Физтех, 2025/26, отборочный этап, 9 класс

Выпишите время и путь на каждом из трёх участков поездки. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время.

Обозначения: \(S\) — длина пути курьера за все время \(T\) движения. По условию \[T = \frac{T}{3} + \frac{1}{4}\,\frac{S - V_1\dfrac{T}{3}}{V_2} + \frac{3}{4}\,\frac{S - V_1\dfrac{T}{3}}{V_3}.\] Средняя скорость на всем пути \[\frac{S}{T} = \frac{3V_1V_2 + 8V_2V_3 + V_1V_3}{3\,(3V_2 + V_3)}.\]

Перейдите в систему отсчёта первой точки: там вторая точка движется с постоянным ускорением. Не забудьте проверить, успевает ли первая точка остановиться до встречи.

В системе отсчета, связанной с первой материальной точкой, вторая движется с начальной скоростью \(\vec U_{\text{отн}} = \vec V_2 - \vec V_1\) и ускорением \(\vec a_{\text{отн}} = \vec a_2 - \vec a_1\), причем \(\vec U_{\text{отн}} \uparrow\downarrow \vec a_{\text{отн}}\). При равнопеременном движении длина тормозного пути \[L = \frac{U_{\text{отн}}^2}{2a_{\text{отн}}} = \frac{(V_1 + V_2)^2}{2(a_1 + a_2)}.\] Встреча произойдет в момент времени \[T = \frac{U_{\text{отн}}}{a_{\text{отн}}} = \frac{V_1 + V_2}{a_1 + a_2}.\] Первая материальная точка остановится в момент времени \(t_1 = \dfrac{V_1}{a_1} < T\); к этому моменту перемещение первой точки равно \(\dfrac{V_1 t_1}{2}\), модуль перемещения первой точки за следующий промежуток \((T - t_1)\) времени равен \(a_1\dfrac{(T - t_1)^2}{2}\). Для первой точки \[S_1 = \frac{V_1 t_1}{2} + a_1\frac{(T - t_1)^2}{2}.\] Вторая точка движется в одном направлении и к моменту встречи проходит путь \[S_2 = V_2 T - a_2\frac{T^2}{2}.\] Деление \(S_1/S_2\) читатель проведет лично.

Запишите скорость лодки относительно берега для каждого из двух режимов движения. Учтите, что скорость лодки относительно воды одинакова по модулю в любом направлении.

Скорость моторной лодки: при движении параллельно берегу \(S/t_1\), при движении перпендикулярно берегу \(H/t_2\), по условию \(S/t_1 < H/t_2\). Следовательно, при движении параллельно берегу моторная лодка движется против течения: \[\frac{S}{t_1} = V - U, \qquad \frac{H}{t_2} = \sqrt{V^2 - U^2},\] здесь \(V\) — скорость моторной лодки в подвижной системе отсчета, движущейся со скоростью \(U\) течения реки. Из приведенных соотношений следует \[U = 0{,}5\left[\left(\frac{H}{t_2}\right)^2\Big/\frac{S}{t_1} - \frac{S}{t_1}\right].\]

Стержень покоится: запишите равенство моментов сил относительно нижнего конца и условие равновесия сил по горизонтали и вертикали.

Обозначения: \(N_1\) — сила нормальной реакции вертикальной стенки, \(\alpha\) — угол, который нить образует с горизонтальной плоскостью. Стержень в покое: \[N_1 = T\cos\alpha, \qquad N_1 H = Mg\,\frac{L}{2}\cos\alpha.\] Отсюда \[T = Mg\,\frac{L}{2H}.\]

Для каждой фигурки запишите условие плавания: сила тяжести равна архимедовой силе, действующей на погружённую часть.

Покой первой фигурки \((1 - \alpha)(V_1 + V_2)\rho g = 2mg\). По условию \(\rho_1 V_1 = \rho_2 V_2\). Из этих соотношений следует \[\alpha = 1 - \frac{2\rho_1\rho_2}{\rho(\rho_1 + \rho_2)}.\] Покой второй фигурки \((1 - \beta)\,2V\rho g = (\rho_1 + \rho_2)Vg\). Тогда \(\beta = 1 - \dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2\rho}\), далее \[\alpha - \beta = \frac{(\rho_1 - \rho_2)^2}{2\rho(\rho_1 + \rho_2)}.\]

Запишите уравнение теплового баланса: тепло, отданное образцом, идёт на нагрев воды в стакане. Масса воды, которую нагревают, выражается через увеличение уровня.

