cdot10^3\) кг/м\(^3\), температуропроводность \(\chi=k/(\rho c)=397/(4880\cdot114)=7{,}1\cdot10^{-4}\) м\(^2\)/с, время затухания самой медленной неоднородности (полуволна косинуса на длине стержня с теплоизолированными торцами) \(\tau=L^2/(\pi^2\chi)\approx13\) с. За \(100\) с перепад температуры вдоль стержня (в стационарном режиме — порядка \(|dT/dx|\,L\approx270\) К) уменьшается в \(e^{100/13}\approx2\cdot10^3\) раз, до десятых долей кельвина. Это согласуется с наблюдением: после выключения нагревателя в \(600\) с температура выравнивается к \(700\) с. И это время много меньше времени остывания \(1/\gamma\approx560\) с, поэтому в пункте 2 стержень действительно остывает как однородное тело. Смысл величин: при комнатной температуре \(4\beta\sigma T_0^3=1{,}86\) Вт/(м\(^2\cdot\)К) сопоставимо с \(\alpha=2{,}93\), то есть конвекция и излучение дают потери одного порядка, а при \(660\,^\circ\)C излучение уже преобладает: \(A\beta\sigma(\overline{T^4}-T_0^4)\approx264\) Вт, около \(88\,\%\) потерь.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.