EuPhO 2026, экспериментальный тур

Подсказка

Левитатор создаёт стоячую звуковую волну: узлы отстоят на \(\lambda/2\), а вблизи узла сила упруго возвращает предмет. Всё измеряется по увеличенной тени предметов на экране: калибровка увеличения нужна почти в каждом пункте.

Ответ

E1) \(h\approx5\) мм;  E2a) \(f\approx34\) кГц;  E2b) шарик дрейфует вверх, \(\Delta f\approx-0{,}67\) Гц;  E3) \(\rho_{\text{шар}}\approx(0{,}8\)–\(1{,}0)\cdot10^3\) кг/м\(^3\) (\(760\pm60\) по смещению, \(1010\pm20\) по напряжению падения);  E4a) \(\gamma\approx1\cdot10^{-8}\) м\(^2\)/с; E4b) время занижается;  E5) \(\sigma_{\text{I}}<\sigma_{\text{II}}\), \(\sigma_{\text{I}}\approx25\) мН/м;  E6a) \(\alpha\approx570\) В\(^2\cdot\)мм, \(\beta\approx-36\) В\(^2\); E6b) \(D_{\max}\approx3{,}7\) мм;  E7) \(n\approx1{,}34\).

Решение

Что происходит. Излучатели в верхней и нижней половинах левитатора создают встречные волны одной частоты; их сумма — стоячая волна, где акустическое давление периодически меняется вдоль оси \(z\) с узлами и пучностями через \(\lambda/4\). Лёгкие предметы собираются вблизи узлов давления, на расстоянии \(\lambda/2\) друг от друга. Вблизи узла сила со стороны поля действует как пружина, \(F=-f(R)P^2\Delta z\), поэтому по смещению предмета из узла можно сравнивать плотности. Общий приём всего опыта — увеличение: красный светодиод освещает левитирующие объекты, а их тени на удалённом экране увеличены в \(M\) раз; \(M\) находим по линейке или по тени шарика известного размера (\(2{,}0\) мм).

Обозначения. \(\lambda\), \(f\) — длина волны и частота звука, \(v=340\) м/с; \(M\) — увеличение тени на экране; \(\Delta z\) — смещение предмета из узла (на экране \(M\Delta z\)); \(D\) — эквивалентный диаметр капли (\(D=2(a^2c)^{1/3}\), у сплюснутой капли \(a=b>c\)); все числа получены по данным организаторов.

Рис. 4. Установка для увеличенной проекции (вид сбоку): диод освещает цепочку шариков в узлах, тени на экране увеличены: \(M=\) расстояние между тенями \(/\,(\lambda/2)\).

E1. Исследование акустического поля.

a) Схема. Излучатель работает как приёмник: под действием звука на его электродах появляется переменное напряжение, то есть он ведёт себя как источник переменной ЭДС, амплитуда которой пропорциональна локальному давлению. К излучателю подключаем два зелёных светодиода, соединённых встречно (антипараллельно): в каждый полупериод открыт ровно один из них, и используется весь сигнал. Один светодиод загорался бы вдвое слабее, потому что работает лишь одна половина волны; светодиод с резистором ещё слабее — резистор отводит ток мимо светодиода.

Рис. 5. Схема: излучатель \(T\) как источник переменной ЭДС и два встречно включённых светодиода.

b) Расстояние между пучностями. Перемещаем головку-излучатель вдоль оси \(z\) и записываем по линейке путь. На высоте \(h_5\approx20\) мм светодиоды вспыхивают пять раз, начиная и заканчивая вспышкой (пять пучностей). Между пятью пучностями четыре промежутка: \[h=\frac{h_5}{5-1}\approx5~\text{мм}.\]

Проверка. Расстояние между соседними пучностями равно \(\lambda/2\), значит, \(\lambda\approx10\) мм; частота выйдет около \(34\) кГц, как в E2.

E2a. Частота излучателей.

