EuPhO 2025, теоретический тур

Подсказка

Все лучи параллельны, а отражение от вертикальной стенки не меняет угол наклона луча к полу, поэтому вдоль света пятно такой же длины, как полоска прямого света. Сравните ширину пучка \(\delta x=a\cos\alpha\,\delta\alpha\) до отражения с шириной пятна \(2l\,\delta\alpha\) после него.

Ответ

a) \(I\approx\dfrac{I_0\,a}{2r}\sin\dfrac\theta2\);  b) \(R(\theta)-R_{\min}\approx 2a\sin\dfrac\theta2\).

Решение

Что происходит. Солнечные лучи идут параллельным пучком и наклонены к горизонту под одним и тем же углом \(\gamma\). Часть из них попадает на цилиндрическую зеркальную ножку и отражается: вертикальная составляющая скорости луча не меняется, горизонтальная только поворачивается. Поэтому отражённый луч продолжает идти вниз под тем же углом \(\gamma\) и ложится на пол в виде света, дополнительного к прямому. Главная идея: поток энергии, отражённый от узкой вертикальной полоски цилиндра, делится между лучами с углами падения \(\alpha\) и \(\alpha+\delta\alpha\); после отражения эти лучи расходятся веером с углом \(2\,\delta\alpha\), и освещённость на полу — это отношение потока к площади пятна.

Обозначения. Начало координат — на оси ножки, ось \(y\) — горизонтальная проекция направления света (свет идёт в сторону \(+y\), туда же падает тень ножки), ось \(x\) — горизонтально поперёк света. Луч, идущий на расстоянии \(x\) от оси ножки (прицельный параметр), падает на цилиндр под углом \(\alpha\) к нормали: \(x=a\sin\alpha\), \(0\le\alpha\le\pi/2\). \(l\) — горизонтальное расстояние от точки отражения на ножке до точки на полу, \(r\) — расстояние от оси ножки до этой точки, \(\theta\) — полярный угол точки на полу, отсчитанный от направления тени ножки (от оси \(y\)). «Избыток» \(I\) создают отражённые лучи.

Что такое \(I_0\). Точки A и B на фотографии очень близки, но одна освещена прямым солнцем, а другая лежит в тени. Рассеянный свет комнаты в них одинаков, поэтому разность освещённостей \(I_0\) — это освещённость пола прямым солнечным светом, то есть «избыток», который создаёт прямой пучок.

Рис. 3. Вид сверху: луч падает на цилиндр под углом \(\alpha\) к нормали, отражается под таким же углом и достигает пола в точке, находящейся на расстоянии \(l\) от точки отражения и \(r\) от оси.

a) Освещённость.

Направление отражённого луча. По закону отражения (угол падения равен углу отражения, нормаль лежит в плоскости луча и нормали) горизонтальная проекция луча поворачивается на угол \(\pi-2\alpha\) относительно направления падения. Точка на полу, куда придёт луч, лежит от оси ножки под углом \[\theta\approx\pi-2\alpha .\] Отличие \(\theta\) от \(\pi-2\alpha\) определяется малым углом \(\epsilon\sim a/r\) при вершине треугольника «ось — точка отражения — точка на полу»; при \(r\gg a\) им можно пренебречь.

Сколько лучей и откуда. Каждой точке пола (при \(r\gg a\)) соответствует единственный отражённый луч: \(\theta\) определяет \(\alpha=(\pi-\theta)/2\), а знак \(\theta\) — с какой стороны ножки произошло отражение. При \(\alpha=\pi/2\) (скользящее падение) \(\theta=0\), при \(\alpha=0\) (лобовое падение) \(\theta=\pi\) — свет возвращается к источнику.

Ширина пятна от узкого пучка. Рассмотрим малый промежуток углов падения от \(\alpha\) до \(\alpha+\delta\alpha\). До цилиндра он соответствует узкому пучку шириной \(\delta x\): \[\delta x=a\cos\alpha\,\delta\alpha .\] Отражённые лучи этого пучка расходятся с углом \(2\,\delta\alpha\) друг к другу: если угол падения вырос на \(\delta\alpha\), то направление отражённого луча повернулось на \(2\,\delta\alpha\). На расстоянии \(l\) от точки отражения ширина пятна поперёк лучей равна \(l\cdot 2\,\delta\alpha\).

