зад т1-1 Доска и брусок под нарастающей силой
На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска длиной \(L = 0{,}5\,\text{м}\), на которой в середине лежит небольшой брусок массой \(m = 1\,\text{кг}\). Коэффициент трения скольжения бруска по доске равен \(\mu = 0{,}2\). К доске прикладывают горизонтальную силу, направленную вдоль доски. Модуль силы зависит от времени по закону \(F = f_0 \cdot t\), где \(f_0\) — постоянная \([\text{Н/с}]\) (значение \(f_0\) не задано), \(t\) — время в секундах. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Найдите количество теплоты, выделившейся в результате трения бруска по доске к моменту соскальзывания бруска с конца доски. Доска и брусок движутся поступательно. Ответ приведите в \(\text{Дж}\) с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Количество теплоты равно работе сил трения, которую совершают силы трения между бруском и доской. Подумайте, какой путь проходит брусок относительно доски к моменту соскальзывания.
▶РешениеСкрыть
Количество теплоты, выделившейся в результате трения бруска по доске к моменту соскальзывания бруска с конца доски, равно модулю суммарной работы сил трения, действующих на доску и брусок: \[Q = A_{\text{тр}} = \frac{\mu m g L}{2}.\]
зад т1-2 Две доски на шероховатой полуплоскости
Две одинаковые доски длиной \(L = 0{,}5\,\text{м}\), лежащие одна на другой (см. рис.), движутся по горизонтальной плоскости со скоростью \(V_0 = 1{,}5\,\text{м/с}\). В момент времени \(t = 0\) доски въезжают с гладкой полуплоскости на шероховатую. Коэффициент трения скольжения нижней доски по шероховатой полуплоскости равен \(\mu_1 = 0{,}3\), коэффициент трения скольжения верхней доски по нижней равен \(\mu_2 = 0{,}1\). В какой момент времени начнётся относительное движение досок? Ответ приведите в миллисекундах и округлите до целого числа. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Доски движутся поступательно.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока доски движутся вместе, их общее замедление задаёт трение нижней доски о полуплоскость. Относительное движение начнётся тогда, когда сила трения между досками перестанет удерживать верхнюю доску.
▶РешениеСкрыть
Движение досок до начала проскальзывания описывается уравнением гармонических колебаний: \[\ddot x + \beta^2 x = 0, \qquad \beta^2 = \frac{\mu_1 g}{L},\] где \(x\) — длина части досок на шероховатой полуплоскости, \(\mu_1\) — коэффициент трения скольжения нижней доски по шероховатой полуплоскости. Отсюда \[t = \frac{1}{\beta}\arccos\frac{V}{V_0},\] где \(V\) — скорость досок в момент начала относительного движения. По теореме об изменении кинетической энергии \[V = \sqrt{V_0^2 - \frac{2\mu_2^2 g L}{\mu_1}},\] где \(\mu_2\) — коэффициент трения скольжения верхней доски по нижней.
зад т1-3 Обруч ударяется о стенку
Однородный массивный обруч радиуса \(R = 0{,}5\,\text{м}\) катится без проскальзывания по горизонтальной шероховатой плоскости и абсолютно упруго сталкивается с вертикальной гладкой стенкой. Скорость центра масс обруча перед столкновением со стенкой равна \(V_0 = 1\,\text{м/с}\). Угол между радиусом, проведённым в точку \(A\) из центра обруча, и горизонтом равен \(\alpha = 50^\circ\). Коэффициент трения скольжения обруча по горизонтальной шероховатой плоскости равен \(\mu = 0{,}1\). Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Найдите модуль ускорения точки \(A\) в лабораторной системе отсчёта сразу после столкновения обруча со стенкой. Обруч движется в вертикальной плоскости, перпендикулярной стенке. За время соударения модуль скорости центра масс обруча и угловая скорость вращения обруча в системе центра масс не изменяются. Ответ приведите в \(\text{см/с}^2\) и округлите до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
Ускорение точки \(A\) в системе центра масс складывается из центростремительного и касательного ускорений. Ускорение самого центра масс обруча после удара найдите отдельно, учитывая силу трения, которая действует на обруч при проскальзывании.
▶РешениеСкрыть
Ускорение точки \(A\) относительно системы центра масс обруча определяется центростремительным ускорением \(a_n = \dfrac{V_0^2}{R}\) и касательным ускорением \(a_\tau\), которое находится из уменьшения вращательной кинетической энергии обруча: \(a_\tau = \dfrac{|\Delta V|}{\Delta t} = \mu g\). Вектор ускорения \(\vec a_A\) точки \(A\) в лабораторной системе отсчёта равен векторной сумме \(\vec a_n\), \(\vec a_\tau\) и вектора ускорения центра масс обруча \(\vec a\) в лабораторной системе, \(|\vec a| = \mu g\). Находя проекции этих векторов на оси \(OX\) и \(OY\), получаем модуль ускорения точки \(A\): \[a_A = \sqrt{\left(\mu g(1 - \sin\alpha) - \frac{V_0^2}{R}\cos\alpha\right)^2 + \left(\mu g\cos\alpha - \frac{V_0^2}{R}\sin\alpha\right)^2}.\]
зад т1-4 Брусок у ускоряющейся шероховатой стенки
Вертикальная шероховатая плоскость движется поступательно вдоль горизонтальной оси \(OX\). Ускорение плоскости зависит от времени \(t\) по закону \(a = a_0 - \alpha t\), где \(a_0 = 41\,\text{м/с}^2\), \(\alpha = 1\,\text{м/с}^3\). Плоскость толкает перед собой массивный брусок. В момент времени \(t = 0\) брусок покоится относительно плоскости, скорость движения плоскости и бруска пренебрежимо мала. Коэффициент трения скольжения бруска по плоскости равен \(\mu = 0{,}25\). Найдите модуль скорости бруска относительно плоскости в момент времени \(t = 2\,\text{с}\). Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Ответ приведите в \(\text{см/с}\) и округлите до целого числа. Силу сопротивления воздуха, действующую на брусок, считайте пренебрежимо малой. Брусок безотрывно движется по плоскости.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока брусок покоится относительно плоскости, сила трения покоя удерживает его; найдите момент, когда трения перестаёт хватать. Дальше запишите второй закон Ньютона в вертикальном направлении для относительного движения.
