зад 1 Осколки фейерверка с параллельными скоростями
На высоте \(H = 3{,}75\text{ м}\) над горизонтальной площадкой фейерверк разрывается на множество осколков, два из которых движутся в одной вертикальной плоскости с одинаковой по модулю начальной скоростью \(V_0 = 11\text{ м/с}\). Вектор скорости первого осколка образует угол \(\alpha\) с горизонтом, вектор скорости второго осколка образует угол \(\alpha\) с вертикалью (см. рис.). За мгновение до падения первого осколка на горизонтальную площадку скорости осколков параллельны.
Под каким углом \(\varphi\) к вертикали в этот момент движутся осколки? Ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\). Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.
Найдите скорость \(V_1\) первого осколка перед падением на площадку.
Найдите \(\cos\alpha\).
Найдите наибольшее расстояние \(d\) между осколками в процессе полёта осколков.
▶ПодсказкаСкрыть
Если скорость первого осколка в момент падения образует с вертикалью угол \(45^\circ\), её горизонтальная и вертикальная компоненты равны по модулю. Относительная скорость осколков постоянна, так как ускорения одинаковы.
▶ОтветСкрыть
1) \(\varphi = 45^\circ\); 2) \(V_1 = 14\text{ м/с}\); 3) \(\cos\alpha = 0{,}9\); 4) \(d \approx 10{,}6\text{ м}\).
▶РешениеСкрыть
Перед падением первого осколка его скорость составляет с вертикалью угол \(45^\circ\), поэтому её горизонтальная проекция \(V_0\cos\alpha\) равна модулю вертикальной проекции: \[V_0^2\cos^2\alpha = V_0^2\sin^2\alpha + 2gH \quad\Rightarrow\quad \cos 2\alpha = \frac{2gH}{V_0^2} = \frac{75}{121}, \qquad \cos\alpha = 0{,}9.\] Скорость перед падением \(V_1 = \sqrt2\,V_0\cos\alpha = 14\text{ м/с}\).
Ускорения осколков одинаковы, поэтому их относительная скорость постоянна: \(u = \sqrt2\,V_0(\cos\alpha - \sin\alpha) \approx 7{,}2\text{ м/с}\). Время полёта первого осколка \(T = \dfrac{V_0\sin\alpha + \sqrt{V_0^2\sin^2\alpha + 2gH}}{g} \approx 1{,}47\text{ с}\). Наибольшее расстояние между осколками \(d = uT \approx 10{,}6\text{ м}\).
зад 2 Четырёхколёсная тележка на клине
По шероховатой наклонной плоскости клина, образующей угол \(\alpha = 45^\circ\) с горизонтом, скатывается без проскальзывания четырёхколёсная тележка (см. рис.). Масса тележки (включая массу всех колёс) \(M = 2\text{ кг}\), масса каждого колеса \(m = M/10\) однородно распределена по ободу колеса. Клин покоится на горизонтальной плоскости. Масса клина равна массе тележки. Ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\).
Найдите модуль \(a\) ускорения тележки.
Найдите силу \(F_{ТР}\) трения, действующую на клин со стороны горизонтальной плоскости.
При каких величинах коэффициента \(\mu\) трения скольжения клина по горизонтальной плоскости клин будет находиться в покое?
▶ПодсказкаСкрыть
Кинетическая энергия колеса, катящегося по ободу, складывается из поступательной и вращательной части. Сила трения, действующая на клин, равна горизонтальной составляющей произведения массы тележки и её ускорения.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = \dfrac{g\sin\alpha}{1 + 4m/M} \approx 5\text{ м/с}^2\); 2) \(F_{ТР} \approx 7\text{ Н}\); 3) \(\mu \geqslant 0{,}22\).
