зад 1 Два самолёта на окружностях
Во время выполнения пилотажного упражнения два самолёта летят в горизонтальной плоскости с одинаковыми по модулю скоростями \(V = 80\) м/с (см. рис.) по окружностям одинакового радиуса \(R = 800\) м. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
На сколько \(\delta\) процентов вес каждого летчика больше силы тяжести, действующей на летчика?
В некоторый момент времени самолёты оказались на прямой, проходящей через центры окружностей, в положении максимального сближения. Расстояние между центрами окружностей \(L = 2\) км. Вектор скорости каждого самолёта показан на рисунке.
Найдите в этот момент скорость \(\vec U\) второго (правого на рис.) самолёта во вращающейся системе отсчёта \(x'O_1y'\), связанной с первым (левым на рис.) самолётом. В ответе укажите модуль и направление вектора \(\vec U\).
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему, связанную с первым самолётом: скорость второго в лабораторной системе складывается из переносной скорости этой системы и относительной \(\vec U\). Сравните угловые скорости двух самолётов.
▶ОтветСкрыть
1) \(\delta \approx 28\%\); 2) \(U = 200\) м/с, \(\vec U \uparrow\uparrow \vec V\).
▶РешениеСкрыть
Второй закон Ньютона для летчика, движущегося по окружности: \(m\vec a = m\vec g + \vec N\), где \(a = V^2/R\) направлено к центру, а вес \(\vec P = -\vec N\). Отсюда \[P = N = mg\sqrt{1 + \left(\frac{V^2}{gR}\right)^2}, \qquad \delta = \frac{P - mg}{mg}\cdot 100\% = \left(\sqrt{1 + \left(\frac{V^2}{gR}\right)^2} - 1\right)\cdot 100\% \approx 28\%.\]
Скорость правого самолёта в лабораторной системе \(\vec V = \vec V_{\text{пер}} + \vec U\), где переносная скорость \(V_{\text{пер}} = \omega(L - R)\) и \(\omega = V/R\). Скорости \(\vec V\) и \(\vec V_{\text{пер}}\) антипараллельны, тогда \[U = \omega(L - R) + V = \frac{V}{R}\,L = 200~\text{м/с}, \qquad \vec U \uparrow\uparrow \vec V .\]
зад 2 Осколки фейерверка у склона
Плоская поверхность склона образует с горизонтом угол \(\alpha = 30^\circ\). У подножья склона разрывается фейерверк. Осколки летят во всевозможных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями. Наибольшая продолжительность полёта одного из осколков \(T = 9\) с. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.
Найдите начальную скорость \(V_0\) осколков.
На каком максимальном расстоянии \(S\) от точки старта упадёт осколок на склон?
▶ПодсказкаСкрыть
Продолжительность полёта максимальна, когда начальная скорость направлена перпендикулярно горизонту. Для дальности на склон выгодно подобрать направление вектора \(\vec V_0\) так, чтобы он был равноудалён от склона и вертикали.
▶ОтветСкрыть
1) \(V_0 = 45\) м/с; 2) \(S = 135\) м.
▶РешениеСкрыть
Наибольшая продолжительность полёта наблюдается в случае \(\vec V_0 \uparrow\downarrow \vec g\), тогда \(V_0 = \dfrac{gT}{2} = 45\) м/с.
За время \(T\) полёта перемещение осколка, упавшего на склон, \(\vec r(T) = \vec V_0 T + \dfrac{\vec g T^2}{2}\) (см. рис.).
Проекции векторов \(\vec V_0 T\) и \(\dfrac{\vec g T^2}{2}\) на направление нормали к склону равны по величине: \(V_0 T\sin\beta = \dfrac{gT^2}{2}\cos\alpha\), где \(\beta\) — угол между \(\vec V_0\) и склоном. Отсюда продолжительность полёта \[T = \frac{2V_0}{g}\,\frac{\sin\beta}{\cos\alpha}.\] Дальность \(S\) равна алгебраической сумме проекций векторов \(\vec V_0 T\) и \(\dfrac{\vec g T^2}{2}\) на склон: \[S = V_0 T\cos\beta - \frac{gT^2}{2}\sin\alpha = \frac{V_0^2}{g\cos^2\alpha}\bigl(\sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha\bigr).\] Наибольшей дальности соответствует \(\sin(\alpha + 2\beta) = 1\), т.е. \(\alpha + 2\beta = \dfrac{\pi}{2}\) (вектор \(\vec V_0\) направлен по биссектрисе угла между склоном и вертикалью). Тогда \[S_{\max} = \frac{V_0^2(1 - \sin\alpha)}{g\cos^2\alpha} = \frac{V_0^2}{g(1 + \sin\alpha)} = 135~\text{м}.\]
зад 3 Шайба и бочка с водой на наклонной плоскости
В первом опыте на шероховатую наклонную плоскость кладут шайбу и сообщают шайбе начальную скорость. Шайба движется по плоскости, сталкивается с упором, отскакивает от него и продолжает движение по плоскости. Часть зависимости модуля скорости шайбы от времени представлена на графике к задаче. Движение шайбы происходит вдоль одной и той же прямой. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
Найдите \(\sin\alpha\), здесь \(\alpha\) — угол, который наклонная плоскость образует с горизонтом.
