EuPhO 2024, экспериментальный тур

Подсказка

Заряды пьезоэлемента слишком малы, чтобы читать их вольтметром напрямую: он разрядил бы элемент за доли секунды. Перекачайте заряд на большой конденсатор и читайте напряжение на нём; при ударе шарика максимум напряжения запоминает диод.

Ответ

E.1) потеря кинетической энергии \(1-\eta\approx0{,}20\) при всех начальных энергиях \(16\)–\(29\) мДж;  E.2a) \(C\approx2{,}2\) мкФ;  E.2b) \(C_p\approx23\) нФ;  E.2c) \(\beta\approx3{,}6\) В/Н;  E.2d) \(U_{\text{нас}}\approx90\) В, \(p_{\text{нас}}\approx6\cdot10^4\) Па, \(\sigma_{\max}\approx5\) мКл/м\(^2\);  E.3) отклик не меняется (\(\beta_s\approx3{,}4\) В/Н, в пределах разброса равно \(\beta\));  E.4) \(\alpha\approx0{,}75\), \(k\approx8\cdot10^2\) Н/м\(^{\alpha}\);  E.5) \(\tau\) почти не зависит от скорости (\(\tau\propto v^{-0{,}1}\)).

Решение

Что происходит. Пьезоэлемент при нагрузке ведёт себя как конденсатор \(C_p\) с зарядом, пропорциональным силе: напряжение на нём \(U_p=\beta F\). Заряд мал, а вольтметр забирает его за доли секунды, поэтому весь опыт строится на одном приёме: перекачать заряд на большой конденсатор \(C\gg C_p\) и читать напряжение на нём, а затем пересчитать по сохранению заряда. Ёмкость \(C\) находим по разряду на внутреннее сопротивление вольтметра; \(C_p\) — по накоплению заряда за много циклов. С калиброванным откликом \(U_p(F)\) пьезоэлемент становится датчиком силы: падающий шарик даёт максимальную силу удара, а по высоте падения известна упругая энергия, откуда находится закон силы \(F=kx^{\alpha}\). Отношение пиковой силы к скорости даёт время контакта.

Обозначения. \(g=9{,}81\) м/с\(^2\); \(R_V=11{,}1\) МОм — внутреннее сопротивление вольтметра в диапазоне \(2\) В; \(U_0=1{,}405\) В — напряжение батарейки (его измеряем сами: у организаторов оно совпадает с первой точкой разряда, \(1{,}408\) В); \(U_C\) — напряжение на конденсаторе; \(F=mg\) — сила по показанию весов (масса \(m\) в кг). Данные организаторов используем из их таблиц.

E.1. Потеря энергии при ударе.

Шарик отпускают с высоты \(h\) (расстояние от нижней точки шарика до деревянной плиты) и измеряют высоту \(h_b\) первого отскока. Перед ударом энергия \(E_0=mgh\), после отскока \(E_b=mgh_b\). Сопротивление воздуха мало, поэтому доля энергии, сохранённой шариком при ударе, \(\eta=E_b/E_0=h_b/h\), а потерянная доля — \(1-\eta\).

Рис. 1. Схема опыта: шарик на механизме сброса, линейка и высоты \(h\) и \(h_b\) нижней точки шарика над деревянной плитой.

Высоты брали по линейке, закреплённой прищепкой на стойке, считывая положение нижней точки шарика; чтобы не ошибиться из-за параллакса, глаз держали на уровне отсчёта. Нуль линейки смещён относительно плиты на неизвестную величину, поэтому отношение \(h_b/h\) для одной высоты искажается: добавка к обеим высотам не сокращается. От этой ошибки свободен наклон: берём четыре высоты, для каждой пять сбросов, и подгоняем прямую \(h_b=\gamma h+b\) (данные организаторов, мм):

Рис. 2. Высота отскока \(h_b\) в зависимости от высоты падения \(h\). Точки — средние по пяти сбросам (погрешности меньше размера точки), сплошная линия — линейная подгонка, пунктир — отсутствие потерь. Оси начинаются не с нуля.

