Физтех, 2025/26, заключительный этап, 9 класс

Запишите путь за первые \(t_1\) и за \(t_1 + t_2\) секунд; из разности получите ускорение. Для второго вопроса используйте связь скорости и пути при равноускоренном движении из состояния покоя.

1) \(a = 4\text{ м/с}^2\);  2) \(S = 128\text{ м}\).

Пусть \(v_1\) — скорость мотоциклиста в начале первого отрезка. Тогда \(S_1 = v_1 t_1 + \dfrac{a t_1^2}{2}\) и \(S_2 = (v_1 + a t_1) t_2 + \dfrac{a t_2^2}{2}\). Исключая \(v_1\), получаем \[a = \frac{2\,(S_2 t_1 - S_1 t_2)}{t_1 t_2 (t_1 + t_2)} = 4\text{ м/с}^2 .\] Скорость \(v = 32\) м/с достигается на пути \[S = \frac{v^2}{2a} = 128\text{ м}.\]

Перемещение мяча за время полёта, упавшего на склон, равно \(\vec v_0 T + \vec g T^2/2\). Спроецируйте это равенство на нормаль к склону.

1) \(V_0 = 10\sqrt{6}\text{ м/с} \approx 24{,}5\text{ м/с}\);  2) \(S = 40(\sqrt3 - 1)\text{ м} \approx 29{,}3\text{ м}\);  3) \(R = 15(2 - \sqrt3)\text{ м} \approx 4{,}0\text{ м}\).

За время полёта перемещение мяча, упавшего на склон, равно \(\vec r = \vec v_0 T + \vec g T^2/2\). Проекции векторов \(\vec v_0 T\) и \(\vec g T^2/2\) на нормаль к склону равны по модулю: \[v_0 T \sin 45^\circ = \frac{g T^2}{2}\cos 30^\circ \quad\Rightarrow\quad V_0 = \frac{g T \cos 30^\circ}{2\sin 45^\circ} = 10\sqrt{6}\text{ м/с} \approx 24{,}5\text{ м/с}.\] Дальность полёта равна алгебраической сумме проекций векторов \(\vec v_0 T\) и \(\vec g T^2/2\) на склон: \[S = V_0 T\cos 45^\circ - \frac{g T^2}{2}\sin 30^\circ = 40(\sqrt3 - 1)\text{ м} \approx 29{,}3\text{ м}.\] Радиус кривизны минимален там, где скорость минимальна. Минимальная скорость достигается в точке, где вектор скорости перпендикулярен \(\vec g\) (тогда нормальное ускорение равно \(g\)). Эта точка находится в момент \(t = (3 + \sqrt3)/2\) с; в ней \(v_{\min} = 5(3-\sqrt3)\text{ м/с}\), и \[R = \frac{v_{\min}^2}{g} = 15(2-\sqrt3)\text{ м} \approx 4{,}0\text{ м}.\]

В высшей точке скорость горизонтальна. Используйте закон сохранения импульса по горизонтали и условие возвращения массивного осколка в точку старта.

1) \(Q = 6\cdot 10^5\text{ Дж}\).

В высшей точке скорость снаряда горизонтальна: \(v = v_0\cos45^\circ = 50\sqrt2\text{ м/с}\). Высота точки \(H = \dfrac{v_0^2\sin^2 45^\circ}{2g} = 250\text{ м}\), время падения осколков \(t = \sqrt{2H/g} = 5\sqrt2\text{ с}\), горизонтальное смещение точки разрыва от старта \(x = 500\text{ м}\).