▶РешениеСкрыть
Модуль скорости бруска относительно вертикальной шероховатой плоскости в момент времени \(\tau > t_0\) определяется из второго закона Ньютона и уравнений кинематики: \[V = (g - \mu a_0)(\tau - t_0) + \frac{\mu\alpha}{2}\left(\tau^2 - t_0^2\right),\] где \[t_0 = \frac{a_0 - g/\mu}{\alpha}\] — момент времени начала относительного движения бруска по плоскости.
зад т1-5 Два газа по обе стороны поршня
Герметичный цилиндрический сосуд разделён на две части лёгким поршнем, который может скользить в сосуде без трения. Первая часть сосуда наполнена одним идеальным газом, а вторая другим. Объём первой части сосуда составляет \(20\%\) от объёма сосуда. Отношение молярной массы газа в первой части сосуда к молярной массе газа во второй части сосуда равно \(2\). Температуры газов одинаковы. Найдите отношение массы газа в первой части сосуда к массе газа во второй части сосуда. Объём поршня мал по сравнению с объёмом сосуда. Ответ приведите с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите уравнение Менделеева–Клапейрона для каждого газа, учитывая, что давления и температуры в обеих частях одинаковы.
▶РешениеСкрыть
Отношение массы газа в первой части сосуда к массе газа во второй части сосуда определяется из уравнения Менделеева–Клапейрона для каждого из двух газов с учётом равенства давлений и температур в обеих частях сосуда: \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{\mu_1/\mu_2}{1/\alpha - 1},\] где \(\alpha\) — доля объёма первой части сосуда.
зад т1-6 Расширение газа при $V \sim T^n$
Идеальный одноатомный газ в количестве \(\nu = 4\) моль расширяется в процессе, в котором зависимость объёма от температуры \(V = \alpha T^n\), где \(\alpha\) — постоянная \([\text{м}^3/\text{К}^n]\) (значение \(\alpha\) не задано), \(T\) — температура \([\text{К}]\), \(n = 3\). Начальная температура газа равна \(200\,\text{К}\). Найдите работу газа к тому моменту, когда давление газа уменьшится в \(4\) раза по сравнению с начальным. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\,\text{Дж/(моль·К)}\). Ответ приведите в \(\text{кДж}\) и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Из уравнения Менделеева–Клапейрона выразите давление через температуру и найдите связь температуры с давлением в процессе. Работу найдите через изменение температуры.
▶РешениеСкрыть
Из уравнения Менделеева–Клапейрона \(P = \nu R T/V = \nu R T^{1-n}/\alpha\), поэтому связь температуры и давления в процессе \(T_2 = T_1 (P_1/P_2)^{1/(n-1)}\). Работа газа \[A = \int P\,dV = \nu R n\,(T_2 - T_1) = \nu R n T_1\left(\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1}{n-1}} - 1\right).\]
зад т1-7 Откачка гелия при водяном паре за поршнем
Герметичный цилиндрический сосуд разделён на две части легким подвижным поршнем, который может скользить внутри сосуда без трения. В одной части сосуда находится гелий при температуре \(300\,\text{К}\), а в другой — небольшое количество воды и пар при температуре \(100\,{}^\circ\text{C}\). Из сосуда откачивают \(2\) моль гелия. Температуру гелия, температуру воды и водяного пара поддерживают при этом постоянными. В процессе откачки гелия часть воды испаряется. Найдите приращение внутренней энергии системы «вода + пар» за время перехода из начального состояния в конечное. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\,\text{Дж/(моль·К)}\), удельная теплота парообразования воды \(q = 2{,}26\,\text{МДж/кг}\), молярная масса воды \(\mu = 18\,\text{г/моль}\). Теплопроводность поршня пренебрежимо мала. Ответ приведите в \(\text{кДж}\) и округлите до десятых. Изменение объёма воды в процессе испарения считайте пренебрежимо малым.
▶ПодсказкаСкрыть
Учтите, что при откачке гелия поршень смещается, и пар вынужден испариться, чтобы поддерживать давление. Энергию, которую получает система «вода + пар», разделите на работу и теплоту испарения.
▶РешениеСкрыть
Из уравнений Менделеева–Клапейрона для гелия и водяного пара, а также первого начала термодинамики: \[\Delta U = \Delta\nu R T\left(\frac{q\mu}{R T_0} - 1\right),\] где \(\Delta\nu\) — количество откачанного гелия, \(T\) — температура гелия, \(q\) — удельная теплота парообразования воды, \(\mu\) — молярная масса воды, \(T_0 = 373\,\text{К}\) — температура воды и водяного пара.
зад т1-8 Металлическая пластинка между обкладками
Схема электрической цепи представлена на рисунке. Ёмкости конденсаторов одинаковы. Заряд каждого конденсатора \(q = 3\,\text{мкКл}\). В один конденсатор параллельно обкладкам помещают незаряженную металлическую пластинку так, как показано на рисунке. Толщина пластинки меньше расстояния между обкладками в \(2\) раза. Найдите модуль заряда, индуцированного на гранях металлической пластинки, параллельных обкладкам. Геометрические размеры этих граней и обкладок одинаковы. Ответ приведите в \(\text{мкКл}\) с точностью до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Закон сохранения заряда для изолированных обкладок и равенство напряжений на параллельно соединённых участках дают систему уравнений. Заряд на пластинке равен разности зарядов на её гранях.
