«Газпром», 2022/23, заключительный этап, 10 класс

Минимальная работа равна приросту потенциальной энергии грузика. Учтите, что грузик одновременно движется вместе с центром обруча и вращается вокруг него.

\(A = MgR\,(\pi\sin\alpha + 2\cos\alpha)\).

Грузик участвует в двух движениях: движении по окружности вокруг центра обруча и поступательном движении обруча вдоль наклонной плоскости. Минимальная работа будет совершена, если обруч перекатывают медленно. По условию при перекатывании обруча центр обруча проходит расстояние \(\pi R\) по наклонной плоскости и поднимается по вертикали на \(\Delta h_1 = \pi R\sin\alpha\). При круговом движении вокруг центра обруча грузик поднимается на высоту \(\Delta h_2 = 2R\cos\alpha\). Увеличение потенциальной энергии грузика, равное искомой работе, составляет \[A = Mg(\Delta h_1 + \Delta h_2) = MgR\,(\pi\sin\alpha + 2\cos\alpha).\]

Центр кольца неподвижен, поэтому сила тяжести работы не совершает. Вся кинетическая энергия вращения уходит на работу сил трения, а силы реакции стенок найдите из условий равновесия по вертикали и по горизонтали.

\(n = \dfrac{\omega^2 R\,(1+\mu^2)}{4\pi g\mu\,(1+\mu)}\).

На кольцо действуют сила тяжести и силы трения о стенки угла. Сила тяжести работы не совершает, так как центр масс не перемещается. По теореме о кинетической энергии \[K_\text{к} - K_\text{н} = A_\text{тр}, \qquad K_\text{к} = 0,\] где \(K_\text{н}\) — начальная кинетическая энергия, \(A_\text{тр}\) — работа силы трения. Кинетическая энергия кольца массой \(m\) равна \[K_\text{н} = \frac{m\omega^2R^2}{2}.\] Работа сил трения \[A_\text{тр} = -2\pi R\,n\,\mu\,(N_1 + N_2),\] где \(n\) — число оборотов кольца до остановки, \(N_i\) — силы реакций со стороны двугранного угла. Для них выполнены соотношения \[N_1 = mg - \mu N_2, \qquad N_2 = \mu N_1,\] откуда \[N_1 = \frac{mg}{1+\mu^2}, \qquad N_2 = \frac{\mu mg}{1+\mu^2}.\] Подставляя в теорему о кинетической энергии, получим \[\frac{m\omega^2R^2}{2} = 2\pi R\,n\,\mu\,(1+\mu)\frac{mg}{1+\mu^2}.\] Окончательно \[n = \frac{\omega^2 R\,(1+\mu^2)}{4\pi g\mu\,(1+\mu)}.\]

Поршень сжимает пружину, поэтому давление газа пропорционально его объёму. Найдите работу газа при таком процессе и сравните со сменой внутренней энергии.

\(C = (2\nu_1 + 3\nu_2)R \approx 150\) Дж/К.

Обозначим через \(x\) расстояние от левого торца цилиндра до поршня. Давление газа \[p = \frac{kx}{S} = \frac{kV}{S^2} = \alpha V,\] где \(k\) — жёсткость пружины, \(S\) — площадь поршня, \(V\) — объём. Давление прямо пропорционально объёму газа. Работа газа в этом случае равна \[A = \frac{1}{2}(p_1 + p_2)(V_2 - V_1) = \frac{1}{2}\alpha\,(V_2^2 - V_1^2) = \frac{1}{2}(\nu_1 + \nu_2)R\,\Delta T,\] где учтено, что \(pV = \alpha V^2 = (\nu_1 + \nu_2)RT\).

Изменение внутренней энергии \[\Delta U = \left(\frac{3}{2}\nu_1 + \frac{5}{2}\nu_2\right)R\,\Delta T.\] По первому началу термодинамики количество теплоты \(Q\), подведённое к газу, равно сумме работы газа и изменения внутренней энергии. Разделив её на изменение температуры, получим теплоёмкость системы: \[C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{A + \Delta U}{\Delta T} = (2\nu_1 + 3\nu_2)R \approx 150~\text{Дж/К}.\]

Тепло подводится только на изохоре нагрева, а отводится только на изохоре охлаждения. Температуры концов адиабат связаны между собой через отношение \(k\).

