зад 1 Запрыгнуть на борт ледокола
Остановка и разгон корабля требуют большого количества энергии. Передать мелкий пакет или запрыгнуть на борт можно и на ходу. Для этого перпендикулярно берегу строят причал, а моряки ведут корабль вдоль берега вплотную к торцевой стенке причала и открывают люк, расположенный в центре борта корабля.
Петя и Сережа спешили на ледокол «Арктика» и выбежали с одинаковой скоростью на узкий причал в тот момент, когда нос ледокола уже поравнялся с причалом. У Сережи был тяжелый рюкзак, и поэтому он продолжил двигаться с постоянной скоростью, а Петя был налегке и двигаясь равноускоренно, Петя как раз успел запрыгнуть на корабль в открытый люк. Разумеется, Петя не оставил друга в беде и спустил на причал веревочную лестницу с кормы ледокола как раз в тот момент, когда Сережа подбежал к краю причала.
Отдышавшись, Петя заинтересовался результатами своего забега и посмотрел, что в конце причала его скорость была равна \(6\) м/с, а ускорение составило \(0{,}25\) м/с\(^2\). Определите с помощью этой информации длину причала, если скорость ледокола была постоянна. Веревочная лестница была расположена вертикально.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните время, которое бежал каждый мальчик: за эти времена корабль проходит разные части своей длины. Средняя скорость равноускоренного движения равна полусумме начальной и конечной скоростей.
▶ОтветСкрыть
\(L = 64\) м.
▶РешениеСкрыть
Сережа бежит с постоянной скоростью \(v\), поэтому его путь \(s_С = vT_С\). Ледокол движется равномерно со скоростью \(v_к\). Петя запрыгнул в люк в центре борта, когда корабль прошёл половину своей длины, а Сережа добежал до лестницы, когда корабль прошёл всю длину \(L\): \(v_к T_П = L/2\), \(v_к T_С = L\). Отсюда \(T_С = 2T_П\), и средняя скорость Пети в два раза больше скорости Сережи: \(\bar v_П = 2v\).
Для равноускоренного движения \(\bar v_П = (v + v_{П,\text{кон}})/2\), откуда \(v_{П,\text{кон}} = 3v\). По условию \(v_{П,\text{кон}} = 6\) м/с, значит, \(v = 2\) м/с. Время движения Пети \(T_П = (v_{П,\text{кон}} - v)/a = 2v/a = 16\) с. Длина причала \(L_{\text{прич}} = \bar v_П\, T_П = 2 \cdot 2 \cdot 16 = 64\) м.
зад 2 Буй на якоре
Чтобы указать положение объекта, лежащего на дне моря, рядом с ним устанавливают сигнальные буи — поплавки на якорях. Спасатели нашли затонувший ледокольный пароход, лежащий на плоском дне на глубине \(50\) м. Рядом с местом гибели парохода установили буй с длиной троса, позволяющей ему отклоняться от положения якоря на \(20\) м. Определите, при какой минимальной силе со стороны течения буй сорвется с места, если масса якоря равна \(300\) кг, а коэффициент трения якоря о дно\(^{*}\) равен \(0{,}25\). Считайте, что течение действует на буй постоянно в одном направлении.
Ускорение свободного падения считайте равным \(10\) м/с\(^2\). Сила, необходимая для разрыва цепи, равна \(20\) кН. Плотность стали равна \(7500\) кг/м\(^3\), плотность воды равна \(1000\) кг/м\(^3\).
\(^{*}\)Переворачиванием якоря и его закапыванием в грунт пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните три возможности: разрыв цепи, отрыв якоря от дна и начало его скольжения. Какое из условий наступит раньше при таком отклонении буя?
▶ОтветСкрыть
\(F_{\text{теч}} = 400\) Н.
▶РешениеСкрыть
Сила натяжения, при которой оборвётся цепь, \(20\) кН, а вес якоря \(mg = 3\) кН, и сила трения не превышает \(\mu mg < mg\). Поэтому цепь не оборвётся, а якорь сдвинется раньше: либо его оторвёт вверх, либо он начнёт скользить по дну.