▶РешениеСкрыть
Из закона сохранения заряда, условия равенства разностей потенциалов и формулы для ёмкости плоского конденсатора: \[|q'| = \frac{2qn}{2n - 1},\] где \(q\) — заряд конденсаторов до помещения в один из них металлической пластинки, \(n\) — отношение расстояния между обкладками конденсатора к толщине пластинки.
зад т1-9 Шестиугольная рамка входит в поле
Проволочную рамку в форме правильного шестиугольника с длиной стороны \(a = 10\,\text{см}\) перемещают в область однородного магнитного поля с индукцией \(B = 1\,\text{Тл}\) (см. рис.). Линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости рамки. Сопротивление рамки \(R = 0{,}1\,\text{Ом}\). Найдите модуль заряда, протекшего через произвольное сечение проволоки рамки к моменту времени, когда рамка полностью окажется в области однородного магнитного поля. Ответ приведите в \(\text{мКл}\) с точностью до целых. Самоиндукцией рамки пренебрегите.
▶ПодсказкаСкрыть
Заряд, протекший по проводнику, равен отношению изменения магнитного потока через рамку к сопротивлению. Площадь правильного шестиугольника выразите через сторону.
▶РешениеСкрыть
Из закона электромагнитной индукции, определения силы тока, закона Ома и формулы площади правильного шестиугольника: \[|q| = \frac{3\sqrt{3}\,B a^2}{2R},\] где \(R\) — сопротивление рамки.
зад т1-10 Катушка с изменяемой индуктивностью
Схема электрической цепи показана на рисунке. ЭДС батареи равна \(\varepsilon = 12\,\text{В}\), \(R = 3\,\text{Ом}\), \(r = 1\,\text{Ом}\). Индуктивность \(L\) катушки переменная. Через некоторое время после замыкания ключа ЭДС самоиндукции в катушке становится равной \(E_L = \alpha E_0\), где \(\alpha = 0{,}5\), \(E_0\) — ЭДС самоиндукции в катушке сразу после замыкания ключа. Начиная с этого момента времени, индуктивность начинают изменять таким образом, что ЭДС самоиндукции в катушке остаётся постоянной и равной \(E_L\). Найдите приращение индуктивности катушки за \(\tau = 20\,\text{мс}\) с момента начала её изменения. Ответ приведите в \(\text{мГн}\) с точностью до целых. До замыкания ключа ток в цепи отсутствовал.
▶ПодсказкаСкрыть
Сразу после замыкания ток через катушку равен нулю, поэтому ЭДС самоиндукции \(E_0\) определяется делением напряжения на резисторе \(R\). Далее рассмотрите токи через резистор \(R\) и через источник и разность токов через катушку.
▶РешениеСкрыть
Токи через сопротивление \(R\) и источник после начала изменения индуктивности: \[I_R = \frac{\alpha\varepsilon}{R + r}, \qquad I = \frac{\varepsilon - \alpha E_0}{r}, \qquad E_0 = \frac{\varepsilon R}{R + r}.\] Ток через катушку \(I_L = I - I_R\). Из выражения для ЭДС самоиндукции катушки: \[\Delta L = \frac{\alpha E_0\,\tau}{I - I_R},\] где \(\tau\) — время изменения индуктивности.
зад т2-1 Жёлоб, ускоренно движущийся вверх
Гладкий жёлоб в форме полуокружности радиуса \(R = 25\,\text{см}\) поступательно движется вертикально вверх с ускорением \(a = 0{,}5\,\text{м/с}^2\). Небольшая шайба соскальзывает в жёлоб из точки \(A\). Начальная скорость шайбы относительно жёлоба равна нулю. Найдите модуль скорости шайбы относительно жёлоба в точке \(C\). Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Шайба движется в вертикальной плоскости. Ответ приведите в \(\text{м/с}\) с округлением до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
В системе отсчёта желоба на шайбу действует дополнительная сила инерции, направленная вниз. Её можно учесть, заменив \(g\) на эффективное ускорение.
▶РешениеСкрыть
Второй закон Ньютона для шайбы \(m(\vec a + \vec a_{\text{отн}}) = m\vec g + \vec N\) перепишем в виде \(m\vec a_{\text{отн}} = m(\vec g - \vec a) + \vec N\). В подвижной системе шайба движется в силовом поле \(\vec g - \vec a\), модуль которого равен \(g + a\). Тогда по закону сохранения энергии в этом поле \[V = \sqrt{2(g + a)R}.\]
зад т2-2 Натяжение нити на окружности в вертикальной плоскости
Шарик, закреплённый на лёгкой нити, движется по окружности в вертикальной плоскости в однородном поле тяжести. Наибольшая и наименьшая силы натяжения нити отличаются в \(49\) раз. Во сколько раз сила натяжения нити в тот момент, когда нить находится в горизонтальной плоскости, меньше наибольшей силы натяжения нити? Ответ приведите с точностью до сотых. Силу сопротивления воздуха и изменение длины нити в процессе движения считайте пренебрежимо малыми.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона в проекции на нить в нижней и верхней точках и в горизонтальном положении нити. Закон сохранения энергии свяжет скорости в этих точках.
