Физтех, 2023/24, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Скорость аппарата относительно земли складывается из его скорости относительно воздуха и скорости ветра. Сравните продолжительность полёта по маршруту при попутном и встречном ветре.

Ответ

1) \(U = 24\) м/с;  2) \(T_1 \approx 1044\) с;  3) \(\alpha = 0\) или \(\alpha = \pi\);  4) \(T_{MAX} = 1440\) с.

Решение

1) \(U = \dfrac{S}{T_0} = 24\) м/с.

2) Геометрия абсолютных, переносной и относительных скоростей на путях «туда» и «обратно» показана на рисунке.

По закону сложения скоростей продолжительность полёта из А в Б \[T_1 = \frac{S}{\sqrt{U^2 - V^2\sin^2\alpha} - V\cos\alpha} \approx 1044~\text{с}.\]

3) Продолжительность полёта по маршруту А \(\to\) Б \(\to\) А \[T_{ABA} = 2S\,\frac{\sqrt{U^2 - V^2\sin^2\alpha}}{U^2 - V^2}\] максимальна при \(\alpha = 0\) или \(\alpha = \pi\), т.е. когда ветер направлен вдоль АБ.

4) \(T_{MAX} = \dfrac{2S}{U}\cdot\dfrac{U^2}{U^2 - V^2} = 2T_0\,\dfrac{U^2}{U^2 - V^2} = 1440\) с.

Подсказка

Треугольник скоростей в моменты \(t_1\) и \(t_2\) строится по вектору изменения скорости \(\vec g\,(t_2 - t_1)\). Полёт симметричен относительно вершины траектории.

Ответ

1) \(T = 3\) с;  2) \(H = 11{,}25\) м;  3) \(R \approx 11{,}5\) м.

Решение

Вследствие симметрии продолжительность полёта \(T = t_1 + t_2 = 3\) с.

Максимальная высота \(H = \dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{T}{2}\right)^2 = 11{,}25\) м.

Из условия следует, что равнобедренный треугольник скоростей \(\vec V(t_2) = \vec V(t_1) + \vec g\,(t_2 - t_1)\) — равносторонний. Тогда \(|\vec V(t_1)| = |\vec V(t_2)| = 10\) м/с. Горизонтальная составляющая скорости \(V_{0X} = |\vec V(t_1)|\cos\beta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,g(t_2 - t_1)\) постоянна. Дальность полёта \(L = V_{0X}T = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,g\,(t_2^2 - t_1^2) \approx 26\) м.

В момент времени \(t_1\) нормальное ускорение \(a_n = g\cos\beta = \dfrac{|\vec V(t_1)|^2}{R}\), отсюда \[R = \frac{g(t_2 - t_1)^2}{\cos\beta} \approx 11{,}5~\text{м}.\]

Подсказка

Кинематическая связь: скорость шара и скорость клина связаны через \(\tan\alpha\). Потерь энергии нет, поэтому используйте закон сохранения энергии системы.

Ответ

1) \(F = mg\tan\alpha \approx 5{,}8\) Н;  2) \(h = H\sin^2\alpha = 0{,}2\) м;  3) \(a = g\sin\alpha\cos\alpha \approx 4{,}33\) м/с\(^2\);  4) \(\alpha = 45^\circ\);  5) \(a_{MAX} = 0{,}5g = 5\) м/с\(^2\).

Решение

1) Из условия равновесия: \(N\cos\alpha = mg\), \(P = N = \dfrac{mg}{\cos\alpha}\), \(F = P\sin\alpha = mg\tan\alpha \approx 5{,}8\) Н.

2) Кинематическая связь: \(V_{\text{шара}} = V_{\text{клина}}\tan\alpha\). Введём \(V\) — скорость шара. Потерь энергии нет, приращение кинетической энергии равно убыли потенциальной: \[\frac{mV^2}{2}\left(1 + \frac{1}{\tan^2\alpha}\right) = mgH .\] Перемещение \(h\) шара после соударения до первой остановки найдём по закону сохранения энергии: \[h = \frac{H}{1 + \dfrac{1}{\tan^2\alpha}} = H\sin^2\alpha = 0{,}2~\text{м}.\]

3) Из закона сохранения энергии \(V^2 = 2\,g\sin^2\alpha\,H\) находим ускорение шара \(a_{Ш} = g\sin^2\alpha\), тогда ускорение клина \[a = \frac{a_{Ш}}{\tan\alpha} = g\sin\alpha\cos\alpha \approx 4{,}33~\text{м/с}^2 .\] Этот же результат получается из второго закона Ньютона: для клина \(m a_{КЛ} = \tilde N\sin\alpha\), для шара \(m a_{Ш} = mg - \tilde N\cos\alpha\), кинематическая связь \(a_{Ш} = a_{КЛ}\tan\alpha\).

