Физтех, 2022/23, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

В лабораторной системе скорость пловца \(V_i = \sqrt{d^2+L^2}/T_i\) для первых двух заплывов. Сложите скорость пловца относительно воды и скорость течения векторно и используйте одинаковость модуля \(U\) в обоих заплывах.

Ответ

1) \(V_1 \approx 1{,}3\) м/с, \(V_2 \approx 0{,}6\) м/с;  2) \(U \approx 0{,}45\) м/с;  3) \(T \approx 175\) с.

Решение

1) \(V_1 = \dfrac{\sqrt{d^2+L^2}}{T_1} \approx 1{,}3\) м/с, \(V_2 = \dfrac{\sqrt{d^2+L^2}}{T_2} \approx 0{,}6\) м/с.

2) \(U = \sqrt{\left(\dfrac{V_1 - V_2}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{V_1 + V_2}{2}\cdot\dfrac{d}{L}\right)^2} \approx 0{,}45\) м/с. Скорость течения реки \(V = 0{,}5\,(V_1+V_2)\dfrac{\sqrt{d^2+L^2}}{L} \approx 1\) м/с.

3) Геометрия движения при заплыве на минимальный снос: скорость пловца в заплыве \(V_m = \sqrt{V^2 - U^2}\), и \[T = \frac{V}{U}\cdot\frac{d}{\sqrt{V^2 - U^2}} \approx 175~\text{с}.\]

Подсказка

Время полёта до стенки в пять раз больше времени полёта после отскока. Сравните вертикальные перемещения в двух частях траектории, отсчитывая их от наивысшей точки.

Ответ

1) \(h = 9\) м;  2) \(t_1 = 3\) с;  3) \(d = 2{,}4\) м.

Решение

Из условия следует: время полёта от старта до соударения со стенкой в пять раз больше времени полёта после соударения. Следовательно, продолжительность полёта от высшей точки траектории до соударения в два раза больше времени полёта после соударения. Тогда при движении вниз отношение вертикальных перемещений равно \(\dfrac45\), отсюда

1) \(h = \dfrac59 H = 9\) м.

2) \(t_1 = \dfrac53\sqrt{\dfrac{2H}{g}} = 3\) с.

3) После соударения модуль горизонтальной скорости мяча увеличится на \(2U\), \(d = 2U\dfrac{t_1}{5} = 2{,}4\) м.

Подсказка

Для равновесия шара запишите условие равенства моментов сил относительно точки касания шара с плоскостью или относительно центра. Затем воспользуйтесь условием \(F_{\text{ТР}} \le \mu N\).

Ответ

1) \(T = 10\) Н;  2) \(F_{\text{ТР}} = 10\) Н;  3) \(\mu \ge \dfrac13 \approx 0{,}33\).

Решение

Шар покоится. Из условия равенства моментов сил относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через точку \(O\), \(TR = F_{\text{ТР}}R\), откуда \(T = F_{\text{ТР}}\). Переносим силу \(\vec N\) вдоль линии действия: из осевой симметрии относительно прямой, на которой лежит биссектриса \(CO\), \(N = mg\).

Из условия равенства моментов сил относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через точку \(A\), \[TR(1+\cos\alpha) = mgR\sin\alpha.\] 1) \(T = mg\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = mg\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2} = 10\) Н.

2) \(F_{\text{ТР}} = mg\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = 10\) Н.

3) Далее \(F_{\text{ТР}} \le \mu N\), откуда \(\mu \ge \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \dfrac13 \approx 0{,}33\).

Заметим, что этот результат может быть получен из треугольника сил: \(m\vec g\), \(\vec T\), \(\vec F = \vec N + \vec F_{\text{ТР}}\) линии действия которых пересекаются в точке \(B\).

Подсказка

Мощность нагревателя \(I^2R\). Количество теплоты, ушедшее в окружающую среду, равно площади под графиком \(P(t)\). Составьте баланс энергии и решите квадратное уравнение относительно \(T\).

Ответ

1) \(P_H = 500\) Вт;  2) \(T = 280\) с.