▶РешениеСкрыть
Из второго закона Ньютона, формулы центростремительного ускорения и закона сохранения энергии: разность наибольшей (в нижней точке) и наименьшей (в верхней точке) сил натяжения нити \[T_{\text{н}} - T_{\text{в}} = 6mg,\] разность наибольшей силы натяжения и силы натяжения в горизонтальном положении нити \[T_{\text{н}} - T_{\text{г}} = 3mg.\] С учётом \(T_{\text{н}}/T_{\text{в}} = \alpha\) получаем \[\frac{T_{\text{н}}}{T_{\text{г}}} = \frac{2\alpha}{\alpha + 1}.\]
зад т2-3 Полый шар скатывается с клина
С клина, находящегося на гладкой горизонтальной плоскости (см. рис.), скатывается без проскальзывания полый шар. Ускорение центра масс шара \(a = 3{,}47\,\text{м/с}^2\). Шар изготовлен из материала плотностью \(\rho = 1150\,\text{кг/м}^3\). Радиус шара \(R = 10\,\text{см}\), радиус полости \(r = 5\,\text{см}\). Центры шара и полости совпадают. Клин упирается торцом в вертикальную стенку. Найдите модуль силы, с которой клин действует на стенку. Угол при основании клина \(\alpha = 30^\circ\). Ответ приведите в \(\text{Н}\) с округлением до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Силу, с которой клин действует на стенку, найдите через силу трения между шаром и клином: по третьему закону она равна силе, действующей на клин со стороны шара. Массу шара выразите через плотность и объём шаровой оболочки.
▶РешениеСкрыть
Силу трения, с которой клин действует на шар, находим по теореме о движении центра масс. По третьему закону Ньютона эта сила равна по модулю силе трения, с которой шар действует на клин. Условие равновесия клина в проекции на горизонтальную ось даёт \(N = mg\cos\alpha\sin\alpha - F_{\text{тр}}\cos\alpha\). Из третьего закона Ньютона, формулы для плотности, массы и объёма шара находим силу, с которой клин действует на стенку: \[F = \frac{4}{3}\pi\left(R^3 - r^3\right)\rho\, a\cos\alpha.\]
зад т2-4 Цикл с дугой окружности: температуры
С идеальным одноатомным газом совершают циклический процесс \(1-2-3-1\). На рисунке представлена зависимость \(y = P/P_0\) от \(x = V/V_0\), здесь \(P\) и \(V\) — давление и объём газа, \(P_0\) и \(V_0\) — некоторые давление и объём газа. Координаты состояний \(1,3\) процесса: \(x_1 = 2{,}5\), \(x_3 = 6\). Зависимость \(y(x)\) в процессе \(2-3\) — дуга окружности с центром в начале координат и радиусом \(6{,}5\). Найдите отношение максимальной температуры газа в цикле к минимальной. Ответ приведите с округлением до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Температура пропорциональна произведению \(xy\). Максимум и минимум этого произведения на дуге окружности и в вершинах цикла найдите отдельно.
▶РешениеСкрыть
Температура пропорциональна произведению \(xy\): \(T/T_0 = xy\), где \(x = r\cos\alpha\), \(y = r\sin\alpha\) на дуге окружности радиуса \(r\). Тогда \[\frac{T}{T_0} = \frac{r^2}{2}\sin 2\alpha, \qquad (xy)_{\max} = \frac{r^2}{2}, \qquad (xy)_{\min} = x_1\sqrt{r^2 - x_3^2},\] где \(r\) — радиус дуги окружности графика процесса \(2-3\). Отсюда \[\frac{T_{\max}}{T_{\min}} = \frac{r^2}{2x_1\sqrt{r^2 - x_3^2}}.\]
зад т2-5 Аргон в двух частях сосуда
Герметичный цилиндрический сосуд разделён на две части легким подвижным поршнем, который может скользить внутри сосуда без трения. В каждой части сосуда находится \(2\) моль аргона при температуре \(300\,\text{К}\). Одну часть сосуда квазистатически нагревают, а в другой температуру поддерживают постоянной, равной начальной. При этом давление в сосуде возрастает в \(3\) раза. Найдите приращение внутренней энергии содержимого сосуда. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\,\text{Дж/(моль·К)}\). Теплопроводностью и теплоёмкостью поршня пренебрегите. Объём поршня мал по сравнению с объёмом сосуда. Ответ приведите в \(\text{кДж}\) с округлением до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Выпишите уравнения Менделеева–Клапейрона для обеих частей в начальном и конечном состояниях. Изменение внутренней энергии одноатомного газа выражается через изменение температуры.
▶РешениеСкрыть
Из уравнения Менделеева–Клапейрона для газа в каждой части сосуда в начальном и конечном состояниях, с учётом равенства давлений в обеих частях и формулы для приращения внутренней энергии одноатомного идеального газа: \[\Delta U = 3\nu R T_0 (n - 1), \qquad n = \frac{P}{P_0}\] — отношение конечного давления к начальному.
зад т2-6 КПД цикла с дугой окружности
С идеальным одноатомным газом совершают циклический процесс \(1-2-3-1\). На рисунке представлена зависимость \(y = P/P_0\) от \(x = V/V_0\), здесь \(P\) и \(V\) — давление и объём газа, \(P_0\) и \(V_0\) — некоторые давление и объём газа. Координаты состояний \(1,3\) процесса: \(x_1 = 2{,}5\), \(x_3 = 6\). Зависимость \(y(x)\) в процессе \(2-3\) — дуга окружности с центром в начале координат и радиусом \(6{,}5\). Найдите КПД цикла. Ответ приведите в \(\%\) с округлением до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
КПД равен отношению работы за цикл к подведённой теплоте. Подведённая теплота складывается из изменения внутренней энергии на участке \(1\to C\) и работы на участке \(2\to C\), где \(C\) — точка на дуге, в которой теплоёмкость процесса обращается в ноль.
