зад 1 Шайба со скоростью $V_0(1-t/T)$
Шайба массой \(m = 0{,}2\) кг движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскости. Скорость шайбы изменяется со временем по закону \(\vec V(t) = \vec V_0\left(1 - \dfrac{t}{T}\right)\), здесь \(\vec V_0\) — вектор начальной скорости, модуль начальной скорости \(V_0 = 4\) м/с, постоянная \(T = 2\) с.
Найдите путь \(S\), пройденный шайбой за время от \(t = 0\) до \(t = 4T\).
Найдите модуль \(F\) горизонтальной силы, действующей на шайбу.
Найдите работу \(A\) силы \(F\) за время от \(t = 0\) до \(t = T\).
▶ПодсказкаСкрыть
До остановки скорость меняется линейно, после остановки движение равноускоренное. Путь за равные промежутки времени при равноускоренном движении из состояния покоя относится как \(1:3:5:\dots\). Сила найдите из второго закона Ньютона: ускорение постоянно.
▶ОтветСкрыть
1) \(S = 40~\text{м}\); 2) \(F = 0{,}4~\text{Н}\); 3) \(A = -1{,}6~\text{Дж}\).
▶РешениеСкрыть
Путь до остановки \(\dfrac{V_0T}{2}\), после остановки перемещения за последовательные равные промежутки времени относятся как нечётные числа натурального ряда.
1. \(S = \dfrac{V_0T}{2}\,(1 + 1 + 3 + 5) = 5V_0T = 40\) м.
2. По второму закону Ньютона \(\vec F = m\vec a = m\dfrac{\Delta\vec V(t)}{\Delta t} = -m\dfrac{\vec V_0}{T}\), по модулю \[F = \frac{mV_0}{T} = 0{,}2\cdot\frac42 = 0{,}4~\text{Н}.\]
3. По теореме об изменении кинетической энергии \[A = \frac{mV^2(T)}{2} - \frac{mV_0^2}{2} = 0 - 0{,}2\cdot\frac{4^2}{2} = -1{,}6~\text{Дж}.\]
зад 2 Удар футболиста по мячу
Футболист наносит удар по мячу, лежащему на горизонтальной площадке. Через \(T = 4\) с мяч падает на площадку. Известно, что отношение максимальной и минимальной скоростей мяча в процессе полёта \(\dfrac{V_{MAX}}{V_{MIN}} = n = 2\). Ускорение свободного падения \(g = 10~\text{м/с}^2\). Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.
Найдите максимальную высоту \(H\) полёта.
Найдите горизонтальную дальность \(S\) полёта.
Найдите радиус \(R\) кривизны начального участка траектории.
▶ПодсказкаСкрыть
Максимальная скорость мяча равна начальной \(V_0\), минимальная — горизонтальной составляющей \(V_0\cos\alpha\) в верхней точке. Время полёта даёт \(V_0\sin\alpha\).
▶ОтветСкрыть
1) \(H = 20~\text{м}\); 2) \(S \approx 46~\text{м}\); 3) \(R \approx 107~\text{м}\).
▶РешениеСкрыть
1. Время подъёма равно половине времени полёта, поэтому \(H = \dfrac{g(0{,}5T)^2}{2} = \dfrac{gT^2}{8} = 20\) м.
Далее \(V_0\sin\alpha = \dfrac{gT}{2}\), а из отношения скоростей \(\dfrac{V_{MAX}}{V_{MIN}} = \dfrac{V_0}{V_0\cos\alpha} = n\) получаем \(\cos\alpha = \dfrac1n\), \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{n^2-1}}{n}\).
2. Горизонтальная дальность полёта \[S = \frac{2V_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \frac{gT^2}{2\sqrt{n^2-1}} \approx 46~\text{м}.\]
3. Радиус кривизны начального участка найдём из \(R = \dfrac{V_0^2}{a_n}\), где нормальное ускорение \(a_n = g\cos\alpha\) в начальной точке: \[R = \frac{V_0^2}{g\cos\alpha} = \frac{n^3}{4(n^2-1)}\,gT^2 \approx 107~\text{м}.\]
зад 3 Шайба на покоящемся клине
На шероховатой горизонтальной плоскости стоит клин. Шайбу кладут на шероховатую наклонную плоскость клина и сообщают шайбе начальную скорость. Шайба движется по покоящемуся клину. Часть зависимости модуля скорости шайбы от времени представлена на графике к задаче. Поступательное движение шайбы до и после остановки происходит по одной и той же прямой. Масса шайбы \(m = 0{,}2\) кг, масса клина \(2m\). Ускорение свободного падения \(g = 10~\text{м/с}^2\).