Метод наименьших квадратов даёт \(\gamma=0{,}805\) при \(b=-10\) мм. Поскольку наклон \(\gamma\) равен отношению энергий \(E_b/E_0\) и не зависит от \(h\) (точки лежат на одной прямой), потеря энергии одинакова при всех трёх и более начальных энергиях: \[1-\eta=1-\gamma\approx0{,}195\approx 20\,\%\qquad(E_0=16\text{--}29~\text{мДж}).\] Если считать отношение \(h_b/h\) для каждой высоты по отдельности, получаем \(22\)–\(25\,\%\): именно смещение нуля линейки, о котором речь выше, делает эти числа чуть выше и растущими с уменьшением \(h\).

Проверка. Доля безразмерна и лежит в пределах от нуля до единицы; при \(h\to\infty\) прямая приближается к \(h_b/h=\gamma\) и не зависит от смещения нуля. Смысл: резиновый шарик возвращает при ударе около \(80\,\%\) энергии, остальное переходит в тепло и звук.

E.2a. Ёмкость конденсатора.

Заряжаем конденсатор батарейкой (схема на рис. 3: ключ \(K_1\) разомкнут, \(K_2\) замкнут), затем размыкаем \(K_2\) и замыкаем \(K_1\). Теперь конденсатор разряжается через внутреннее сопротивление вольтметра \(R_V\).

Рис. 3. Схема опыта E.2a: конденсатор \(C\) заряжается батарейкой \(U_0\) через \(K_2\) и затем разряжается на вольтметр через \(K_1\).

Запишем закон сохранения заряда для разряда: ток через вольтметр \(U/R_V\) равен убыли заряда конденсатора, \(-C\,dU/dt=U/R_V\). Разделим переменные и проинтегрируем от \(U_0\) до \(U\) и от \(0\) до \(t\): \[\ln\frac{U(t)}{U_0}=-\frac{t}{R_VC}.\] Строим \(\ln(U/U_0)\) от \(t\): это прямая с наклоном \(-1/(R_VC)\). Данные организаторов (отсчёт напряжения каждые \(5\) с):

Рис. 4. Логарифм напряжения при разряде конденсатора на вольтметр: точки лежат на прямой, её наклон равен \(-1/(R_VC)\).

Наклон равен \(-0{,}0406\) с\(^{-1}\), то есть \(R_VC=24{,}6\) с, и \[C=\frac{24{,}6~\text{с}}{11{,}1\cdot10^{6}~\text{Ом}}\approx2{,}2\cdot10^{-6}~\text{Ф}=2{,}2~\text{мкФ}.\]

Проверка. Размерность: \(\text{Ом}\cdot\text{Ф}=\text{с}\). Точки лежат на прямой при изменении напряжения в 17 раз, значит, ток вольтметра действительно подчиняется закону Ома, а утечка конденсатора пренебрежимо мала.

E.2b. Ёмкость пьезоэлемента.

Пьезоэлемент на \(C_p\ll C\) разрядился бы через вольтметр за \(R_VC_p\sim0{,}25\) с, сразу измерить его нельзя. Поэтому заряжаем \(C_p\) от батарейки и передаём заряд большому конденсатору много раз подряд: так накопленное на \(C\) напряжение набирается до измеримого значения.

Рис. 5. Схема опыта E.2b. Цикл: замыкаем \(K_1\) (заряд \(C_p\) от \(U_0\)), размыкаем \(K_1\), замыкаем \(K_2\) (заряд делится между \(C_p\) и \(C\)), размыкаем \(K_2\). После \(N\) циклов замыкаем \(K_3\) и читаем \(U_C\); затем замыкаем \(K_2\) и \(K_4\) и разряжаем и \(C\), и \(C_p\).

Пусть после \(N-1\) циклов напряжение на \(C\) равно \(U_{N-1}\). Заряженный до \(U_0\) пьезоэлемент несёт заряд \(C_pU_0\). После соединения заряд \(CU_{N-1}+C_pU_0\) распределяется по ёмкости \(C+C_p\) (закон сохранения заряда для изолированной системы из двух конденсаторов): \[U_N=\frac{C\,U_{N-1}+C_p\,U_0}{C+C_p}.\] Перепишем это как \(C\,(U_N-U_{N-1})+C_pU_N=C_pU_0\). Пока \(U_N\ll U_0\), слагаемое \(C_pU_N\) много меньше \(C_pU_0\), и приращение напряжения за цикл постоянно: \(U_N-U_{N-1}=C_pU_0/C\). Значит, напряжение растёт линейно с числом циклов: \[U_N\approx N\,\frac{C_pU_0}{C}\qquad(NC_p\ll C).\] Точное решение рекуррентной формулы: \(U_0-U_N=\bigl(\tfrac{C}{C+C_p}\bigr)^N U_0\), то есть \(U_N=U_0\bigl[1-r^N\bigr]\), \(r=C/(C+C_p)\); при \(N\to\infty\) оно даёт насыщение на \(U_0\), как и должно быть.