Решение

1) \(P_H = I^2R = 500\) Вт.

По графику \(P(t) = 100 + \dfrac{300-100}{400}\,t = 100 + 0{,}5\,t\) Вт. За любой промежуток времени от \(t\) до \(t + \Delta t\) в окружающую среду уходит количество теплоты \(\Delta Q = P\,\Delta t\), тогда за время от \(0\) до \(t\) в окружающую среду уходит количество теплоты, численно равное площади под графиком зависимости \(P(t)\): \[Q(t) = \frac{100 + 100 + 0{,}5t}{2}\,t = (100 + 0{,}25t)\,t.\] Закон сохранения энергии в тепловых процессах: \[I^2RT = \rho Vc(\tilde t_1 - \tilde t_0) + (100 + 0{,}25T)\,T.\] После подстановки численных значений приходим к квадратному уравнению \(T^2 - 1600\,T + 369600 = 0\), один из корней которого 2) \(T = (8{,}0 - \sqrt{27{,}04})\cdot 10^2 = (8{,}0 - 5{,}2)\cdot 10^2 = 280\) с является ответом на вопрос задачи.

Подсказка

Амперметры имеют нулевое сопротивление, поэтому ветви с ними соединены параллельно. Сравните токи в двух параллельных ветвях по напряжению на них.

Ответ

1) \(I_2 = 2\) А;  2) \(U = 220\) В.

Решение

Из равенства напряжений на параллельно соединённых резисторах следует \(I_2 = 2I_1 = 2\) А.

В неразветвлённой части цепи сила тока \(I = I_1 + I_2 = 3I_1\); в этой части цепи резисторы \(R\) и \(2R\) можно поменять местами.

Эквивалентное сопротивление цепи \[R_{\text{экв}} = R + 2R + \frac{2}{3}R = \frac{11}{3}R, \qquad R = 20~\text{Ом}.\] 2) \(U = R_{\text{экв}}\,I = \dfrac{11}{3}R\cdot 3I_1 = 11RI_1 = 220\) В.

Подсказка

Скорость пловца относительно берега при движении по течению и против него равна \(U \pm V\). Используйте отношение времён в первом заплыве, чтобы найти \(V\); для минимального времени подумайте, при каком направлении снос отсутствует.

Ответ

1) \(V = 1\) м/с;  2) \(T \approx 212\) с;  3) \(T_{\text{MIN}} \approx 179\) с.

Решение

По условию \(\dfrac{U+V}{U-V} = 5\).

1) \(V = \dfrac23 U = 1\) м/с.

2) Следуем закону сложения скоростей (см. рис.): \(V_1 = U\cos\beta + V\cos\alpha\), \(V_2 = U\cos\beta - V\cos\alpha\). Тогда \[T = \frac{R}{V_1} + \frac{R}{V_2} = 2R\,\frac{\sqrt{U^2 - V^2\sin^2\alpha}}{U^2 - V^2} \approx 212~\text{с},\] здесь учтено равенство \(V\sin\alpha = U\sin\beta\).

3) \(T_{\text{MIN}} = \dfrac{2R}{\sqrt{U^2 - V^2}} = 80\sqrt5 \approx 179\) с, в этом случае \(\alpha = 90^\circ\).

Подсказка

Используйте уравнение вертикального движения на последнем участке: за последние \(h\) метров падения скорость меняется на \(g\tau\). Время до максимальной высоты равно \(V_{0Y}/g\).

Ответ

1) \(t_1 = 0{,}8\) с;  2) \(S = 16\) м.

Решение

Продолжительность полёта \(T\); в полёте \(a_Y = -g\). Далее \[V_Y(T - \tau) = \frac{g\tau}{2} - \frac{h}{\tau} = -16~\text{м/с}, \qquad V_{0Y} = \sqrt{V_Y^2 + 2g(h - H)} = 8~\text{м/с}.\] 1) \(t_1 = \dfrac{V_{0Y}}{g} = 0{,}8\) с.