Найдите \(\sin\alpha\), здесь \(\alpha\) — угол, который наклонная плоскость клина образует с горизонтом.
Найдите модуль \(F_{ТР}\) наибольшей силы трения, с которой горизонтальная плоскость действует на клин в процессе движения шайбы по клину при \(0 < t < 0{,}3\) с.
При каких значениях коэффициента \(\mu\) трения скольжения клина по горизонтальной плоскости клин будет находиться в покое при \(0 < t < 0{,}3\) с?
▶ПодсказкаСкрыть
По графику найдите модули ускорений шайбы при движении вверх и вниз по клину. Пока клин покоится (это проверяется в пункте 3), сумму внешних сил на систему «клин и шайба» запишите через ускорение шайбы.
▶ОтветСкрыть
1) \(\sin\alpha = 0{,}6\); 2) \(F_{ТР} = 1{,}28~\text{Н}\); 3) \(\mu \geq 0{,}25\).
▶РешениеСкрыть
По графику модуль ускорения при подъёме \(a_1 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) = 8~\text{м/с}^2\), при спуске \(a_2 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) = 4~\text{м/с}^2\).
1. \(\sin\alpha = \dfrac{a_1 + a_2}{2g} = 0{,}6\), отсюда \(\cos\alpha = 0{,}8\).
Для системы тел, взаимодействующих по третьему закону Ньютона, сумма произведений масс на ускорения равна сумме внешних сил. Считаем клин покоящимся (условие этого проверено в пункте 3), тогда при движении шайбы по клину \[m\vec a_1 + 2m\cdot\vec 0 = m\vec g + 2m\vec g + \vec N + \vec F_{ТР}.\]
2. Проекция на горизонталь: \(F_{ТР} = ma_1\cos\alpha = 0{,}2\cdot 8\cdot 0{,}8 = 1{,}28\) Н (учтено, что \(a_1 > a_2\)).
3. Проекция на вертикаль: \(N = 3mg - ma_1\sin\alpha\). Условие покоя клина \(F_{ТР} \le \mu N\): \[\mu \geq \frac{F_{ТР}}{N} = \frac{a_1\cos\alpha}{3g - a_1\sin\alpha} \approx 0{,}25.\]
зад 4 Три резистора, амперметр, вольтметр
В электрической цепи (см. схему на рисунке) сопротивления трёх резисторов одинаковы и равны \(R = 100\) Ом. Цепь подключена к источнику постоянного напряжения \(U = 30\) В. Сопротивление амперметра пренебрежимо мало по сравнению с \(R\), сопротивление вольтметра очень велико по сравнению с \(R\).
Найдите силу тока \(I\), текущего через источник.
Найдите показание \(U_В\) вольтметра.
Какая мощность \(P\) рассеивается в цепи?
▶ПодсказкаСкрыть
Идеальный амперметр — перемычка, идеальный вольтметр — разрыв цепи. Определите, какие резисторы соединены параллельно, и найдите эквивалентное сопротивление.
▶ОтветСкрыть
1) \(I = 0{,}2~\text{А}\); 2) \(U_В = 20~\text{В}\); 3) \(P = 6~\text{Вт}\).
▶РешениеСкрыть
По условию приборы идеальные: ток через вольтметр и напряжение на амперметре пренебрежимо малы. Тогда два правых резистора соединены параллельно, а эта группа — последовательно с левым резистором. Эквивалентное сопротивление \(R_{экв} = R + \dfrac R2 = 1{,}5R\).
1. \(I = \dfrac{U}{1{,}5R} = 0{,}2\) А.
2. \(U_В = RI = \dfrac{2U}{3} = 20\) В.
3. Мощность, рассеиваемая в цепи, равна мощности сил в источнике: \(P = UI = 6\) Вт.
зад 5 Лёд в калориметре с водой
В калориметр, содержащий воду при температуре \(t_1 = 10\,^\circ\text{C}\), помещают лёд. Масса льда равна массе воды. После установления теплового равновесия отношение массы льда к массе воды \(n = \dfrac97\).