Рис. 4. Два близких луча (угол падения \(\alpha\) и \(\alpha+\delta\alpha\); приращение сильно увеличено). Пучок шириной \(\delta x\) после отражения расходится с углом \(2\,\delta\alpha\), как из мнимой точки \(V\) внутри цилиндра, и даёт на полу полоску шириной \(l\cdot2\,\delta\alpha\).

Длина пятна. Все лучи идут под одним углом \(\gamma\) к горизонту, и отражение от вертикальной стенки не меняет ни вертикальную составляющую скорости, ни модуль горизонтальной. Поэтому луч, попавший на цилиндр на высоте \(h\), достигает пола на горизонтальном расстоянии \(l=h\,\mathrm{ctg}\,\gamma\) от точки отражения. Возьмём два параллельных луча с одним и тем же \(x\) (в одной вертикальной плоскости), которые падали бы на пол на расстоянии \(\delta y\) друг от друга вдоль оси \(y\): на ножке они попадут на одну вертикаль на высотах, отличающихся на \(\delta h=\delta y\,\mathrm{tg}\,\gamma\). Тогда длина пятна на полу \[\delta l=\delta h\,\mathrm{ctg}\,\gamma=\delta y ,\] то есть вдоль света пятно имеет ту же длину, что и полоска прямого света, на которую пришёлся бы этот пучок.

Рис. 5. Вид сбоку (отражённый луч повёрнут вокруг вертикали в плоскость падающего): луч идёт под углом \(\gamma\) к горизонту, точка отражения на высоте \(h\) и на расстоянии \(a\cos\alpha\) от оси, \(l=l_0+a\cos\alpha\).

Закон сохранения энергии для пучка. Свет, который шёл бы на горизонтальную площадку \(\delta x\,\delta y\) и создавал на ней освещённость \(I_0\), после отражения от ножки попадает на площадку \((l\cdot 2\,\delta\alpha)(\delta l)=2l\,\delta\alpha\,\delta y\). Отражение идеальное, поверхность гладкая, поэтому энергия сохраняется; угол наклона лучей к полу тот же, поэтому поток через горизонтальную площадку равен произведению освещённости на площадь: \[I_0\,\delta x\,\delta y=I\cdot 2l\,\delta\alpha\,\delta y\quad\Longrightarrow\quad I_0\,\delta x=2I\,l\,\delta\alpha .\] Подставим \(\delta x=a\cos\alpha\,\delta\alpha\) и сократим \(\delta\alpha\): \[I=\frac{I_0\,a\cos\alpha}{2l} .\]

Переход к \(r\) и \(\theta\). Из \(\theta\approx\pi-2\alpha\) следует \(\alpha=(\pi-\theta)/2\) и \(\cos\alpha=\sin(\theta/2)\). При \(r\gg a\) расстояния \(l\) и \(r\) различаются на величину порядка \(a\), то есть \(l\approx r\): \[\boxed{I(r,\theta)\approx\frac{I_0\,a}{2r}\,\sin\frac\theta2},\qquad 0<\theta<\pi\] (при отрицательных \(\theta\) ту же формулу нужно писать с \(|\theta|\): картина симметрична относительно линии тени).

Высота ножки и угол \(\gamma\) в ответ не вошли: прямой и отражённый пучки наклонены к полу под одним и тем же углом, и он сократился.

Рис. 6. Избыток освещённости в безразмерном виде \(2rI/(I_0a)=\sin(|\theta|/2)\): нуль вдоль тени (\(\theta=0\)), максимум при \(\theta=\pi\) (свет возвращается к источнику); спадает как \(1/r\).

b) Тёмное кольцо. Тёмное кольцо создают лучи, которые закрыты пальцем. Для среднего кольца палец примерно горизонтален: он закрывает все лучи, которые на уровне оси ножки проходят на одной и той же высоте \(h_0\). Так как все лучи параллельны, на цилиндр такой луч попадает в точке, смещённой от оси в сторону источника на \(a\cos\alpha\), то есть выше на \(a\cos\alpha\,\mathrm{tg}\,\gamma\). Высота точки отражения \[h=h_0+a\cos\alpha\,\mathrm{tg}\,\gamma,\] а горизонтальное расстояние до точки на полу \[l=h\,\mathrm{ctg}\,\gamma=l_0+a\cos\alpha,\qquad l_0=h_0\,\mathrm{ctg}\,\gamma .\] Здесь \(l_0\) — значение \(l\) при \(\alpha=\pi/2\): тогда \(\cos\alpha=0\) и точка отражения лежит над осью (рис. 5). Именно из-за слагаемого \(a\cos\alpha\) радиус кольца зависит от \(\theta\).