▶РешениеСкрыть
Кинетическая энергия тележки при качении без проскальзывания: \(\dfrac{(M + 4m)v^2}{2}\) (для каждого колеса поступательная и вращательная части дают \(mv^2\)). Убыль потенциальной энергии равна приращению кинетической, поэтому ускорение тележки \[a = \frac{g\sin\alpha}{1 + 4m/M} = \frac{10\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{1{,}4} \approx 5\text{ м/с}^2.\] Горизонтальная сила, с которой тележка действует на клин, равна \(Ma\cos\alpha\), и такой же по модулю является сила трения со стороны горизонтальной плоскости: \[F_{ТР} = Ma\cos\alpha \approx 7\text{ Н}.\] Нормальная реакция горизонтальной плоскости \(N = 2Mg - Ma\sin\alpha \approx 33\text{ Н}\). Клин остаётся в покое при \(F_{ТР} \leqslant \mu N\), откуда \[\mu \geqslant \frac{a\cos\alpha}{2g - a\sin\alpha} \approx 0{,}22.\]
зад 3 Расширение газа в теплоизолированном цилиндре
Теплоизолированный цилиндр лежит на гладкой горизонтальной плоскости. В цилиндре с одной стороны от закреплённого теплоизолированного поршня находится один моль одноатомного идеального газа при температуре \(T_0 = 350\text{ K}\), с другой стороны — вакуум (см. рис.). Пружина не деформирована. Поршень освобождают, после установления равновесия объём газа больше начального в \(n = 2\) раза.
Найдите температуру \(T_1\) газа в конечном состоянии. Теплоёмкости цилиндра и поршня считайте пренебрежимо малыми. Поршень свободно скользит в цилиндре.
Найдите перемещение \(S\) цилиндра в рассматриваемом процессе, если в начальном состоянии поршень находился на расстоянии \(d = 10\text{ см}\) от левого по рисунку основания цилиндра. Масса поршня равна массе цилиндра. Массы газа и пружины малы по сравнению с массами цилиндра и поршня.
▶ПодсказкаСкрыть
Теплообмена нет, поэтому работа газа идёт на изменение его внутренней энергии и на энергию пружины и движение частей. Центр масс системы цилиндр–поршень при отсутствии внешних горизонтальных сил не смещается.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_1 = \dfrac{3nT_0}{4n-1} = 300\text{ K}\); 2) \(S = \dfrac{(n-1)d}{2} = 5\text{ см}\).
▶РешениеСкрыть
Закон сохранения энергии для газа и пружины с учётом движения цилиндра и поршня даёт давление в конечном состоянии \(P_1 = \dfrac{3P_0}{4n-1}\). Из уравнения состояния \(P_1 nV_0/T_1 = P_0V_0/T_0\) получаем \[T_1 = \frac{3nT_0}{4n-1} = 300\text{ K}.\] Суммарный импульс системы цилиндр–поршень равен нулю, масса поршня равна массе цилиндра, поэтому смещения цилиндра и поршня в лабораторной системе противоположны. Поршень сдвигается относительно цилиндра на \((n-1)d\), значит каждый из них смещается на половину этой величины: \(S = \dfrac{(n-1)d}{2} = 5\text{ см}\).
зад 4 Влажный воздух при изотермическом расширении
В цилиндре под поршнем при температуре \(12^\circ\text{C}\) находятся в равновесном состоянии: воздух, водяной пар и вода. Давление насыщенных паров воды при этой температуре \(P_{\text{Н}} = 1400\text{ Па}\). Число молей воздуха равно числу молей пара, масса воды в три раза больше массы пара. Объём смеси медленно изотермически увеличивают до тех пор, пока относительная влажность воздуха в цилиндре уменьшится до \(40\%\).
Определите давление \(P\) влажного воздуха в цилиндре в конечном состоянии. Объём воды в начальном состоянии считайте пренебрежимо малым.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала вся вода испаряется, пар становится ненасыщенным и его парциальное давление обратно пропорционально объёму. Парциальное давление воздуха тоже обратно пропорционально объёму.
▶ОтветСкрыть
1) \(P = 700\text{ Па}\).
