EuPhO 2022, теоретический тур

Подсказка

Масса жидкости в узком зазоре между цилиндром и стенкой мала, но движется она в десятки раз быстрее цилиндра. Её инерцию нельзя отбросить: учтите её либо через кинетическую энергию, либо вторым законом Ньютона для столба жидкости в зазоре.

Ответ

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\gamma h}{g}} \approx 0{,}53\) с

Решение

Что происходит. Когда цилиндр опускается, жидкость, которую он вытесняет, может подняться только по узкому зазору между цилиндром и стенкой стакана. Площадь зазора \(S-s = 2\) см\(^2\) в 50 раз меньше площади основания цилиндра, поэтому по несжимаемости скорость жидкости в зазоре в 50 раз больше скорости цилиндра. Масса этой жидкости невелика, но кинетическая энергия растёт как квадрат скорости, и энергия жидкости в зазоре оказывается в десятки раз больше энергии самого цилиндра. Значит, период определяется инерцией жидкости в зазоре, а не только массой цилиндра. Жидкость под цилиндром движется медленно, её энергией пренебрегаем. Идея решения: второй закон Ньютона для цилиндра и для столба жидкости в зазоре плюс сохранение объёма жидкости.

Рис. 1. Равновесие и состояние, когда цилиндр смещён вниз на \(x_1\), а уровень жидкости поднялся на \(x_2\). Рисунок не в масштабе: зазор показан широким.

Обозначения. \(\varrho\) — плотность жидкости, \(\gamma\varrho\) — плотность цилиндра. В равновесии цилиндр плавает, значит, сила Архимеда равна силе тяжести: \(\varrho g s\,h_{\text{погр}} = \gamma\varrho s h g\), откуда погружённая часть имеет высоту \(h_{\text{погр}} = \gamma h = 7\) см. Пусть в рассматриваемый момент цилиндр смещён вниз от положения равновесия на \(x_1\), а уровень жидкости поднялся на \(x_2\). \(p_0\) — атмосферное давление (оно действует на верхнее основание цилиндра и на поверхность жидкости в зазоре), \(p\) — давление жидкости на нижнее основание цилиндра. Силы, возвращающие систему к равновесию, направлены: на цилиндр вверх, на жидкость в зазоре вниз; их ускорения — \(a_1\) у цилиндра (вверх) и \(a_2\) у жидкости в зазоре (вниз).

Связь смещений и ускорений. Объём жидкости не меняется. Жидкость занимает всё сечение \(S\) ниже дна цилиндра и кольцо площадью \(S-s\) выше него; при сдвиге дна вниз на \(x_1\) и подъёме уровня на \(x_2\) изменение объёма равно нулю: \[-S x_1 + (S-s)(x_1 + x_2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad s\,x_1 = (S-s)\,x_2 .\] Дважды дифференцируя по времени, получаем такую же связь для ускорений: \[s\,a_1 = (S-s)\,a_2 .\]

Столб жидкости в зазоре. Выделим вертикальный столб жидкости единичной площади сечения в зазоре: от поверхности жидкости до уровня нижнего основания цилиндра. Его высота \(L = \gamma h + x_1 + x_2\), масса \(\varrho L\). Давление сверху \(p_0\), снизу \(p\) (под цилиндром жидкость движется медленно, горизонтальных перепадов давления нет, и давление на всём нижнем основании одинаково и равно давлению у низа столба). Второй закон Ньютона для столба, в проекции на ось, направленную вниз: \[\varrho L\, a_2 = p_0 - p + \varrho L g .\] Отсюда \(p - p_0 = \varrho L\,(g - a_2)\). Обратите внимание: разность давлений на нижнее и верхнее основания цилиндра не равна гидростатической \(\varrho g L\) — жидкость в зазоре движется с ускорением, и поправка \(-\varrho L a_2\) как раз и учитывает её инерцию. Без неё получился бы период в \(\sqrt{51}\approx 7\) раз меньше.

Рис. 2. Силы на цилиндр и на столб жидкости единичной площади в зазоре.