На якорь действуют сила тяжести \(mg\), сила Архимеда \(F_А = \rho_в g\,\dfrac{m}{\rho_{ст}}\), натяжение цепи \(T\) под углом \(\alpha\) к вертикали, сила реакции опоры \(N\) и сила трения \(F_{тр}\). Проекции второго закона Ньютона при равновесии: \(N + F_А + T\cos\alpha - mg = 0\), \(T\sin\alpha = F_{тр}\).
Из геометрии \(\operatorname{tg}\alpha = 20/50 = 0{,}4\), поэтому \(T\cos\alpha = 2{,}5\,T\sin\alpha\). Отрыв вверх произойдёт при \(N = 0\), то есть при \(T\cos\alpha = mg - F_А\). Скольжение начнётся при \(T\sin\alpha = \mu N = \mu(mg - F_А - T\cos\alpha)\). Подставив \(T\cos\alpha = 2{,}5\,T\sin\alpha\), получим \(T\sin\alpha = \dfrac{\mu(mg - F_А)}{1 + 2{,}5\mu}\).
Сила Архимеда \(F_А = mg\,\dfrac{\rho_в}{\rho_{ст}}\), значит \(mg - F_А = 3000 \cdot \dfrac{6500}{7500} = 2600\) Н. Тогда \(T\sin\alpha = \dfrac{0{,}25 \cdot 2600}{1{,}625} = 400\) Н.
Проверка порядка событий: при этом \(T\cos\alpha = 2{,}5 \cdot 400 = 1000\) Н \(< 2600\) Н, значит, отрыв вверх не наступает раньше скольжения. Минимальная сила течения, сдвигающая буй, равна горизонтальной составляющей натяжения: \(F_{\text{теч}} = T\sin\alpha = 400\) Н.
зад 3 Кран-балка на корабле
Для подъема грузов на корабле установлена кран-балка. Она состоит из горизонтальной перекладины, установленной на вертикальной вращающейся опоре, неподвижных блоков и лебедки, закрепленной так, как показано на чертеже.
С помощью чертежа оцените, какую примерно максимальную массу груза можно поднять с помощью такой кран-балки, если крутящий момент лебедки равен \(2000\) Н·м. Считайте, что чертеж выполнен в масштабе, размерная метка длиной \(1\) м приведена на рисунке. Толщиной тросов пренебрегите. Ускорение свободного падения считайте равным \(10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Для неподвижного блока натяжение троса по обе стороны одинаково. Какой момент создаёт трос на барабане лебёдки, и как по чертежу найти радиус этого барабана через масштаб?
▶ОтветСкрыть
\(M_{\max} \approx 800\) кг (с учётом погрешности чертежа — примерно от \(640\) до \(960\) кг).
▶РешениеСкрыть
При подъёме максимального груза все вращающиеся элементы находятся в равновесии. Для неподвижных блоков натяжение троса одинаково по обе стороны, \(T_1 = T_2\), и трос на барабане лебёдки тянет с силой, равной весу груза: \(P = T\).
Условие равновесия барабана лебёдки при максимальной нагрузке: \(T R_л = N\), где \(N = 2000\) Н·м — крутящий момент, \(R_л\) — радиус барабана. Тогда \(P = N / R_л\) и \(M_{\max} = \dfrac{N}{g R_л}\).
По чертежу: отрезок \(100\) см в масштабе соответствует примерно \(2\) см на рисунке, то есть масштаб около \(1\!:\!50\). Диаметр барабана на рисунке около \(1\) см, значит, в натуре \(2R_л \approx 50\) см, \(R_л \approx 25\) см (диапазон \(20\)–\(30\) см).
Отсюда \(M_{\max} = \dfrac{2000}{10 \cdot 0{,}25} = 800\) кг. С учётом погрешности чертежа оценка составляет примерно \(800 \pm 120\)–\(160\) кг.