Во втором опыте с той же наклонной плоскости скатывается без проскальзывания тонкостенная однородная цилиндрическая бочка, полностью заполненная водой. Начальная скорость нулевая. Масса воды равна массе бочки. Упор удалён с наклонной плоскости. Воду считайте идеальной жидкостью. Масса торцов бочки пренебрежимо мала.
С какой по величине скоростью \(V\) движется бочка после перемещения по вертикали на \(h = 0{,}3\) м?
Найдите ускорение \(a\), с которым движется бочка.
При каких величинах коэффициента \(\mu\) трения скольжения бочка катится без проскальзывания?
▶ПодсказкаСкрыть
Потерь энергии при качении без проскальзывания нет: используйте закон сохранения энергии. Во втором опыте учтите, что при качении тонкостенного цилиндра его кинетическая энергия равна \(mV^2\), а вода движется поступательно.
▶ОтветСкрыть
1) \(\sin\alpha = 0{,}3\); 2) \(V = 2\) м/с; 3) \(a = 2\) м/с\(^2\); 4) \(\mu \ge \dfrac{\tan\alpha}{3} \approx 0{,}1\).
▶РешениеСкрыть
По графику \(a_1 = 2\) м/с\(^2\), \(a_2 = 4\) м/с\(^2\). При скольжении шайбы вниз \(a_1 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\), при скольжении вверх \(a_2 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)\). Отсюда \[\sin\alpha = \frac{a_1 + a_2}{2g} = 0{,}3 .\]
При качении цилиндра с идеальной жидкостью без проскальзывания потерь энергии нет. Пусть \(m\) — масса цилиндра, \(M\) — масса воды, \(n = M/m\). По закону сохранения энергии \[mV^2 + \frac{MV^2}{2} = (m + M)gh \quad\Rightarrow\quad V^2 = \frac{1 + n}{1 + 0{,}5n}\,gh .\] При \(n = 1\) получаем \(V = \sqrt{\dfrac{2}{1{,}5}\cdot 10\cdot 0{,}3} = 2\) м/с.
Перемещения связаны соотношением \(h = (x - x_0)\sin\alpha\). Тогда \(V^2 = 2a(x - x_0)\), где \[a = \frac{1 + n}{2 + n}\,g\sin\alpha = \frac{2}{3}\cdot 10\cdot 0{,}3 = 2~\text{м/с}^2 .\]
По теореме об изменении импульса системы \((m + M)\vec a = (m + M)\vec g + \vec N + \vec F_{\text{тр}}\). Проекции: \(N = (m + M)g\cos\alpha\), \((m + M)a = (m + M)g\sin\alpha - F_{\text{тр}}\). Отсюда \(F_{\text{тр}} = \dfrac{g\sin\alpha}{2 + n}(m + M)\). Качение без проскальзывания происходит при \(F_{\text{тр}} \le \mu N\), т.е. при \[\mu \ge \frac{\tan\alpha}{2 + n} = \frac{\tan\alpha}{3} \approx 0{,}1 .\]
зад 4 Смесь гелия и кислорода
В изохорическом процессе к смеси идеальных газов гелия и кислорода подводят \(Q = 600\) Дж теплоты. Температура смеси увеличивается на \(\Delta T_1 = 15\) К. Если к той же смеси подвести то же самое количество теплоты в изобарическом процессе, то температура смеси повысится на \(\Delta T_2 = 10\) К.
Найдите работу \(A\) смеси газов в изобарическом процессе.
Найдите теплоёмкость \(C_V\) смеси в изохорическом процессе.
Найдите отношение \(N_{\text{Г}}/N_{\text{К}}\) числа атомов гелия к числу молекул кислорода в смеси.
Указание: внутренняя энергия двухатомного газа кислорода \(U = \dfrac{5}{2}PV\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните приращения внутренней энергии смеси в двух процессах, учитывая, что при одинаковом подводимом тепле внутренняя энергия растёт пропорционально изменению температуры. Отношение \(C_P/C_V\) смеси запишите через числа молей гелия и кислорода.