По закону сохранения энергии в тепловых процессах количество теплоты, полученное водой, равно количеству теплоты, отданной образцом: \[\rho HS\,c\,(t - t_0) = \rho_1\,\frac{\delta}{100\%}\,HS\,c_1\,(100\,^\circ\text{C} - t).\] Отсюда \[t = \frac{\rho c t_0 + \rho_1\dfrac{\delta}{100\%}\,c_1\cdot 100\,^\circ\text{C}}{\rho c + \rho_1\dfrac{\delta}{100\%}\,c_1}.\]

Сопротивление провода пропорционально его длине. Выразите оба измеренных сопротивления через искомое расстояние.

Обозначения: \(S\) — искомое расстояние, \(r\) — сопротивление единицы длины провода. Тогда \(R_1 = 2Sr\), \(R_2 = 2(L - S)r\). Отсюда \[S = L\,\frac{1}{1 + R_2/R_1}.\]

Сопротивление каждой стороны маленького треугольника найдите из общего сопротивления проволоки. Далее сворачивайте цепь по частям, складывая последовательные и параллельные сопротивления.

Сопротивление одной стороны маленького треугольника \(r = R/18\). Последовательно вычисляем эквивалентные сопротивления: одного маленького треугольника \(\dfrac{2r}{3}\), пяти таких последовательно соединенных треугольников \(\dfrac{10r}{3}\), сопротивление между точками \(A\) и \(B\) \(R_{AB} = \dfrac{5r}{9} = \dfrac{5R}{162}\), отсюда приходим к ответу \[P = \frac{U^2}{R_{AB}}.\]

Запишите вертикальную координату мяча в момент \(T\) для первого случая и условие на расстояние по горизонтали и высоте для второго случая.

По условию \[H = V_0 T - \frac{gT^2}{2}, \qquad L^2 = (V_0T)^2 - \left(\frac{gT^2}{2}\right)^2,\] отсюда \[T = \sqrt{\frac{L^2 - H^2}{gH}}.\]

Запишите связь \(\Delta x/\Delta t = A/x\) и разделите переменные: при суммировании по времени получится зависимость \(t(x)\).

По условию \(\dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{A}{x}\), отсюда \(\Delta t = \dfrac{1}{A}\,x\,\Delta x\). Суммирование таких равенств по времени движения приводит к зависимости \(t = \dfrac{1}{2A}\left(x^2 - x_1^2\right)\). Тогда \(T = \dfrac{x_1^2}{2A}\left(n^2 - 1\right)\), искомое время \(\tau = \dfrac{x_1^2}{2A}\left(m^2 - 1\right)\). Отсюда \[\tau = T\,\frac{m^2 - 1}{n^2 - 1}.\]

Выразите среднюю скорость через длины и скорости участков, а затем отношение скоростей — через \(n\) и \(p\).

Обозначения: \(L\) — длина короткого участка маршрута, \(V_1\) — скорость на длинном участке, \(V_2\) — скорость на коротком участке, \(t_1 = nL/V_1\) — время движения по длинному участку, \(t_2 = L/V_2\) — время движения по короткому участку. Средняя скорость туристической группы на всем маршруте \[V = \frac{nL + L}{\dfrac{nL}{V_1} + \dfrac{L}{V_2}} = (n + 1)\,\frac{V_1V_2}{V_1 + nV_2}.\] По условию \[\frac{V_2}{V} = \frac{1}{n+1}\left(1 + \frac{nV_2}{V_1}\right) = \frac{p\%}{100\%},\] отсюда \[\frac{nV_2}{V_1} = (n + 1)\,\frac{p\%}{100\%} - 1.\] Тогда \[\frac{t_1}{t_1 + t_2} = \frac{1}{1 + \dfrac{V_1}{nV_2}} = \frac{1}{1 + \dfrac{1}{(n+1)\dfrac{p\%}{100\%} - 1}}.\]

Найдите скорость отстающего спортсмена и путь, который он проедет за время отставания \(25\tau\) (число кругов в дистанции — 25).