▶РешениеСкрыть
В начальном состоянии пар насыщенный, и парциальное давление сухого воздуха равно \(P_{\text{Н}} = 1400\text{ Па}\). При изотермическом увеличении объёма в \(4\) раза вся вода испаряется; дальше пар ненасыщенный. Чтобы относительная влажность упала до \(40\%\), объём нужно увеличить в \(10\) раз в целом. Тогда \[p_{\text{в}} = 0{,}4\,P_{\text{Н}} = 560\text{ Па}, \qquad p_{\text{СВ}} = \frac{P_{\text{Н}}}{10} = 140\text{ Па},\] и давление в конечном состоянии \(P = p_{\text{в}} + p_{\text{СВ}} = 700\text{ Па}\).
зад 5 Сила между сферой и полусферой
По поверхности непроводящей полусферы радиуса \(R\) однородно распределён заряд \(Q\). По поверхности непроводящей сферы радиуса \(r\) однородно распределён заряд \(q\). Центр полусферы и центр сферы совпадают (см. рис. 1), \(Q, q > 0\).
Найдите силу \(F_1\) взаимодействия сферы и полусферы. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона \(k\).
Половину сферы удаляют (см. рис. 2). Центры полусфер и плоскости максимальных сечений полусфер совпадают.
Найдите модуль \(E\) напряжённости электрического поля в центре полусфер.
Найдите силу \(F_2\) взаимодействия полусфер.
▶ПодсказкаСкрыть
Поле внутри заряженной сферы равно нулю. Для полусферы удобно пользоваться принципом суперпозиции и тем, что сила на заряд в центре полусферы выражается через её поле в этой точке.
▶ОтветСкрыть
1) \(F_1 = \dfrac{kqQ}{2R^2}\); 2) \(E = \dfrac{kQ}{2R^2} - \dfrac{kq}{4r^2}\); 3) \(F_2 = \dfrac{kqQ}{4R^2}\).
▶РешениеСкрыть
Поле однородно заряженной полусферы в её центре равно \(E_1 = \dfrac{kQ}{2R^2}\), поэтому на заряд \(q\) сферы радиуса \(r\) (в центре) действует сила \(F_1 = qE_1 = \dfrac{kqQ}{2R^2}\).
После удаления половины внешней сферы поле в центре создаётся оставшейся полусферой с зарядом \(Q\), \(E_{\text{пол}} = \dfrac{kQ}{2R^2}\), и половиной внутренней сферы с зарядом \(q/2\), поле которой в центре равно \(\dfrac{k(q/2)}{2r^2} = \dfrac{kq}{4r^2}\) и направлено противоположно. Тогда \(E = \dfrac{kQ}{2R^2} - \dfrac{kq}{4r^2}\).
Поле внутри заряженной сферы отсутствует, поэтому полусферы радиуса \(R\) действуют на полусферу радиуса \(r\) с равными по модулю силами \(F\) (по обе стороны от неё), и с учётом \(2F_2 = F_1\) получаем \(F_2 = \dfrac{kqQ}{4R^2}\).
зад 1б Осколки под углами $\alpha$ и $2\alpha$
На высоте \(H\) над горизонтальной площадкой фейерверк разрывается на множество осколков, два из которых движутся в одной вертикальной плоскости с одинаковой по модулю начальной скоростью \(V_0 = 10\text{ м/с}\). Вектор начальной скорости первого осколка образует с горизонтом угол \(\alpha\), вектор начальной скорости второго осколка образует с горизонтом угол \(2\alpha\) (см. рис.). За мгновение до падения первого осколка на горизонтальную площадку векторы скорости осколков параллельны и образуют с вертикалью угол \(\varphi = 45^\circ\).
Под каким углом \(\alpha\) к горизонту стартовал первый осколок? Ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\). Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.
На какой высоте \(H\) произошёл разрыв фейерверка?
Найдите наибольшее расстояние \(d\) между осколками в процессе полёта осколков.