\(\eta = 1 - k\,\dfrac{T_\text{min}}{T_\text{max}} = 0{,}5 = 50\%\).

Из графика цикла (на рисунке) видно, что абсолютные температуры \(T_1 = T_\text{max}\), а \(T_3 = T_\text{min}\). По определению, коэффициент полезного действия равен отношению работы газа в цикле к количеству переданной газу теплоты. В исследуемом цикле работа совершается в адиабатных процессах, а энергия в форме теплоты передаётся в изохорных процессах. Используя первое начало термодинамики, получим для работ газа в адиабатных процессах: \[A_{12} = -\Delta U_{12} = \frac{i}{2}\nu R\,(T_\text{max} - T_2) > 0, \qquad A_{34} = -\Delta U_{34} = \frac{i}{2}\nu R\,(T_\text{min} - T_4) < 0,\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа, \(i\) — число степеней свободы молекулы газа, \(\nu\) — количество вещества, \(R\) — универсальная газовая постоянная.

Работа газа в цикле \[A = A_{12} + A_{34} = \frac{i}{2}\nu R\left[(T_\text{max} - T_2) - (T_4 - T_\text{min})\right].\] Количество теплоты, переданной газу в изохорном процессе 4–1, \[Q_1 = \Delta U_{41} = \frac{i}{2}\nu R\,(T_\text{max} - T_4).\] Коэффициент полезного действия \[\eta = \frac{(T_\text{max} - T_4) - (T_2 - T_\text{min})}{T_\text{max} - T_4} = 1 - \frac{T_2 - T_\text{min}}{T_\text{max} - T_4}.\] По уравнению Пуассона для адиабатных процессов \(p_1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma\), \(p_4V_1^\gamma = p_3V_1^\gamma\), откуда \(\dfrac{p_1}{p_4} = \dfrac{p_2}{p_3}\). По закону Шарля \(\dfrac{p_1}{p_4} = \dfrac{T_\text{max}}{T_4}\), \(\dfrac{p_2}{p_3} = \dfrac{T_2}{T_\text{min}}\). Получаем \[\frac{T_\text{max}}{T_4} = \frac{T_2}{T_\text{min}} = k.\] Учитывая это равенство, \[\eta = 1 - \frac{T_\text{min}(k-1)}{T_\text{max}\left(1 - \frac{1}{k}\right)} = 1 - k\,\frac{T_\text{min}}{T_\text{max}} = 0{,}5 = 50\%.\]

Сравните работу источника при переносе всего заряда на конденсатор с энергией, запасённой в конденсаторе.

\(Q = \dfrac{C\mathcal{E}^2}{2}\).

При зарядке конденсатора по цепи проходит заряд \(q = C\mathcal{E}\). Конденсатор при этом приобретает энергию \[W = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}.\] Работа, совершённая гальваническим элементом при переносе заряда по цепи, \[A = q\mathcal{E} = C\mathcal{E}^2.\] В резисторе выделяется теплота \[Q = A - W = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}.\]

Бесконечную цепь можно заменить одним сопротивлением, не меняющимся при добавлении звена. Токи по условию связаны между собой: какое соотношение это даёт для \(R_2\) и \(R_1\)?

\(R_1 = 120\) Ом.

Обозначим сопротивление бесконечной цепи \(R_\text{ц}\). При удалении из бесконечной цепи конечного числа звеньев её сопротивление не меняется. Поэтому, представив исходную цепь так, как показано на рисунке,

получим \[R_\text{ц} = R_1 + \frac{R_2 R_\text{ц}}{R_2 + R_\text{ц}}.\] По условию сила тока через резистор \(R_2\) в два раза меньше, чем через резистор \(R_1\), и равна силе тока через оставшуюся часть цепи. Это означает, что \(R_2 = R_\text{ц}\). Тогда \[R_2 = R_1 + \frac{R_2}{2}, \qquad R_1 = \frac{R_2}{2}.\] Далее, из второго правила Кирхгофа \[\mathcal{E} = I_1R_1 + I_2R_2 = R_1(I_1 + 2I_2),\] откуда \[R_1 = \frac{\mathcal{E}}{I_1 + 2I_2} = \frac{24}{0{,}2} = 120~\text{Ом}.\]