«Газпром», 2021/22, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Найдите время до встречи и высоту встречи из уравнений движения двух шариков. При упругом ударе одинаковых шариков они обмениваются скоростями, так что после удара первый шарик летит с той скоростью, которая была у второго. Энергетический баланс второго шарика даёт скорость у земли.

Ответ

\(\tau' = \dfrac{\sqrt{u^2 + 2gH} - u}{g} - \dfrac{H}{V_0 + u}\).

Решение

Уравнения движения шариков до соударения: \(h_1 = V_0\tau_1 - \dfrac{g\tau_1^2}{2}\) и \(h_1 = H - u\tau_1 - \dfrac{g\tau_1^2}{2}\). Отсюда время до встречи \(\tau_1 = \dfrac{H}{V_0 + u}\), а высота встречи \[h_1 = \frac{HV_0}{V_0 + u} - \frac{g}{2}\left(\frac{H}{V_0 + u}\right)^2.\] Проекции скоростей в точке встречи: \(V_{11} = V_0 - g\tau_1\) и \(V_{21} = -u - g\tau_1\).

Удар абсолютно упругий между одинаковыми шариками, поэтому скорости обмениваются: проекция скорости первого шарика после удара \(V'_{11} = V_{21} = -u - \dfrac{gH}{V_0 + u}\) (вниз).

По закону сохранения энергии модуль скорости первого шарика у поверхности Земли \(V''_{11} = \sqrt{u^2 + 2gH}\) (второй шарик стартовал с высоты \(H\) со скоростью \(u\)).

Время полёта от точки удара до поверхности найдём из уравнения \(\sqrt{u^2 + 2gH} = \left(u + \dfrac{gH}{V_0 + u}\right) + g\tau'\), где скобка — модуль скорости первого шарика сразу после удара: \[\tau' = \frac{\sqrt{u^2 + 2gH} - u}{g} - \frac{H}{V_0 + u}.\]

Подсказка

Поршень сдвигается, потому что вода сжимается. Найдите относительное сжатие воды через смещение поршня, затем давление по сжимаемости и массу гелия по уравнению Клапейрона–Менделеева.

Ответ

\(m \approx 3{,}2\) г.

Решение

При смещении поршня на \(\Delta h\) объём воды уменьшается на \(a^2\Delta h\), поэтому относительное изменение объёма воды \(\delta = \dfrac{a^2\Delta h}{a^3} = \dfrac{\Delta h}{a}\).

Давление гелия над поршнем, которое сжимает воду на эту величину: \(p = \dfrac{\delta}{\varepsilon} = \dfrac{\Delta h}{a\varepsilon}\).

По уравнению Клапейрона–Менделеева для объёма \(V' = a^2\Delta h\): \[m = \frac{\mu pV'}{RT} = \frac{\mu a (\Delta h)^2}{\varepsilon R T} \approx 3{,}2~\text{г}.\]

Ответ: \(m \approx 3{,}2\) г.

Подсказка

Давление газа постоянно, так как поршень движется с постоянным ускорением под действием только газа. Работа газа равна кинетической энергии поршня, а изменение внутренней энергии связано с уравнением состояния.

Ответ

\(Q = \dfrac{M(a\tau)^2}{2}\left(1 + \dfrac{c}{R}\right)\).

Решение

Поскольку поршень движется равноускоренно, давление газа остаётся постоянным, процесс изобарный. По первому началу термодинамики \(Q = p\Delta V + \nu c\,\Delta T\).

По уравнению Клапейрона–Менделеева \(p\Delta V = \nu R\,\Delta T\). По теореме об изменении кинетической энергии поршня работа газа равна \(p\Delta V = \dfrac{M(a\tau)^2}{2}\). Значит, \(\nu\,\Delta T = \dfrac{M(a\tau)^2}{2R}\).

Окончательно \[Q = \frac{M(a\tau)^2}{2} + \frac{cM(a\tau)^2}{2R} = \frac{M(a\tau)^2}{2}\left(1 + \frac{c}{R}\right).\]

Подсказка

Сила сопротивления зависит только от модуля скорости, и её направление противоположно скорости. Сравните силу сопротивления в двух состояниях при одинаковой массе.

Ответ

\(a_2 = a_1\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)^2 + g\).

Решение

Перед ударом горизонтальный полёт: \(a_1 = \dfrac{F_1}{m} = \dfrac{kV_1^2}{m}\), где \(k\) — коэффициент пропорциональности силы сопротивления, \(m\) — масса мяча.

После удара мяч летит вверх, на него действуют сила тяжести \(mg\) и сила сопротивления \(kV_2^2\), обе направлены вниз. Ускорение \[a_2 = \frac{kV_2^2 + mg}{m} = \frac{m a_1 V_2^2}{m V_1^2} + g = a_1\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2 + g.\]

Ответ: \(a_2 = a_1\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)^2 + g\).

Подсказка

Для машины Карно отношение теплот от холодильника и нагревателя равно отношению абсолютных температур. Теплота парообразования в нагревателе и теплота кристаллизации в холодильнике связаны этим отношением.

Ответ

\(m' \approx 0{,}988\) кг.

Решение

Чтобы испарить воду, нужно затратить количество теплоты \(Q_1 = rm\). При замерзании воды в холодильнике выделяется количество теплоты \(Q_2 = \lambda m'\).

Для обратного цикла Карно \(\dfrac{|Q_1| - |Q_2|}{|Q_1|} = 1 - \dfrac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}\), откуда \(\dfrac{|Q_2|}{|Q_1|} = \dfrac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}\). Тогда \[m' = \frac{T_{\text{х}}\,m\,r}{T_{\text{н}}\,\lambda} \approx 0{,}988~\text{кг}.\]

Ответ: \(m' \approx 0{,}988\) кг.

Подсказка

Лучи от источника, прошедшие через край линзы, пересекают экран. Пятно получится из подобных треугольников, образованных осью, краем линзы и лучом до экрана.

Ответ

\(D' = \dfrac{FD}{d}\).

Решение

Луч от источника через оптический центр линзы не преломляется и попадает на экран на расстоянии \(D'/2\) от оси. Луч от источника к краю линзы после преломления пересекает экран на том же расстоянии \(D'/2\). Из подобия треугольников, образованных лучом, главной и побочной осями, получаем \[\frac{D'}{D} = \frac{F}{d}, \qquad D' = \frac{FD}{d}.\]

Ответ: \(D' = \dfrac{FD}{d}\).