▶РешениеСкрыть
Координата точки \(C\) на дуге \(2-3\), после которой теплота отводится от газа, определяется из выражения для молярной теплоёмкости одноатомного газа в процессе \(y(x)\) и условия \(C = 0\) в точке касания адиабаты: \(x_C = r\sqrt{5/8}\), где \(r\) — радиус дуги. КПД цикла \[\eta = \frac{A_{\text{ц}}}{Q_{\text{н}}}, \qquad Q_{\text{н}} = \Delta U_{1C} + A_{2C},\] где \(A_{\text{ц}}\) — работа газа за цикл, пропорциональная площади фигуры на графике, \(\Delta U_{1C} = \frac{3}{2}\left(y_C x_C - y_1 x_1\right)\) — приращение внутренней энергии при переходе из состояния \(1\) в состояние \(C\) (в единицах \(P_0V_0\nu\)), \(A_{2C}\) — работа газа на участке \(2\to C\), пропорциональная площади криволинейной трапеции под участком дуги.
зад т2-7 Поочерёдное заземление трёх шариков
Экспериментатор разместил три одинаковых металлических шарика радиуса \(r = 5\,\text{мм}\) на изолирующих подставках так, что они оказались в вершинах правильного треугольника со стороной \(a = 30\,\text{см}\). Каждый шарик несёт на себе заряд \(q = 0{,}1\,\text{мкКл}\). Шарики поочерёдно однократно заземляют и отключают от заземления. При заземлении каждого шарика и последующем отключении от заземления два остальных шарика не заземлены. Найдите модуль разности потенциала шарика, который был заземлён первым, и потенциала шарика, который был заземлён вторым, после поочерёдного заземления всех шариков. Ответ приведите в \(\text{В}\) с округлением до целого числа. Постоянная \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9\cdot 10^9\,\text{м/Ф}\). Поляризационными эффектами от изолирующих подставок и разрядкой шариков за счёт ионизации воздуха пренебрегите.
▶ПодсказкаСкрыть
Потенциал уединённого заряженного шарика равен \(kq/r\) относительно бесконечности. Для заземлённого шарика потенциал становится нулевым; после отключения от земли на нём остаётся заряд, найденный из принципа суперпозиции потенциалов остальных шариков.
▶РешениеСкрыть
Из формулы потенциала заряженной уединённой проводящей сферы и принципа суперпозиции потенциалов: \[|\varphi_1 - \varphi_2| = \frac{kq(a - r)}{a^2}\left(1 + \frac{2r}{a}\right),\] где \(a\) — сторона треугольника (расстояние между центрами шариков), \(r\) — радиус шарика.
зад т2-8 Конденсатор с жидкостью поворачивают
Герметичный плоский конденсатор с горизонтально расположенными квадратными обкладками частично заполнен жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon = 2\) и подключён к источнику ЭДС (см. рис.). Толщина слоя диэлектрика составляет \(20\%\) расстояния между обкладками. Конденсатор отключают от источника и поворачивают так, что обкладки располагаются вертикально. Найдите отношение разности потенциалов обкладок конденсатора до поворота к разности потенциалов обкладок после поворота. Ответ приведите с округлением до десятых. Краевыми эффектами пренебрегите.
▶ПодсказкаСкрыть
До поворота диэлектрик и воздушный зазор соединены последовательно; после поворота жидкость и воздух занимают параллельные части обкладок. Заряд на обкладках при повороте сохраняется.
▶РешениеСкрыть
Из формул для ёмкости плоского конденсатора, связи ёмкости, заряда и напряжения, напряжённости поля в конденсаторе и закона сохранения заряда: \[\frac{U}{U'} = \frac{1}{\varepsilon}\left(\alpha + \varepsilon(1 - \alpha)\right)\left(1 + \alpha(\varepsilon - 1)\right),\] где \(\varepsilon\) — диэлектрическая проницаемость жидкого диэлектрика, \(\alpha\) — толщина слоя диэлектрика в долях расстояния между обкладками.
зад т2-9 Нелинейный элемент и разряд конденсатора
В электрическую цепь, схема которой представлена на рисунке, подключён нелинейный элемент, вольтамперная характеристика которого \(U = \alpha I^2\), где \(\alpha = 1\,\text{В/А}^2\), ЭДС источника и его внутреннее сопротивление равны соответственно \(24\,\text{В}\) и \(0{,}5\,\text{Ом}\), \(R_1 = 2\,\text{Ом}\), \(R_2 = 3\,\text{Ом}\), \(C = 100\,\text{мкФ}\). Ключ длительное время замкнут. Найдите количество теплоты, выделившейся на резисторе \(R_1\) после размыкания ключа. Ответ приведите в \(\text{мДж}\) с округлением до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть
До размыкания в установившемся режиме конденсатор заряжен до напряжения на параллельном участке \(R_1\parallel R_2\). После размыкания энергия конденсатора делится между \(R_1\) и \(R_2\) обратно пропорционально их сопротивлениям.
