«Газпром», 2021/22, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Индукционный ток идёт, пока меняется магнитный поток через кольцо, то есть пока график \(B(t)\) имеет наклон. На участках постоянной индукции тока нет.

Ответ

\(3\) с.

Подсказка

За каждое полуколебание амплитуда уменьшается на одну и ту же величину, так как работа силы трения на пути, равном сумме амплитуд, одинакова. Остановка наступает, когда сила упругости не превышает силу трения покоя.

Ответ

\(\mu = \dfrac{kx_0}{mg(4N+1)}\).

Решение

Пусть \(x_{1/2}\) — смещение бруска влево при первом полуколебании. По закону сохранения энергии \[\frac{kx_0^2}{2} = \frac{kx_{1/2}^2}{2} + \mu mg\left(x_0 + x_{1/2}\right).\] Отсюда \(\dfrac{k(x_0 - x_{1/2})}{2}(x_0 + x_{1/2}) = \mu mg (x_0 + x_{1/2})\), т.е. \(k(x_0 - x_{1/2}) = 2\mu mg\), откуда \(x_{1/2} = x_0 - \dfrac{2\mu mg}{k}\).

За одно полное колебание смещение уменьшается на \(\dfrac{4\mu mg}{k}\), поэтому после \(N\) колебаний \(x_N = x_0 - \dfrac{4N\mu mg}{k}\).

Колебания прекращаются, когда \(kx_N = \mu mg\). Тогда \(kx_0 - 4N\mu mg = \mu mg\), откуда \[\mu = \frac{kx_0}{mg(4N+1)}.\]

Подсказка

Тепло подводится только на изотерме, где работа газа равна полученному теплу. Тепло отводится только на изохоре, и его можно выразить через \(\Delta T\) и теплоёмкость одноатомного газа.

Ответ

\(A_{1\text{–}2} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{R\,\Delta T}{1 - \eta}\).

Решение

Максимальная температура газа \(T_1 = T_2\), минимальная \(T_3\). Тепло подводится на изотерме 1–2 и равно работе газа \(Q_1 = A_{1\text{–}2}\). На адиабате тепла нет, на изохоре 2–3 тепло отводится: \[|Q_2| = \nu c_V (T_2 - T_3) = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T.\] По определению КПД \(\eta = 1 - \dfrac{|Q_2|}{Q_1} = 1 - \dfrac{\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T}{A_{1\text{–}2}}\), откуда \(A_{1\text{–}2} = \dfrac{3\nu R\,\Delta T}{2(1 - \eta)}\). При \(\nu = 1\) получаем ответ.

Подсказка

Энергия фотона обратно пропорциональна его длине волны. Сравните энергии фотона до и после рассеяния.

Ответ

\(8\%\).

Решение

Энергия фотона \(E = \dfrac{hc}{\lambda}\). Энергия падающего излучения \(E_1 = \dfrac{hc}{\lambda_1}\), после рассеяния \(E_2 = \dfrac{hc}{\lambda_2}\). Доля переданной энергии \[\alpha = \frac{E_1 - E_2}{E_1} = 1 - \frac{E_2}{E_1} = 1 - \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1 - \frac{2{,}4\cdot 10^{-11}}{2{,}6\cdot 10^{-11}} \approx 0{,}08 = 8\%.\]

Подсказка

В нижней точке спица вертикальна, а кулоновская сила направлена горизонтально, поэтому по вертикали действуют только натяжение спицы и сила тяжести. Энергию системы удобно считать через расстояние между шариками в начальной и нижней точках.

Ответ

\(T = 3mg + \dfrac{q^2}{2\pi\varepsilon_0 L^2}\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\).

Решение

Для нижней точки по второму закону Ньютона (вдоль спицы): \(\dfrac{mv^2}{L} = T - mg\).

Закон сохранения энергии: в начальной точке расстояние между шариками равно \(L\sqrt{5}\), в нижней точке — \(L\): \[mgL - \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{5}\,L} = \frac{mv^2}{2} - \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 L}.\] Отсюда \(mv^2 = 2mgL + \dfrac{q^2}{2\pi\varepsilon_0 L}\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\).

Подставляя в уравнение для спицы, получаем \[T = mg + \frac{mv^2}{L} = 3mg + \frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0 L^2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{5}}\right).\]

Подсказка

При \(0\,^\circ\)C все двенадцать конденсаторов одинаковы. Для обеих батарей выпишите ёмкость между противоположными вершинами, учитывая, что в нижней точке цепи все узлы одного слоя имеют одинаковый потенциал.

Ответ

\(\dfrac{C'_{\text{бат}}}{C_{\text{бат}}} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83\).

Решение

Пусть ёмкость воздушного конденсатора равна \(C_0\) (при \(\varepsilon = 1\)). При \(0\,^\circ\)C каждый конденсатор имеет ёмкость \(4C_0\). Батарея куба между противоположными вершинами \(A\) и \(B\) состоит из трёх последовательных слоёв: три конденсатора у вершины \(A\), шесть конденсаторов между слоями и три конденсатора у вершины \(B\). Для ёмкостей, как и для проводимостей, \[\frac{1}{C} = \frac{1}{3C_1} + \frac{1}{6C_2} + \frac{1}{3C_1} = \frac{2}{3C_1} + \frac{1}{6C_2},\] откуда \(C = \dfrac{6}{5}C_{\text{одн}}\) при одинаковых конденсаторах. Начальная батарея: \(C_{\text{бат}} = \dfrac{6}{5}\cdot 4C_0 = 4{,}8\,C_0\).

После изменения температуры: у шести конденсаторов, примыкающих к \(A\) и \(B\), \(\varepsilon_1 = 4 - 0{,}1\cdot 10 = 3\), т.е. \(C_1 = 3C_0\); у остальных шести \(\varepsilon_2 = 4 + 0{,}1\cdot 20 = 6\), т.е. \(C_2 = 6C_0\). Тогда \[\frac{1}{C'_{\text{бат}}} = \frac{2}{9C_0} + \frac{1}{36C_0} = \frac{1}{4C_0}, \qquad C'_{\text{бат}} = 4C_0.\]

Искомое отношение ёмкости батареи после изменения температур к ёмкости при \(0\,^\circ\)C: \(\dfrac{C'_{\text{бат}}}{C_{\text{бат}}} = \dfrac{4C_0}{4{,}8C_0} = \dfrac{5}{6}\approx 0{,}83\).