Данные организаторов (напряжение \(U_C\) после \(N\) циклов):

Рис. 6. Напряжение на конденсаторе после \(N\) циклов. Прямая — линейное приближение по \(N\le10\) (оно хорошо работает, пока \(NC_p\ll C\)), пунктир — точное решение рекуррентной формулы с \(r\), найденным из подгонки.

Подгонка прямой через начало координат по \(N\le10\) даёт наклон \(14{,}7\) мВ за цикл. Отсюда \[C_p=\frac{(14{,}7\cdot10^{-3}~\text{В})\cdot C}{U_0}=\frac{14{,}7\cdot10^{-3}\cdot2{,}2\cdot10^{-6}}{1{,}405}~\text{Ф}\approx23\cdot10^{-9}~\text{Ф}=23~\text{нФ}.\] Подгонка точного решения по всем \(N\) (линеаризация \(\ln(1-U_N/U_0)=N\ln r\)) даёт то же значение \(23\) нФ. В официальном решении напряжение батарейки напечатано как «\(1{,}405\) мВ» — это опечатка: верно \(1{,}405\) В, иначе \(C_p\) вышла бы в тысячу раз больше \(C\).

Проверка. Условие \(NC_p\ll C\) при \(N=10\): \(0{,}23~\text{мкФ}\ll2{,}2~\text{мкФ}\), выполняется с запасом в десять раз. Пьезоэлемент оказался в сто раз меньше конденсатора по ёмкости, поэтому измерять его ёмкость тем же разрядом, что и \(C\), нельзя.

E.2c. Отклик пьезоэлемента на силу.

Сила создаётся нажатием на весы: показание весов, умноженное на \(g\), даёт полную силу на элемент. Напряжение на пьезоэлементе читаем через конденсатор.

Рис. 7. Схема опыта E.2c. Перед каждым измерением замыкаем \(K_1\) и \(K_3\) и разряжаем пьезоэлемент и конденсатор, затем размыкаем их. Замыкаем \(K_2\), нажимаем на пьезоэлемент на весах до нужной массы, размыкаем \(K_2\) и снимаем нагрузку. Замыкаем \(K_4\) и читаем \(U_C\).

Пока \(K_2\) замкнут, заряд, появившийся на пьезоэлементе при нажатии, перетекает на \(C\) и делится между ними. Если напряжение разомкнутого пьезоэлемента при данной силе равно \(U_p\), его заряд \(C_pU_p\), и после соединения \((C+C_p)\,U_C=C_pU_p\). При \(C_p\ll C\) \[U_p=U_C\,\frac{C+C_p}{C_p}\approx U_C\,\frac{C}{C_p}=96\,U_C .\] Вольтметр на самом пьезоэлементе показал бы это же напряжение только в первый миг: он разряжает \(C_p\) за \(R_VC_p=11{,}1~\text{МОм}\cdot23~\text{нФ}\approx0{,}26\) с, быстрее, чем можно отсчитать (в официальном решении это время указано как \(20\) мс, но по их же \(R_V\) и \(C_p\) оно в десять с лишним раз больше; вывод тот же).

Для каждой массы делаем по пять измерений (таблица организаторов, массы от \(0\) до \(9\) кг) и усредняем \(U_C\). Примеры: \(1{,}0\) кг (\(F=9{,}81\) Н) — \(U_C\approx356\) мВ, то есть \(U_p\approx34\) В; \(4{,}0\) кг (\(F=39{,}2\) Н) — \(U_C\approx907\) мВ, \(U_p\approx88\) В.

Рис. 8. Напряжение пьезоэлемента \(U_p\) в зависимости от силы \(F\). Точки — средние по пяти измерениям с погрешностью среднего. Сплошная линия — линейная подгонка при \(F\le10\) Н, пунктир — среднее по области насыщения (\(F\ge35\) Н), вертикальный пунктир — сила насыщения.