Минимальный радиус. Он достигается при \(\alpha=\pi/2\), то есть при \(\theta\approx0\) (вдоль тени), и равен \(R_{\min}\approx l_0\) с точностью до членов порядка \(a^2/r\): при \(\alpha=\pi/2\) точка отражения на цилиндре лежит в одной вертикальной плоскости с осью, и \(r\) отличается от \(l\) только малым поворотом на угол \(\epsilon\sim a/r\).

Теорема косинусов. В треугольнике «ось — точка отражения — точка на полу» стороны равны \(a\), \(l\) и \(r\), а угол при точке отражения между направлениями на ось и на точку на полу равен \(\beta=\pi-\alpha\) (угол падения \(\alpha\) отложен от внешней нормали, поэтому к внутренней нормали он дополнительный): \[r^2=a^2+l^2-2al\cos\beta=a^2+l^2+2al\cos\alpha .\] Подставим \(l=R_{\min}+a\cos\alpha\) и отбросим слагаемые порядка \(a^2\) (они дают поправки порядка \(a^2/r\) к \(r\)): \[r^2\approx R_{\min}^2+4aR_{\min}\cos\alpha ,\qquad r\approx R_{\min}+2a\cos\alpha .\] Здесь \(r=R(\theta)\) и \(\cos\alpha=\sin(\theta/2)\): \[\boxed{R(\theta)-R_{\min}\approx 2a\sin\frac\theta2},\qquad 0\le\theta\le\pi .\]

Обратите внимание на множитель \(2\): радиус растёт за счёт двух одинаковых вкладов. Первый — расстояние \(l\) от точки отражения до пола, \(l=l_0+a\cos\alpha\). Второй — сама точка отражения лежит на расстоянии \(a\cos\alpha\) от оси со стороны источника, а пятно на полу — по другую сторону от оси, поэтому \(r\approx l+a\cos\alpha\).

Рис. 7. Вид сверху: форма кольца \(R(\theta)=R_{\min}+2a\sin(|\theta|/2)\) (толщина \(2a\) увеличена для наглядности). Кольцо прижато к окружности радиуса \(R_{\min}\) вдоль тени и дальше всего от ножки при \(\theta=\pi\), где \(R_{\max}-R_{\min}=2a\), диаметр цилиндра.

Проверка. Размерность: \(a/r\) безразмерно, поэтому \(I\) измеряется в единицах \(I_0\); \(R-R_{\min}\) — длина. Баланс энергии: поток отражённого света через дугу радиуса \(r\) на отрезке \(\delta r\) равен \(\int I\,r\,d\theta\,\delta r\) по \(-\pi<\theta<\pi\): \[\int_{-\pi}^{\pi}\frac{I_0a}{2r}\sin\frac{|\theta|}{2}\,r\,d\theta=I_0a\int_0^{\pi}\sin\frac\theta2\,d\theta=2aI_0 .\] Это в точности поток прямого света, перехваченного цилиндром на той же длине \(\delta y\): тень шириной \(2a\) при освещённости \(I_0\) даёт \(2aI_0\) на единицу длины. Предел \(\theta\to0\): свет скользит вдоль цилиндра, избытка нет (\(I\to0\)), кольцо совпадает с окружностью \(R_{\min}\). Предел \(\theta=\pi\): луч возвращается к источнику, точка отражения — крайняя точка ножки со стороны источника, и \(R_{\max}-R_{\min}=2a\) — диаметру цилиндра: \(a\) даёт расстояние \(l\), ещё \(a\) — смещение точки отражения от оси.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

У стола одна степень свободы: его положение однозначно задаёт горизонтальное смещение \(x\). Сместите стол на малое \(x\) и найдите, на сколько при этом поднимется центр масс: поворот стола и подъём оказываются величинами порядка \(x^2\).

Ответ

a) \(F_1=2mg\), \(F_2=mg\) (обе цепи натянуты), потенциальная энергия \(U=\dfrac{mg}{3a}\,x^2\) имеет минимум, равновесие устойчиво;  b) \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{3a}{2g}}\approx 0{,}777\) с.