Дистанция \(5\) км состоит из \(25\) кругов. Поскольку на каждом круге проигравший отставал от победителя на \(\tau\) с, он проехал дистанцию за время \(T + 25\tau\), его скорость \(\dfrac{5000}{T + 25\tau}\) м/с. За время \(25\tau\), на которые отстал этот спортсмен, он проедет отрезок дистанции длиной \[S = \frac{5000}{T + 25\tau}\cdot 25\tau.\]

Длина звукового импульса в воздухе для каждого приёмника равна \((C \mp V)\tau\), где \(\tau\) — длительность сигнала, излучённого машинистом.

Протяженность излученного сигнала на первом приемнике \(L_1 = (C - V)\tau\), протяженность излученного сигнала на втором приемнике \(L_2 = (C + V)\tau\), здесь \(\tau\) — длительность излучаемого машинистом сигнала. Длительность сигнала, регистрируемого первым приемником, \(\tau_1 = \dfrac{L_1}{C} = \dfrac{C - V}{C}\,\tau\), длительность сигнала, регистрируемого вторым приемником, \(\tau_2 = \dfrac{L_2}{C} = \dfrac{C + V}{C}\,\tau\). Из этих соотношений следует \(\dfrac{\tau_2}{\tau_1} = \dfrac{C + V}{C - V}\). Отсюда \[V = \frac{\tau_2 - \tau_1}{\tau_1 + \tau_2}\,C.\]

Сравните времена движения санок по горке: первые санки должны успеть отъехать на \(l\) за то же время, за которое вторые проедут \(l_0\) до начала спуска. Скорость у основания горки найдите по закону сохранения энергии.

К тому моменту, когда второй саночник покинет горку, оба проведут в движении по горке одинаковое время. Тогда время, в течение которого первый удалится от выхода с горки на \(l\), равно времени, в течение которого второй проедет расстояние \(l_0\) и начнет спуск по горке, т. е. \[\frac{l}{\sqrt{V_0^2 + 2gh}} = \frac{l_0}{V_0},\] скорость \(\sqrt{V_0^2 + 2gh}\) у основания горки найдена по закону сохранения энергии. Отсюда находим высоту горки \[h = \frac{V_0^2}{2g}\left[\left(\frac{l}{l_0}\right)^2 - 1\right].\]

Запишите условия покоя для сил и для моментов сил относительно нижней точки опоры; силы трения на обеих опорах связаны с нормальными реакциями.

Обозначения: \(a\) — длина каждой стороны уголка, \(N_1\), \(N_2\) — модули нормальных составляющих сил реакции опоры, \(F_1\), \(F_2\) — модули сил трения (см. рис.). Условия покоя: для сил \(N_1 = N_2\), \(F_1 + F_2 = mg + P\); для моментов сил относительно оси, проходящей через нижнюю точку опоры перпендикулярно плоскости чертежа, \(N_2 a = \dfrac{1}{2}mg\,\dfrac{a}{2} + Pa\). Учтем далее, что \(F_1 = \mu N_1\), \(F_2 = \mu N_2\). Из этих уравнений следует \[P = mg\,\frac{1 - \dfrac{\mu}{2}}{2\mu - 1}.\]

Учтите, что масса воды в системе сохраняется, а давление в точках \(A\) и \(B\) после установления равновесия одинаково.

До открытия крана масса воды: в левом цилиндре \(p_A S_A/g\), в правом \(p_B S_B/g\), здесь \(g\) — ускорение свободного падения. После перехода системы в новое равновесное состояние в точках \(A\) и \(B\) устанавливается одинаковое гидростатическое давление \(p\). Суммарная масса воды в сосудах \(p(S_A + S_B)/g\). Сохранение массы: \[\frac{p_A S_A}{g} + \frac{p_B S_B}{g} = \frac{p\,(S_A + S_B)}{g}.\] Отсюда приходим к ответу \[p = \frac{p_A S_A + p_B S_B}{S_A + S_B}.\]

Теплоёмкость системы двух образцов найдите как отношение переданной теплоты к изменению температуры каждого образца. Далее запишите тепловой баланс с водой.