Массивный осколок массой \(M_1 = 4M/5 = 12\text{ кг}\) возвращается в точку старта, значит его горизонтальная скорость \(u_1 = -x/t = -v\). Закон сохранения импульса по горизонтали для осколка массой \(M_2 = M/5 = 3\text{ кг}\) даёт \[Mv = -M_1 v + M_2 u_2 \quad\Rightarrow\quad u_2 = 9v.\] Энергия, выделившаяся при взрыве: \[Q = \frac{M_1 v^2}{2} + \frac{M_2 (9v)^2}{2} - \frac{M v^2}{2} = 120\,v^2 = 6\cdot 10^5\text{ Дж}.\]

Какая масса воды проходит через змеевик за секунду и сколько тепла она получает? Какой объём пара при этом конденсируется за секунду и какова его масса?

1) \(L \approx 2{,}24\cdot 10^6\text{ Дж/кг}\).

За секунду через змеевик проходит вода массой \(\rho S_1 v\); она получает количество теплоты \(c\rho S_1 v (t_2 - t_1)\). Пар, конденсирующийся за секунду, занимает объём \(S U\) и имеет массу \(\rho_{НАС} S U\); при конденсации он отдаёт \(\rho_{НАС} S U L\). Потерь нет, поэтому \[L = \frac{\rho}{\rho_{НАС}}\cdot\frac{c\, S_1 v (t_2 - t_1)}{S U} = 1600\cdot\frac{4200\cdot 0{,}1\cdot 10\cdot 80}{10\cdot 24}\text{ Дж/кг} \approx 2{,}24\cdot 10^6\text{ Дж/кг}.\]

Так как перемычка идеальна, точки \(A\) и \(B\) имеют одинаковый потенциал. Найдите эквивалентное сопротивление, а затем распределение токов.

1) \(I = 6\text{ А}\);  2) \(P = 156\text{ Вт}\).

Так как \(A\) и \(B\) соединены перемычкой без сопротивления, сопротивления \(2r\) и \(4r\) оказываются параллельными, как и \(5r\) и \(r\). Эквивалентное сопротивление цепи \[R = \frac{2r\cdot 4r}{6r} + \frac{5r\cdot r}{6r} = \frac{13}{6}\,r = \frac{13}{3}\text{ Ом}.\] Ток через верхнее плечо \(2r\) относится к току через \(4r\) как \(2 : 1\), а ток через \(5r\) к току через \(r\) как \(1 : 5\). Отсюда ток через перемычку \(I_1 = I/2\), и \(I = 2I_1 = 6\text{ А}\). Мощность \[P = I^2 R = 36\cdot\frac{13}{3}\text{ Вт} = 156\text{ Вт}.\]

Угол поворота от начала вращения равен \(\varphi = a_\tau t^2/(2R)\). Запишите углы первого и второго поворотов через моменты их начала и конца, неизвестный момент начала первого поворота найдите из системы.

1) \(a_\tau = 0{,}1\text{ м/с}^2\);  2) \(N \approx 6{,}4\).

Угол от начала вращения: \(\varphi(t) = \dfrac{a_\tau t^2}{2R}\). Пусть первый поворот начинается в момент \(\tau_0\). Тогда при \(R = 0{,}5\) м \[a_\tau\big[(\tau_0 + 2)^2 - \tau_0^2\big] = 2, \qquad a_\tau\big[(\tau_0 + 5)^2 - (\tau_0 + 2)^2\big] = 4{,}5 .\] Отсюда \(\tau_0 = 4\text{ с}\) и \(a_\tau = 0{,}1\text{ м/с}^2\).

Скорость \(v_1 = 2\) м/с достигается в момент \(t = v_1/a_\tau = 20\text{ с}\). Угол поворота к этому моменту \(\varphi = a_\tau t^2/(2R) = 40\text{ рад}\), число оборотов \(N = \varphi/(2\pi) \approx 6{,}4\).

Для осколка, упавшего в точку на расстоянии \(S\) за время \(T\), запишите горизонтальную и вертикальную компоненты движения. Исключите угол броска, получив связь между \(v_0\), \(S\) и \(T\); два осколка с одинаковой \(v_0\) дают второе уравнение.