Решение

Что происходит. Цепи нерастяжимы, поэтому стол — твёрдое тело с одной степенью свободы: его положение однозначно определяется горизонтальным смещением \(x\). Стол висит на двух цепях: короткая тянет его вверх за нижний конец рамки, длинная — вниз за край плиты. Равновесие находим из условий равенства нулю суммы сил и суммы моментов. Для устойчивости и периода главное — понять, как при смещении \(x\) движется центр масс: он поднимается на величину порядка \(x^2\), а поворот стола тоже порядка \(x^2\) и в кинетической энергии не участвует. Тогда стол ведёт себя как маятник некоторой эквивалентной длины.

Обозначения. \(m\) — масса стола (плита и рамка), \(C\) — его центр масс (середина плиты). Точка \(A\) — нижний конец рамки стола, к которому крепится короткая цепь; точка \(B\) — край плиты, к которому крепится длинная. На виде сбоку пара коротких цепей — одна цепь с удвоенным натяжением, то же для пары длинных. Пусть \(F_1\) — суммарная сила натяжения пары коротких цепей (длина каждой \(4a\)), \(F_2\) — пары длинных (длина каждой \(6a\)). По сетке рисунка: точка \(B\) лежит правее \(C\) на \(4a\) на том же уровне, точка \(A\) лежит на \(5a\) ниже \(C\) и на \(2a\) левее \(B\). Ось \(x\) направлена вправо, ось \(y\) — вверх, начало — положение центра масс в равновесии. Тогда в равновесии \[A_0=(2a,\,-5a),\quad B_0=(4a,\,0),\quad C_0=(0,\,0).\] Верхний конец короткой цепи — точка \(H=(2a,\,-a)\) (на \(4a\) выше \(A_0\)), нижний конец длинной — точка \(G=(4a,\,-6a)\) на земле (на \(6a\) ниже \(B_0\)). Положение стола при смещении задают координаты \((x,\,y)\) центра масс и угол \(\varphi\) поворота стола против часовой стрелки.

Рис. 3. Силы, действующие на стол в положении равновесия.

a) Равновесие. На стол действуют три силы: сила тяжести \(m\vec g\) в точке \(C\), сила натяжения \(\vec F_1\) короткой цепи в точке \(A\) и сила натяжения \(\vec F_2\) длинной цепи в точке \(B\). В равновесии цепи вертикальны, горизонтальных сил нет. Запишем условие равенства нулю суммы сил для стола в проекции на ось \(y\): \[-mg+F_1-F_2=0 .\] Теперь условие равенства нулю суммы моментов относительно точки \(B\). Сила \(\vec F_2\) приложена в \(B\) и момента не создаёт; плечо силы тяжести — \(4a\), плечо \(\vec F_1\) — \(2a\), и эти моменты вращают в противоположные стороны: \[mg\cdot 4a-F_1\cdot 2a=0 .\] Отсюда \[F_1=2mg,\qquad F_2=F_1-mg=mg .\] Обе силы положительны, значит, цепи действительно натянуты и могут удерживать стол: равновесие существует.

Устойчивость выясняем по смещению стола. Поскольку цепи нерастяжимы и натянуты, при малом горизонтальном смещении \(x\) центра масс стол немного поднимается на \(y\) и поворачивается на \(\varphi\). Найдём их из условий нерастяжимости цепей. Точки \(A\) и \(B\) при этом смещаются так: \[A=\bigl(2a+x+5a\varphi,\; -5a+y+2a\varphi\bigr),\qquad B=\bigl(4a+x,\; y+4a\varphi\bigr);\] здесь учтено, что углы малы, \(\cos\varphi\approx 1\), \(\sin\varphi\approx\varphi\), а поправки порядка \(a\varphi^2\) пренебрежимо малы.

Рис. 4. Смещённый стол (серая штриховая линия — положение равновесия). Бирюзовые дуги — окружности радиусов \(4a\) и \(6a\) с центрами в верхнем конце \(H\) короткой цепи и в нижнем конце \(G\) длинной: по ним движутся \(A\) и \(B\). Смещение для наглядности взято большим, \(x=a\); подъём и поворот показаны в натуральную величину.