▶ОтветСкрыть
1) \(A = 200\) Дж; 2) \(C_V = 40\) Дж/К; 3) \(N_{\text{Г}}/N_{\text{К}} = 1\).
▶РешениеСкрыть
В изохорическом процессе \(Q = \Delta U_1\), откуда \[C_V = \frac{Q}{\Delta T_1} = 40~\text{Дж/К}.\] Приращение внутренней энергии в изобарическом процессе \(\Delta U_2 = \dfrac{Q}{\Delta T_1}\Delta T_2\). Первое начало термодинамики \(Q = \Delta U_2 + A\) даёт \[A = Q\left(1 - \frac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right) = 200~\text{Дж}.\] Теплоёмкость в изобарическом процессе \(C_P = \dfrac{Q}{\Delta T_2} = 60\) Дж/К.
Пусть \(\nu_1\) — число молей гелия, \(\nu_2\) — число молей кислорода. Тогда \(C_V = 1{,}5R\nu_1 + 2{,}5R\nu_2\), \(C_P = 2{,}5R\nu_1 + 3{,}5R\nu_2\), и \[\frac{C_P}{C_V} = \frac{5x + 7}{3x + 5} = \frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = 1{,}5, \qquad x = \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{N_{\text{Г}}}{N_{\text{К}}} .\] Отсюда \(5x + 7 = 4{,}5x + 7{,}5\), т.е. \(x = 1\).
зад 5 Частица в плоском конденсаторе
Частица с удельным зарядом \(\gamma = q/m > 0\) движется между обкладками плоского конденсатора. Заряды обкладок конденсатора \(Q > 0\) и \(-Q\), ёмкость конденсатора \(C\), расстояние между обкладками \(d\). В некоторый момент частица движется параллельно обкладкам со скоростью \(V_0\) на расстоянии \(d/4\) от положительно заряженной обкладки.
Найдите радиус \(R\) кривизны траектории в этот момент времени.
Через некоторое время после вылета из конденсатора частица пересекает серединную плоскость конденсатора (плоскость, равноудалённую от обкладок).
С какой по величине скоростью \(V\) движется в этот момент частица?
▶ПодсказкаСкрыть
В выбранный момент скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, поэтому радиус кривизны выражается через центростремительное ускорение. Серединная плоскость — эквипотенциаль.
▶ОтветСкрыть
1) \(R = \dfrac{V_0^2\,dC}{\gamma Q}\); 2) \(V = \sqrt{V_0^2 + \dfrac{1}{2}\gamma U}\), где \(U = \dfrac{Q}{C}\).
▶РешениеСкрыть
В рассматриваемый момент скорость и ускорение частицы взаимно перпендикулярны, поэтому \(R = \dfrac{V_0^2}{a}\). Ускорение \(a = \dfrac{qE}{m} = \dfrac{\gamma U}{d}\), а \(U = \dfrac{Q}{C}\). Отсюда \(R = \dfrac{V_0^2\,dC}{\gamma Q}\).
Серединная плоскость конденсатора — поверхность нулевого потенциала. В рассматриваемый момент частица находится на расстоянии \(d/4\) от этой плоскости, и её потенциальная энергия равна \(q\dfrac{U}{4}\). По закону сохранения энергии \[\frac{mV_0^2}{2} + \frac{qU}{4} = \frac{mV^2}{2} ,\] откуда \(V = \sqrt{V_0^2 + \dfrac{1}{2}\gamma U}\).
зад 1б Школьники на карусели и велосипеде
Два школьника опытным путём изучают механику: первый сидит на краю равномерно вращающейся с круговой частотой \(\omega = 1\) с\(^{-1}\) карусели, второй едет по прямой на велосипеде (см. рис.) и оба наблюдают друг за другом. В лабораторной системе отсчёта скорости школьников одинаковы по модулю и равны \(V = 3\) м/с. Все движения происходят в одной горизонтальной плоскости. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
На сколько \(\delta\) процентов вес второго школьника меньше веса первого школьника? Указание: считайте, что \((1 + x)^n \approx 1 + nx\) при \(x \ll 1\).
В некоторый момент времени школьники оказались на прямой, проходящей через центр карусели (см. рис.), в этот момент второй школьник находится на расстоянии \(L = 9\) м от края карусели. Вектор скорости \(\vec V\) каждого школьника в этот момент показан на рисунке к задаче.
Найдите в этот момент скорость \(\vec U_1\) первого школьника в подвижной системе отсчёта \(x'O_1y'\), связанной со вторым школьником. Система отсчёта \(x'O_1y'\) движется поступательно относительно лабораторной системы \(xOy\).