Цилиндр. Второй закон Ньютона для цилиндра в проекции на ось, направленную вверх: сила давления снизу \(ps\), сверху \(p_0 s\) (направлена вниз), сила тяжести \(\gamma\varrho s h g\): \[(p - p_0)\,s - \gamma\varrho s h g = \gamma\varrho s h\, a_1 .\] Подставим \(p - p_0\) из уравнения для столба: \[\varrho s\,(\gamma h + x_1 + x_2)(g - a_2) - \gamma\varrho s h g = \gamma\varrho s h\, a_1 .\] Раскроем скобки. Слагаемые \(\varrho s\gamma h g\) сокращаются — это условие равновесия. Слагаемое \(\varrho s\,(x_1+x_2)\,a_2\) имеет второй порядок малости по амплитуде и мало по сравнению с \(\varrho s\gamma h\,a_2\) (отношение \((x_1+x_2)/(\gamma h) \sim 1{,}5\,\%\)), его отбрасываем. Остаётся \[g\,(x_1 + x_2) = \gamma h\,(a_1 + a_2).\] Теперь выразим \(x_2\) и \(a_2\) через \(x_1\) и \(a_1\) по связям выше: \(x_2 = \dfrac{s}{S-s}\,x_1\), \(a_2 = \dfrac{s}{S-s}\,a_1\). Общий множитель \(1 + \dfrac{s}{S-s} = \dfrac{S}{S-s}\) сокращается: \[g\,x_1 = \gamma h\,a_1 \quad\Longrightarrow\quad a_1 = \frac{g}{\gamma h}\,x_1 .\] Ускорение направлено против смещения и пропорционально ему — это уравнение гармонических колебаний с \(\omega^2 = \dfrac{g}{\gamma h}\).

Ответ. \[\boxed{\,T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{\gamma h}{g}}\,}\approx 2\pi\sqrt{\frac{0{,}070\ \text{м}}{9{,}81\ \text{м/с}^2}} \approx 0{,}53\ \text{с}.\] Круговая частота \(\omega \approx 11{,}8\) с\(^{-1}\). Данные \(H\) и \(A\) периода не меняют: \(H\) нужно лишь для того, чтобы жидкость не переливалась, а \(A\) — чтобы убедиться в малости смещений. Уровень жидкости колеблется с амплитудой \(A = 1\) мм, амплитуда цилиндра по связи \(x_2 = 50\,x_1\) равна \(1\ \text{мм}/50 = 0{,}02\) мм (рис. 3); оба смещения много меньше \(\gamma h = 70\) мм.

Рис. 3. Колебания цилиндра (левая шкала, мкм) и уровня жидкости (правая шкала, мм) — одна и та же косинусоида: \(x_2 = 50\,x_1\), период \(T = 0{,}53\) с.

Проверка. Размерность: \([\gamma h/g] = \text{м}\cdot\text{с}^2/\text{м} = \text{с}^2\), корень даёт секунды. Физический смысл: период равен периоду математического маятника длиной \(\gamma h\), то есть глубины погружения цилиндра; площади \(s\) и \(S\) в ответ не входят — множитель \(S/(S-s)\) одинаково увеличивает и «жёсткость», и «инерцию» системы.

Второй способ — энергетический. Потенциальная энергия: цилиндр опустился на \(x_1\) (работа силы тяжести \(-\gamma\varrho s h g x_1\)), а жидкость массы \(\varrho s x_1\) поднялась в среднем на \(\gamma h + (x_1+x_2)/2\): \[E_{\text{п}} = -\gamma\varrho s h g\,x_1 + \varrho s x_1 g\left(\gamma h + \frac{x_1+x_2}{2}\right) = \frac{\varrho g}{2}\,\frac{sS}{S-s}\,x_1^2 ,\] так что \(k_{\text{эфф}} = \varrho g\,\dfrac{sS}{S-s}\). Кинетическая энергия цилиндра \(\tfrac12\gamma\varrho s h\,v_1^2\), жидкости в зазоре — \(\tfrac12\varrho (S-s)\gamma h\,v_2^2\) при \(v_2 = \dfrac{s}{S-s}v_1\); энергией жидкости под цилиндром пренебрегаем (при расстоянии до дна в 3,5 см она примерно в 100 раз меньше энергии жидкости в зазоре, рис. 4). Суммарно \(E_{\text{к}} = \tfrac12 m_{\text{эфф}} v_1^2\) с \(m_{\text{эфф}} = \gamma\varrho h\,\dfrac{sS}{S-s}\). Тогда \(\omega^2 = k_{\text{эфф}}/m_{\text{эфф}} = g/(\gamma h)\) — тот же результат. Числа: \(sS/(S-s) = 51\,s\), то есть эффективная масса в 51 раз больше массы цилиндра, и на жидкость в зазоре приходится \(50/51\) всей кинетической энергии.

Рис. 4. Кинетическая энергия при одной и той же скорости цилиндра, в долях энергии самого цилиндра.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Ток через катушку не может измениться скачком, а температура резистора при быстром установлении теплового равновесия определяется текущим током: \(R I^2 = \alpha(T - T_0)\). Фазовый переход происходит, когда ток достигает критического значения, отвечающего \(T = T_c\).