зад 4 Тепловая машина во льдах
Из-за глобального потепления толщина льдов в Арктике составляет всего несколько метров, и современные ледоколы позволяют организовать полярную станцию где угодно, доставляя пассажиров даже на полюс. Однако с учетом того, что средняя температура зимой равна \(-41\,^{\circ}\text{C}\), а, например, солнечные батареи в полярную ночь бесполезны, электроснабжение полярных станций является сложной задачей.
Чтобы уменьшить расход топлива, было предложено использовать тепловую машину, работающую по циклу Карно. В этой машине вещество рабочего тела массой \(120\) кг каждую минуту проходит по циклу, в котором сперва рабочее тело получает теплоту от воды подо льдом, затем совершает работу и охлаждается до температуры воздуха, далее оно отдает воздуху оставшуюся теплоту, а после этого рабочее тело закачивается обратно в камеру теплообмена с водой.
Определите среднее значение электрической мощности, генерируемой тепловой машиной, если КПД преобразования полученной теплоты в электрическую энергию в три раза меньше КПД идеальной тепловой машины, а каждый килограмм вещества рабочего тела получает от воды по \(40\,000\) Дж.
▶ПодсказкаСкрыть
КПД идеальной машины Карно выражается через абсолютные температуры нагревателя и холодильника. Сначала найдите теплоту, которую рабочее тело получает от воды за одну минуту.
▶ОтветСкрыть
\(\bar N \approx 4\) кВт.
▶РешениеСкрыть
За одну минуту рабочее тело получает от воды теплоту \(Q_н = m q = 120 \cdot 40\,000 = 4{,}8 \cdot 10^6\) Дж, то есть мощность теплоподвода \(N_н = 4{,}8 \cdot 10^6 / 60 = 80\) кВт.
КПД идеальной машины Карно: \(\eta = \dfrac{T_н - T_х}{T_н}\), где \(T_н = 273\) К (вода подо льдом при \(0\,^{\circ}\)C), \(T_х = 273 - 41 = 232\) К. Получаем \(\eta = \dfrac{41}{273} \approx 0{,}15\).
Реальный КПД преобразования в электрическую энергию в три раза меньше: \(\eta_{\text{эл}} = \eta / 3 \approx 0{,}05\). Электрическая мощность \(N_{\text{эл}} = \eta_{\text{эл}} \cdot N_н \approx 0{,}05 \cdot 80 = 4\) кВт.
зад 5 Перегоревшая лампа на палубе
Для освещения палубы использовались лампы, подключенные к аккумулятору напряжением \(60\) В по схеме, изображенной на рисунке.
Когда лампа \(A\) перегорела, Максим не нашел запасную и, чтобы устранить разрыв в цепи, просто соединил контакты в месте крепления лампы. Определите, на сколько ватт изменилась общая мощность освещения палубы.
Сопротивлением проводов и контактов можно пренебречь, все лампы одинаковы и их сопротивление равно \(10\) Ом.
▶ПодсказкаСкрыть
Есть ли в каждом блоке из пяти ламп ветвь, по которой не течёт ток? Симметрия напряжений на средней лампе подскажет ответ.
▶ОтветСкрыть
Мощность освещения увеличилась на \(60\) Вт.
▶РешениеСкрыть
В блоке из пяти ламп по симметрии напряжения в точках \(C\) и \(D\) одинаковы при подключении блока к точкам \(A\) и \(B\), поэтому лампа \(CD\) не пропускает ток и её можно убрать. Тогда блок состоит из двух ветвей по две лампы, и его сопротивление \(R_{бл} = \dfrac{1}{2}\cdot 2R_л = R_л\).
До перегорания лампы цепь состоит из двух параллельных ветвей: верхней (блок, лампа \(A\), блок) с сопротивлением \(3R_л\) и нижней (три блока подряд) с сопротивлением \(3R_л\). Общее сопротивление \(R_{до} = \dfrac{1}{2}\cdot 3R_л = 1{,}5R_л = 15\) Ом.
После перегорания лампа \(A\) заменена проводом, и верхняя ветвь состоит из двух блоков, \(2R_л\). Тогда \(\dfrac{1}{R_{после}} = \dfrac{1}{2R_л} + \dfrac{1}{3R_л}\), откуда \(R_{после} = \dfrac{6}{5}R_л = 12\) Ом.
