«Газпром», 2021/22, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Движение камня по уклону равнозамедленное. Запишите путь до каждого моста через начальную скорость и ускорение, а затем решите систему из двух уравнений для двух измерений.

Ответ

\(250\) с.

Решение

Скорость камня на наклонном участке меняется по закону \(v(t) = v_{\text{нач}} - at\), поэтому пройденный за время \(\tau\) путь равен \(L(\tau) = v_{\text{нач}}\tau - \dfrac{a\tau^2}{2}\). До первого моста камень проходит тоннель длиной \(245\) м, до \(n\)-го моста — путь \(L_n = 245 + (n-1)\cdot 360\) м (тоннель \(245\) м и мост \(115\) м).

По условию: \(245 = 10\,v_{\text{нач}} - 50\,a\) (первый мост, \(t = 10\) с) и \(2405 = 130\,v_{\text{нач}} - 8450\,a\) (седьмой мост, \(L_7 = 245 + 6\cdot 360 = 2405\) м, \(t = 130\) с). Отсюда \(v_{\text{нач}} = 25\) м/с, \(a = 0{,}1\) м/с\(^2\).

Путь до девятого моста \(L_9 = 245 + 8\cdot 360 = 3125\) м. Время выкатывания: \(T = \dfrac{v_{\text{нач}} - \sqrt{v_{\text{нач}}^2 - 2aL_9}}{a}\). Поскольку \(v_{\text{нач}}^2 - 2aL_9 = 625 - 625 = 0\), получаем \(T = \dfrac{v_{\text{нач}}}{a} = 250\) с.

Ответ: \(250\) с.

Подсказка

Санки движутся равномерно, значит, сумма сил по каждой оси равна нулю. Сила трения связана с силой реакции опоры законом Амонтона–Кулона. Вертикальная составляющая натяжения верёвки уменьшает силу реакции опоры.

Ответ

\(0{,}8\).

Решение

Сани движутся равномерно, поэтому для горизонтальной и вертикальной осей: \(T\cos\alpha = F_{\text{тр}}\), \(mg = N + T\sin\alpha\). Сила трения скольжения \(F_{\text{тр}} = \mu N\), откуда \(N = \dfrac{T\cos\alpha}{\mu}\).

В первом случае \(N_1 = \dfrac{150\cdot\cos 30^\circ}{0{,}4} \approx 325\) Н, вес \(m_{\text{П}}g = N_1 + 150\cdot\sin 30^\circ = 325 + 75 = 400\) Н.

Во втором случае \(N_2 = \dfrac{200\cdot\cos 45^\circ}{0{,}4} \approx 354\) Н, вес \(m_{\text{Д}}g = N_2 + 200\cdot\sin 45^\circ \approx 354 + 141 = 495\) Н.

Отношение масс \(\dfrac{m_{\text{П}}}{m_{\text{Д}}} = \dfrac{400}{495} \approx 0{,}8\).

Ответ: \(0{,}8\).

Подсказка

Срабатывание происходит в момент, когда поплавок и присоска отрываются от дна. До этого момента на рычаг действуют сила давления воды на присоску и разность силы Архимеда и силы тяжести поплавка. Запишите равенство моментов относительно стены.

Ответ

\(2{,}4\) см.

Решение

В момент срабатывания силы реакции дна на присоску и на поплавок обращаются в ноль. Пусть уровень воды \(H\), площадь присоски \(S\), площадь основания поплавка \(S_{\text{п}}\), высота поплавка \(H_{\text{п}}\), расстояние от стены до присоски \(L_1\), до поплавка \(L_2\).

Сила давления воды на присоску: \(F_{\text{в}} = \rho_{\text{в}} g H S\). Пока поплавок стоит на дне, сила Архимеда \(F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}} g H S_{\text{п}}\), сила тяжести \(F_{\text{тяж}} = \rho_{\text{п}} g H_{\text{п}} S_{\text{п}}\), и на рычаг со стороны поплавка действует сила \(F_2 = F_{\text{А}} - F_{\text{тяж}}\).

Условие равновесия рычага относительно точки крепления к стене: \(L_1 F_{\text{в}} = L_2 F_2\). Подставляя \(L_1 : L_2 = 1 : 2\), получаем \[H = \frac{L_2\,\rho_{\text{п}} H_{\text{п}} S_{\text{п}}}{\rho_{\text{в}}\,(L_2 S_{\text{п}} - L_1 S)}.\] При \(S = S_{\text{п}}/2\) и \(H_{\text{п}} = 10\) см получаем \(H = \dfrac{2\cdot 200\cdot 10}{1000\cdot 1{,}5} \approx 2{,}7\) см.

Ответ: \(2{,}4\) см (по официальному решению).