Ответ

(a) \(V_1 = \sqrt{\alpha R_1(T_c - T_0)}\), \(V_2 = \sqrt{\alpha R_2(T_c - T_0)}\);  (b) \(\dfrac{T_{\max}-T_0}{T_{\min}-T_0} = \dfrac{R_2^2}{R_1^2}\);  (c) \(\tau = \dfrac{L}{R_1}\left(\ln\dfrac74 + \dfrac1{16}\ln 7\right) \approx 0{,}68\,\dfrac{L}{R_1}\)

Решение

Что происходит. Сопротивление резистора зависит от его температуры, а температура — от выделяющейся мощности \(RI^2\), то есть от тока. Это обратная связь: нагрелся — вырос \(R\) — ток стал уменьшаться — резистор остыл — сопротивление упало — ток снова растёт. Ток через катушку меняется непрерывно (ЭДС самоиндукции не даёт ему прыгнуть) и по экспоненте стремится к «своему» значению \(V/R\); температура же, подстраиваясь к току практически мгновенно, на фазовом переходе скачет вместе с \(R\). Ключевые законы: закон Ома для цепи с катушкой, \(L\dfrac{dI}{dt} + RI = V\), и тепловой баланс резистора \(RI^2 = \alpha(T - T_0)\).

Рис. 1. Схема с направлением тока \(I\); сопротивление резистора \(R(T)\) равно \(R_1\) при \(T<T_c\) и \(R_2\) при \(T>T_c\).

Обозначения. \(I(t)\) — ток в цепи; \(\Delta T_c = T_c - T_0\). Условие (ii) означает, что температура резистора в каждый момент отслеживает ток: мощность тепловыделения \(RI^2\) равна потоку тепла в среду, \[T(t) = T_0 + \frac{R(t)\,I(t)^2}{\alpha}. \tag{1}\] Уравнение для тока в фазе с сопротивлением \(R_j\) (\(j = 1, 2\)): \[L\frac{dI}{dt} + R_jI = V .\] Его решение при начальном токе \(I_{\text{нач}}\) в начале фазы: \[I(t) = J_j + (I_{\text{нач}} - J_j)\,e^{-R_jt/L}, \qquad J_j = \frac{V}{R_j}, \tag{2}\] где \(J_j\) — установившийся ток, к которому стремится \(I\), а \(L/R_j\) — время релаксации.

(a). Пусть сопротивление остаётся равным \(R_j\). Тогда ток устанавливается равным \(J_j = V/R_j\), выделяется мощность \(V^2/R_j\), и по тепловому балансу \(V^2/R_j = \alpha(T - T_0)\) температура стремится к \[T_{\text{экв},j} = T_0 + \frac{V^2}{\alpha R_j}.\] Колебаний нет, если система «застревает» в одном из двух состояний:

• состояние \(R_1\) устойчиво, если \(T_{\text{экв},1} < T_c\), то есть \(\dfrac{V^2}{\alpha R_1} < T_c - T_0\), откуда \(V < \sqrt{\alpha R_1(T_c - T_0)}\);

• состояние \(R_2\) устойчиво, если \(T_{\text{экв},2} > T_c\), то есть \(V > \sqrt{\alpha R_2(T_c - T_0)}\).

Ни то, ни другое не выполнено, когда \(\sqrt{\alpha R_1\Delta T_c} < V < \sqrt{\alpha R_2\Delta T_c}\): при \(R_1\) резистор греется выше \(T_c\) и переключается на \(R_2\), при \(R_2\) остывает ниже \(T_c\) и возвращается на \(R_1\). Это и есть область колебаний (рис. 2).

Рис. 2. Равновесная температура при \(R_1\) (серая) и \(R_2\) (бирюзовая) в зависимости от \(V\); показан случай \(R_2 = 4R_1\). Колебания — между \(V_1\) и \(V_2\).

Ответ (a). \[\boxed{\,V_1 = \sqrt{\alpha R_1(T_c - T_0)}, \qquad V_2 = \sqrt{\alpha R_2(T_c - T_0)}\,}\]