При малых силах зависимость линейна; подгонка по точкам \(F\le10\) Н даёт \(U_p=\beta F+0{,}5\) В с наклоном \[\beta\approx3{,}6~\text{В/Н}\] (разные диапазоны подгонки дают \(3{,}5\)–\(3{,}7\) В/Н).

Обратите внимание: напрямую к пьезоэлементу вольтметр подключать нельзя — напряжение исчезнет, пока вы смотрите на экран; поэтому конденсатор и ключи обязательны.

E.2d. Насыщение.

При больших силах напряжение перестаёт расти: поляризация молекул достигает критического значения. Область насыщения \(F\ge35\) Н (шум здесь большой, поэтому нужно много повторов) даёт среднее \[U_{\text{нас}}\approx90~\text{В}\ (\pm8~\text{В}).\] Пересечение прямой \(U_p=\beta F+0{,}5\) с этим уровнем определяет силу насыщения: \(F_{\text{нас}}=(90-0{,}5)/3{,}6\approx25\) Н. Площадь пьезоэлемента по измеренному радиусу \(r_p\approx11{,}5\) мм равна \(A=\pi r_p^2\approx4{,}15\cdot10^{-4}\) м\(^2\) (сила равномерно распределена по крышке, закрывающей весь элемент), поэтому \[p_{\text{нас}}=\frac{F_{\text{нас}}}{A}=\frac{25~\text{Н}}{4{,}15\cdot10^{-4}~\text{м}^2}\approx6\cdot10^{4}~\text{Па}.\] Заряд на электродах разомкнутого пьезоэлемента равен \(Q=C_pU_p\), а поверхностная плотность заряда — \(\sigma=Q/A\); при насыщении \[\sigma_{\max}=\frac{C_pU_{\text{нас}}}{A}=\frac{23\cdot10^{-9}\cdot90}{4{,}15\cdot10^{-4}}~\frac{\text{Кл}}{\text{м}^2}\approx5\cdot10^{-3}~\frac{\text{Кл}}{\text{м}^2}=5~\frac{\text{мКл}}{\text{м}^2}.\]

Проверка. Размерность: Ф\(\cdot\)В\(/\)м\(^2\) = Кл\(/\)м\(^2\). Давление в \(6\cdot10^4\) Па — около \(0{,}6\) атмосферы, максимум нагрузки в \(100\) Н на элемент (\(2{,}4\cdot10^5\) Па) выдерживает с запасом.

E.3. Малая площадь.

Теперь силу прикладываем не ко всей крышке, а деревянной палочкой через отверстие в крышке, так что нагружается малая площадь верхнего электрода; силу \(F_s\) показывают те же весы. Схема опыта E.2c не меняется.

Рис. 9. Разрез пьезоэлемента: толстый нижний электрод, кристалл, тонкий верхний электрод, деревянная крышка с отверстием и палочка, нагружающая малую площадь.

Данные организаторов (шесть измерений \(U_C\) для каждой массы): \(0{,}15\) кг — \(52\) мВ, \(0{,}3\) кг — \(106\) мВ, \(0{,}5\) кг — \(174\) мВ, \(0{,}7\) кг — \(244\) мВ, \(1{,}0\) кг — \(350\) мВ (средние). По-прежнему \(U_p=96\,U_C\).

Рис. 10. Напряжение \(U_p\) при нагрузке палочкой в зависимости от силы \(F_s\). Сплошная линия — подгонка через начало координат, пунктир — линейный отклик при нагрузке всей поверхности (рис. 8).

Наклон равен \(\beta_s\approx3{,}4\) В/Н, то есть в пределах разброса (\(\pm5\,\%\)) он совпадает с \(\beta=3{,}6\) В/Н. Значит, электрический отклик при приложении силы к малой площади не изменяется.

Это кажется странным: верхний электрод тонкий и гибкий, и казалось бы, от площади нагрузки отклик должен зависеть. Объяснение такое. Давление палочки создаёт радиальное механическое напряжение внутри кристалла. Нижний электрод толстый и не даёт нижней части кристалла сжиматься в радиальном направлении. Верхний электрод свободно сжимался бы, и кристалл изгибался бы в чашу, но деревянная крышка этому препятствует, и механическое напряжение нарастает вдоль края диска, убывая в месте нажатия. В итоге давление практически равномерно распределяется по всему кристаллу.

Проверка. Если бы отклик определялся только площадью нажатия \(a\ll A\), наклон упал бы примерно в \(A/a\) раз (для площади в несколько квадратных миллиметров — более чем в сто раз). Совпадение наклонов с точностью \(5\,\%\) исключает этот вариант.