Короткая цепь: расстояние от \(A\) до \(H\) остаётся равным \(4a\): \[(x+5a\varphi)^2+(4a-y-2a\varphi)^2=(4a)^2 .\] Раскроем скобки; считаем \(x\sim\varepsilon\), а \(y,\ a\varphi\sim\varepsilon^2\) (это подтвердится ниже), тогда оставляем члены порядка \(\varepsilon^2\): \[x^2-8a\,(y+2a\varphi)=0\quad\Longrightarrow\quad y+2a\varphi=\frac{x^2}{8a}.\] Длинная цепь: расстояние от \(B\) до \(G\) остаётся равным \(6a\): \[x^2+(6a+y+4a\varphi)^2=(6a)^2\quad\Longrightarrow\quad x^2+12a\,(y+4a\varphi)=0\quad\Longrightarrow\quad y+4a\varphi=-\frac{x^2}{12a}.\] Вычтем первое уравнение из второго: \[2a\varphi=-\frac{x^2}{12a}-\frac{x^2}{8a}=-\frac{5x^2}{24a},\qquad\text{откуда}\qquad \varphi=-\frac{5x^2}{48a^2},\qquad y=\frac{x^2}{3a}.\] Знак \(\varphi<0\) означает, что стол поворачивается по часовой стрелке при смещении в любую сторону.

Потенциальная энергия стола в поле тяжести \[U=mgy=\frac{mg}{3a}\,x^2 .\] В ней нет слагаемого, линейного по \(x\), поэтому \(x=0\) — положение равновесия (это согласуется с найденными выше силами), а коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому это минимум потенциальной энергии: центр масс поднимается при смещении в любую сторону. Равновесие устойчиво.

Обратите внимание: подъём центра масс \(y\) — величина второго порядка по \(x\), но именно она даёт потенциальную энергию, поэтому полагать \(y=0\) нельзя.

b) Период малых колебаний. Кинетическая энергия стола складывается из энергии движения центра масс и энергии вращения вокруг него: \[E_{\text{к}}=\frac{m(\dot x^2+\dot y^2)}{2}+\frac{I\dot\varphi^2}{2}.\] Здесь \(I\) — момент инерции стола относительно оси, проходящей через \(C\). Продифференцируем найденные зависимости по времени: \(\dot y=\dfrac{2x\dot x}{3a}\), \(\dot\varphi=-\dfrac{5x\dot x}{24a^2}\). Оба слагаемых содержат множитель \(x\dot x\), поэтому \(\dot y^2\sim (x/a)^2\dot x^2\ll\dot x^2\), а вращательная энергия имеет тот же малый порядок \(I\dot\varphi^2\sim m\,\dot x^2\,(x/a)^2\). Оставляем главный член: \[E_{\text{к}}\approx\frac{m\dot x^2}{2}.\] Полная механическая энергия сохраняется (трения нет): \[\frac{m\dot x^2}{2}+\frac{mg}{3a}\,x^2=\text{const}.\] Сравним с энергией гармонического осциллятора \(\dfrac{m\dot x^2}{2}+\dfrac{m\omega^2x^2}{2}\): \[\omega^2=\frac{2g}{3a},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{3a}{2g}}.\] Подставим числа: \[\omega=\sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81}{3\cdot 0{,}100}}\approx 8{,}09~\text{с}^{-1},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{3\cdot 0{,}100}{2\cdot 9{,}81}}\approx 0{,}777~\text{с}.\]

Обратите внимание: влияние поворота можно отбросить только потому, что \(\varphi\sim x^2\). Если бы поворот был линейным по \(x\), вращательная энергия вошла бы в ответ с моментом инерции \(I\), а он в условии не задан.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{a/g}\) имеет размерность секунды. Проверим результат двумя другими способами. Первый — через силы. Смещение \(x\) наклоняет короткую цепь на угол \(\theta_1=x/(4a)\), длинную — на \(\theta_2=x/(6a)\) (рис. 5). Горизонтальные составляющие натяжений направлены против смещения; вертикальные составляющие и сами натяжения меняются только на величины порядка \(x\), их вклад в горизонтальную силу даёт поправки порядка \(x^2\). Запишем второй закон Ньютона для стола в проекции на ось \(x\): \[m\ddot x=-F_1\theta_1-F_2\theta_2=-2mg\,\frac{x}{4a}-mg\,\frac{x}{6a}=-\frac{2mg}{3a}\,x ,\] то есть \(\ddot x+\dfrac{2g}{3a}x=0\), тот же результат.