Соседние узлы стоячей волны отстоят на \(\lambda/2\): при сдвиге на \(\lambda/2\) фаза волны сверху меняется на \(\pi\), фаза волны снизу — на \(-\pi\), итого разность \(2\pi\). В узлах левитируют лёгкие шарики (N) или (O). Тень цепочки шариков проецируем красным светодиодом на экран (рис. 4) и измеряем расстояния между тенями. Увеличение определяем по линейке, поставленной вертикально в центр левитатора, или по тени шарика с известным диаметром \(2{,}0\) мм. Данные организаторов при \(M=15{,}2\):

Рис. 6. Расстояние \(D\) от нулевого узла в зависимости от номера узла \(N\). Наклон прямой равен \(\lambda/2\).

Наклон прямой равен \(\lambda/2=5{,}08\) мм, откуда \(\lambda\approx10{,}1\) мм и \[f=\frac v\lambda=\frac{340~\text{м/с}}{10{,}1\cdot10^{-3}~\text{м}}\approx34~\text{кГц},\qquad f=(34\pm1)~\text{кГц}.\]

Проверка. Размерность: м/с \(/\) м = Гц. Настоящая рабочая частота излучателей равна \(40\) кГц (\(\lambda=8{,}5\) мм); небольшое занижение объясняется тем, что волны от двух половин левитатора не плоские, и расстояние между узлами на оси оказывается больше \(\lambda/2\).

E2b. Режим X.

При включении режима X твёрдый шарик начинает двигаться вверх. Объяснение: волна нижней половины, бегущая вверх, \(p_l=p_0\sin\bigl(\tfrac\omega v z-\omega t\bigr)\), и волна верхней, бегущая вниз, \(p_u=p_0\sin\bigl(-\tfrac{\omega'}v z-\omega' t\bigr)\), где \(\omega'=\omega+\Delta\omega\). Сумма двух синусов \[p=-2p_0\sin\Bigl(\frac{\omega-\omega'}{2v}\,z-\frac{\omega+\omega'}2\,t\Bigr)\cos\Bigl(\frac{\omega+\omega'}{2v}\,z+\frac{\omega'-\omega}2\,t\Bigr).\] Первый сомножитель — волна с очень большой длиной \(\tilde\lambda=2v/\Delta f\sim1\) км и частотой, почти равной \(\omega\), и её можно считать просто \(\sin\omega t\). Второй — стоячая волна с длиной \(\lambda\), узлы которой смещаются со скоростью \[v_u=\frac{|\Delta\omega|}{2k}=\frac{\lambda|\Delta f|}{2},\] а направление находим из косинуса: узел определяется условием \(kz+\tfrac{\Delta\omega}2t=\text{const}\), откуда \(z=\text{const}-\tfrac{\Delta\omega}{2k}t\). При \(\Delta\omega>0\) узлы движутся вниз, при \(\Delta\omega<0\) — вверх.

Рис. 7. Серые линии — узлы поля в координатах \(z\)–\(t\), они дрейфуют со скоростью \(v_u\); бирюзовая линия — шарик, он захвачен узлом и движется вместе с ним. Время \(t_N\) — прохождение \(N\) узлов.

Так как шарик движется вверх, делаем вывод: \(\Delta f<0\).

Величина \(|\Delta f|\): отмечаем на экране положение верхнего края тени шарика, когда он левитирует в двух далеко разнесённых узлах (чем больше расстояние, тем точнее), ставим шарик немного ниже нижнего из них, включаем режим X и измеряем время \(t\), за которое верхний край тени проходит между двумя отметками. За \(N\) узлов путь равен \(N\lambda/2\): \[v_u=\frac{N\lambda/2}{t}=\frac{\lambda|\Delta f|}2\ \Longrightarrow\ |\Delta f|=\frac Nt .\] Данные организаторов, \(N=4\): \(t=5{,}84;\ 6{,}00;\ 5{,}94;\ 5{,}96;\ 6{,}06\) с, среднее \(5{,}96\) с (погрешность среднего \(0{,}04\) с): \[|\Delta f|=\frac4{5{,}96~\text{с}}\approx0{,}67~\text{Гц},\qquad \Delta f=(-0{,}67\pm0{,}02)~\text{Гц}.\]