Найдите долю \(\delta\) массы воды, превратившейся в лёд.
Найдите начальную температуру \(t_2\) льда.
В теплообмене участвуют только лёд и вода. Удельная теплоёмкость льда \(c_Л = 2{,}1\cdot10^3~\text{Дж/(кг·}^\circ\text{C)}\), удельная теплоёмкость воды \(c_В = 4{,}2\cdot10^3~\text{Дж/(кг·}^\circ\text{C)}\), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 3{,}36\cdot10^5~\text{Дж/кг}\), температура плавления льда \(t_0 = 0\,^\circ\text{C}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Пусть \(\Delta m\) — масса воды, превратившейся в лёд. Масса льда после теплообмена равна \(m + \Delta m\), масса воды — \(m - \Delta m\). Составьте уравнение теплового баланса.
▶ОтветСкрыть
1) \(\delta = \dfrac18 = 0{,}125\); 2) \(t_2 = -40\,^\circ\text{C}\).
▶РешениеСкрыть
По условию \(n = \dfrac{m + \Delta m}{m - \Delta m}\), где \(\Delta m\) — масса воды, превратившейся в лёд.
1. \(\delta = \dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{n-1}{n+1} = \dfrac18 = 0{,}125\).
2. Закон сохранения энергии в тепловых процессах: \[mc_Л(t_0 - t_2) = mc_В(t_1 - t_0) + \Delta m\,\lambda,\] откуда \[t_2 = t_0 - \frac{c_В}{c_Л}(t_1 - t_0) - \delta\,\frac{\lambda}{c_Л} = -40\,^\circ\text{C}.\]
зад 1б Два автомобиля обгоняют друг друга
Два автомобиля движутся равноускоренно в положительном направлении оси \(OX\). В момент времени \(t = 0\) первый автомобиль обгоняет второй. В этот момент в системе отсчёта, связанной со вторым автомобилем, первый движется со скоростью \(U = 12\) м/с. Через \(T = 6\) с второй автомобиль догоняет первый.
Найдите максимальное расстояние \(L_{MAX}\) между автомобилями при \(0 < t < T\).
Найдите расстояние \(S\) между автомобилями в момент времени \(t = 1{,}5\,T\).
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта второго автомобиля. Там движение первого равнопеременное, и максимальное расстояние достигается, когда относительная скорость обращается в ноль.
▶ОтветСкрыть
1) \(L_{MAX} = 18~\text{м}\); 2) \(S = 54~\text{м}\).
▶РешениеСкрыть
В системе отсчёта, связанной со вторым автомобилем, движение первого равнопеременное. Первый автомобиль находится на максимальном расстоянии от второго в момент времени \(t = \dfrac T2\).
1. \(L_{MAX} = \dfrac12\,U\,\dfrac T2 = 18\) м.
2. После остановки перемещения за равные промежутки времени относятся как нечётные числа натурального ряда, поэтому за промежуток от \(T\) до \(1{,}5T\) относительное перемещение втрое больше, чем \(L_{MAX}\): \(S = 3L_{MAX} = 54\) м.
зад 2б Мяч, брошенный вверх по склону
На плоском склоне бросают мяч вверх по склону. Точка старта находится на поверхности склона. Вектор скорости мяча перед соударением со склоном направлен горизонтально. Вертикальное перемещение мяча за время полёта \(H = 5\) м. Плоский склон образует с горизонтальной плоскостью угол \(\beta\) такой, что \(\mathrm{tg}\,\beta = 0{,}75\). Ускорение свободного падения \(g = 10~\text{м/с}^2\). Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.
Под каким углом \(\alpha\) к горизонту брошен мяч? В ответе укажите \(\mathrm{tg}\,\alpha\) или \(\cos\alpha\).
Найдите модуль \(V_0\) начальной скорости мяча.
Найдите радиус \(R\) кривизны траектории мяча в тот момент, когда мяч находится на максимальном удалении от поверхности склона.
▶ПодсказкаСкрыть
В верхней точке траектории вертикальная скорость равна нулю, а горизонтальная постоянна. Скорость, параллельная склону, в момент максимального удаления от склона связана с горизонтальной составляющей через угол \(\beta\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\mathrm{tg}\,\alpha = 1{,}5\); 2) \(V_0 = 12~\text{м/с}\); 3) \(R \approx 8{,}7~\text{м}\).
