зад 1 Энергетический модуль
Коллеги из О5 закончили испытания двух принципиально разных энергетических модулей: литий-полимерной батареи и блока суперконденсаторов. Нам разрешено выбрать, как приоритетному проекту, какой источник использовать в своём прототипе. Решить нужно немедленно. Поручаю эту задачу вам как дежурному физику.
Определить, с каким источником питания МЭТР сможет доставить больше грузов за 30 минут, перемещая их из пункта В (выдача) в пункт Р (разгрузка).
Алгоритм работы:
Зарядка до 100% в пункте З.
Перемещение в пункт В и захват груза (если далее едет в З, груз не берёт).
Если оставшейся энергии достаточно для завершения шага 4 и движения до станции зарядки — перейти к шагу 4; иначе — перейти к зарядке.
Транспортировка груза в Р и разгрузка.
Если оставшейся энергии достаточно для завершения шага 2 и движения до станции зарядки — перейти к шагу 2; иначе — перейти к зарядке.
Принять допущения: 1) ускорение и торможение происходят мгновенно (без затрат энергии); 2) повороты в пунктах и на станции зарядки не требуют энергии; 3) движение происходит с максимальной скоростью, определяемой параметрами источника, по горизонтальной плоскости. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\) (по условию задания из легенды).
Привести промежуточные формулы.
Для каждого источника указать: количество перевезённых грузов к окончанию эксперимента; этап алгоритма, на котором находился робот в конце эксперимента.
Выбрать наилучший источник.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите силу трения качения для робота без груза и с грузом, затем скорость при максимальной мощности и энергию на каждый перегон. После этого проследите алгоритм по шагам, учитывая, что энергии должно хватать на обратный путь до станции зарядки.
▶ОтветСкрыть
Литий-полимерная батарея: 2 груза, робот в конце эксперимента находился на этапе 4. Блок суперконденсаторов: 0 грузов, этап 1. Наилучший источник — литий-полимерная батарея.
▶РешениеСкрыть
Сила трения качения без груза и с грузом: \(F_{\text{пуст}} = \dfrac{(M_{\text{бат}} + M_{\text{мэтр}})\,g\,k}{R}\), \(F_{\text{полн}} = \dfrac{(M_{\text{бат}} + M_{\text{мэтр}} + M_{\text{гр}})\,g\,k}{R}\). Скорость при максимальной мощности \(V = \dfrac{P\eta}{F}\); время перемещения \(t = \dfrac{S}{V}\); работа на перегон \(A = \dfrac{F\,S}{\eta}\).
Литий-полимерная батарея: \(F_{\text{пуст}} = 176\) Н, \(F_{\text{полн}} = 1{,}28\cdot10^3\) Н, \(V_{\text{пуст}} = 7{,}39\) м/с, \(V_{\text{полн}} = 1{,}02\) м/с; \(t_З = 40{,}6\) с, \(A_З = 8{,}12\cdot10^4\) Дж; \(t_{В\text{-}Р} = 294\) с, \(A_{В\text{-}Р} = 5{,}89\cdot10^5\) Дж. Время зарядки \(t_{\text{зар}} = E/P_{\text{зар}} = 271\) с. Запас энергии для шага 4 с возвратом: \(6{,}7\cdot10^5\) Дж, для шага 2 с возвратом: \(1{,}62\cdot10^5\) Дж. Робот доставляет 2 груза, в конце эксперимента находится на этапе 4 (за 30 минут без зарядки остаётся \(1529\) с, из которых два цикла по \(653{,}8\) с и незаконченный этап 4).
Суперконденсаторы: \(F_{\text{пуст}} = 165\) Н, \(F_{\text{полн}} = 1{,}26\cdot10^3\) Н, \(V_{\text{пуст}} = 144\) м/с, \(V_{\text{полн}} = 18{,}8\) м/с; \(t_З = 2{,}08\) с, \(A_З = 5{,}21\cdot10^4\) Дж; \(t_{В\text{-}Р} = 16\) с, \(A_{В\text{-}Р} = 3{,}99\cdot10^5\) Дж; время зарядки \(480\) с. Запас энергии для первой доставки \(4{,}52\cdot10^5\) Дж больше энергии, которая остаётся после перемещения З\(\to\)В (\(4{,}28\cdot10^5\) Дж), поэтому первый груз не доставляется: робот остаётся на этапе 1.
зад 2 Надавить и поехать
При попытках сдвинуть ТЯПК-А оказалось, что МЭТР буксует и отлично роет землю. Было принято решение перенести часть нагрузки с ТЯПКи на МЭТРа, чтобы увеличить силу трения его колёс. Для этого робот будет упираться штоком в дно ТЯПКи, сжимая свою пружину на какую-то величину. Рассчитайте эту величину и передайте выездной группе.
Найти минимальную величину сжатия пружины МЭТРа, при которой его колёса не будут проскальзывать при старте движения. Все три колеса приводные, одинаковые и имеют сферическую форму, причём радиус пятна контакта с поверхностью невероятно мал. ТЯПК-А — прямоугольная платформа на четырёх парах колёс, расположенных по углам. Шток МЭТРа касается платформы в геометрическом центре прямоугольника.