4) \(a = g\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{g}{2}\sin 2\alpha\) максимально при \(\alpha = 45^\circ\).

5) \(a_{MAX} = \dfrac{g}{2} = 5\) м/с\(^2\).

Подсказка

Объём ртути при \(t_0\) равен \(m/\rho\). Линейная зависимость объёма от температуры задаётся двумя точками.

Ответ

1) \(V(t) = \dfrac{m}{\rho}\left(1 + (\beta - 1)\dfrac{t - t_0}{t_{100} - t_0}\right)\);  2) \(\Delta V = \dfrac{m}{\rho}(\beta - 1)\dfrac{t_2 - t_1}{t_{100} - t_0} \approx 1{,}85\cdot10^{-1}\) мм\(^3\);  3) \(S \approx 3{,}7\cdot10^{-3}\) мм\(^2\).

Решение

1) При \(t_0\) объём ртути \(V_0 = \dfrac{m}{\rho}\), при \(t_{100}\) объём \(\beta V_0\). Линейная зависимость даёт \[V(t) = \frac{m}{\rho}\left(1 + (\beta - 1)\frac{t - t_0}{t_{100} - t_0}\right).\]

2) \(\Delta V = \dfrac{m}{\rho}(\beta - 1)\dfrac{t_2 - t_1}{t_{100} - t_0} \approx 1{,}85\cdot10^{-1}\) мм\(^3\).

3) Площадь поперечного сечения капилляра \(S = \dfrac{\Delta V}{L} \approx 3{,}7\cdot10^{-3}\) мм\(^2\).

Подсказка

Резисторы \(R_1\) и \(R_2\) соединены параллельно, затем последовательно с \(R_4\); эта цепочка параллельна \(R_3\).

Ответ

1) \(R_{ЭКВ} = 5\) Ом;  2) \(P = 20\) Вт;  3) \(P_{MIN} = 0{,}8\) Вт (на резисторе \(R_2\)).

Решение

Сопротивления \(R_1 \parallel R_2\): \(R_{12} = 0{,}8r\) при \(r = 5\) Ом. Цепочка \(R_{124} = R_{12} + R_4 = 2r = 10\) Ом параллельна \(R_3 = 2r\), поэтому \[R_{ЭКВ} = \frac{R_{124}R_3}{R_{124} + R_3} = r = 5~\text{Ом}.\]

2) \(P = \dfrac{U^2}{R_{ЭКВ}} = 20\) Вт.

3) Наименьшая мощность рассеивается на резисторе \(R_2\). Напряжение на нём \(0{,}4U = 4\) В, поэтому \[P_{MIN} = \frac{(0{,}4U)^2}{4r} = 0{,}8~\text{Вт}.\]

Подсказка

В момент наименьшего расстояния вектор относительной скорости перпендикулярен отрезку, соединяющему мотоциклистов. Используйте теорему Пифагора для расстояний и относительной скорости.

Ответ

1) \(V_2 \approx 35\) м/с;  2) \(V_R = 33\) м/с.

Решение

В тот момент, когда расстояние между мотоциклистами наименьшее, вектор относительной скорости \(\vec U\), \(U = \sqrt{V_1^2 + V_2^2}\), перпендикулярен отрезку, соединяющему мотоциклистов. По теореме Пифагора \(S^2 + (UT)^2 = (2S)^2\), откуда \(U = \sqrt{3}\,\dfrac{S}{T}\).

1) \(V_2 = \sqrt{3\dfrac{S^2}{T^2} - V_1^2} \approx 35\) м/с.

2) \(V_R = U\cos 30^\circ = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{S}{T} = 33\) м/с.

Подсказка

Из уравнений \(l = V_0\tau\cos\alpha\) и \(h = V_0\sin\alpha\,\tau - \dfrac{g\tau^2}{2}\) найдите проекции начальной скорости. Осколки, летящие под разными углами, падают на горизонтальную площадку на круг радиуса \(\dfrac{V_0^2}{g}\).

Ответ

1) \(T = 4\) с;  2) \(H = 20\) м;  3) \(V_0 = 40\) м/с;  4) \(S \approx 8\cdot10^4\) м\(^2\).

Решение

По условию \(l = V_0\tau\cos\alpha\), \(h = V_0\sin\alpha\,\tau - \dfrac{g\tau^2}{2}\). Отсюда \(V_0\sin\alpha = \dfrac{h}{\tau} + \dfrac{g\tau}{2}\) и продолжительность полёта \[T = \frac{2V_0\sin\alpha}{g} = 2\left(\frac{h}{g\tau} + \frac{\tau}{2}\right) = 4~\text{с}.\]

Наибольшая высота полёта \(H = \dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{T}{2}\right)^2 = 20\) м.