Второй способ: в системе отсчёта, движущейся вместе с узлами со скоростью \(u\), верхняя и нижняя половины излучают одну и ту же частоту, то есть \(\bigl(\tfrac{v+u}v\bigr)(f+\Delta f)=\bigl(\tfrac{v-u}v\bigr)f\) (эффект Доплера), откуда при \(u\ll v\) получаем \(\Delta f=-2uf/v\) — то же значение со знаком минус для \(u>0\).

Проверка. Скорость узлов \(v_u=5{,}08\cdot10^{-3}\cdot4/5{,}96\cdot10^{0}\approx3{,}4\) мм/с: за \(6\) с шарик пролетает \(20\) мм, ровно четыре узла по \(5{,}08\) мм. Размерность: \(N/t\) — Гц.

E3. Плотность твёрдых шариков.

Шарик левитирует немного ниже узла: сила тяжести уравновешена возвращающей силой. Условие равновесия для шарика (по (1)): \[f(R)P^2\,\Delta z=mg=\rho Vg,\qquad P\propto U\ \Longrightarrow\ \Delta z\propto\frac{\rho}{U^2}.\] Шарики (O) и (P) одинаковы по размеру, и \(f(R)\) у них одна и та же, поэтому наклоны \(k\) прямых \(\Delta z(1/U^2)\) пропорциональны плотности: \(\rho_{O}=\rho_{\text{ст}}\,k_O/k_{\text{ст}}\).

Находим положение узла (по левитирующему там маленькому кусочку пенопласта) и отмечаем его на экране. Увеличение \(M\ge30\) (на экране нужна тень только одного шарика, поэтому можно увеличить сильно). Для стеклянного шарика при разных напряжениях измеряем смещение тени от метки узла (не меньше пяти точек), затем то же для шарика (O).

Рис. 8. Смещение тени шарика от узла \(\Delta z\) в зависимости от \(1/U^2\) (\(M=35\)): точки — данные организаторов, снятые с их графика (кружки — стеклянный шарик, точки — пластиковый ПП; первая точка стекла скрыта под точкой ПП), прямые — их линейные подгонки.

Наклоны подгонок методом наименьших квадратов: \(k_{\text{ст}}=(4{,}10\pm0{,}27)\cdot10^3\) мм\(\cdot\)В\(^2\), \(k_{\text{ПП}}=(1{,}25\pm0{,}06)\cdot10^3\) мм\(\cdot\)В\(^2\) (на экране; у организаторов \(4097\) и \(1247\)). Отсюда \[\rho_{\text{ПП}}=\rho_{\text{ст}}\frac{k_{\text{ПП}}}{k_{\text{ст}}}=2500\cdot\frac{1247}{4097}\approx760~\frac{\text{кг}}{\text{м}^3},\qquad \frac{\Delta\rho}{\rho}=\sqrt{\Bigl(\frac{\Delta k_{\text{ст}}}{k_{\text{ст}}}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\Delta k_{\text{ПП}}}{k_{\text{ПП}}}\Bigr)^2}\approx8\,\%,\] то есть \(\rho_{\text{ПП}}=(760\pm60)\) кг/м\(^3\). В решении организаторов итог записан как \((800\pm60)\) кг/м\(^3\), хотя их же наклоны дают \(760\); оба значения совпадают в пределах погрешности.