В момент падения \(V_Y(T) = V_Y(T-\tau) - g\tau = -24\) м/с, \(T = \dfrac{V_{0Y} - V_Y(T)}{g} = 3{,}2\) с.

2) \(S = V_{0X}\,T = \dfrac{V_{0Y}}{\mathrm{tg}\,\alpha}\,T = 16\) м.

Подсказка

Запишите моменты сил относительно точки \(A\) и условие равновесия по вертикали и горизонтали. Сила трения должна быть не больше \(\mu N_2\).

Ответ

1) \(P = 37{,}5\) Н;  2) \(\mu \ge 0{,}4\).

Решение

Моменты сил относительно оси, проходящей через точку \(A\) перпендикулярно плоскости чертежа, \[mg\frac{l}{2}\cos\alpha = N_1\frac{2}{3}l, \qquad \text{отсюда} \qquad N_1 = \frac34 mg\cos\alpha.\] 1) \(\vec P = -\vec N_1\), \(P = \dfrac34 mg\cos\alpha = 37{,}5\) Н.

Сумма сил по вертикали нулевая: \[N_2 = mg - N_1\cos\alpha = mg\left(1 - \frac34\cos^2\alpha\right), \qquad F_{\text{ТР}} = N_1\sin\alpha = \frac34 mg\cos\alpha\sin\alpha,\] \(F_{\text{ТР}} \le \mu N_2\), из этих соотношений следует

2) \(\mu \ge \dfrac{0{,}75\sin\alpha\cos\alpha}{1 - 0{,}75\cos^2\alpha} \approx 0{,}4\).

Подсказка

Количество теплоты \(Q = M\int c(t)\,dt\) равно площади под графиком \(c(t)\) в интервале температур. Для равновесия используйте уравнение теплового баланса с учётом зависимости \(c(t)\) у бруска.

Ответ

1) \(Q = 2{,}1\cdot 10^3\) Дж;  2) \(t_3 = 60\,^\circ\)C.

Решение

1) \(Q = \sum\Delta Q = M\sum c(t)\,\Delta t\); суммируем площадь по графику зависимости \(c(t) = 2000 + 20t\): \[Q = M\,\frac{c(t_0) + c(t_1)}{2}\,(t_1 - t_0) = 2{,}1\cdot 10^3~\text{Дж}.\]

2) Закон сохранения энергии в тепловых процессах: \[M\,\frac{c(t_1) + c(t_3)}{2}\,(t_3 - t_1) = m\,c_\Gamma\,(78 - t_3).\] Подстановка численных значений приводит к квадратному уравнению \(t_3^2 + 950\,t_3 - 60600 = 0\), корень которого \(t_3 = -475 + 535\) приводит к ответу: \(t_3 = 60\,^\circ\)C.

Подсказка

Пусть \(r_A\) — сопротивление амперметра, \(R_V\) — сопротивление вольтметра. Запишите показания приборов в обеих схемах через \(R\), \(R_V\), \(r_A\) и \(U\), затем найдите \(R_V\) и \(r_A\).

Ответ

1) \(R_V = R\);  2) наименьшая мощность рассеивается на амперметре во второй цепи (правая схема);  3) \(P_{\text{MIN}} = \dfrac{2U^2}{9R}\).

Решение

По условию \[U = 2\cdot\frac{U}{r_A + \dfrac{RR_V}{R+R_V}}\cdot\frac{RR_V}{R+R_V}, \quad\text{отсюда}\quad r_A = \frac{RR_V}{R+R_V}.\] Далее следует условие \(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{U}{r_A + R} = \dfrac{U}{r_A + \dfrac{RR_V}{R+R_V}}\); подстановка \(r_A\) в это равенство приводит к ответу на первый вопрос задачи:

1) \(R_V = R\).

Далее из \(r_A = \dfrac{RR_V}{R+R_V}\) находим \(r_A = 0{,}5R\).

2) Наименьшая мощность рассеивается на амперметре в цепи, схема которой представлена на правом рисунке.

3) \(P_{\text{MIN}} = \dfrac{2U^2}{9R}\).