Начальная скорость \(V_0 = \sqrt{\left(\dfrac{l}{\tau}\right)^2 + \left(\dfrac{h}{\tau} + \dfrac{g\tau}{2}\right)^2} \approx 40\) м/с.

Осколки падают на круг радиуса \(\dfrac{V_0^2}{g}\), поэтому \[S = \pi\left(\frac{V_0^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi}{g^2}\left[\left(\frac{l}{\tau}\right)^2 + \left(\frac{h}{\tau} + \frac{g\tau}{2}\right)^2\right]^2 \approx 8\cdot10^4~\text{м}^2 .\]

Подсказка

Кинематическая связь: скорость стержня и скорость клина связаны через \(\tan\alpha\). Потерь энергии нет.

Ответ

1) \(F = mg\tan\alpha \approx 2{,}9\) Н;  2) \(h = H\sin^2\alpha = 0{,}15\) м;  3) \(a = g\sin\alpha\cos\alpha \approx 4{,}33\) м/с\(^2\);  4) \(\alpha = 45^\circ\);  5) \(a_{MAX} = 0{,}5g = 5\) м/с\(^2\).

Решение

1) \(N\cos\alpha = mg\), \(P = N = \dfrac{mg}{\cos\alpha}\), \(F = P\sin\alpha = mg\tan\alpha \approx 2{,}9\) Н.

2) Кинематическая связь \(V_{\text{ст}} = V_{\text{кл}}\tan\alpha\). Потерь энергии нет: \(\dfrac{mV^2}{2}\left(1 + \dfrac{1}{\tan^2\alpha}\right) = mgH\). Перемещение стержня после соударения до первой остановки найдём по закону сохранения энергии \(mgh = \dfrac{mV^2}{2}\), откуда \[h = \frac{H}{1 + \dfrac{1}{\tan^2\alpha}} = H\sin^2\alpha = 0{,}15~\text{м}.\]

3) Из закона сохранения энергии \(V^2 = 2\,g\sin^2\alpha\,H\) находим ускорение стержня \(a_{\text{ст}} = g\sin^2\alpha\), тогда ускорение клина \[a = a_{\text{кл}} = \frac{a_{\text{ст}}}{\tan\alpha} = g\sin\alpha\cos\alpha \approx 4{,}33~\text{м/с}^2 .\] Этот результат получается и из второго закона Ньютона: для клина \(m a_{\text{кл}} = \tilde N\sin\alpha\), для стержня \(m a_{\text{ст}} = mg - \tilde N\cos\alpha\), кинематическая связь \(a_{\text{ст}} = a_{\text{кл}}\tan\alpha\).

4) \(a = g\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{g}{2}\sin 2\alpha\) максимально при \(\alpha = 45^\circ\).

5) \(a_{MAX} = \dfrac{g}{2} = 5\) м/с\(^2\).

Подсказка

Дуга \(5000\) стадиев соответствует \(7^\circ 12'\); полная окружность Земли в 50 раз больше. Полёт до полюса соответствует дуге в \(90^\circ - 56^\circ\).

Ответ

1) \(R \approx 6264\) км;  2) \(T \approx 4{,}1\) ч;  3) \(F = 20\) кН.

Решение

1) Длина дуги Александрия — Сиена \(787{,}5\) км, длина окружности в 50 раз больше: \(L = 2\pi R = 39375\) км. Отсюда \(R = 6264\) км. (Примечание: ныне Сиена — это город Асуан.)

2) Длина дуги большого круга Шереметьево — Северный полюс \(L_1 = \dfrac{34}{360}L \approx 3720\) км. Продолжительность полёта \(T = \dfrac{L_1}{V} \approx 4{,}1\) ч.

3) КПД: \(\eta = \dfrac{FV}{m_1 q}\), где \(m_1\) — расход в секунду. Отсюда \[F = \frac{\eta\, m_1 q}{V} = \frac{0{,}2\cdot\frac{2000}{3600}\cdot 45\cdot10^6}{250} = 2\cdot10^4~\text{Н} = 20~\text{кН}.\]

Подсказка

Сопротивление резистора равно отношению напряжения к току на его вольт-амперной характеристике. При параллельном соединении складываются обратные сопротивления.

Ответ

1) \(R_1 = 25\) Ом, \(R_2 = 50\) Ом;  2) \(P = 150\) Вт.

Решение

1) По графикам \(R_1 = 25\) Ом, \(R_2 = 50\) Ом.

2) При параллельном соединении \(R_{ЭКВ} = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{50}{3}\) Ом, поэтому \(P = \dfrac{U^2}{R_{ЭКВ}} = 150\) Вт.