«Газпром», 2023/24, заключительный этап, 10 класс

Первое начало термодинамики для адиабаты даёт связь работы с изменением температуры. Для изобары работу выразите через уравнение состояния в состояниях 2 и 3.

\(A_{123}=A_{12}+A_{23}=\dfrac{7}{5}A_{12}\approx 9{,}1\) кДж.

Для адиабатного процесса 1–2 по первому началу термодинамики \(0=A_{12}+\Delta U\), где \(\Delta U=\nu C_V(T_2-T_1)\), \(C_V=\dfrac{i}{2}R\), \(i=5\). Отсюда \[A_{12}=\nu C_V(T_1-T_2),\qquad T_2=T_1-\frac{A_{12}}{\nu C_V}.\] Работа при изобарном расширении \(2\to3\): \(A_{23}=p_2(V_3-V_2)=\nu R(T_3-T_2)\) (из уравнений состояния для состояний 2 и 3). По условию \(T_3=T_1\), поэтому \[A_{23}=\nu R\,\frac{A_{12}}{\nu C_V}=\frac{R}{C_V}A_{12}=\frac{2}{5}A_{12}.\] Искомая работа \[A_{123}=A_{12}+A_{23}=\frac{7}{5}A_{12}=9{,}1~\text{кДж}.\]

Идеальные амперметры имеют нулевое сопротивление: сначала стяните их в точки, затем определите, на каком участке стоит резистор \(R_3\).

\(U=3\) В.

Учитывая, что амперметры идеальные, а внутренним сопротивлением батарейки пренебрегаем, после преобразования схемы напряжение \(U\) батарейки оказывается равным напряжению на \(R_3\). По закону Ома для участка с \(R_3\): \[U=I_3R_3=1\cdot 10^{-3}~\text{А}\cdot 3\cdot 10^{3}~\text{Ом}=3~\text{В}.\]

Скорость у основания найдите из закона сохранения энергии на гладкой наклонной плоскости. Мощность силы трения равна силе трения, умноженной на скорость.

\(m=\dfrac{P}{\mu g\sqrt{2gh}}\).

Мощность силы трения \[P=F_{\text{тр}}V=\mu m g\,V,\] где \(V\) — скорость бруска, \(m\) — его масса. По закону сохранения энергии на гладком склоне \(V=\sqrt{2gh}\). Тогда масса бруска \[m=\frac{P}{\mu g\sqrt{2gh}}.\]

Пусть напряжение на конденсаторе равно \(u\). Мощность, запасаемая в конденсаторе, равна \(P=ui_C\). Выразите ток через конденсатор по правилам Кирхгофа через \(u\) и найдите максимум \(P(u)\).

\(Q=\dfrac{C\mathcal{E}^2}{8}\left(\dfrac{R}{R+r}\right)^2\).

Напряжения на конденсаторе и на резисторе равны. Пусть в некоторый момент напряжение на конденсаторе равно \(u\), ток через конденсатор \(i_C=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}\). Тогда скорость изменения энергии конденсатора \[P=u\,i_C.\] По второму правилу Кирхгофа для контура с источником и резистором \(r\): \(ir+u=\mathcal{E}\), откуда \(i=\dfrac{\mathcal{E}-u}{r}\). Для контура с резистором \(R\), учитывая \(i_R=i-i_C\), получаем \(u=(i-i_C)R\). Тогда \[i_C=\frac{\mathcal{E}R-u(R+r)}{Rr}.\] Величина \(P=u i_C\) — квадратичная функция \(u\): \[P=u\frac{\mathcal{E}}{r}-u^2\frac{R+r}{Rr}.\] Максимум достигается при напряжении \[u_m=\frac{R\mathcal{E}}{2(R+r)}.\] Это же напряжение будет на конденсаторе в момент размыкания ключа. Теплота, выделившаяся после размыкания ключа, равна энергии конденсатора: \[Q=\frac{Cu_m^2}{2}=\frac{C\mathcal{E}^2}{8}\left(\frac{R}{R+r}\right)^2.\]

КПД равен работе за цикл, делённой на подведённое тепло. Тепло на каждом участке выразите через \(C_V\) и \(C_p\); для одноатомного газа \(i=3\).

\(\dfrac{\eta_1}{\eta_2}=\dfrac{7i+6}{5i+8}=\dfrac{27}{23}\approx 1{,}17\).

КПД первого цикла \(1\)–\(2\)–\(3\)–\(4\)–\(1\): \[\eta_1=\frac{Q_{12}+Q_{23}-Q_{34}-Q_{41}}{Q_{12}+Q_{23}},\] где \(Q_{12}=\nu C_V(T_2-T_1)\), \(Q_{23}=\nu C_p(T_3-T_2)\), \(Q_{34}=\nu C_V(T_3-T_4)\), \(Q_{41}=\nu C_p(T_4-T_1)\), \(C_V=\dfrac{i}{2}R\), \(C_p=\dfrac{i+2}{2}R\). Из уравнений состояния для состояний 1–4 (\(p_0V_0\), \(2p_0V_0\), \(6p_0V_0\), \(3p_0V_0\) — в единицах \(\nu R\)) получаем \(\eta_1=\dfrac{4}{5i+8}\); при \(i=3\) это \(\dfrac{4}{23}\).

КПД второго цикла \(5\)–\(6\)–\(7\)–\(4\)–\(5\) аналогично: \[\eta_2=\frac{4}{7i+6}=\frac{4}{27}\quad(i=3).\] Тогда \[\frac{\eta_1}{\eta_2}=\frac{7i+6}{5i+8}=\frac{27}{23}\approx 1{,}17.\]

Примените теорему о кинетической энергии: работа всех сил до остановки равна нулю. Сила трения зависит от пути, поэтому работу трения найдите интегрированием.

\(A_{\text{тр}}=-F\sqrt{\dfrac{2F}{\gamma mg}}=-500\) Дж.

Изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил. Тело начало движение из состояния покоя, конечным состоянием также было состояние покоя. Внешними силами, совершающими работу, были приложенная горизонтальная сила и сила трения скольжения. Суммарная работа этих сил, совершённая до остановки тела, равна \[Fx_{\text{ост}}-\frac{\mu m g x_{\text{ост}}^2}{2}=0.\] Подставим в полученное уравнение зависимость коэффициента трения от пройденного расстояния: \[Fx_{\text{ост}}-\frac{\gamma m g x_{\text{ост}}^3}{2}=0.\] Тело остановится, пройдя расстояние \[x_{\text{ост}}=\sqrt{\frac{2F}{\gamma mg}}=2~\text{м}.\] Рассчитаем значение коэффициента трения на таком расстоянии: \(\mu=\gamma x_{\text{ост}}=0{,}5\). Работа сил трения равна \[A_{\text{тр}}=-Fx_{\text{ост}}=-F\sqrt{\frac{2F}{\gamma mg}}=-500~\text{Дж}.\]