Найдите в этот момент скорость \(\vec U_2\) второго школьника во вращающейся системе отсчёта \(x''O_2y''\), связанной с первым школьником. Точка \(O_2\) — начало вращающейся системы отсчёта. В ответе укажите модуль и направление вектора \(\vec U_2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Вес школьника на карусели определяется его центростремительным ускорением \(\omega^2 R\); сравните с весом на велосипеде. Скорости в разных системах отсчёта складывайте по правилу сложения скоростей, учитывая, что карусель вращается.
зад 2б Фейерверк у вершины склона
Плоская поверхность склона образует с горизонтом угол \(\alpha\) такой, что \(\sin\alpha = 0{,}8\) (см. рис.). У вершины склона разрывается фейерверк. Осколки летят во всевозможных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями. Наибольшее удаление от поверхности склона осколка, упавшего на склон, \(H = 48\) м. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.
Найдите начальную скорость \(V_0\) осколков.
Найдите модуль \(S\) перемещения за время полёта упавшего на склон осколка, наибольшее удаление которого от поверхности склона за время полёта \(H = 48\) м.
На каком максимальном расстоянии \(S_{\text{MAX}}\) от точки старта один из осколков упадёт на склон?
▶ПодсказкаСкрыть
Для осколка с наибольшим удалением от склона удобно разложить начальную скорость на составляющие перпендикулярно склону и вдоль него.
зад 3б Газ с постоянным числом ударов о стенку
В процессе сжатия одноатомного идеального газа среднее число соударений атомов газа со стенками в расчёте на единицу площади за единицу времени остаётся постоянным. Внешние силы совершают работу \(A = \dfrac{5}{27}U_0\), здесь \(U_0 = 5{,}4\) кДж — внутренняя энергия газа в начальном состоянии.
Во сколько \(m\) раз уменьшается давление газа в процессе сжатия?
Какое количество \(Q\) теплоты отведено от газа в процессе сжатия?
▶ПодсказкаСкрыть
Постоянство числа ударов в расчёте на площадь и время связывает давление газа с его температурой (через среднюю скорость молекул). Первое начало термодинамики поможет найти \(Q\).
зад 4б Шайба и обруч на наклонной плоскости
В первом опыте на шероховатую наклонную плоскость кладут шайбу, которая приходит в движение с нулевой начальной скоростью. Движение шайбы до и после соударения с гладкой стенкой, находящейся у основания наклонной плоскости, происходит вдоль одной и той же прямой. Часть зависимости модуля скорости шайбы от пройденного пути представлена на графике к задаче.
Найдите ускорение \(a\), с которым шайба движется в процессе разгона.
Во втором опыте однородный обруч скатывается с той же наклонной плоскости без проскальзывания (см. рис.). Начальная скорость нулевая. Перед абсолютно упругим соударением с гладкой стенкой центр обруча движется со скоростью \(V = 4\) м/с.
Найдите вертикальное перемещение \(H\) центра обруча за время движения от старта до столкновения с гладкой стенкой.
Через какое время \(T\) после столкновения с гладкой стенкой центр обруча будет находиться на максимальной высоте?
В системе центра масс угловое ускорение обруча при скольжении \(\left|\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\right| = \dfrac{\mu g\cos\alpha}{R}\). Коэффициенты трения скольжения шайбы и обруча по наклонной плоскости равны. Радиус обруча \(R \ll H\). Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните ускорение шайбы на наклонной плоскости с ускорением центра обруча: для обруча ускорение центра меньше из-за вращения. Вертикальное перемещение связано с пройденным по наклонной плоскости путём через угол \(\alpha\).
зад 5б Шарик у заряженной пластины
Вблизи центра квадратной пластины площадью \(S = 0{,}5\) м\(^2\), по которой однородно распределён заряд \(Q = 8 \cdot 10^{-9}\) Кл, закреплён шарик, заряд которого \(q = -3{,}54 \cdot 10^{-9}\) Кл. Масса пластины \(M = 4\) кг, масса шарика \(m = 12\) г. Расстояние \(d\) от шарика до пластины таково, что \(d \ll 0{,}7\) м.
Найдите кулоновскую силу \(F_1\), с которой заряд шарика действует на заряд пластины.
Найдите гравитационную силу \(F_2\), с которой шарик действует на пластину.
Гравитационная постоянная \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\). Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\) Кл\(^2\)/(Н\(\cdot\)м\(^2\)).
▶ПодсказкаСкрыть
Размеры пластины велики по сравнению с расстоянием до шарика, поэтому поле пластины вблизи шарика можно считать однородным; его поверхностная плотность заряда равна \(Q/S\).