(b). Критические токи — те, при которых температура достигает \(T_c\). По (1) при \(T = T_c\) получаем \(R_jI^2 = \alpha\,\Delta T_c\): \[I_1 = \sqrt{\frac{\alpha\Delta T_c}{R_1}}, \qquad I_2 = \sqrt{\frac{\alpha\Delta T_c}{R_2}}, \qquad I_2 < I_1 .\] Через них \(V_1 = R_1I_1\) и \(V_2 = R_2I_2\), поэтому при \(V_1<V<V_2\) получаем \(J_1 = V/R_1 > I_1\) и \(J_2 = V/R_2 < I_2\). Опишем один цикл. Пусть сопротивление равно \(R_1\), а ток \(I = I_2\). Так как \(J_1 > I_1 > I_2\), ток растёт по экспоненте \(I = J_1 - (J_1 - I_2)\,e^{-R_1t/L}\) к \(J_1\), и температура \(T = T_0 + R_1I^2/\alpha\) растёт вместе с ним. Когда ток достигает \(I_1\), температура достигает \(T_c\), и \(R\) скачком переходит в \(R_2\). Ток при этом остаётся равным \(I_1\) — катушка не пускает скачок, — а температура мгновенно становится \(T_0 + R_2I_1^2/\alpha\), больше \(T_c\) в \(R_2/R_1\) раз по превышению над \(T_0\). Дальше при \(R_2\) ток убывает по экспоненте \(I = J_2 + (I_1 - J_2)\,e^{-R_2t/L}\) к \(J_2 < I_2\), пока не достигнет \(I_2\); в этот момент \(T = T_c\) и \(R\) возвращается к \(R_1\): температура скачком падает до \(T_0 + R_1I_2^2/\alpha\). Цикл замкнулся (рис. 3 и 4).

Рис. 3. Ток: куски экспонент при \(R_1\) (серые, медленнее — время \(L/R_1\)) и при \(R_2\) (бирюзовые, быстрее — время \(L/R_2\)), стыкующиеся без скачков. Расчёт для \(R_2 = 4R_1\), \(V = \sqrt{V_1V_2}\); единицы \(I_1 = 1\), время в \(L/R_1\).

Рис. 4. Температура: плавные участки и скачки на уровне \(T_c\) (скачок вверх от \(T_c\) до \(T_{\max}\), вниз — от \(T_c\) до \(T_{\min}\)). Те же параметры, что на рис. 3.

Экстремумы температуры достигаются сразу после скачков, при \(I = I_1\) и \(I = I_2\) соответственно: \[T_{\max} - T_0 = \frac{R_2I_1^2}{\alpha}, \qquad T_{\min} - T_0 = \frac{R_1I_2^2}{\alpha}.\] Делим и подставляем \(I_1^2 = \alpha\Delta T_c/R_1\), \(I_2^2 = \alpha\Delta T_c/R_2\): \[\frac{T_{\max}-T_0}{T_{\min}-T_0} = \frac{R_2I_1^2}{R_1I_2^2} = \frac{R_2\cdot\dfrac1{R_1}}{R_1\cdot\dfrac1{R_2}} = \frac{R_2^2}{R_1^2}.\]

Ответ (b). \[\boxed{\,\frac{T_{\max}-T_0}{T_{\min}-T_0} = \frac{R_2^2}{R_1^2}\,}\] Качественный вид \(T(t)\) — на рис. 4: куски экспонент с резкими скачками на уровне \(T_c\).

(c). Длительность каждого участка найдём из (2): время, за которое ток при релаксации к \(J_j\) переходит от \(I_{\text{нач}}\) к \(I_{\text{кон}}\), равно \[t_j = \frac{L}{R_j}\ln\frac{|J_j - I_{\text{нач}}|}{|J_j - I_{\text{кон}}|}.\] Участок \(R_1\): ток растёт от \(I_2\) до \(I_1\) при \(J_1\); участок \(R_2\): убывает от \(I_1\) до \(I_2\) при \(J_2\): \[t_1 = \frac{L}{R_1}\ln\frac{J_1 - I_2}{J_1 - I_1}, \qquad t_2 = \frac{L}{R_2}\ln\frac{I_1 - J_2}{I_2 - J_2}, \qquad \tau = t_1 + t_2 .\] Пусть \(R_2 = \eta R_1\). Тогда \(I_2 = I_1/\sqrt\eta\), \(V_1V_2 = R_1I_1\cdot R_2I_2 = \sqrt\eta\,R_1^2I_1^2\), и при \(V = \sqrt{V_1V_2}\) \[V = \eta^{1/4}R_1I_1, \qquad J_1 = \eta^{1/4}I_1, \qquad J_2 = \eta^{-3/4}I_1 .\] Для \(\eta = 16\) (корни: \(\eta^{1/4} = 2\), \(\eta^{3/4} = 8\)): \(I_2 = \dfrac{I_1}{4}\), \(J_1 = 2I_1\), \(J_2 = \dfrac{I_1}{8}\). Подставляем (в долях \(I_1\)): \[\frac{J_1 - I_2}{J_1 - I_1} = \frac{2 - \tfrac14}{2 - 1} = \frac74, \qquad \frac{I_1 - J_2}{I_2 - J_2} = \frac{1 - \tfrac18}{\tfrac14 - \tfrac18} = 7,\] \[\tau = \frac{L}{R_1}\ln\frac74 + \frac{L}{16R_1}\ln 7 .\]

Рис. 5. Ток за два периода при \(R_2 = 16R_1\), \(V = \sqrt{V_1V_2}\) (по формулам выше); отмечены моменты переключений в единицах \(L/R_1\).

