«Газпром», 2024/25, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление: какие точки схемы он фактически соединяет? После этого найдите, какие резисторы включены параллельно, а какие последовательно.

Ответ

\(I_A = 2{,}5\) А.

Решение

Три резистора \(R\) между узлами включены параллельно, их общее сопротивление \(R_{1\text{-}3} = R/3 = 8\) Ом. С ним последовательно включён четвёртый резистор \(R_4 = R = 24\) Ом, поэтому \(R_{\text{экв}} = 32\) Ом.

Ток источника \(I = E/R_{\text{экв}} = 3{,}75\) А. Токи в трёх параллельных ветвях одинаковы: \(I_1 = I_2 = I_3 = I/3 = 1{,}25\) А. Амперметр показывает разность токов в ветвях: \(I_A = I - I_3 = 2{,}5\) А.

Подсказка

Импульс, полученный частицами от поля за одно и то же время, одинаков. Найдите его модуль по первой частице и сложите векторы импульсов для второй.

Ответ

\(u_k = \sqrt{u^2 + 2v^2 + 2uv}\).

Решение

Для первой частицы изменение импульса (на единицу массы) по модулю равно \(v\sqrt{2}\): её скорость повернулась на \(90^\circ\) при неизменном модуле, поэтому \(F\Delta t = mv\sqrt{2}\).

Для второй частицы импульс за то же время меняется на тот же вектор: \(m\vec u_k = m\vec u + F\Delta\vec t\). Угол между \(\vec u\) и вектором \(F\Delta\vec t\) равен \(135^\circ\), поэтому \[u_k^2 = u^2 + 2v^2 - 2\,u\,v\sqrt{2}\cos 135^\circ = u^2 + 2v^2 + 2uv,\] откуда \(u_k = \sqrt{u^2 + 2uv + 2v^2}\).

Подсказка

Идеальный диод пропускает ток только в одном направлении. Сначала определите, в каких ветвях вообще может течь ток при данной полярности источников.

Ответ

\(A_1 = 5{,}3\) А;  \(A_2 = 2\) А;  \(V_1 = 101\) В;  \(V_2 = 99\) В.

Решение

Зададим направления токов и определим, через какие элементы пойдут токи.

1) \(I_1 = \dfrac{E_1}{R} = \dfrac{160}{30} = 5{,}3\) А — показания прибора \(A_1\).

2) \(I_2 = \dfrac{E_2}{R + R} = \dfrac{200}{60} = 3{,}3\) А.

3) \(I = I_1 - I_2 = 5{,}3 - 3{,}3 = 2\) А — показания прибора \(A_2\).

4) \(U_1 = E_2 - R I_2 = 200 - 30 \cdot 3{,}3 = 101\) В — показания прибора \(V_1\).

5) \(U_2 = R I_2 = 30 \cdot 3{,}3 = 99\) В — показания прибора \(V_2\).

Подсказка

Для качения без проскальзывания удобно пользоваться мгновенным центром скоростей. Скорость точки обода пропорциональна её расстоянию до него.

Ответ

1) от \(0\) до \(4R\);  2) \(\rho_A \approx 3{,}37\,R\).

Решение

Радиус кривизны точки: \(\rho_A = \dfrac{v_A^2}{a_n}\), где \(M\) — мгновенный центр скоростей.

Скорость точки \(A\) меняется от \(0\) до \(2v\) за один оборот колеса, поэтому радиус кривизны меняется в пределах от \(0\) до \(4R\).

Путь центра колеса \(S = 2R = \varphi R\), откуда угол поворота колеса \(\varphi = 2\) рад. Из геометрии \(AM = R\sqrt{2 - 2\cos\varphi}\), скорость точки \(v_A = \omega \cdot AM = v\sqrt{2 - 2\cos\varphi}\). Нормальное ускорение \(a_n = \dfrac{v^2}{R}\sin\dfrac{\varphi}{2}\).

Тогда \[\rho_A = \frac{v_A^2}{a_n} = \frac{R\,(2 - 2\cos\varphi)}{\sin\frac{\varphi}{2}} \approx 3{,}37\,R.\]

Подсказка

Зеркало не меняет длины пути луча. Удобно заменить отражение продолжением хода луча в полном шаре: тогда внутри шара получается хорда. Угол падения найдите по координатам точки \(A\).

Ответ

\(L_{\text{опт}}/R = 2\sqrt{n^2 - 1 + x_0^2/R^2} \approx 2{,}45\).

Решение

Направляющий вектор падающего луча \((1, 0, 0)\), радиус-вектор точки падения \((-x_0, y_0, z_0)\) с \(z_0 = \sqrt{R^2 - x_0^2 - y_0^2}\). Угол падения \(\alpha\): \(\cos\alpha = x_0/R\), \(\sin\alpha = \sqrt{1 - x_0^2/R^2}\).

Закон преломления: \(\sin\beta = \dfrac{\sin\alpha}{n}\), откуда \(\cos\beta = \sqrt{1 - \dfrac{1 - x_0^2/R^2}{n^2}}\).

Геометрическая длина пути внутри шара \(L = 2R\cos\beta\), оптическая длина \(nL = 2nR\cos\beta\). Отсюда \[\frac{L_{\text{опт}}}{R} = 2n\cos\beta = 2\sqrt{n^2 - 1 + \frac{x_0^2}{R^2}} = 2\sqrt{1{,}5} \approx 2{,}45.\]

Подсказка

Сила Лоренца на плоскости меняет направление скорости, но не модуль. Запишите второй закон Ньютона вдоль направления движения для участка до края, а при падении используйте то, что горизонтальная составляющая скорости в момент падения равна нулю.

Ответ

\(\Delta t = \dfrac{mV_0 - qB(H + \mu S)}{\mu m g}\).

Решение

До края ступеньки сила сопротивления движению — сила трения \(\mu(mg + qVB)\): сила Лоренца направлена перпендикулярно поверхности и добавляется к силе реакции. Поэтому \[m\,a_\tau = -\mu\,(mg + qVB),\] откуда \(m(V - V_0) = -\mu\,(mg\,\Delta t + qB\,S)\).

При падении ускорение вдоль оси \(X\) равно \(ma_X = -qVB\sin\alpha = -qV_YB\). Вектор скорости в момент падения направлен вертикально, поэтому горизонтальная составляющая скорости обращается в ноль: \(0 - V = -\dfrac{qB}{m}H\), откуда \(V = \dfrac{qBH}{m}\).

Подставляя это значение в соотношение для участка до края: \[\Delta t = \frac{mV_0 - qB\,(H + \mu S)}{\mu\,m\,g}.\]