▶РешениеСкрыть
1. Мяч ударяет о склон в вершине траектории, поэтому его перемещение по горизонтали \(x = \dfrac{V_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}\), а высота над стартом \(H = \dfrac{(V_0\sin\alpha)^2}{2g}\). Отношение \(\dfrac Hx = \dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha}{2} = \mathrm{tg}\,\beta\), откуда \(\mathrm{tg}\,\alpha = 2\,\mathrm{tg}\,\beta = 1{,}5\), \(\sin\alpha \approx 0{,}83\), \(\cos\alpha \approx 0{,}55\).
2. Из \(H = \dfrac{(V_0\sin\alpha)^2}{2g}\) получаем \(V_0 = \dfrac{\sqrt{2gH}}{\sin\alpha} \approx 12\) м/с.
3. В точке максимального удаления от склона скорость параллельна склону: \(V = \dfrac{V_0\cos\alpha}{\cos\beta} = \dfrac{\sqrt{2gH}}{\mathrm{tg}\,\alpha\cos\beta}\). Нормальное ускорение \(a_n = g\cos\beta\), поэтому \[R = \frac{V^2}{a_n} = \frac{2gH}{g\cos\beta\,\mathrm{tg}^2\alpha\cos^2\beta} = \frac{H}{2\sin^2\beta\cos\beta} \approx 8{,}7~\text{м}.\]
зад 3б Шайба отскакивает от стенки на клине
На шероховатой горизонтальной плоскости стоит клин. Шайбу кладут на шероховатую наклонную плоскость клина и сообщают шайбе начальную скорость. Шайба движется вниз по покоящемуся клину, упруго сталкивается со стенкой, перпендикулярной наклонной плоскости клина, и после соударения движется вверх по покоящемуся клину. Поступательное движение шайбы по клину до и после соударения происходит по одной и той же прямой. Часть зависимости модуля скорости шайбы от времени представлена на графике к задаче. Масса шайбы \(m = 0{,}5\) кг, масса клина \(2m\). Ускорение свободного падения \(g = 10~\text{м/с}^2\).
Найдите \(\sin\alpha\), здесь \(\alpha\) — угол, который наклонная плоскость клина образует с горизонтом.
Найдите модуль \(F_{ТР}\) силы трения, с которой горизонтальная плоскость действует на клин в процессе движения шайбы по клину при \(t > 0{,}2\) с до остановки.
При каких значениях коэффициента \(\mu\) трения скольжения клина по горизонтальной плоскости клин будет находиться в покое при \(t > 0{,}2\) с?
▶ПодсказкаСкрыть
По графику найдите модули ускорений шайбы при движении вниз и вверх по клину. Запишите сумму внешних сил на систему «клин и шайба» через ускорение шайбы, считая клин покоящимся (это проверяется в пункте 3).
▶ОтветСкрыть
1) \(\sin\alpha = 0{,}3\); 2) \(F_{ТР} \approx 1{,}9~\text{Н}\); 3) \(\mu \geq 0{,}13\).
▶РешениеСкрыть
По графику модуль ускорения шайбы при движении вниз \(a_1 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) = 2~\text{м/с}^2\), при движении вверх \(a_2 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) = 4~\text{м/с}^2\).
1. \(\sin\alpha = \dfrac{a_1 + a_2}{2g} = 0{,}3\), \(\cos\alpha \approx 0{,}95\).
2. При движении шайбы вверх по клину при \(t > 0{,}2\) с, считая клин покоящимся (проверяется в пункте 3) запишем \(m\vec a_2 + 2m\cdot\vec 0 = m\vec g + 2m\vec g + \vec N + \vec F_{ТР}\). Проекция на горизонталь даёт \(F_{ТР} = ma_2\cos\alpha = 0{,}5\cdot4\cdot0{,}95 \approx 1{,}9\) Н.
3. Проекция на вертикаль: \(N = 3mg - ma_2\sin\alpha\). Условие покоя клина \(F_{ТР} \le \mu N\): \[\mu \geq \frac{F_{ТР}}{N} = \frac{a_2\cos\alpha}{3g - a_2\sin\alpha} \approx 0{,}13.\]
зад 4б Нагреватель для размораживания трубы
Для размораживания водопроводной трубы, в которой замёрзла вода, применили электрический нагреватель, подключённый к сети постоянного тока \(I = 10\) А. За время \(\tau = 250\) с нагреватель растапливает \(m = 1\) кг льда, температура которого \(t_0 = 0\,^\circ\text{C}\). Электрическая схема нагревателя представлена на рисунке. Сопротивление обмотки \(R = 90\) Ом, длина обмотки \(L = 30\) см.