Ответ (c). \[\boxed{\,\tau = \frac{L}{R_1}\left(\ln\frac74 + \frac1{16}\ln 7\right) \approx 0{,}68\,\frac{L}{R_1}\,}\] Численно: \(\ln\dfrac74 = 0{,}560\), \(\dfrac{\ln 7}{16} = 0{,}122\), сумма \(0{,}681\).

Проверка. Размерность: \(L/R\) — секунды, логарифмы безразмерны. Условие \(V_1<V<V_2\) и вправду даёт \(J_1>I_1\) и \(J_2<I_2\) (при \(\eta = 16\): \(J_1 = 2I_1\), \(J_2 = I_1/8 < I_2 = I_1/4\)), иначе до порога ток бы не дошёл и колебаний не было бы. Предел \(V\to V_1\) (\(J_1\to I_1\)): \(t_1\to\infty\), период неограниченно растёт — колебания исчезают, система остаётся в состоянии \(R_1\); при \(V\to V_2\) то же с \(t_2\) (\(J_2 \to I_2\)). Численное интегрирование уравнения \(L\,dI/dt = V - R(T)I\) с переключением при \(T = T_c\) даёт при \(\eta = 16\) период \(0{,}6813\,L/R_1\) и отношение температур \(256 = \eta^2\) — как в ответах.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сложите силы Лоренца на оба заряда: если скорости зарядов одинаковы, силы взаимно уничтожаются, а при вращении складываются вдоль оси диполя. В пункте (c) проинтегрируйте уравнение движения центра масс по времени: получится сохраняющаяся комбинация скорости центра масс и ориентации диполя.

Ответ

(a) \(\omega_0 = 0\), \(\vec v_0\parallel Y\) (любой величины и знака);  (b) \(\vec v_0 = -\dfrac{qBd}{2m}\,\hat y\), \(R_c = \dfrac{qBd}{2m|\omega_0|}\), \(x_c = \dfrac{qBd}{2m\omega_0}\), \(y_c = 0\);  (c) \(\omega_{\min} = \dfrac{2qB}{m}\);  (d) \(D = d\)

Решение

Что происходит. Магнитное поле работы не совершает, но искривляет движение зарядов. У диполя два заряда разных знаков: если оба движутся с одной скоростью, силы Лоренца на них противоположны и вместе дают нулевую силу, а если диполь вращается, то скорости зарядов противоположны, а силы — одинаково направлены и складываются. Так вращение диполя превращается в силу на его центр масс, а скорость центра масс, в свою очередь, создаёт момент сил, который крутит диполь. Три сценария отличаются тем, как согласованы эти два движения. Главные законы: второй закон Ньютона для центра масс, уравнение моментов относительно центра масс и сохранение энергии.

Обозначения. Ось \(Z\) направлена к нам, так что \(\vec B = B\hat z\) с \(B>0\) (на рисунке поле направлено к нам), \(\omega>0\) — вращение против часовой стрелки. \(\vec r\) — вектор из центра масс (ЦМ) в положительный заряд, \(|\vec r| = d/2\), отрицательный заряд находится в точке \(-\vec r\). \(\vec p = 2q\vec r\) — дипольный момент (от \(-\) к \(+\)), \(|\vec p| = qd\). \(\vec v\) — скорость ЦМ. Скорости зарядов \(\vec v_\pm = \vec v \pm \vec\omega\times\vec r\). Полная масса \(2m\), момент инерции относительно ЦМ \(I = 2m(d/2)^2 = md^2/2\). Уравнения: \(2m\dot{\vec v} = \vec F\), \(I\dot\omega = \tau_z\).