Температура первого тела изменится на \(1\,^\circ\text{C}\) при подведении к нему (или отведении от него) количества теплоты \(c_1 = \dfrac{Q}{t_1 - \tilde t}\) Дж/\(^\circ\)C. Температура второго тела изменится на \(1\,^\circ\text{C}\) при подведении к нему (или отведении от него) количества теплоты \(c_2 = \dfrac{Q}{\tilde t - t_2}\) Дж/\(^\circ\)C. Для нагревания системы двух тел на \(1\,^\circ\text{C}\) к системе следует подвести количество теплоты \[c = c_1 + c_2 = \frac{Q}{t_1 - \tilde t} + \frac{Q}{\tilde t - t_2}~\text{Дж/}^\circ\text{C}.\] После добавления в калориметр воды в системе установится температура \(t\), уравнение теплового баланса \(c\,(t - \tilde t) = \rho V c_B\,(t_3 - t)\), отсюда \[t = \frac{\rho V c_B t_3 + c\,\tilde t}{\rho V c_B + c}.\]

Запишите баланс мощностей: электрическая мощность источника равна сумме полезной мощности подъёма и тепловой мощности в обмотке.

По закону сохранения энергии мощность \(P_{\text{эл}} = I\cdot U\) сил электрического поля в обмотке электромотора равна сумме полезной мощности \(P = MgV\), здесь \(M\) — масса груза, и мощности \(I^2 R\) тепловыделения в обмотке: \[IU = MgV + I^2R.\] Отсюда \[M = \frac{I\,(U - IR)}{gV}.\]

Запишите вертикальную координату мяча в конце полёта и связь между временем полёта и составляющими скорости в момент падения.

В момент завершения полета вертикальная координата, отсчитанная от горизонтальной площадки, равна нулю: \[H + V_0\sin\alpha\,T - \frac{gT^2}{2} = 0.\] Из треугольника скоростей (см. рис.) следует \(gT = V_0\cos\alpha\,(\tg\alpha + \tg\beta)\). Исключив продолжительность \(T\) полета из этих соотношений, находим \((V_0\cos\alpha)^2 = \dfrac{2gH}{\tg^2\beta - \tg^2\alpha}\). Горизонтальное перемещение камня за время полета \[S = (V_0\cos\alpha)\,T = \frac{1}{g}(V_0\cos\alpha)^2(\tg\alpha + \tg\beta) = \frac{2H}{\tg\beta - \tg\alpha}.\] Отсюда \[H = \frac{1}{2}\,S\,(\tg\beta - \tg\alpha).\]

В системе грузовика коробка сначала движется ускоренно относительно кузова, пока грузовик тормозит, и её скорость максимальна в момент остановки грузовика. Сравните ускорения грузовика и коробки.

В лабораторной системе отсчета (ЛСО) коробка движется в соответствии со вторым законом Ньютона \(m\vec a_K = m\vec g + \vec N + \vec F_{TP}\). Переходим к проекциям сил и ускорения на вертикальное и горизонтальное направления \(OX \uparrow\uparrow \vec V_0\): \(N = mg\), \(ma_{Kx} = -F_{TP}\), при скольжении \(F_{TP} = \mu N\), здесь \(g\) — ускорение свободного падения, \(\mu\) — коэффициент трения скольжения коробки по дну кузова. Модуль ускорения коробки \[a_K = \mu g = \frac{V_0^2}{2(S + L)}.\] В ЛСО модуль ускорения грузовика \(a = \dfrac{V_0^2}{2S}\), здесь \(S\) — тормозной путь грузовика. По закону сложения ускорений \(\vec a_K = \vec a + \vec a_{\text{отн}}\). Переходим к проекциям на оси \(OX\) и \(O'X'\): \(-a_K = -a + a_{\text{отн}\,x'}\), отсюда \(a_{\text{отн}\,x'} = a - a_K\). В подвижной системе скорость коробки будет расти до момента \(T = \dfrac{V_0}{a}\) остановки грузовика. Искомая скорость \[U_{\max} = a_{\text{отн}\,x'}\,T = \left(a - a_K\right)\frac{V_0}{a} = V_0\left(1 - \frac{a_K}{a}\right) = V_0\,\frac{L}{S + L}.\]