Найдите сопротивление \(R_1\) нагревателя. КПД нагревателя \(\eta = 66{,}8\%\). Удельная теплота плавления льда \(\lambda = 3{,}34\cdot10^5~\text{Дж/кг}\).
На каком наименьшем расстоянии \(x\) от левого края обмотки находится подвижный контакт в процессе размораживания? Перемещая подвижный контакт, находят такое его положение, при котором мощность тепловыделения на нагревателе становится максимальной.
Найдите эту максимальную мощность \(P_{MAX}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Нагреватель — две параллельные ветви обмотки: от контакта до левого края и от контакта до правого. Сопротивление такого соединения зависит от положения контакта, и его максимум соответствует середине обмотки.
▶ОтветСкрыть
1) \(R_1 = 20~\text{Ом}\); 2) \(x = 10~\text{см}\); 3) \(P_{MAX} = 2250~\text{Вт}\).
▶РешениеСкрыть
1. По условию \(\eta I^2R_1\tau = m\lambda\), откуда \(R_1 = \dfrac{m\lambda}{\eta I^2\tau} = 20\) Ом.
Эквивалентная схема (см. рис.): \(R_x\) — сопротивление обмотки от левого края до подвижного контакта, \(R - R_x\) — сопротивление остальной части. Сопротивление между \(A\) и \(B\) \[R_1 = \frac{R_x(R - R_x)}{R}.\]
С учётом \(R_x = \dfrac{xR}{L}\) получаем \(\dfrac{R_1}{R} = \dfrac{x}{L}\left(1 - \dfrac{x}{L}\right)\), то есть \(\left(\dfrac xL\right)^2 - \dfrac xL + \dfrac{R_1}{R} = 0\).
2. Наименьший корень: \(x = \dfrac L2\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{4R_1}{R}}\right) = 10\) см.
3. Сопротивление \(R_1\) максимально при \(R_x = R - R_x = \dfrac R2\), то есть при контакте в середине обмотки, и равно \(\dfrac R4\). При постоянном токе \[P_{MAX} = I^2\,\frac R4 = 2250~\text{Вт}.\]
зад 5б Спутник и широты приёма
Искусственный спутник Земли запущен с экваториального космодрома и движется по окружности в плоскости земного экватора. Приём электромагнитных волн со спутника возможен на той части земной поверхности, которая лежит на широтах от \(\varphi = 60^\circ\) северной широты до \(\varphi = 60^\circ\) южной широты.
Найдите период \(T\) обращения спутника. Ускорение свободного падения у поверхности планеты \(g = 10~\text{м/с}^2\). Радиус Земли \(R = 6400\) км. Распространение электромагнитных волн прямолинейное.
Какой промежуток времени \(\Delta t\) разделяет два последовательных прохода спутника над космодромом старта? Спутник движется по орбите в направлении суточного вращения Земли. Длительность земных суток \(T_З = 24\) ч.
▶ПодсказкаСкрыть
Радиус орбиты найдите из условия видимости: спутник виден с широт, для которых \(\cos\varphi = R/r\). Для второго пункта сравните угловые скорости спутника и поверхности Земли.
▶ОтветСкрыть
1) \(T \approx 14200~\text{с}\); 2) \(\Delta t \approx 1{,}7\cdot10^4~\text{с}\).
▶РешениеСкрыть
Радиус орбиты \(r = \dfrac{R}{\cos\varphi} = 2R\).
1. Из второго закона Ньютона и \(g = \dfrac{GM}{R^2}\) получаем \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{gR^2}} = 4\pi\sqrt{\dfrac{2R}{g}} \approx 14200\) с.
2. За время \(\Delta t\) спутник и космодром проходят разные углы. Условие следующего прохода над космодромом: \(\dfrac{2\pi}{T}\Delta t - \dfrac{2\pi}{T_З}\Delta t = 2\pi\), откуда \[\Delta t = \frac{T_З\,T}{T_З - T} \approx 1{,}7\cdot10^4~\text{с}.\]