Физтех, 2024/25, отборочный этап, 9 класс

Средняя скорость на участке — весь путь, делённый на всё время. Выразите время спуска и подъёма в пещере через длину тропы и скорость спуска.

Обозначения: \(V\) — средняя скорость на спуске, \(n\) — во сколько раз скорость на подъёме меньше, \(L\) — длина тропы в пещере (спуск и подъём одной длины), \(S\) — расстояние до входа в пещеру. Средняя скорость в пещере \[\langle V\rangle = \frac{2L}{\dfrac{L}{V} + \dfrac{Ln}{V}} = \frac{2}{n+1}\,V.\] Искомое время перехода от старта к пещере \[T = \frac{S}{\langle V\rangle} = \frac{n+1}{2}\,\frac{S}{V}.\]

Все точки цепи в системе велосипеда движутся с одинаковой по модулю скоростью, значит, угловые скорости шестеренок обратно пропорциональны их радиусам.

В системе отсчёта, связанной с велосипедом, все точки цепи движутся с одинаковой по модулю скоростью \(\omega_{\text{вед}} R_{\text{вед}} = \omega_{\text{задн}} R_{\text{задн}}\), отсюда \[\omega_{\text{задн}} = k\,\omega_{\text{вед}} = k\,\frac{2\pi n}{T},\] где \(k = \dfrac{R_{\text{вед}}}{R_{\text{задн}}} = 3\), \(n = 60\) оборотов педалей за время \(T = 60\) с.

При качении без проскальзывания скорость велосипедиста в лабораторной системе отсчёта равна скорости точек на поверхности покрышки в системе, связанной с велосипедом: \[V = \omega_{\text{задн}}\,\frac{D}{2} = k\,\frac{\pi n}{T}\,D.\]

Найдите среднюю плотность грузика. Если она меньше плотности воды, грузик плавает, и подъём уровня определяется объёмом вытесненной воды.

Пусть \(M\) — масса воды, \(H\) — начальный уровень воды, \(\rho\) — её плотность. Площадь дна \(S = \dfrac{M}{\rho H}\). Масса грузика \(m = \dfrac{M}{n}\), \(n = 8\). Отношение средней плотности грузика к плотности воды \[\alpha = \frac{\langle\rho\rangle}{\rho} = \frac{q}{100\%}\cdot 2{,}7 + \frac{100\% - 20\% - q}{100\%}\cdot 0{,}8,\] где \(q = 10\%\) (доля металла); \(\alpha = 0{,}83 < 1\), грузик плавает. Тогда \(mg = \rho V_{\text{погр}} g\), \(V_{\text{погр}} = \dfrac{m}{\rho} = \Delta H\cdot S\), откуда \[\Delta H = H\,\frac{m}{M} = \frac{H}{n}.\]

Стержень в покое: \(3T = (m_1 + m_2)\,g\), где \(T\) — натяжение нити у верхнего блока (см. рисунок решения). Уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку \(B\) перпендикулярно плоскости чертежа: \[m_1 g a + T b = m_2 g (b + c).\] Отсюда \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{\dfrac{3c}{b} + 2}{\dfrac{3a}{b} + 1}.\]

За один оборот ручки работа приложенной силы идёт на подъём груза на ход винта.

Будем медленно поворачивать ручку на один оборот, прикладывая минимальную силу, сонаправленную на каждом элементарном перемещении рукоятки с этим перемещением. По закону сохранения энергии \(F\cdot 2\pi r = mgh\), где \(r\) — радиус ручки, \(h\) — перемещение винта за один оборот. Отсюда \[F = \frac{mgh}{2\pi r}.\]

По графику удельная теплоёмкость образца зависит от температуры по закону \[c(t) = 2000 + 20\,t,\] где \(t\) — в градусах Цельсия. Закон сохранения энергии в тепловых процессах для образца массой \(M\) (начальная температура \(t_1\)), жидкости массой \(m_{\text{ж}}\) (начальная температура \(t_2\)) и равновесной температуры \(t_3\): \[M\,\frac{c(t_1) + c(t_3)}{2}\,(t_3 - t_1) = m_{\text{ж}}\,c_{\text{ж}}\,(t_2 - t_3).\] Подстановка \(t_1 = 10\,^\circ\)C, \(t_2 = 78\,^\circ\)C, \(m_{\text{ж}} = 3M\), \(c_{\text{ж}} = 2{,}5\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C) приводит к квадратному уравнению \[t_3^2 + 950\,t_3 - 60600 = 0,\] положительный корень которого является ответом.

После соприкосновения заряды шариков одинаковы. Сравните силы до и после.

