«Газпром», 2023/24, заключительный этап, 8-9 класс

Запишите уравнения полёта камня от верхнего края низкой стенки до верхнего края высокой. Из условия, что траектория касается края, найдите минимальную скорость в этой точке, а затем учтите подъём от земли.

\(v_{min} \approx 9{,}03\) м/с.

Уравнения полёта из точки B (верхний край низкой стенки) в точку C (верхний край высокой стенки): \[L = v t \cos\alpha, \qquad 0 = (H-h) + v t \sin\alpha - \frac{g t^2}{2}.\] Исключая время, получаем соотношение \[(H-h) + L\,\mathrm{tg}\,\alpha - \frac{g L^2}{2 v^2 \cos^2\alpha} = 0,\] которое является квадратным уравнением относительно \(\mathrm{tg}\,\alpha\). Дискриминант, приравненный к нулю (условие минимальной скорости), даёт \[v_B^2 = g\left(\sqrt{(H-h)^2 + L^2} - (H-h)\right).\] Минимальная скорость броска определяется из условия \(v_{min}^2 = v_B^2 + 2gH\), откуда \[v_{min} = \sqrt{g\left(H + h + \sqrt{(H-h)^2 + L^2}\right)} \approx 9{,}03~\text{м/с}.\]

Нить, к которой приложена \(F\), нерастяжима, поэтому её натяжение равно \(F\) по всей длине. Сколько нитей тянут подвижный блок, на котором висит груз?

\(180\) Н.

Чёрная нить нерастяжима, и на неё действует сила \(F\). Зелёная нить удерживает подвижный невесомый блок вместе с чёрной нитью, поэтому на неё действует сила, вдвое большая, \(2F\). Второй закон Ньютона для груза (на него действуют четыре нити с силой \(F\) каждая): \[4F - mg = ma \quad\Rightarrow\quad F = \frac{m(a+g)}{4} = \frac{30\cdot 12}{4} = 90~\text{Н}.\] Натяжение нити, связывающей два блока: \(2F = 180\) Н.

На максимальной высоте подъёмная сила равна весу шара. Выразите плотность воздуха через давление и температуру, а давление найдите по закону его убывания с высотой.

\(H \approx 24\,226\) м.

На максимальной высоте архимедова сила равна весу шара-зонда: \(Mg = \rho g V\). Плотность воздуха выразим через давление и температуру: \(\rho = \dfrac{\mu p}{RT}\), откуда давление на этой высоте \[p = \frac{M R T}{\mu V}.\] Так как давление падает вдвое каждые \(h\) километров подъёма, то \(\dfrac{p_0}{p} = 2^{H/h}\), и \[H = h\log_2\frac{p_0}{p} = h\log_2\frac{p_0\,\mu V}{M R T} = 6000\log_2\frac{10^5\cdot 29\cdot 10^{-3}\cdot 70}{7\cdot 8{,}31\cdot 212{,}5} \approx 24\,226~\text{м}.\]

Сравните отношения сопротивлений в двух ветвях: найдите, через какой резистор ток не идёт, и уберите его из схемы.

\(150\) мА.

Эквивалентные сопротивления: \(R_{1,2} = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2} = 30\) Ом; \(R_{1,2,3} = \dfrac{R_{1,2}R_3}{R_{1,2}+R_3} = 20\) Ом; \(R_{4,6} = \dfrac{R_4R_6}{R_4+R_6} = 30\) Ом; \(R_{8,9} = R_8 + R_9 = 20\) Ом; \(R_{5,7} = R_5 + R_7 = 120\) Ом.

Отношения \(\dfrac{R_{1,2,3}}{R_5} = \dfrac{R_{8,9}}{R_7}\), поэтому ток через резистор \(R_{4,6}\) не идёт, его можно убрать из схемы. Остаются \(R_{1,2,3,8,9} = R_{1,2,3}+R_{8,9} = 40\) Ом и \(R_{5,7} = 120\) Ом. Общее сопротивление \(R = \dfrac{40\cdot 120}{40+120} = 30\) Ом. Ток на выходе \(I = \dfrac{U}{R}\).

КПД цикла Карно связывает минимальную и максимальную температуры цикла. Полезная работа равна площади треугольника 1–2–3 на \(PV\)-диаграмме, а подведённое тепло — сумме работы на изобаре 2–3 и изменения внутренней энергии от 1 к 3.

\(\eta \approx 8{,}8\%\).

Из КПД цикла Карно: \(\eta_к = 1 - \dfrac{T_1}{T_3}\), откуда \(\dfrac{T_1}{T_3} = 1 - \eta_к\).

Полезная работа равна площади треугольника 1–2–3: \[A_ц = \frac{\nu R (b-1)}{2}\left(\frac{T_3}{b} - T_1\right).\] Работа на изобаре 2–3: \(A_{23} = \dfrac{1}{b}\nu R T_3\). Изменение внутренней энергии одноатомного газа на участках 1–2–3: \(\Delta U_{13} = \dfrac{3}{2}\nu R (T_3 - T_1)\). Подведённое тепло \[Q_н = A_{23} + \Delta U_{13} = \frac{\nu R}{2}\left(\frac{2+3b}{b}T_3 - 3T_1\right).\] Тогда \[\eta = \frac{A_ц}{Q_н} = \frac{(b-1)\left(\frac{1}{b} - (1-\eta_к)\right)}{\frac{2+3b}{b} - 3(1-\eta_к)} \approx 0{,}088 = 8{,}8\,\%.\]

Удобно считать отражение от зеркала как прямой ход лучей из мнимого источника, расположенного под полом. Найдите крайние точки пятна на потолке от каждого источника.

\(88\) см.

Луч, отражённый от края зеркала, идёт от источника до зеркала и дальше под тем же углом, поэтому его смещение на потолке относительно точки отражения равно \(H\), умноженному на отношение горизонтального смещения к высоте источника. Пятно от источника \(A\) на потолке занимает отрезок от \(-\dfrac{d}{2} - H\dfrac{d/2 - r_1}{h_1}\) до \(\dfrac{d}{2} + H\dfrac{d/2 + r_1}{h_1}\), а пятно от источника \(B\) — отрезок от \(-\dfrac{d}{2} - H\dfrac{d/2 + r_2}{h_2}\) до \(\dfrac{d}{2} - H\dfrac{r_2 - d/2}{h_2}\). Пересечение пятен ограничено слева пятном \(A\), справа пятном \(B\), поэтому его ширина \[\Delta L = d + H\,\frac{d/2 - r_1}{h_1} - H\,\frac{r_2 - d/2}{h_2} = 0{,}6 + 2\cdot\frac{0{,}2}{1} - 2\cdot\frac{0{,}1}{1{,}6} \approx 0{,}875~\text{м} \approx 88~\text{см}.\]