Второй способ: напряжение падения. Смещение из узла не может превысить значения, при котором возвращающая сила достигает максимума (см. рис. 9): при большем смещении сила уменьшается, и шарик падает. Для шарика заданного размера это смещение одно и то же, поэтому сила в момент падения \(F=KU_{\min}^2=\rho Vg\), и \[\rho_{\text{ПП}}=\rho_{\text{ст}}\frac{U_{\text{ПП}}^2}{U_{\text{ст}}^2},\] где \(U\) — наименьшее напряжение, при котором шарик ещё левитирует. Данные (пять измерений напряжения падения): \(U_{\text{ст}}=11{,}08\) В, \(U_{\text{ПП}}=7{,}04\) В (средние). Отсюда \[\rho_{\text{ПП}}=2500\cdot\left(\frac{7{,}04}{11{,}08}\right)^2\approx1010~\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\qquad(\pm20).\]

Рис. 9. Качественно (модель \(F\propto-\sin(4\pi\Delta z/\lambda)\), без данных): периодическая акустическая сила вдоль оси: у узла она линейна по смещению (пружина), максимум достигается при \(\Delta z\approx\lambda/8\), затем падает и обращается в нуль в пучности.

Обратите внимание: два способа дают \(760\pm60\) и \(1010\pm20\) кг/м\(^3\) — расхождение больше погрешностей, и организаторы засчитывают оба (интервалы \(750\)–\(1150\) и \(900\)–\(1100\) кг/м\(^3\)). Способ A чувствителен к положению метки узла и к нелинейности силы при больших смещениях: прямые не проходят через начало координат (свободные члены \(-12\) и \(-3\) мм). Способ B от метки узла не зависит, но предполагает, что оба шарика падают при одном и том же смещении. Организаторы называют шарики (O) полипропиленовыми (PP); табличная плотность полипропилена около \(900\) кг/м\(^3\) лежит между двумя результатами.

Проверка. Размерность: отношение плотностей безразмерно. Предел: более плотный шарик требует большего напряжения: для стекла \(11{,}1\) против \(7{,}0\) В, как и должно быть.

E4. Испарение.

Модель испарения (3) выведена для шарика, а капля сплюснута, поэтому переходим к эквивалентному диаметру. Измеряем на экране большую \(2a\) и малую \(2c\) оси тени (капля сплюснута вдоль \(z\), \(a=b>c\)); эквивалентный диаметр на экране \(D_{\text{экр}}=2(a^2c)^{1/3}\), а настоящий — \(D=D_{\text{экр}}/M\). Интегрируем (3): \[D^2(t)=D_0^2-\gamma t.\]

Рис. 10. Левитирующая капля — сплюснутый эллипсоид с полуосями \(a=b>c\); объём \(V=\frac{4\pi}{3}a^2c\).

Данные организаторов (\(M=20\), измерение через \(30\) с, оси на экране в мм):

Рис. 11. Квадрат эквивалентного диаметра капли в зависимости от времени; наклон прямой равен \(-\gamma\).

Подгонка по методу наименьших квадратов даёт наклон \(-0{,}0103\) мм\(^2\)/с, то есть \[\gamma=1{,}0\cdot10^{-2}~\text{мм}^2/\text{с}=1{,}0\cdot10^{-8}~\text{м}^2/\text{с}\] (разброс из-за влажности, потока воздуха и формы капли велик, у организаторов \(\gamma=(9{,}2\pm5{,}0)\cdot10^{-9}\) м\(^2\)/с). Жидкость I — изопропанол.

b) Занижение или завышение. Если выдерживать капли дальше, скорость испарения заметно падает, когда капля достигает размера порядка \(D\approx1\) мм: например, в долгом опыте организаторов (рис. 12) излом наступает около \(500\) с, когда \(D^2\approx1\) мм\(^2\). Оценка по начальному наклону предсказывает полное испарение за \(t=D_0^2/\gamma\approx610\) с, а реально остаток испаряется намного дольше: время занижается.

Рис. 12. Долгий опыт организаторов (точки сняты с их графика, \(D^2\) в мм\(^2\)): по первым шести точкам капля испарилась бы за \(\approx610\) с (красная точка), но при \(D\approx1\) мм испарение замедляется в \(14\) раз (пунктир — подгонка по остальным точкам).

Проверка. Размерность: мм\(^2/\)с \(=10^{-6}\) м\(^2\)/с. Правдоподобие: за \(240\) с диаметр уменьшился от \(2{,}1\) до \(1{,}4\) мм, то есть на треть — разумно для спирта.