Из закона сохранения электрического заряда и симметрии (шарики одинаковые) следует, что в результате соприкосновения заряды шариков одинаковы и равны \(\dfrac{Q_1+Q_2}{2}\). Тогда отношение сил \[\frac{F_2}{F_1} = n = \frac{(Q_1+Q_2)^2}{4\,|Q_1|\,|Q_2|},\] отсюда приходим к квадратному уравнению \[\left(\frac{Q_1}{Q_2}\right)^2 - 2(2n-1)\,\frac{Q_1}{Q_2} + 1 = 0,\] искомый корень \[\frac{Q_1}{Q_2} = (2n-1) + 2\sqrt{n^2 - n}.\] При \(n = 2\) получаем \(\dfrac{Q_1}{Q_2} = 3 + 2\sqrt{2} \approx 5{,}8\).

В первом опыте напряжение сети равно пределу измерения одного из вольтметров. Во втором опыте напряжение делится между вольтметрами.

Обозначим \(\delta = 0{,}81\). Во втором случае на \(\delta\) от предельного значения шкалы отклоняется стрелка того вольтметра, показание которого в первом опыте совпало с пределом измерения. Отсюда напряжение на этом вольтметре составляет долю \(\delta\) от напряжения источника. Тогда на другом вольтметре напряжение равно \((1-\delta)\) от напряжения источника. Поэтому стрелка этого вольтметра отклоняется на долю \((1-\delta)\) от отклонения в первом случае, т. е. на \((1-\delta)\,\delta\) шкалы.

Скорость в момент \(2{,}5\) с направлена вниз (по \(\vec g\)). Найдите начальную скорость и момент остановки стрелы в верхней точке.

Направим ось вверх. При равнопеременном движении \(V(t_1) = V_0 - g t_1\), где \(V(t_1) = -5\) м/с (скорость направлена вдоль \(\vec g\), то есть вниз), отсюда \(V_0 = g t_1 + V(t_1) = gt_1 - 5\). Путь, пройденный стрелой до момента \(T\): \[S = \frac{V_0^2}{2g} + \frac{g}{2}\left(T - \frac{V_0}{g}\right)^2.\]

Равнозамедленное движение до остановки можно рассматривать с конца, как равноускоренное из состояния покоя: путь за последние \(t\) секунд пропорционален \(t^2\).

Пусть \(a\) — модуль ускорения при торможении, \(T\) — время торможения. Рассматривая движение с конца как равноускоренное из состояния покоя, получаем путь за последние \(t\) секунд, равный \(\dfrac{a t^2}{2}\). Тогда путь за предпоследнюю секунду \[\frac{a}{2}\left(2^2 - 1^2\right) = \frac{3a}{2} = 2{,}4~\text{м}, \qquad a = 1{,}6~\text{м/с}^2.\] Полный путь до остановки \(S = \dfrac{V_0^2}{2a}\), откуда \[V_0 = \sqrt{2aS}.\]

Средняя скорость на реке — весь путь туда и обратно, делённый на всё время. Путь туда и обратно одинаковый, поэтому время складывается из двух отрезков.

Средняя скорость при движении по реке (путь \(L\) в одну сторону): \[\langle V\rangle = \frac{2L}{\dfrac{L}{V} + \dfrac{L}{V + \Delta V}} = \frac{V + \Delta V}{V + \dfrac{\Delta V}{2}}\,V.\] Искомое время по озеру \(T = \dfrac{S}{m\langle V\rangle}\), то есть \[T = \frac{1}{m}\,\frac{V + \dfrac{\Delta V}{2}}{V + \Delta V}\,\frac{S}{V}.\]

В системе самолёта конец винта движется по окружности радиуса \(D/2\). Сложите скорость самолёта со скоростью конца винта в этой системе.

В поступательно движущейся системе отсчёта, связанной с самолётом, концевая точка винта движется со скоростью \(U = 2\pi n R = \pi n D\) (здесь \(n\) — в об/с). По закону сложения скоростей скорость этой точки в лабораторной системе \[V_K = \sqrt{V^2 + U^2} = \sqrt{V^2 + (\pi n D)^2}.\] Искомый путь \[S = V_K\,T = \sqrt{V^2 + (\pi n D)^2}\cdot T.\]

Массовая доля связывает массы реактивов, а объёмы связаны с учётом сжатия при смешивании \(Y\).

Пусть \(\alpha = \dfrac{X}{100\%}\). По условию \[\frac{X}{100\%} = \frac{m_1}{m_1 + m_2} = \alpha, \qquad \frac{m_1}{m_2} = \frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{\rho_1 V_1}{\rho_2 V_2},\] откуда \(V_2 = \dfrac{1-\alpha}{\alpha}\,\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\,V_1\). Суммарный объём реактивов до смешивания \(V_1 + V_2 = \dfrac{100\%}{Y}\,V\), тогда \[V_1\left(1 + \frac{1-\alpha}{\alpha}\,\frac{\rho_1}{\rho_2}\right) = \frac{100\%}{Y}\,V,\] и окончательно \[m_1 = \rho_1 V_1 = \frac{\dfrac{100\%}{Y}\,\rho_1 V}{1 + \dfrac{1-\alpha}{\alpha}\,\dfrac{\rho_1}{\rho_2}}.\]