Рис. 5. Силы на смещённом столе; \(\theta_1\), \(\theta_2\) — углы наклона цепей к вертикали (смещение сильно увеличено, штриховая линия — положение равновесия).

Второй способ — через кривизну траектории центра масс. Зависимость \(y=\dfrac{x^2}{3a}\) — парабола с радиусом кривизны \(R\) в нижней точке, определяемым из \(y=\dfrac{x^2}{2R}\): \(R=\dfrac{3a}{2}\). Центр масс движется так же, как маятник длиной \(R\) без вращения: \[T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{3a}{2g}} .\]

Рис. 6. Траектория центра масс \(y=x^2/(3a)\) и её круг кривизны радиуса \(R=3a/2\) (по оси \(y\) и по оси \(x\) одинаковый масштаб в единицах \(a\)).

Отсутствие поворота в положении равновесия видно и по скоростям: цепи вертикальны, поэтому скорости точек \(A\) и \(B\) горизонтальны. Для твёрдого тела \(\vec v_B-\vec v_A=\vec\omega\times\overrightarrow{AB}\), где \(\overrightarrow{AB}=(2a,\,5a)\). Левая часть горизонтальна, а вертикальная составляющая правой части равна \(2a\omega\) по модулю, значит, \(\omega=0\). Скорости всех точек стола одинаковы, \(\vec v_A=\vec v_B=\vec v_C\) (рис. 7), что согласуется с \(\dot\varphi\sim x\dot x=0\) при \(x=0\).

Рис. 7. Мгновенные скорости точек стола в положении равновесия: стол движется поступательно.

Физический смысл: жёсткость возвращающей силы складывается из двух вкладов — короткой цепи с натяжением \(2mg\) и длинной с натяжением \(mg\); поэтому эквивалентная длина маятника \(3a/2\) меньше длины любой из цепей.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Линия поля навивается на провод \(X\) очень тугой спиралью, а радиус витка медленно меняется вдоль оси. Магнитный поток поля провода \(Y\) через сечение трубки из таких линий не меняется, потому что поле касается её боковой поверхности.

Ответ

a) винтовая линия (спираль постоянного радиуса и постоянного шага) с осью на проводе;  b) \(d=\dfrac{r}{\sqrt{10}}\);  c) \(L=\dfrac{\sqrt{10}\,a^2}{r}\,\dfrac12\!\left[3\sqrt{10}+\ln\!\left(3+\sqrt{10}\right)\right]\approx17{,}9\,\dfrac{a^2}{r}\approx 1{,}8\cdot10^2\) м (с допуском \(140\)–\(215\) м).

Решение

Что происходит. Магнитные линии поля одного провода — окружности вокруг него, а внешнее поле вдоль провода добавляет составляющую вдоль оси, и линия перестаёт замыкаться: она навивается на провод спиралью. В задаче с двумя проводами вблизи провода \(X\) поле \(\vec B_X\) намного сильнее поля \(\vec B_Y\), поэтому линии поля почти круговые, а проекция \(\vec B_Y\) на провод \(X\) медленно «растаскивает» витки вдоль оси. Главная идея: линии поля, проходящие через окружность радиуса \(r\) вокруг провода \(X\) в плоскости \(x=3a\), образуют трубку (воронку); поток поля через её сечение сохраняется, потому что поле касается боковой поверхности, а этот поток создаёт провод \(Y\).

Обозначения. \(\rho\) — расстояние от точки до оси \(x\) (провода \(X\)), \(B_X=\mu_0I/(2\pi\rho)\) — поле провода \(X\). На оси \(x\) в точке с координатой \(x\) расстояние до провода \(Y\) равно \(\sqrt{a^2+x^2}\), а поле провода \(Y\) равно \(B_Y=\mu_0I/\bigl(2\pi\sqrt{a^2+x^2}\bigr)\) и перпендикулярно отрезку к проводу \(Y\).

a) Линия поля при внешнем поле вдоль провода. Полное поле — сумма азимутального поля провода \(B_\varphi=\mu_0I/(2\pi\rho)\) (оно касается окружностей вокруг провода) и однородного внешнего поля \(B_0\) вдоль провода. Линия поля в каждой точке касается суммы, поэтому она не лежит в плоскости, перпендикулярной проводу, и не замыкается. Радиальной составляющей у поля нет, поэтому расстояние \(\rho\) до провода вдоль линии не меняется, а наклон линии \(B_0/B_\varphi\) при постоянном \(\rho\) постоянен: линия — винтовая линия с осью на проводе. За один оборот она смещается вдоль провода на \[\Delta z=2\pi\rho\,\frac{B_0}{B_\varphi}=\frac{4\pi^2\rho^2B_0}{\mu_0 I}\] (отношение смещения вдоль оси к длине дуги по окружности равно отношению составляющих поля). Если \(B_0\) направлено вдоль тока, винт правый, если против тока — левый. Чем ближе к проводу, тем сильнее \(B_\varphi\) и тем теснее витки.