Общие формулы. Сила Лоренца на \(+q\): \(\vec F_+ = q\vec v_+\times\vec B\), на \(-q\): \(\vec F_- = -q\vec v_-\times\vec B\). Суммарная сила \[\vec F = \vec F_+ + \vec F_- = q(\vec v_+ - \vec v_-)\times\vec B = 2q(\vec\omega\times\vec r)\times\vec B .\] Раскроем двойное векторное произведение по тождеству из условия: \((\vec\omega\times\vec r)\times\vec B = \vec r(\vec B\cdot\vec\omega) - \vec\omega(\vec B\cdot\vec r)\). Так как \(\vec B\perp\vec r\), второе слагаемое равно нулю, и \[\vec F = 2q\,\omega B\,\vec r = \omega B\,\vec p. \tag{1}\] Сила на диполь направлена вдоль его оси, а её модуль пропорционален угловой скорости. Момент сил относительно ЦМ: \(\vec\tau = \vec r\times\vec F_+ + (-\vec r)\times\vec F_- = q\,\vec r\times\big((\vec v_++\vec v_-)\times\vec B\big) = 2q\,\vec r\times(\vec v\times\vec B)\). Здесь \(\vec v_+ + \vec v_- = 2\vec v\), а по тождеству \(\vec r\times(\vec v\times\vec B) = \vec v\,(\vec r\cdot\vec B) - \vec B\,(\vec r\cdot\vec v) = -\vec B\,(\vec r\cdot\vec v)\). Итак, \[\vec\tau = -2q\,(\vec r\cdot\vec v)\,\vec B, \qquad I\dot\omega = -2qB\,(\vec r\cdot\vec v). \tag{2}\] Момент зависит только от составляющей скорости ЦМ вдоль диполя.

Рис. 1. Силы Лоренца на заряды: (а) без вращения силы направлены вдоль стержня в разные стороны; (б) при вращении скорости зарядов противоположны, а обе силы направлены в одну сторону.

(a). Нужна нулевая полная сила. Из (1) при \(B\neq0\) это возможно только при \(\omega = 0\): значит, \(\omega_0 = 0\). Если при этом \(\vec v_+ = \vec v_- = \vec v\), то силы \(\vec F_\pm\) равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой — вдоль \(\vec v\times\vec B\) (рис. 1а). Чтобы диполь и дальше не вращался, нужен нулевой момент (2): \(\vec r\cdot\vec v = 0\). Диполь направлен вдоль \(X\), поэтому \(\vec v\perp X\), то есть \(\vec v_0\parallel Y\), любой величины и любого знака. Тогда \(\vec v = \text{const}\), сила и момент остаются нулевыми, и движение действительно равномерное и прямолинейное. Если \(\omega_0\neq 0\), сила (1) не равна нулю, и скорость меняется.

Ответ (a). \[\boxed{\,\omega_0 = 0,\qquad \vec v_0\parallel Y\,}\]

(b). Круговое движение ЦМ означает центростремительную силу, а по (1) сила направлена вдоль диполя. Значит, ось диполя всё время проходит через центр окружности, и диполь поворачивается вместе с радиус-вектором ЦМ: угловая скорость вращения диполя \(\omega_0\) равна угловой скорости обращения ЦМ по окружности. Поэтому \[v_0 = |\omega_0|R_c .\] Модуль силы (1): \(F = |\omega_0|\,B\,qd\). Второй закон Ньютона для ЦМ (масса \(2m\)) в проекции на радиус: \[2m\,\frac{v_0^2}{R_c} = |\omega_0|\,B\,qd .\] Подставим \(v_0 = |\omega_0|R_c\): \(2m\,|\omega_0|^2R_c = |\omega_0|\,Bqd\), откуда \[R_c = \frac{qBd}{2m|\omega_0|}, \qquad v_0 = |\omega_0|R_c = \frac{qBd}{2m}.\] Положение центра и направление скорости. Пусть \(\omega_0>0\). Тогда по (1) сила \(\vec F = \omega_0B\vec p\) направлена вдоль \(\vec p\), то есть в \(+X\), и центр окружности лежит на оси \(X\) справа от ЦМ: \((x_c, y_c) = (R_c, 0)\). ЦМ в начале координат — крайняя левая точка окружности; обращается он против часовой стрелки (как вращается диполь), поэтому в этой точке движется вниз: \(\vec v_0 = -v_0\hat y\). Если \(\omega_0<0\), сила направлена против \(\vec p\), центр — слева, \((x_c,y_c) = (-R_c,0)\), обращение по часовой стрелке, и в крайней правой точке скорость снова направлена вниз. Обе возможности записываются одной формулой (рис. 2).

Рис. 2. Движение при \(\omega_0>0\): центр окружности \((x_c,0)\) на оси \(X\), диполь всё время направлен положительным концом к центру, сила \(\vec F\) — центростремительная.

Ответ (b). \[\boxed{\,\vec v_0 = -\frac{qBd}{2m}\,\hat y,\qquad R_c = \frac{qBd}{2m|\omega_0|},\qquad x_c = \frac{qBd}{2m\,\omega_0},\quad y_c = 0\,}\]

Согласованность. Скорость \(v_0 = qBd/(2m)\) не зависит от \(\omega_0\): от угловой скорости зависит только радиус окружности. Проверим согласованность: при движении по окружности \(\vec v\perp\vec r\) (диполь направлен вдоль радиуса, а скорость — по касательной), поэтому момент (2) равен нулю и \(\omega\) остаётся постоянной, как и предполагалось.