▶ПодсказкаСкрыть
В момент падения первого осколка горизонтальная проекция его скорости равна модулю вертикальной. Такое же условие на параллельность векторов даёт уравнение для \(\alpha\), в котором участвуют углы \(\alpha\) и \(2\alpha\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\alpha = 30^\circ\); 2) \(H = 2{,}5\text{ м}\); 3) \(d \approx 7\text{ м}\).
▶РешениеСкрыть
Параллельность векторов скорости в момент падения первого осколка с углом \(45^\circ\) к вертикали даёт условие \(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha = \sin\alpha + \cos\alpha\), которому удовлетворяет \(\alpha = 30^\circ\).
Горизонтальная скорость первого осколка \(V_0\cos\alpha\) равна модулю его вертикальной скорости в момент падения: \(V_0^2\cos^2\alpha = V_0^2\sin^2\alpha + 2gH\), откуда \(H = \dfrac{V_0^2\cos 2\alpha}{2g} = 2{,}5\text{ м}\).
Относительная скорость осколков постоянна: \(u = |\vec v_1 - \vec v_2| = 2V_0\sin\dfrac{\alpha}{2} \approx 5{,}2\text{ м/с}\) при \(\alpha = 30^\circ\). Время полёта первого осколка до падения \(T = (V_0\sin\alpha + V_0\cos\alpha)/g \approx 1{,}37\text{ с}\), и \(d = uT \approx 7\text{ м}\).
зад 2б Труба на наклонной плоскости и нить
Однородная тонкостенная труба массой \(m = 2{,}4\text{ кг}\) удерживается на шероховатой наклонной плоскости клина лёгкой горизонтальной нитью, прикреплённой к трубе (см. рис.). Наклонная плоскость образует с горизонтальной плоскостью угол \(\alpha\) такой, что \(\sin\alpha = 0{,}6\).
Найдите модуль \(T\) силы натяжения нити. Ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\). Ось трубы параллельна горизонтальной плоскости. Нить обрывается. Труба катится по наклонной плоскости без проскальзывания с нулевой начальной скоростью, клин покоится.
Найдите горизонтальное перемещение \(S\) оси трубы за первую секунду движения трубы по клину.
С какой по модулю горизонтальной силой \(f_{ТР}\) трения клин действует на горизонтальную плоскость?
При каком угле \(\alpha\) модуль \(f_{ТР}\) горизонтальной силы трения наибольший?
Найдите этот наибольший модуль \(\tilde f_{ТР}\) силы трения.
▶ПодсказкаСкрыть
Для трубы, катящейся без проскальзывания, кинетическая энергия равна \(mV^2\), а ускорение центра масс равно \(\tfrac12 g\sin\alpha\). Горизонтальная сила трения на клин равна \(ma\cos\alpha\).
▶ОтветСкрыть
1) \(T = 8\text{ Н}\); 2) \(S = 1{,}2\text{ м}\); 3) \(f_{ТР} = 5{,}76\text{ Н}\); 4) \(\alpha = 45^\circ\); 5) \(\tilde f_{ТР} = 6\text{ Н}\).
▶РешениеСкрыть
Моменты сил относительно точки касания трубы с плоскостью: \(T R(1 + \cos\alpha) = mgR\sin\alpha\), откуда \(T = \dfrac{mg\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = 8\text{ Н}\).
Кинетическая энергия катящейся без проскальзывания трубы равна \(mV^2\), поэтому ускорение центра масс \(a = \tfrac12 g\sin\alpha = 3\text{ м/с}^2\). За первую секунду ось проходит вдоль наклонной плоскости путь \(at^2/2 = 1{,}5\text{ м}\), а горизонтальное перемещение \(S = 1{,}5\cos\alpha = 1{,}2\text{ м}\).
Горизонтальная сила, с которой труба действует на клин, равна \(ma\cos\alpha\), и с такой же по модулю силой клин действует на горизонтальную плоскость: \(f_{ТР} = ma\cos\alpha = 5{,}76\text{ Н}\).
В общем случае \(f_{ТР} = \dfrac{mg}{4}\sin 2\alpha\), наибольшее значение \(\tilde f_{ТР} = \dfrac{mg}{4} = 6\text{ Н}\) достигается при \(\alpha = 45^\circ\).