▶РешениеСкрыть
Из правил Кирхгофа и формулы ВАХ нелинейного элемента сила тока через источник в установившемся режиме: \[I = -\left(R_{\text{Э}} + \frac{r}{2\alpha}\right) + \sqrt{\left(R_{\text{Э}} + \frac{r}{2\alpha}\right)^2 + \frac{\varepsilon}{\alpha}},\] где \(R_{\text{Э}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\). Напряжение на конденсаторе \(U_C = I R_{\text{Э}}\). Начальная энергия конденсатора \(Q_0 = \dfrac{C U_C^2}{2} = Q_1 + Q_2\), а отношение теплот на резисторах \(Q_1/Q_2 = R_2/R_1\), откуда \[Q_1 = \frac{Q_0}{1 + R_1/R_2}.\]
зад т2-10 Рамка падает в неоднородном магнитном поле
Квадратная проволочная рамка с длиной стороны \(a = 50\,\text{см}\) движется поступательно в вертикальной плоскости с установившейся скоростью в области магнитного поля под действием силы тяжести (см. рис.). Масса рамки \(m = 10\,\text{г}\), сопротивление рамки \(R = 0{,}03\,\text{Ом}\). Линии индукции магнитного поля направлены горизонтально и перпендикулярны плоскости рамки. Индукция магнитного поля зависит от вертикальной координаты \(z\) по закону \(B = B_0 + \alpha z\), где \(B_0\) и \(\alpha\) — постоянные, ось \(z\) направлена вертикально вниз. Значение \(B_0\) не задано, \(\alpha = 0{,}3\,\text{Тл/м}\). Найдите мощность тепловыделения в рамке. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Ответ приведите в \(\text{мВт}\) с округлением до целого числа. Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.
▶ПодсказкаСкрыть
При установившемся движении сила Ампера уравновешивает силу тяжести. Поток через рамку меняется из-за градиента индукции, поэтому ЭДС не зависит от \(B_0\).
▶РешениеСкрыть
Поток вектора индукции через рамку зависит от координаты \(z\) верхней стороны рамки; ЭДС индукции и ток \(I = \dfrac{\alpha a^2 V}{R}\), где \(V\) — скорость рамки. Из второго закона Ньютона и формулы силы Ампера установившаяся скорость \(V_0 = \dfrac{mgR}{\alpha^2 a^4}\), ток \(I_0 = \dfrac{mg}{\alpha a^2}\). Искомая мощность тепловыделения \[N = I_0^2 R = \frac{m^2 g^2 R}{\alpha^2 a^4}.\]
зад т3-1 Шарик между двумя перпендикулярными стенками
Шарик движется в однородном поле тяжести по одной траектории туда и обратно между двумя взаимно перпендикулярными полуплоскостями, абсолютно упруго ударяясь о них (см. рис.). Угол наклона одной полуплоскости к горизонту \(\alpha = 10^\circ\), расстояние по горизонтали между точками соударения шарика с полуплоскостями \(l = 20\,\text{см}\). Найдите модуль минимальной скорости шарика в процессе полёта. Ответ приведите в \(\text{м/с}\) с округлением до десятых. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Минимальная скорость достигается в верхней точке траектории, где вертикальная составляющая равна нулю. Из симметрии удара о перпендикулярные полуплоскости определите, какая компонента скорости сохраняется.
▶РешениеСкрыть
Из законов движения в однородном поле тяжести в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси: \[V_1\cos\alpha - g t = -V_2\sin\alpha, \qquad V_1\sin\alpha = V_2\cos\alpha,\] где \(V_1\) — модуль скорости шарика сразу после удара о первую полуплоскость, \(V_2\) — модуль скорости непосредственно перед ударом о вторую полуплоскость, перпендикулярную первой, \(t\) — время полёта между ударами. Модуль минимальной скорости шарика в процессе полёта: \[|V_{\min}| = |V_1\sin\alpha| = \sqrt{\frac{g l \sin 2\alpha}{2}}.\]
зад т3-2 Обруч катится по внутренней поверхности цилиндра
Однородный обруч катится без проскальзывания по внутренней поверхности закреплённого цилиндра (см. рис.) так, что центр масс обруча движется по окружности в вертикальной плоскости. Модуль максимального центростремительного ускорения центра масс обруча в \(50\) раз больше модуля минимального. Найдите модуль максимального центростремительного ускорения центра масс обруча. Ответ приведите в \(\text{м/с}^2\) с округлением до целого значения. Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Энергия обруча складывается из поступательной и вращательной частей; при качении без проскальзывания они связаны. Центростремительное ускорение центра масс выражается через его скорость и радиус траектории.
▶РешениеСкрыть
Из закона сохранения энергии для обруча, катящегося без проскальзывания, \(mV_{\max}^2 = mV_{\min}^2 + 2gr m\), где \(r\) — радиус траектории центра масс, и формул центростремительного ускорения получаем \[a_{\max} = \frac{2g\alpha}{\alpha - 1}, \qquad \alpha = \frac{a_{\max}}{a_{\min}}.\]
зад т3-3 Песок из бункера на платформу
Тепловоз провозит железнодорожную платформу с постоянной скоростью \(V = 1{,}8\,\text{м/с}\) под неподвижным бункером, из которого на платформу насыпается песок. Ежесекундно из бункера на платформу загружается \(\mu = 0{,}5\,\text{т}\) песка. Высота бункера над платформой \(h = 1{,}8\,\text{м}\). Длина платформы \(L = 12\,\text{м}\). Найдите теплоту, которая выделится при провозе платформы под бункером вследствие погрузки песка. Песок ложится на дно платформы ровным слоем, толщина которого мала по сравнению с высотой бункера над платформой. Весь песок, упавший на платформу из бункера, остаётся на платформе. Ответ приведите в \(\text{кДж}\) с округлением до целого числа. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Энергия падающего песка переходит в тепло при неупругом ударе о платформу, а также в тепло, связанное с разгоном песка до скорости платформы. Масса песка, попавшего на платформу за время прохода, равна погрузке за секунду, умноженной на время движения.