(c). Вектор \(\vec p\) вращается с угловой скоростью \(\vec\omega\), то есть \(\dot{\vec p} = \vec\omega\times\vec p\), и сила (1) в векторной форме равна \(\vec F = (\vec\omega\times\vec p)\times\vec B = \dot{\vec p}\times\vec B\). Второй закон Ньютона для ЦМ: \[2m\,\dot{\vec v} = \dot{\vec p}\times\vec B .\] Поле \(\vec B\) постоянно, поэтому правую часть можно записать как производную, и сохраняется величина (обобщённый импульс) \[2m\vec v - \vec p\times\vec B = \text{const}. \tag{3}\] Начальные условия: \(\vec v_0 = 0\), \(\vec p_0 = qd\,\hat x\). Тогда в любой момент \[\vec v = \frac{(\vec p - \vec p_0)\times\vec B}{2m}.\] Пусть диполь развернулся: \(\vec p_1 = -\vec p_0\). Скорость ЦМ в этот момент \[\vec v_1 = -\frac{\vec p_0\times\vec B}{m}, \qquad |\vec v_1| = \frac{qdB}{m},\] и направлена она вдоль \(+Y\) (так как \(\hat x\times\hat z = -\hat y\)).

Магнитное поле работы не совершает, поэтому сохраняется полная кинетическая энергия: вращательная \(\tfrac12I\omega^2\) плюс поступательная \(\tfrac12(2m)v^2\). В начале энергия равна \(\tfrac12I\omega_0^2\), в момент разворота \(\tfrac12I\omega_1^2 + m v_1^2\): \[\tfrac12 I\omega_0^2 = \tfrac12 I\omega_1^2 + m v_1^2 .\] Скорость \(v_1\) определена из (3) и от \(\omega_1\) не зависит. Диполь доходит до разворота, пока \(\omega_1^2\ge0\); минимальному \(\omega_0\) отвечает \(\omega_1 = 0\) (диполь подходит к развёрнутому положению, почти остановившись): \[\omega_{\min}^2 = \frac{2m v_1^2}{I} = \frac{2m\,q^2d^2B^2/m^2}{md^2/2} = \frac{4q^2B^2}{m^2}.\]

Ответ (c). \[\boxed{\,\omega_{\min} = \frac{2qB}{m}\,}\]

Обратите внимание. При \(\omega_0 = \omega_{\min}\) диполь приходит к развёрнутому положению, лишь асимптотически останавливаясь на нём (как маятник, выведенный в верхнюю точку с нулевой скоростью, — см. ниже); при сколь угодно малом превышении \(\omega_{\min}\) разворот происходит за конечное время.

(d). Если у траектории есть асимптота, то движение вдоль неё равномерное. В пределе \(\vec p\to-\vec p_0\), \(\omega\to0\), и по пункту (a) движение равномерное с \(\vec v_1\parallel Y\), значит, асимптота — вертикальная прямая \(x = D\) (при \(\omega_0>0\)). Найдём \(D = x_\infty = \int_0^\infty v_x\,dt\).

Пусть \(\theta\) — угол диполя с осью \(X\) (\(\theta_0 = 0\), \(\dot\theta = \omega\)). Обозначим \(\Omega = qB/m\). Тогда \(\vec p = qd(\cos\theta,\sin\theta)\), и из (3) при \(\vec v_0 = 0\) \[\vec v = \frac{\vec p\times\vec B - \vec p_0\times\vec B}{2m}:\qquad v_x = \frac{\Omega d}{2}\sin\theta,\qquad v_y = \frac{\Omega d}{2}\,(1-\cos\theta).\] Теперь уравнение (2): \(\vec r = \tfrac d2(\cos\theta,\sin\theta)\), поэтому \(\vec r\cdot\vec v = \dfrac d2\cdot\dfrac{\Omega d}{2}\,\big(\sin\theta\cos\theta + \sin\theta - \sin\theta\cos\theta\big) = \dfrac{\Omega d^2}{4}\sin\theta\) и \[\frac{md^2}{2}\,\ddot\theta = -2qB\cdot\frac{\Omega d^2}{4}\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \ddot\theta = -\Omega^2\sin\theta .\] Это уравнение математического маятника (рис. 3): вращение диполя во всём совпадает с движением маятника, а скорость ЦМ жёстко связана с углом формулами для \(v_x\) и \(v_y\). Отсюда \(\sin\theta = -\ddot\theta/\Omega^2\), и \[\int_0^\infty \sin\theta\,dt = -\frac{\dot\theta(\infty) - \dot\theta(0)}{\Omega^2} = \frac{\omega_{\min}}{\Omega^2} = \frac{2}{\Omega},\] потому что \(\dot\theta(0) = \omega_{\min} = 2\Omega\), а при \(t\to\infty\) диполь асимптотически останавливается: \(\dot\theta\to0\). Следовательно, \[D = x_\infty = \frac{\Omega d}{2}\cdot\frac{2}{\Omega} = d .\]