E.4. Деформация шарика.

Шарик падает на пьезоэлемент; максимальное напряжение на нём запоминает диод.

Рис. 11. Схема опыта E.4. Перед каждым сбросом замыкаем \(K_1\) и \(K_2\) (разряжаем и пьезоэлемент, и \(C\)), затем размыкаем их. Во время удара заряд с пьезоэлемента перетекает на \(C\) через диод и не может вернуться; после удара замыкаем \(K_3\) и читаем \(U_C\).

Пока сила на шарик растёт, напряжение пьезоэлемента растёт, и заряд идёт через диод на конденсатор; когда сила убывает, диод запирается, и \(C\) сохраняет заряд, соответствующий максимальной силе. Падение на диоде (\(0{,}56\) В) много меньше \(U_p\sim10\)–\(40\) В и не учитывается. Как в E.2c, максимальное напряжение пьезоэлемента \(U_p=U_C\,C/C_p=96\,U_C\), а максимальная сила удара — по калибровке из E.2c: \[F_m=\frac{U_p}{\beta}.\] Шарик останавливается в момент максимальной деформации \(x_m\); его кинетическая энергия полностью перешла в энергию упругой деформации, а сила максимальна. Из силы \(F_m=kx_m^{\alpha}\) находим \(x_m=(F_m/k)^{1/\alpha}\), а работа силы по деформации равна упругой энергии: \[E_{\text{упр}}=\int_0^{x_m}kx^{\alpha}\,dx=\frac{kx_m^{\alpha+1}}{\alpha+1}=\frac{k^{-1/\alpha}}{\alpha+1}\,F_m^{\,1+1/\alpha}.\]

Рис. 12. Закон силы \(F=kx^{\alpha}\) при \(\alpha<1\). Упругая энергия равна площади под кривой до максимальной деформации \(x_m\).

Сколько из кинетической энергии перед ударом \(mgh\) становится упругой? Из E.1: шарик возвращает долю \(\eta=0{,}805\) — ровно столько упругой энергии возвращается при распрямлении, остальное диссипировано. Поэтому \[E_{\text{упр}}=\eta\,mgh,\qquad m=8~\text{г}\ (\text{взвешиванием}).\] Логарифмируем зависимость \(E_{\text{упр}}\) от \(F_m\): \[\ln E_{\text{упр}}=\ln\frac{k^{-1/\alpha}}{\alpha+1}+\Bigl(1+\frac1\alpha\Bigr)\ln F_m .\] Это прямая: наклон \(\gamma=1+1/\alpha\), пересечение с осью \(y_0=\ln\dfrac{k^{-1/\alpha}}{\alpha+1}\). Данные организаторов: для каждой высоты \(h\) пять значений \(U_C\) (усредняем), далее \(F_m\) и \(E_{\text{упр}}\):

Рис. 13. Логарифм упругой энергии в зависимости от логарифма максимальной силы. Прямая — линейная подгонка по всем точкам.

Подгонка по всем точкам даёт \(\gamma=2{,}34\pm0{,}1\) и \(y_0=-9{,}5\). Отсюда \[\alpha=\frac1{\gamma-1}\approx0{,}75,\qquad k=\bigl[(\alpha+1)\,e^{y_0}\bigr]^{-\alpha}\approx8\cdot10^{2}~\frac{\text{Н}}{\text{м}^{\alpha}} .\] Если отбросить крайние точки (первую, где относительная погрешность высоты велика, и последние, где пьезоэлемент уже уходит в насыщение), наклон остаётся в пределах \(2{,}2\)–\(2{,}3\), то есть \(\alpha=0{,}75\)–\(0{,}8\); значение \(k\) при этом меняется в пределах \((0{,}8\)–\(1{,}3)\cdot10^3\) Н/м\(^{\alpha}\). Максимальная деформация при \(F_m=11\) Н равна \(x_m=(F_m/k)^{1/\alpha}\approx3\) мм — разумная величина для резинового шарика.

Для упругого контакта по закону Герца ожидался бы показатель \(3/2\), а не \(0{,}75\). Расхождение объясняется тем, что пьезоэлемент приклеен к пластинам: кристалл пытается принять форму чаши, пластина немного смещается к шарику, и деформация шарика не равна смещению шарика в целом.