Мощность \(N = U^2/R\): \(N_{до} = \dfrac{60^2}{15} = 240\) Вт, \(N_{после} = \dfrac{60^2}{12} = 300\) Вт. Мощность освещения увеличилась на \(\Delta N = 300 - 240 = 60\) Вт.
зад 6 Прибор для триангуляции
Чтобы вычислить расстояния до отдаленных объектов, не измеряя их напрямую, может использоваться метод триангуляции. Например, зная расстояние между двумя скалами и измерив угол между направлениями на каждую из них, можно построить треугольник и найти расстояние до каждой из скал.
На день рождения Мише подарили прибор для триангуляции. Он состоит из штатива и круглой платформы. На платформе закреплен окуляр (в точке \(A\), см. рисунок) и два вертикальных плоских зеркала: низкое зеркало (крепится к платформе в точке \(B\)) и высокое (крепится в платформе к точке \(C\)), причем точки \(ABC\) образуют прямоугольный треугольник с прямым углом \(\angle ABC\).
Поворачивая зеркала, Миша добился того, чтобы изображения двух удаленных объектов \(D\) и \(E\) в окуляре наложились друг на друга, и пошел за транспортиром для измерения получившихся углов. К сожалению, когда Миша вернулся, платформа оказалась повернута в горизонтальной плоскости относительно своего центра на небольшой угол \(\beta\) по часовой стрелке.
Определите, как надо развернуть относительно платформы зеркало \(C\), для того чтобы объекты снова накладывались друг на друга, если угол \(\alpha\) между направлениями на объекты равен \(30^{\circ}\), а угол \(\beta\) равен \(5^{\circ}\)? Считайте, что зеркала достаточно широкие для того, чтобы полностью закрывать поле видимости окуляра, а угол \(\beta\) мал и объект \(D\) не выходит за пределы поля видимости окуляра.
Примечание: под наложением подразумевается то, что в окуляр видна верхняя часть предмета \(D\) (которую не заслоняет зеркало \(B\)), а под нею находится изображение предмета \(E\), свет от которого попадает в окуляр, отразившись сперва от зеркала \(C\), а затем от зеркала \(B\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сколько раз отражается луч от объекта \(E\), и на что меняется его направление при каждом отражении? Зависит ли суммарный поворот от положения зеркал или только от угла между ними?
▶ОтветСкрыть
Зеркало \(C\) поворачивать не нужно: угол поворота \(0^{\circ}\) (угол между зеркалами \(15^{\circ}\) сохраняется).
▶РешениеСкрыть
Луч от объекта \(E\) дважды отражается: сначала от зеркала \(C\), затем от зеркала \(B\). По закону отражения при каждом отражении угол падения равен углу отражения. Пусть \(\varphi\) — угол между зеркалами, \(\gamma\) — угол падения луча на зеркало \(C\), \(\delta\) — угол падения на зеркало \(B\). Из треугольника, образованного зеркалами и нормалями к ним, \(\gamma = \delta + \varphi\).
При первом отражении луч поворачивается на угол \(180^{\circ} - 2\gamma\), при втором — на \(180^{\circ} - 2\delta\) в противоположную сторону. Суммарный поворот луча равен \(\psi = 2(\gamma - \delta) = 2\varphi\), то есть зависит только от угла между зеркалами.
Наложение объектов означает, что луч от \(E\) после двух отражений идёт в окуляр в направлении на \(D\), поэтому \(2\varphi = \alpha = 30^{\circ}\), то есть \(\varphi = 15^{\circ}\).
Поворот платформы на угол \(\beta\) поворачивает оба зеркала вместе с платформой на тот же угол и не меняет угол \(\varphi\) между ними. Угол \(\alpha\) между направлениями на объекты также не меняется, поэтому условие наложения сохраняется, и поворот зеркала \(C\) относительно платформы не нужен.
Источник: Отраслевая олимпиада «Газпром» (физика), 2022/23, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.