1) \(T_1 = 2\text{ с}\);  2) \(L = 32{,}5\text{ м}\);  3) \(R = 22{,}5\text{ м}\).

Для осколка, упавшего в точку на расстоянии \(S\) за время \(T\): \(S = v_0\cos\theta\, T\), \(v_0\sin\theta\, T = gT^2/2\), откуда \[v_0^2 = \frac{S^2}{T^2} + \frac{g^2T^2}{4}.\] Для двух осколков с одинаковой \(v_0\) и временами \(T_1\) и \(T_2 = T_1 + \tau\) получаем \(T_1 T_2 = 2S/g = 6\text{ с}^2\), откуда \(T_1 = 2\text{ с}\), \(T_2 = 3\text{ с}\).

Максимальное расстояние на площадке \(L = v_0^2/g\) с \(v_0^2 = 225 + 100 = 325\text{ м}^2/\text{с}^2\): \(L = 32{,}5\text{ м}\).

Наименьший радиус кривизны первого осколка — в верхней точке, где скорость равна горизонтальной составляющей \(S/T_1 = 15\text{ м/с}\) и нормальное ускорение равно \(g\): \(R = (S/T_1)^2/g = 22{,}5\text{ м}\).

Энергия системы: кинетическая энергия тонкостенного цилиндра, катящегося по нити, равна \(Mv^2/2\). Из закона сохранения энергии найдите ускорение груза.

1) \(t_1 = 0{,}6\text{ с}\);  2) \(F = \dfrac{8}{3}\text{ Н} \approx 2{,}7\text{ Н}\).

Закон сохранения энергии: \(mgx = \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{Mv^2}{2}\), где \(v\) — скорость груза (скорость точки на ободе блока). Отсюда \(a = \dfrac{mg}{m+M} = \dfrac{g}{3}\), а время до скорости \(v_1\) равно \(t_1 = v_1/a = 0{,}6\text{ с}\).

Натяжение нити: \(T = m(g - a) = \dfrac{2}{3}\text{ Н}\). Ось действует на блок силой, уравновешивающей вес блока и натяжение нити, поэтому блок действует на ось с силой \(F = Mg + T = \dfrac{8}{3}\text{ Н} \approx 2{,}7\text{ Н}\).

Запишите уравнение теплового баланса для каждого опыта; теплоёмкость стакана с водой и одной порции обозначьте через отношение.

1) \(\Delta t = 30\text{ ºC}\).

Обозначим \(x = C/C_B\), где \(C\) — теплоёмкость стакана с водой, \(C_B\) — теплоёмкость одной порции, \(\theta\) — разность температур горячей воды и начальной температуры стакана. Первый опыт: \(C_B(\theta - \Delta t_1) = C\,\Delta t_1\), откуда \(\theta = (x+1)\Delta t_1\). Второй опыт: \(C_B(\theta - \Delta t_1 - \Delta t_2) = (C + C_B)\Delta t_2\), откуда \(\theta = (x+1)\Delta t_2 + \Delta t_1 + \Delta t_2\). Исключая \(x\): \[x + 1 = \frac{\Delta t_1 + \Delta t_2}{\Delta t_1 - \Delta t_2} = \frac{10}{2} = 5, \qquad \theta = (x+1)\Delta t_1 = 30\text{ ºC}.\]

Напишите закон Ома для всей цепи: напряжение источника равно сумме напряжений на лампе и на резисторе. Подставьте \(I = kU^2\) и получите квадратное уравнение относительно \(U\).

1) \(U = 1\text{ В}\);  2) \(P = 15\text{ мВт}\).

По второму закону Кирхгофа для последовательной цепи \(U_0 = U + IR\); с учётом \(I = kU^2\): \[kRU^2 + U - U_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad U^2 + 2U - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad U = 1\text{ В}.\] Сила тока \(I = kU^2 = 10\text{ мА}\). Мощность сил источника \(P = U_0 I = 15\text{ мВт}\).