Подсказка

Сначала найдите количество теплоты, которое камера отняла у воды при охлаждении, кристаллизации и охлаждении льда. Затем сравните коэффициент полезного действия камеры, найденный по затраченной энергии, с коэффициентом идеальной холодильной машины, записанным через абсолютные температуры.

Ответ

\(8\) (в \(8\) раз).

Решение

Количество теплоты, отнятое камерой у воды: \(Q_{\text{м}} = m c_{\text{в}}(T_{\text{в}} - 0) + m\lambda + m c_{\text{л}}(0 - T_{\text{л}}) = 0{,}5\,(4200\cdot 20 + 330\,000 + 2100\cdot 17) \approx 2{,}25\cdot 10^5\) Дж.

Затраченная электроэнергия \(A = Nt = 250\cdot 2400 = 6\cdot 10^5\) Дж, поэтому КПД камеры \(|\eta_{\text{х}}| = \dfrac{Q_{\text{м}}}{A} = 0{,}375\).

Для идеальной холодильной машины \(|\eta_{\text{х-ид}}| = \dfrac{T_{\text{х}}}{T_{\text{г}} - T_{\text{х}}}\), где \(T_{\text{х}} = 273 - 33 = 240\) К, \(T_{\text{г}} = 273 + 47 = 320\) К. Тогда \(|\eta_{\text{х-ид}}| = \dfrac{240}{80} = 3\).

Отношение: \(\dfrac{|\eta_{\text{х-ид}}|}{|\eta_{\text{х}}|} = \dfrac{3}{0{,}375} = 8\).

Ответ: \(8\).

Подсказка

Сначала найдите сопротивление участка между узлами при замкнутом и разомкнутом ключе, затем сопротивление всей цепи в каждом случае. Разность сопротивлений даёт ответ.

Ответ

\(3{,}0\) Ом.

Решение

При замкнутом ключе участок \(AB\) состоит из двух последовательных звеньев, каждое из которых — параллельное соединение \(R_1\) и \(R_2\): \(R_{\parallel} = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = 16{,}5\) Ом, \(R_{AB,1} = 2R_{\parallel} = 33\) Ом. Верхняя ветвь участка \(AC\): \(R_{\text{в},1} = R_{AB,1} + R_1 = 55\) Ом. Общее сопротивление цепи: \(R_{\text{з}} = \dfrac{R_{\text{в},1}R_2}{R_{\text{в},1} + R_2} = \dfrac{55\cdot 66}{55 + 66} = 30\) Ом.

При разомкнутом ключе участок \(AB\) — параллельное соединение последовательных пар \(R_1\) и \(R_2\): \(R_{AB,2} = \dfrac{1}{2}(R_1 + R_2) = 44\) Ом. Верхняя ветвь \(R_{\text{в},2} = R_{AB,2} + R_1 = 66\) Ом, и общее сопротивление \(R_{\text{р}} = \dfrac{R_{\text{в},2}R_2}{R_{\text{в},2} + R_2} = 33\) Ом.

Изменение сопротивления при замыкании ключа: \(\Delta R = R_{\text{р}} - R_{\text{з}} = 33 - 30 = 3\) Ом.

Ответ: \(3{,}0\) Ом.

Подсказка

Увеличение собирающей линзы даёт отношение расстояний от линзы до лампы и до стола. Из суммы этих расстояний найдите фокусное расстояние. Оптические силы двух линз, из которых была составлена пластина, в сумме дают ноль.

Ответ

\(12{,}5\) см.

Решение

Изображение лампы первой линзой действительное; его размер \(H'\) относится к диаметру лампы \(H\) как \(H'/H = \Gamma = 1/9\) (изображение 1 см, лампа 9 см). Пусть \(L\) — расстояние от лампы до линзы, \(L'\) — от линзы до стола. Тогда \(L' = \Gamma L = \dfrac{L}{9}\). Так как \(L + L' = 200\) см, получаем \(L = 180\) см, \(L' = 20\) см.

Формула тонкой линзы \(\dfrac{1}{L} + \dfrac{1}{L'} = \dfrac{1}{F}\) даёт \(F = \dfrac{LL'}{L + L'} = \dfrac{180\cdot 20}{200} = 18\) см.

Пластина из двух линз до разделения имела нулевую оптическую силу, значит, оптические силы линз противоположны: \(F_2 = -F_1 = -18\) см.

Линза 2 стоит посередине между линзой 1 и столом, т.е. на расстоянии \(10\) см от стола. Изображение на столе служит для неё источником (мнимым), поэтому расстояние до источника \(x = -L'/2 = -10\) см. Формула тонкой линзы: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x'} = \dfrac{1}{F_2}\), откуда \(\dfrac{1}{x'} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{18}\) и \(x' = 22{,}5\) см. Изображение находится ниже линзы 2 на \(22{,}5\) см, т.е. ниже стола на \(d = x' - L'/2 = 22{,}5 - 10 = 12{,}5\) см.

Ответ: \(12{,}5\) см.