E5. Поверхностное натяжение.

a) Какая жидкость имеет меньшее \(\sigma\). Форма капли определяется объёмом \(V\) и отношением \(P^2/\sigma\). Левитируем сравнимые по объёму капли обеих жидкостей и увеличиваем напряжение до одной и той же сплюснутости: у жидкости I это происходит при заметно меньшем напряжении, чем у жидкости II. Значит, \(\sigma_{\text{I}}<\sigma_{\text{II}}\) (это видно и из результата пункта b: \(U_{\text{I}}<U_{\text{II}}\)).

b) Количественно. Берём пару капель одинакового объёма \(V\) (одну жидкости II, одну I) и подбираем напряжение так, чтобы форма капель совпадала. Из совпадения формы следует \(P^2/\sigma=\text{const}\), то есть \(U^2/\sigma=\text{const}\): \[\sigma_{\text{I}}=\sigma_{\text{II}}\,\frac{U_{\text{I}}^2}{U_{\text{II}}^2}.\]

Рис. 13. Схема измерения: капля жидкости II сильно деформирована при \(U_{II}\), форма обводится на экране; капля жидкости I того же объёма деформируется до той же формы при другом напряжении \(U_I\).

Чтобы получить один и тот же объём, левитируем сначала чуть более крупную каплю и ждём, пока она немного испарится, подгоняя форму. Форма должна быть заметно неправильной (иначе вклад \(P^2/\sigma\) мал). Данные организаторов (пять пар) и \(\sigma_{\text{I}}\) по формуле при \(\sigma_{\text{II}}=73\) мН/м:

Среднее \(\sigma_{\text{I}}=25{,}1\) мН/м, стандартное отклонение среднего \(0{,}3\) мН/м; с учётом систематики метода \[\sigma_{\text{I}}=(25\pm1)~\text{мН/м}\] (у организаторов \(25{,}1\pm1{,}3\); литературное значение для изопропанола \(21{,}8\) мН/м).

Проверка. Размерность: отношение квадратов напряжений безразмерно. Отношение \(U_{\text{I}}/U_{\text{II}}\approx0{,}59\) даёт \(\sigma_{\text{I}}/\sigma_{\text{II}}\approx0{,}34\), согласуется с тем, что спирт растекается значительно легче воды.

E6. Взрыв капель.

a) Постоянные. Измеряем напряжение взрыва \(U_{\max}\) капель разных размеров (жидкость II, \(M=41\)). По (4) зависимость \(U_{\max}^2=\alpha/D+\beta\) линейна по \(1/D\): наклон — \(\alpha\), пересечение — \(\beta\). Данные организаторов (\(D=2(a^2c)^{1/3}/M\); \(a\) и \(c\) — полуоси, \(2a\), \(2b\) — оси тени на экране в мм):

Рис. 14. Квадрат напряжения взрыва в зависимости от \(1/D\): прямая с наклоном \(\alpha\) и пересечением \(\beta\).

Метод наименьших квадратов даёт \[\alpha=(570\pm30)~\text{В}^2\cdot\text{мм},\qquad \beta=(-36\pm13)~\text{В}^2\] (погрешности — стандартные отклонения подгонки; у организаторов \(569\pm54\) и \(-36\pm26\) при удвоенном стандартном отклонении).

b) Максимальный диаметр. Две границы: сверху напряжение ограничено взрывом, \(U_{\max}(D)\) убывает; снизу — падением капли: при слишком малом напряжении капля падает, \(U_{\min}(D)\) растёт. Наибольший левитируемый диаметр — там, где кривые пересекаются. Измеряем напряжение падения капель разных размеров (мелкие капли удобно получать взрывом крупных). Данные организаторов (\(M=35\)):

Рис. 15. \(U_{\max}\) (взрыв, кривая \(\sqrt{\alpha/D+\beta}\)) и \(U_{\min}\) (падение, прямая) в зависимости от диаметра \(D\). Пересечение даёт наибольший возможный диаметр.