Проверка. Размерность: \(k\) в Н\(/\)м\(^{\alpha}\), и \([k^{-1/\alpha}F^{1+1/\alpha}]=\) Н\(\cdot\)м = Дж. Для самой высокой точки: \(E=21\) мДж, \(F_m=11\) Н, \(x_m=3\) мм, и \(E\approx F_mx_m/(\alpha+1)=11\cdot3\cdot10^{-3}/1{,}75\approx19\) мДж — согласуется.

Обратите внимание: силу получаем делением напряжения на \(\beta\) (единицы \(\beta\) — вольты на ньютон). В официальном решении напряжение на \(\beta\) умножают: силы выходят в \(\beta^2\approx13\) раз больше (до \(155\) Н при разрешённых \(100\) Н), а \(k=84\,000\) Н/м\(^{\alpha}\) — примерно в \(\beta^{2(1+\alpha)}\approx90\) раз больше верного; показатель \(\alpha\) от этого не меняется, потому что наклон прямой в логарифмах от масштаба силы не зависит.

E.5. Время взаимодействия.

Для менее упругого шарика закона силы нет, но принято допущение: при скорости удара \(v_1\) профиль силы подобен профилю при \(v_0\), \(F_1(t)=a_1f(b_1t)\). Тогда пиковая сила \(F_{1\max}=a_1F_{0\max}\), время взаимодействия \(\tau_1=\tau_0/b_1\), а изменение импульса \[\Delta p_1=\int F_1\,dt=\frac{a_1}{b_1}\int f(s)\,ds\propto F_{1\max}\,\tau_1 ,\] то есть \(\Delta p_1/\Delta p_0=\dfrac{F_{1\max}}{F_{0\max}}\cdot\dfrac{\tau_1}{\tau_0}\). С другой стороны, \(\Delta p=m(v+v_{\text{отск}})\), а у шарика с фиксированным коэффициентом восстановления \(v_{\text{отск}}\propto v\), так что \(\Delta p\propto v\) и \(\Delta p_1/\Delta p_0=v_1/v_0\). Приравняем: \[\frac{\tau_1}{\tau_0}=\frac{v_1/v_0}{F_{1\max}/F_{0\max}}.\] Скорость падения \(v=\sqrt{2gh}\), поэтому \(v_1/v_0=\sqrt{h_1/h_0}\), а пиковая сила пропорциональна пиковому напряжению: \(F_{1\max}/F_{0\max}=U_1/U_0\) (отклик линеен). Окончательно \[\tau\propto\frac{v}{F_{\max}}\propto\frac{\sqrt h}{U_C}.\] В официальном решении это соотношение записано перевёрнутым, \(\tau\propto U/\sqrt h\); вывод о постоянстве \(\tau\) от этого не меняется, но наклон графика надо читать с обратным знаком. Схема измерения та же, что в E.4 (рис. 11). Данные организаторов: для каждой из одиннадцати высот \(h\) от \(11\) до \(331\) мм пять значений \(U_C\); их средние лежат от \(104\) до \(647\) мВ. Строим \(U_C/\sqrt h\) как функцию \(\sqrt h\): если \(\tau\) постоянно, точки лежат на горизонтальной прямой.

Рис. 14. Величина \(U_C/\sqrt h\) (мВ\(/\sqrt{\text{мм}}\)), обратно пропорциональная времени взаимодействия, в зависимости от \(\sqrt h\propto v\). Пунктир — среднее.

Точки лежат около одного уровня (\(29\)–\(36\) мВ\(/\sqrt{\text{мм}}\)) при изменении скорости более чем в \(5\) раз (\(\sqrt h\) от \(3{,}3\) до \(18{,}2\)): слабый рост величины \(U_C/\sqrt h\) с \(\sqrt h\) означает \(\tau\propto v^{-0{,}1}\), то есть время взаимодействия уменьшается лишь примерно на \(10\)–\(20\,\%\) при изменении скорости в пять раз. Для упругого удара по закону Герца ожидалось бы \(\tau\propto v^{-1/5}\) — тоже слабая зависимость.

Проверка. Размерность: \(\tau\propto\sqrt h/U\) — величина времени с точностью до постоянной, определяемой калибровкой датчика. Смысл: быстрый удар сильнее давит (сила растёт примерно пропорционально скорости), а длится почти столько же, как медленный.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.