зад 3б Адиабатное сжатие гелия песком
Гелий находится в вертикальном теплоизолированном цилиндре под теплоизолированным поршнем. Количество вещества \(\nu = 1\) моль. На поршень медленно насыпают песок. К тому моменту, когда внешние силы совершили над газом работу \(\Delta A = 30\text{ Дж}\), давление газа увеличилось на \(\delta = 2\%\).
Найдите температуру \(\tilde T\) газа в этот момент. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\). Действие сил трения на поршень пренебрежимо мало.
▶ПодсказкаСкрыть
Теплообмена нет, поэтому работа внешних сил над газом равна приращению его внутренней энергии \(\tfrac32\nu R\,\Delta T\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\tilde T \approx 303\text{ K}\) (точнее \(303{,}2\text{ K}\)).
▶РешениеСкрыть
Теплообмена нет, поэтому \(\Delta A = \Delta U = \dfrac32\nu R\,\Delta T\), откуда \[\Delta T = \frac{2\,\Delta A}{3\nu R} \approx 2{,}4\text{ K}.\] Начальная температура газа \(T_0 \approx 300{,}8\text{ K}\) (по изменению давления на \(2\%\)). Искомая температура \(\tilde T = T_0 + \Delta T \approx 303{,}2\text{ K}\).
зад 4б Впрыск воды в насыщенный пар
В цилиндре под лёгким поршнем площадью \(S = 100\text{ см}^2\) находится насыщенный водяной пар. Масса пара \(M = 5\text{ г}\), давление пара \(P = 100\text{ кПа}\). В цилиндр впрыскивают \(m = 10\text{ г}\) воды при температуре \(t_0 = 0^\circ\text{C}\). Через некоторое время в цилиндре устанавливается равновесное состояние.
Найдите температуру \(t_1\) по шкале Цельсия в цилиндре в этом равновесном состоянии. Удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\text{ Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}\), удельная теплота парообразования воды \(r = 2{,}26\cdot 10^6\text{ Дж/кг}\). Считайте, что в теплообмене участвуют только водяной пар и вода. Внешнее давление не изменяется.
Найдите массу \(M_{\text{В}}\) воды в цилиндре в равновесном состоянии.
Найдите перемещение \(H\) поршня в процессе перехода системы из начального состояния в конечное. Молярная масса воды \(\mu = 18\text{ г/моль}\), универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\). Изменение объёма воды считайте пренебрежимо малым.
▶ПодсказкаСкрыть
Оцените, сколько теплоты может отдать весь пар и сколько нужно, чтобы нагреть воду до \(100^\circ\text{C}\). Если второе меньше первого, часть пара сконденсируется, а температура останется равной \(100^\circ\text{C}\).
▶ОтветСкрыть
1) \(t_1 = 100^\circ\text{C}\); 2) \(M_{\text{В}} \approx 11{,}9\text{ г}\); 3) \(H \approx 0{,}32\text{ м}\).
▶РешениеСкрыть
Весь пар может отдать \(Mr = 11\,300\text{ Дж}\), а для нагрева воды массой \(m\) от \(0^\circ\text{C}\) до \(100^\circ\text{C}\) нужно \(cm\cdot100^\circ\text{C} = 4200\text{ Дж}\). Так как \(4200\text{ Дж} < 11\,300\text{ Дж}\), часть пара конденсируется, а равновесная температура \(t_1 = 100^\circ\text{C}\).
Из теплового баланса масса сконденсировавшегося пара \[\Delta M = \frac{c\,m\cdot 100^\circ\text{C}}{r} \approx 1{,}86\text{ г}, \qquad M_{\text{В}} = m + \Delta M \approx 11{,}9\text{ г}.\] Плотность насыщенного пара при \(100^\circ\text{C}\): \(\rho_{\text{п}} = \dfrac{P\mu}{RT} \approx 0{,}58\text{ кг/м}^3\). Объём сконденсировавшегося пара \(\Delta V = \Delta M/\rho_{\text{п}}\), перемещение поршня \(H = \dfrac{\Delta V}{S} \approx 0{,}32\text{ м}\).