Рис. 2. Линия поля при \(\vec B_0\) вдоль тока: правая винтовая линия с осью на проводе (вид слегка сверху, светлые участки лежат за проводом).

b) Наименьшее расстояние.

Форма линии. Рядом с проводом \(X\) при \(\rho\ll a\) поле \(B_X\gg B_Y\), поэтому, как в пункте a), линия почти круговая, но составляющая \(B_\parallel\) поля \(\vec B_Y\) вдоль провода \(X\) медленно смещает виток вдоль оси: линия — тугая спираль, радиус которой \(\rho(x)\) плавно меняется. Наименьшее расстояние до провода \(X\) — наименьшее значение \(\rho(x)\).

Трубка потока. Проведём линии поля через все точки окружности радиуса \(r\) вокруг провода \(X\) в плоскости \(x=3a\). Они образуют поверхность \(S\) — «воронку», сечение которой плоскостью \(x=\mathrm{const}\) почти круговое, пока \(\rho\ll\sqrt{a^2+x^2}\) (поле \(\vec B_Y\) мало меняется поперёк сечения). Это условие проверим ниже. Поле касается \(S\) в каждой точке, поэтому поток через боковую поверхность равен нулю, и поток через сечение воронки не зависит от \(x\).

Рис. 3. Воронка \(S\) вокруг провода \(X\): наименьший радиус \(d\) при \(x=0\), радиус \(r\) при \(x=3a\) (в точке P). Виток спирали схематичен, соотношение \(d/a\) сильно увеличено.

Продольная составляющая поля. Поток через сечение создаёт только продольная составляющая поля провода \(Y\) (поле \(\vec B_X\) лежит в плоскости сечения). Найдём её на оси при координате \(x\): поле \(\vec B_Y\) перпендикулярно отрезку длиной \(\sqrt{a^2+x^2}\) от провода \(Y\) до точки, и угол между \(\vec B_Y\) и осью \(x\) равен углу \(\theta\) между отрезком \(a\) и отрезком до точки, \(\cos\theta=a/\sqrt{a^2+x^2}\): \[B_\parallel=B_Y\cos\theta=\frac{\mu_0I}{2\pi}\,\frac{a}{a^2+x^2}.\]

Рис. 4. Сечение плоскостью, перпендикулярной проводу \(Y\) (ток \(Y\) — от нас): поле \(\vec B_Y\) в точке \(x\) на проводе \(X\) перпендикулярно отрезку до \(Y\), его проекция на ось \(x\) — \(B_\parallel=B_Y\cos\theta\).

Сохранение потока. Поле \(B_\parallel\) почти однородно по сечению воронки, так как \(\rho\ll\sqrt{a^2+x^2}\), поэтому поток через сечение радиуса \(\rho(x)\): \[\Phi=\pi\rho^2B_\parallel=\frac12\,\mu_0Ia\,\frac{\rho^2}{a^2+x^2}=\text{const}\quad\Longrightarrow\quad\frac{\rho^2}{a^2+x^2}=\text{const}.\] На поверхности \(S\) при \(x=3a\) радиус равен \(r\), то есть \[\frac{\rho^2}{a^2+x^2}=\frac{r^2}{a^2+9a^2}=\frac{r^2}{10\,a^2}.\] Отсюда радиус воронки \[\rho(x)=\frac{r}{\sqrt{10}\,a}\sqrt{a^2+x^2}.\] Он минимален при \(x=0\): \[\boxed{d=\rho(0)=\frac{r}{\sqrt{10}}}.\]

Проверка условия \(\rho\ll\sqrt{a^2+x^2}\). Отношение \(\rho/\sqrt{a^2+x^2}=r/(\sqrt{10}\,a)\) постоянно вдоль всей воронки и при \(r/a=10^{-2}\) равно \(3\cdot10^{-3}\), то есть условие выполнено на всей длине.