Напряжение падения хорошо описывается прямой \(U_{\min}=aD+b\) с \(a=1{,}74\) В/мм, \(b=4{,}6\) В. Решаем уравнение \[\sqrt{\frac\alpha D+\beta}=aD+b\] графически или методом деления отрезка пополам: \[D_{\max}\approx3{,}7~\text{мм}\quad(+0{,}3,\,-0{,}2).\]

Проверка. Подстановка \(D=3{,}7\) мм: левая часть \(\sqrt{570/3{,}7-36}=10{,}9\) В, правая \(1{,}74\cdot3{,}7+4{,}6=11{,}0\) В. Размерность: \(\alpha/D\) — В\(^2\).

E7. Таинственная линия.

Горизонтальная линия появляется на экране, когда капля довольно плоская (обычно около \(0{,}5\) В до взрыва). Для разбора оптику капли представляем так: в вертикальном сечении — две плосковыпуклые линзы с жидкостью между ними (ограничены сверху и снизу плоскостями сплюснутой капли, а справа и слева дугами радиуса \(R\)), а в горизонтальном сечении — круглая (цилиндрическая) линза.

Рис. 16. Ход лучей в вертикальном сечении капли при \(L=2f\) (расчёт по закону Снеллиуса, \(n=1{,}34\)): параллельный пучок собирается первой линзой в середину капли, второй линзой снова превращается в параллельный. Лучи после капли идут на экран параллельно, и вертикальная сторона даёт линию.

Свет светодиода идёт на каплю почти параллельным пучком (размеры капли много меньше расстояний). Линия получается, когда лучи, идущие в вертикальной плоскости, собираются в одну точку на экране: для этого первая линза должна фокусировать пучок в середину капли, то есть \[L\approx2f,\] где \(L\) — длина капли, а \(f\) — фокусное расстояние линз в вертикальной плоскости; тогда вторая линза возвращает лучи в параллельный пучок симметричным образом (рис. 16). Фокусное расстояние плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны \(R\) и показателем преломления \(n\): \(f=\dfrac{Rn}{n-1}\). Отсюда \[L=\frac{2Rn}{n-1}\ \Longrightarrow\ n=\frac{L}{L-2R}.\] В горизонтальном сечении капля — круглая линза, она фокусирует свет не в точку, а в вертикальную линию на экране (рис. 17): так получается не точка, а линия.

Рис. 17. Горизонтальное сечение (ход лучей рассчитан по закону Снеллиуса, \(n=1{,}34\)): круглая капля собирает лучи в узкую полосу перед экраном; вместе с вертикальным сечением получается тонкая горизонтальная линия.

Измерение: когда линия видна, обводим контур капли на экране и проводим две нормали к контуру вблизи вертикального центра; расстояние от крайней точки капли до пересечения нормалей — радиус кривизны \(R\); длину \(L\) меряем между крайними точками. Повторяем несколько раз. Данные организаторов (величины на экране; их отношение не зависит от \(M\)):

Среднее \(n=1{,}34\) при стандартном отклонении отдельного измерения \(0{,}05\) (погрешность среднего \(0{,}02\); с запасом на систематику метода): \[n=1{,}34\pm0{,}1 .\]

Проверка. Предел: при \(n\to\infty\) имеем \(L\to2R\), то есть капля превращается в шар радиуса \(R\). Для воды \(n=1{,}33\): красная жидкость — вода с красителем. Условие \(L=2f\) выполняется лишь приблизительно из-за аберраций, поэтому линия видна в некотором интервале напряжений, и это объясняет большую погрешность.

Обратите внимание: фокусное расстояние равно \(f=Rn/(n-1)\), а не \(R/(n-1)\) — формула стеклянной линзы в воздухе здесь не годится, потому что жидкость находится и до плоской грани линзы, и после неё; фокус лежит внутри жидкости.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.