Рис. 3. Аналогия: угол диполя \(\theta\) и угол маятника от нижнего положения подчиняются одному уравнению; «нижнее» положение \(\theta=0\) — исходное, «верхнее» \(\theta=\pi\) — развёрнутый диполь.

Ответ (d). \[\boxed{\,D = d\,}\] При вращении в противоположную сторону (\(\omega_0<0\)) асимптота \(x=-d\), расстояние до неё то же.

Проверка. Размерность: \(qBd/m\) — это Кл·Тл·м/кг = м/с (сила \(qvB\) измеряется в ньютонах), \(qB/m\) — с\(^{-1}\), так что \(\omega_{\min}\) — угловая частота, а \(R_c\) и \(D\) — длины. Предельный случай: при \(\omega_0\to0\) в (b) радиус \(R_c\to\infty\) и окружность вырождается в прямую; скорость при этом остаётся \(qBd/(2m)\), направленная вдоль \(Y\), — это частный случай ответа (a), где при \(\omega_0=0\) допустима любая \(\vec v_0\parallel Y\). Так ответы (a) и (b) согласуются.

Те же результаты — через фазовую плоскость. Сохранение энергии с \(v^2 = \Omega^2d^2\sin^2(\theta/2)\) (из формул для \(v_x\), \(v_y\)) даёт \[\omega^2 = \omega_0^2 - 4\Omega^2\sin^2\frac\theta2 ,\] это уравнение маятника; при \(\omega_0<2\Omega\) диполь колеблется около \(\theta=0\) (поворот не доходит до \(\pi\)), при \(\omega_0=2\Omega\) идёт по сепаратрисе \(\omega = 2\Omega\cos(\theta/2)\) и приходит в \(\theta=\pi\) с нулевой скоростью, при \(\omega_0>2\Omega\) проходит \(\theta=\pi\) с \(\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 4\Omega^2}\) и вращается (рис. 4). Это подтверждает \(\omega_{\min} = 2\Omega = 2qB/m\).

Рис. 4. Фазовая плоскость \((\theta,\omega)\) при \(v_0=0\): колебания (\(\omega_0=\Omega\)), сепаратриса (\(\omega_0=2\Omega=\omega_{\min}\)), вращение (\(\omega_0=2{,}5\Omega\)); точки на оси \(\omega\) — начальные состояния \(\omega_0=\Omega\), \(2\Omega\), \(2{,}5\Omega\).

Скорость ЦМ \(\vec v = \frac{\Omega d}{2}(\sin\theta,\,1-\cos\theta)\) при изменении \(\theta\) описывает окружность радиуса \(\Omega d/2 = qBd/(2m)\) в плоскости скоростей (рис. 5): \(v_y\ge0\), а в развёрнутом положении она максимальна и равна \(2\cdot qBd/(2m) = qBd/m = |\vec v_1|\), как найдено в (c).

Рис. 5. Годограф скорости центра масс \(\vec v(\theta)\) при \(\vec v_0 = 0\) — окружность, проходящая через начало координат.

Траектория ЦМ при \(\omega_0=\omega_{\min}\) находится явно: из \(\omega = 2\Omega\cos(\theta/2)\) имеем \(dt = d\theta/(2\Omega\cos(\theta/2))\) и \[x = d\Big(1-\cos\frac\theta2\Big),\qquad y = d\Big[\ln\tan\Big(\frac\pi4+\frac\theta4\Big) - \sin\frac\theta2\Big].\] При \(\theta\to\pi\) получаем \(x\to d\), \(y\to\infty\) (логарифмически), то есть асимптота \(x = d\) (рис. 6). Прямое численное интегрирование уравнений движения (python) даёт \(x_\infty = 0{,}9997\,d\), что подтверждает \(D=d\).

Рис. 6. Траектория ЦМ при \(\vec v_0=0\), \(\omega_0=\omega_{\min}\) и положения диполя при \(\theta = 0^\circ, 100^\circ, 140^\circ, 170^\circ\) (диполь показан без масштаба); \(+\) — заполненный бирюзовый кружок.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.