зад 5б Тонкая заряженная сфера и давление на стенку
Тонкостенная заряженная металлическая сфера радиуса \(R = 10\text{ см}\) с толщиной стенки \(d = 0{,}2\text{ см}\) находится внутри заземлённой проводящей сферы радиуса \(2R\). Центры сфер совпадают. Потенциал сферы радиуса \(R\) равен \(\varphi_0 = 9\text{ В}\).
Найдите заряд \(Q\) сферы радиуса \(R\). Коэффициент пропорциональности в законе Кулона \(k = 9\cdot 10^9\text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2\).
Заземлённую сферу удаляют. Рассмотрим заряд, находящийся на любой элементарной площадке \(\Delta S\) (\(\Delta S \ll R^2\)) сферы радиуса \(R\). Выведите формулу для модуля \(\Delta F\) силы, с которой остальные заряды сферы действуют на заряд рассматриваемой элементарной площадки \(\Delta S\).
Вычислите модуль \(F\) суммы таких сил, действующих на заряды всех элементарных площадок любой половины сферы радиуса \(R\).
До какого максимального заряда \(Q_{\text{MAX}}\) можно зарядить сферу радиуса \(R\), если предельная прочность на разрыв материала, из которого сделана сфера, равна \(\sigma_{\text{ПРЕД}} = 2\cdot 10^9\text{ Па}\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Поверхностная плотность заряда \(\sigma = Q/(4\pi R^2)\). Сила, действующая на элемент поверхности со стороны остальных зарядов, равна половине поля, создаваемого самим элементом, умноженной на заряд элемента. Для разрыва по большому кругу сумма сил давления уравновешивается растяжением стенки.
▶ОтветСкрыть
1) \(Q = 2\cdot 10^{-10}\text{ Кл}\); 2) \(\Delta F = \dfrac{\sigma^2\,\Delta S}{2\varepsilon_0} = \dfrac{kQ^2\,\Delta S}{8\pi R^4}\); 3) \(F = \dfrac{kQ^2}{8R^2} \approx 4{,}5\cdot 10^{-9}\text{ Н}\); 4) \(Q_{\text{MAX}} \approx 4{,}7\cdot 10^{-3}\text{ Кл}\).
▶РешениеСкрыть
Потенциал сферы \(\varphi_0 = kQ\left(\dfrac1R - \dfrac1{2R}\right) = \dfrac{kQ}{2R}\) при заземлённой внешней сфере, откуда \(Q = \dfrac{2R\varphi_0}{k} = 2\cdot 10^{-10}\text{ Кл}\).
Поле вблизи элемента \(\Delta S\) складывается из собственного поля элемента \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) и поля остальных зарядов, которое равно \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) (принцип суперпозиции). Поэтому сила на элемент \(\Delta F = \sigma\Delta S\cdot\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\), а с учётом \(\sigma = Q/(4\pi R^2)\) и \(1/\varepsilon_0 = 4\pi k\) получаем \(\Delta F = \dfrac{kQ^2\Delta S}{8\pi R^4}\).
Силы давления направлены радиально; сумма их проекций на ось, перпендикулярную плоскости разреза, равна сумме сил на «дно» полусферы: \(F = \dfrac{kQ^2}{8R^2} \approx 4{,}5\cdot 10^{-9}\text{ Н}\).
При разрыве по периметру большого круга \(2\pi R\) сумма сил давления уравновешивается упругими силами стенки \(\sigma_{\text{ПРЕД}}\cdot 2\pi R d\). Отсюда \[Q_{\text{MAX}} = \sqrt{\frac{16\pi\,\sigma_{\text{ПРЕД}}\,R^3 d}{k}} \approx 4{,}7\cdot 10^{-3}\text{ Кл}.\]