▶РешениеСкрыть
Из закона сохранения энергии: теплота, выделившаяся при погрузке песка, \[Q = mgh + \frac{mV^2}{2},\] где \(m\) — масса песка, погруженного за время движения платформы под бункером, \(h\) — высота падения песка. С учётом \(m = \mu t = \mu \dfrac{L}{V}\): \[Q = \mu L\left(\frac{gh}{V} + \frac{V}{2}\right).\]
зад т3-4 Доска сталкивается с бруском, на котором лежит другой
Длинная доска массой \(M = 9\,\text{кг}\) движется поступательно по горизонтальной гладкой поверхности со скоростью \(V_0 = 1\,\text{м/с}\) и абсолютно неупруго сталкивается с покоящимся однородным бруском \(1\) (см. рис.) длиной \(l = 25\,\text{см}\) и массой \(m = 1\,\text{кг}\). На бруске \(1\) лежит такой же брусок \(2\). Трение между брусками пренебрежимо мало. Высота брусков и доски одинакова. Коэффициент трения между бруском \(2\) и доской равен \(0{,}1\). Найдите перемещение бруска \(2\) относительно доски за время с момента столкновения доски с нижним бруском до момента прекращения относительного движения бруска \(2\) и доски. Ответ приведите в \(\text{см}\) с округлением до целого числа. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Закон сохранения импульса даёт скорость доски и бруска \(1\) сразу после удара; дальше полезен закон изменения кинетической энергии с учётом работы силы трения на относительном пути.
▶РешениеСкрыть
Из закона сохранения импульса после прекращения относительного движения доски и бруска \(2\) скорость доски и брусков \[V_{\text{к}} = V_0\frac{M}{M + 2m},\] где \(V_0\) — начальная скорость доски, \(M\) — масса доски, \(m\) — масса одного бруска. По теореме об изменении кинетической энергии к моменту прекращения относительного движения \[\frac{(M + m)V^2}{2} = \frac{(M + 2m)V_{\text{к}}^2}{2} + \mu m g\left(x + \frac{l}{2}\right),\] где \(V\) — скорость доски и бруска \(1\) после абсолютно неупругого столкновения, \(\mu\) — коэффициент трения скольжения бруска \(2\) по доске.
зад т3-5 Охлаждение сосуда с гелием и паром
Герметичный цилиндрический сосуд с вертикальными гладкими стенками разделён на две части равного объёма лёгким поршнем, который может скользить в сосуде без трения. В верхней части сосуда находится \(\nu_1 = 1{,}1\) моль гелия при температуре \(100\,{}^\circ\text{C}\), в нижней части — \(\nu_2 = 1\) моль гелия, вода и водяной пар при температуре \(100\,{}^\circ\text{C}\). Температуру в цилиндре медленно уменьшили почти до \(0\,{}^\circ\text{C}\). Найдите массу сконденсировавшегося водяного пара. Давление водяного пара при конечной температуре считайте пренебрежимо малым. Молярная масса воды \(18\,\text{г/моль}\). Ответ приведите в \(\text{г}\) с точностью до десятых. Начальный и конечный объёмы воды много меньше объёма сосуда.
▶ПодсказкаСкрыть
Гелий в обеих частях при одинаковых давлении и температуре; при охлаждении весь пар, давление которого стало пренебрежимо малым, конденсируется. Сравните число молей пара, которое было в нижней части в начале, с числом молей, которое в ней остаётся.
▶РешениеСкрыть
Равенство давлений, объёмов и температур в начальном состоянии с учётом закона Дальтона приводит к ответу: \[m = \mu(\nu_1 - \nu_2),\] где \(\mu\) — молярная масса водяного пара, \(\nu_1\) — количество молей гелия в верхней части сосуда, \(\nu_2\) — количество молей гелия в нижней части сосуда.
зад т3-6 Теплоёмкость гелия при постоянной температуре аргона
Герметичный цилиндрический сосуд разделён на две части легким подвижным поршнем, который может скользить внутри сосуда без трения. В одной части сосуда находится один моль гелия, объём которого составляет \(10\%\) объёма сосуда, а в другой — один моль аргона. Гелию квазистатически подводят теплоту, температуру аргона поддерживают постоянной. Найдите модуль приращения теплоёмкости гелия при увеличении объёма гелия от \(10\%\) до \(20\%\) объёма сосуда. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\,\text{Дж/(моль·К)}\). Теплообменом между гелием и аргоном пренебрегите. Объём поршня мал по сравнению с объёмом сосуда. Ответ приведите в \(\text{Дж/(моль·К)}\) с округлением до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите подведённую теплоту через изменения температуры и объёма гелия, учитывая равенство давлений гелия и аргона и постоянство температуры аргона.
▶РешениеСкрыть
Из первого начала термодинамики и уравнения Менделеева–Клапейрона для гелия: \[\Delta Q = C_V\Delta T_{\text{He}} + RT_{\text{He}}\frac{\Delta V_{\text{He}}}{V_{\text{He}}}.\] Из равенства давлений, с учётом постоянства температуры аргона, \(\Delta V_{\text{Ar}} = -\Delta V_{\text{He}}\), получаем зависимость теплоёмкости гелия от доли объёма \(\alpha\), занимаемой гелием в сосуде: \[C = C_V + R\left(1 - \frac{\alpha}{100\%}\right).\] Модуль приращения теплоёмкости при увеличении доли от \(\alpha_1\) до \(\alpha_2\): \[|\Delta C| = R\left|\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{100\%}\right|.\]
зад т3-7 Протон сталкивается с нейтроном в магнитном поле
Нерелятивистский протон, движущийся в однородном магнитном поле, абсолютно упруго сталкивается с неподвижным нейтроном. В результате столкновения вектор скорости протона поворачивается на угол \(\alpha = 20^\circ\). Найдите отношение радиуса кривизны траектории протона непосредственно перед столкновением к радиусу кривизны начального участка его траектории после столкновения. Протон до и после столкновения движется в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля. Массы протона и нейтрона считайте равными. Ответ приведите с округлением до десятых. Ядерная реакция при таком ударе не состоялась. Действие магнитной силы на протон в процессе соударения считайте пренебрежимо малым.