Обратите внимание: линия поля наименее удалена от провода при \(x=0\), там, где провод \(Y\) ближе всего к оси: чем сильнее \(B_\parallel\), тем сильнее «сжатие» потока. Поэтому воронка сужается к середине, а не расширяется.

c) Длина линии. Витков очень много, так что \(L\gg r\) и \(L\gg a\), и точное положение точки наибольшего приближения Q на витке не важно: с точностью до нескольких \(r\) можно считать, что Q лежит при \(x=0\).

Элемент длины. Составляющие поля вдоль оси и поперёк неё определяют наклон линии: приращение координаты \(dx\) при длине дуги \(dL\) \[dx=\frac{B_\parallel}{B_\perp}\,dL\quad\Longrightarrow\quad dL=\frac{B_\perp}{B_\parallel}\,dx .\] Поперечную составляющую \(B_\perp\) создаёт в основном провод \(X\): \(B_\perp=\mu_0I/(2\pi\rho)\) (вклад \(\vec B_Y\) составляет долю порядка \(\rho/\sqrt{a^2+x^2}\sim3\cdot10^{-3}\), а нужная точность — \(20\,\%\)), продольную — провод \(Y\) (формула выше). Тогда \[dL=\frac{a^2+x^2}{a\,\rho}\,dx,\qquad L=\int_0^{3a}\frac{a^2+x^2}{a\,\rho(x)}\,dx .\] Подставим \(\rho(x)\) из пункта b): \[L=\int_0^{3a}\frac{\sqrt{10}\,\sqrt{a^2+x^2}}{r}\,dx=\frac{\sqrt{10}\,a^2}{r}\int_0^3\sqrt{1+u^2}\,du,\qquad u=\frac xa .\]

Интеграл. Достаточно грубой оценки: заменим \(\sqrt{1+u^2}\) отрезком от \(1\) до \(\sqrt{10}\) (одна трапеция): \[\int_0^3\sqrt{1+u^2}\,du\approx3\cdot\frac{1+\sqrt{10}}{2}\approx6{,}24 .\] Точное значение подстановкой \(u=\operatorname{sh}\beta\): \[\int_0^3\sqrt{1+u^2}\,du=\frac12\Bigl[3\sqrt{10}+\ln\bigl(3+\sqrt{10}\bigr)\Bigr]\approx5{,}65 .\]

Рис. 5. Подынтегральная функция \(\sqrt{1+u^2}\): площадь под кривой \(\approx5{,}65\), площадь трапеции \(\approx6{,}24\) (разница меньше 11 %).

Число. Точно: \[L=\frac{\sqrt{10}\,a^2}{r}\cdot5{,}65\approx17{,}9\,\frac{a^2}{r}=17{,}9\cdot\frac{(0{,}10)^2}{1{,}0\cdot10^{-3}}\ \text{м}\approx\boxed{1{,}8\cdot10^2\ \text{м}}.\] С трапецией получилось бы \(19{,}7\,a^2/r\approx2{,}0\cdot10^2\) м, то есть в пределах допустимых \(20\,\%\).

Проверка. Размерность: \(a^2/r\) — длина, \(d=r/\sqrt{10}\) — длина. Второй способ для \(L\): за один оборот линия смещается вдоль оси на \(\Delta x=2\pi\rho\,B_\parallel/B_\perp=2\pi\rho^2a/(a^2+x^2)=2\pi d^2/a\) — величину, не зависящую от \(x\), поэтому число оборотов от \(x=3a\) до \(x=0\) равно \(N=3a/\Delta x=3a^2/(2\pi d^2)\approx4{,}8\cdot10^4\). Длина одного оборота \(2\pi\rho\), и \[L=\int_0^{3a}2\pi\rho\,\frac{dx}{\Delta x}=\frac{a}{d^2}\int_0^{3a}\rho\,dx=\frac{a}{d}\,a\int_0^3\sqrt{1+u^2}\,du=\frac{\sqrt{10}\,a^2}{r}\cdot5{,}65 ,\] то же выражение. Численно \(L=178{,}8\) м. Смысл: длина линии в десятки тысяч раз больше радиуса воронки, потому что линия делает десятки тысяч оборотов, пока доходит до сечения \(x=0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.