Силы, действующие на стержень: горизонтальная сила \(N\) от стенки в точке \(A\), сила тяжести \(Mg\) в середине стержня и сила \(R\) со стороны шарнира. Стержень покоится, тогда из равенства нулю суммы сил \(N = R\cos\varphi\), \(Mg = R\sin\varphi\). Уравнение моментов относительно оси, проходящей через шарнир перпендикулярно плоскости чертежа: \[N L\cos\alpha = Mg\,\frac{L}{2}\sin\alpha,\] где \(L\) — длина стержня. Отсюда \(N = \dfrac{Mg}{2}\,\text{tg}\,\alpha\), и \[R = \sqrt{N^2 + (Mg)^2} = \sqrt{1 + \left(0{,}5\,\text{tg}\,\alpha\right)^2}\;Mg.\]

На шестерёнке 12 зубьев. Поворот рукоятки на один оборот приводит к подъёму груза на \(\dfrac{2\pi R}{12}\). По закону сохранения энергии \[F\cdot 2\pi r = mg\,\frac{2\pi R}{12},\] отсюда \[F = \frac{mg}{12\,\dfrac{r}{R}}.\]

По графику мощность тепловых потерь \[P(t) = 100 + \frac{300 - 100}{400}\,t = 100 + 0{,}5\,t~\text{Вт}.\] За любой промежуток времени от \(t\) до \(t + \Delta t\) в окружающую среду уходит количество теплоты \(\Delta Q = P\,\Delta t\), поэтому за время от \(0\) до \(t\) уходит количество теплоты, численно равное площади под графиком: \[Q(t) = \frac{100 + 100 + 0{,}5\,t}{2}\,t = \left(100 + 0{,}25\,t\right)t.\] Закон сохранения энергии в тепловых процессах: \[P_{\text{нагр}}\,T = C\,\Delta T + \left(100 + 0{,}25\,T\right)T.\] После подстановки численных значений получаем квадратное уравнение \[T^2 - 4\left(P_{\text{нагр}} - 100\right)T + 4\,C\,\Delta T = 0,\] один из корней которого является ответом. Меньший корень соответствует первому моменту, когда температура выросла на \(\Delta T\).

Число атомов в шарике равно \(\dfrac{m}{M}N_A\). Каждый атом отдаёт или получает один электрон, поэтому модуль заряда шарика равен \(\dfrac{m}{M}N_A e\).

Модули зарядов шариков одинаковы: \[|q_1| = |q_2| = \frac{m}{M}\,N_A\,e.\] Сила электрического взаимодействия \[F = 9\cdot10^9\cdot\frac{|q_1|\,|q_2|}{r^2} = \frac{9\cdot10^9}{r^2}\left(\frac{m}{M}N_A e\right)^2.\] Сила тяжести куба воды с ребром \(L\) равна \(F = \rho L^3 g\), откуда \[L = \sqrt[3]{\frac{F}{\rho g}}.\]

Из равенства напряжений на параллельно соединённых резисторах следует \(I_2 = 2I_1\), где \(I_1\) — меньшее показание амперметра (в ветви с \(2R\)), \(I_2\) — в ветви с \(R\). В неразветвлённой части цепи сила тока \(I = I_1 + I_2 = 3I_1\); в этой части цепи резисторы \(R\) и \(2R\) можно поменять местами. Эквивалентное сопротивление цепи \[R_{\text{экв}} = R + 2R + \frac{2}{3}R = \frac{11}{3}R.\] Мощность в цепи \[P = I^2 R_{\text{экв}} = 9I_1^2\cdot\frac{11}{3}R = 33\,I_1^2 R.\]

Длина вагона одна и та же: запишите её через путь за время \(t_1\) и через путь за время \(t_2\) при равноускоренном движении.

Введём обозначения: \(a\) — ускорение поезда, \(T\) — искомое время. К моменту начала наблюдения поезд движется со скоростью \(aT\). Длину вагона \(L\) можно представить в виде \[aT\,t_1 + \frac{a t_1^2}{2} = a(T + t_1)\,t_2 + \frac{a t_2^2}{2}.\] Отсюда \[T = \frac{t_2^2 + 2t_1 t_2 - t_1^2}{2\,(t_1 - t_2)}.\]

Разложите начальную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие и запишите перемещения за время полёта по каждой оси.

Перемещения мяча за время полёта: горизонтальное \(L = V_0\cos\alpha\,T\), вертикальное \(H = 0{,}5\,gT^2 - V_0\sin\alpha\,T\). Отсюда \[V_0\cos\alpha = \frac{L}{T},\qquad V_0\sin\alpha = \frac{1}{T}\left(0{,}5\,gT^2 - H\right),\] и \[V_0 = \frac{1}{T}\sqrt{\left(0{,}5\,gT^2 - H\right)^2 + L^2}.\]