▶ПодсказкаСкрыть
При упругом ударе равных по массе частиц, одна из которых покоилась, скорости после столкновения составляют прямой угол. Радиус кривизны в магнитном поле пропорционален скорости.
▶РешениеСкрыть
Соударение нуклонов (протона и нейтрона) при несостоявшейся ядерной реакции — абсолютно упругий удар двух тел практически одинаковой массы. Из законов сохранения импульса и энергии, второго закона Ньютона, формулы силы Лоренца и формулы центростремительного ускорения: \[\frac{R}{R_1} = \frac{1}{\cos\alpha},\] где \(R\) — радиус кривизны траектории протона до столкновения, \(R_1\) — радиус кривизны начального участка траектории протона после столкновения, \(\alpha\) — угол поворота вектора скорости протона.
зад т3-8 Две пластины диэлектрика с зазором
В плоский конденсатор, заряженный до напряжения \(2\,\text{В}\), вставляют (см. рис.) две пластины из диэлектрика (\(\varepsilon = 11\)) так, что между ними остаётся небольшой зазор шириной \(h = 0{,}6\cdot d\), где \(d = 13\,\text{мм}\) — расстояние между обкладками конденсатора. Затем конденсатор подключают к батарее с ЭДС \(\mathcal{E} = 2\,\text{В}\) и небольшим внутренним сопротивлением \(r\). Через некоторое время сила тока в цепи становится практически равной нулю. Найдите напряжённость электрического поля в зазоре после подключения конденсатора к батарее. Ответ приведите в \(\text{В/м}\) с округлением до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
В установившемся режиме напряжение на конденсаторе равно ЭДС батареи. Далее воспользуйтесь тем, что в диэлектрике и в зазоре поле связано условием непрерывности индукции.
▶РешениеСкрыть
В установившемся режиме напряжение на конденсаторе равно ЭДС: \(U = \mathcal{E}\). Из формул напряжённости поля в диэлектрике и связи напряжения с напряжённостью поля в конденсаторе напряжённость поля в зазоре \[E = \frac{U}{d}\cdot\frac{\varepsilon}{1 + \alpha(\varepsilon - 1)},\] где \(\alpha = h/d\).
зад т3-9 Утечка в состарившемся диэлектрике конденсатора
Из-за длительного хранения изменились характеристики диэлектрика (\(\varepsilon = 2\)), которым заполнен плоский конденсатор с круглыми обкладками: увеличилась электропроводность диэлектрика, диэлектрическая проницаемость возросла в \(1{,}5\) раза. В результате постоянная времени разряда \(\tau = 0{,}5\,\text{с}\) конденсатора через сопротивление (см. рис.) уменьшилась в \(1{,}5\) раза. Определите удельное сопротивление диэлектрика, которым заполнен конденсатор, после длительного хранения. Электропроводностью диэлектрика в исходном состоянии пренебрегите. Ответ приведите в \(\text{ГОм·м}\) с округлением до десятых. Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\,\text{Ф/м}\). Краевыми эффектами пренебрегите.
▶ПодсказкаСкрыть
Постоянная времени разряда равна произведению ёмкости на полное сопротивление цепи. После хранения сопротивление цепи уменьшилось за счёт проводимости диэлектрика, которую можно выразить через его удельное сопротивление и геометрию конденсатора.
▶РешениеСкрыть
Из формул для постоянной времени разряда конденсатора, сопротивления параллельно соединённых резисторов и сопротивления однородного проводника: \[\rho = \frac{\tau}{\varepsilon_0\varepsilon(\beta\alpha - 1)},\] где \(\beta = \varepsilon'/\varepsilon\), \(\varepsilon'\) — диэлектрическая проницаемость после длительного хранения, \(\alpha = \tau/\tau'\), \(\tau'\) — постоянная времени разряда после длительного хранения.
зад т3-10 Заряд через резистор после размыкания ключа
В электрическую цепь, схема которой представлена на рисунке, подключён нелинейный элемент НЭ, вольтамперная характеристика которого имеет вид \(U = \alpha I^2\), где \(\alpha = 0{,}9\,\text{В/А}^2\), ЭДС источника и его внутреннее сопротивление равны соответственно \(12\,\text{В}\) и \(1\,\text{Ом}\), \(R = 2\,\text{Ом}\), \(L = 50\,\text{мГн}\). Ключ замыкают. Через некоторое время сила тока в цепи практически перестаёт изменяться. Ключ размыкают. Найдите заряд, протекший через сопротивление \(R\) после размыкания ключа. Ответ приведите в \(\text{мКл}\) с округлением до целых. Сопротивление диода в прямом направлении много меньше \(R\), в обратном — бесконечно велико.
▶ПодсказкаСкрыть
Сразу после размыкания ток через катушку сохраняется, и весь он течёт через резистор \(R\) (диод пропускает ток в одном направлении). Заряд найдите из закона электромагнитной индукции для катушки.
▶РешениеСкрыть
Из второго правила Кирхгофа и формулы ВАХ нелинейного элемента сила тока через источник в установившемся режиме: \[I = -\frac{r}{2\alpha} + \sqrt{\left(\frac{r}{2\alpha}\right)^2 + \frac{\varepsilon}{\alpha}}.\] Сразу после размыкания ключа ток в катушке не изменяется. Заряд, протекший через сопротивление \(R\), находим из уравнения \(-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t} = R\dfrac{\Delta q}{\Delta t}\): \[q = \frac{LI}{R}.\]
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2025/26, отборочный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.