Допущения: 1) все колёса МЭТРа расположены симметрично относительно штока; 2) вся конструкция имеет многократно большую жёсткость, чем пружина в направлении рабочего сжатия; 3) вал колеса МЭТРа прикреплён к центру сферы; 4) в исходном состоянии МЭТР неподвижен, колёса не вращаются; 5) поверхность пола горизонтальна.
Упрощённая кинематическая модель МЭТРа в составе малой загруженной ТЯПК-А:
Предоставьте рисунок, на котором будут изображены колесо МЭТРа в контакте с полом и все силы, относящиеся к взаимодействию двух тел.
Предоставьте формулу расчёта минимальной величины поджатия штока в общем виде с использованием переменных задачи.
Предоставьте численный результат в миллиметрах, округлённый до первых трёх значащих цифр.
▶ПодсказкаСкрыть
Момент, создаваемый на валу колеса, даёт тяговую силу в пятне контакта; при старте она должна равняться силе трения покоя. Нормальная сила на колесо — это доля суммарного веса и силы поджатия штока.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta l = \dfrac{1}{k_{\text{пр}}}\left(\dfrac{3M_к}{k_{\text{тп}}\,h} - m_м g\right)\), где \(h = \sqrt{(D/2)^2 - r^2}\); \(\Delta l \approx 379\) мм.
▶РешениеСкрыть
Тяговая сила, создаваемая моментом \(M_к\), приложена к пятну контакта и равна силе трения покоя: \(F_{\text{тяг}} = F_{\text{тр}}\), где плечо \(h = \sqrt{(D/2)^2 - r^2}\), так что \(\dfrac{M_к}{h} = N\,k_{\text{тп}}\), откуда \(N = \dfrac{M_к}{k_{\text{тп}}\,h}\).
Нормальная сила на одно колесо равна трети суммы веса МЭТРа и силы поджатия штока: \(N = \dfrac{m_м g + F_{\text{шт}}}{3}\), откуда \(F_{\text{шт}} = \dfrac{3M_к}{k_{\text{тп}}\,h} - m_м g\).
По закону Гука \(F_{\text{шт}} = k_{\text{пр}}\Delta l\), поэтому \[\Delta l = \frac{1}{k_{\text{пр}}}\left(\frac{3M_к}{k_{\text{тп}}\,h} - m_м g\right).\] Численно: \(h = \sqrt{0{,}5^2 - 0{,}05^2} = 0{,}497\) м, \(\Delta l = \dfrac{3 \cdot 3000/(0{,}85 \cdot 0{,}497) - 234\cdot 10}{50\,000} \approx 0{,}379\) м \(= 379\) мм.
зад 3 ХАХ
Химически активный хладагент (ХАХ) состоит из двух компонентов: реагента и накопителя. После смешения компонентов раз в 20 минут происходит реакция, в ходе которой часть реагента превращается в накопитель за счёт аккумулированного ХАХом тепла, причём на время реакции теплообмен между раствором и другими телами останавливается. Реакция происходит очень быстро и останавливается только тогда, когда раствор остынет до 100 К или когда закончится реагент.
Подобрать массы компонентов ХАХ так, чтобы в течение первого часа работы МЭТРа его температура оставалась в пределах от 120 К до 250 К.
Допущения: 1) теплообмен между всеми телами в системе происходит мгновенно; 2) теплопотери в окружающую среду отсутствуют; 3) компоненты ХАХ смешиваются, заправляются в МЭТР и эксперимент сразу начинается; 4) при реакции масса реагента, превращённая в накопитель, сохраняется (общая масса ХАХ неизменна).
Укажите выбранные массы компонентов ХАХ в кг.
Приведите промежуточные формулы.
Рассчитайте минимальную и максимальную температуру МЭТРа для всего эксперимента в кельвинах, округлив до трёх значащих цифр.
▶ПодсказкаСкрыть
Тепло, которое выделяет ХАХ за 20 минут, идёт на нагрев всей системы. Внимательно учитывайте, что при реакции часть тепловой энергии уходит на превращение реагента, а не на нагрев.
▶ОтветСкрыть
\(m_р = 70\) кг, \(m_н = 10\) кг; \(T_{\max} = 221{,}6\) К, \(T_{\min} = 162{,}2\) К.
▶РешениеСкрыть
Обозначения: \(\rho_р = 10\) Дж/(кг\(\cdot\)К) — теплоёмкость реагента, \(\rho_н = 1000\) Дж/(кг\(\cdot\)К) — накопителя, \(\rho_м = 500\) Дж/(кг\(\cdot\)К) — МЭТРа, \(\theta = 2000\) Дж/кг — удельная теплота реакции, \(P = 2000\) Вт — выделяемая мощность, \(T_{\text{нач}} = 200\) К.
Теплота, которой обладает система в начале: \(Q_{\text{нач}} = \big((m_р - m_{\text{прев}})\rho_р + (m_н + m_{\text{прев}})\rho_н + m_м\rho_м\big)T_{\text{нач}}\), где \(m_{\text{прев}}\) — масса реагента, уже превращённого в накопитель. За 20 минут накапливается \(Q_{\text{нагр}} = P\cdot 20\cdot 60\).
Температура перед реакцией: \(T = \dfrac{Q_{\text{нач}} + Q_{\text{нагр}}}{(m_р - m_{\text{прев}})\rho_р + (m_н + m_{\text{прев}})\rho_н + m_м\rho_м}\). Реакция идёт, пока раствор не остынет до \(100\) К; переход реагента \(X = \dfrac{Q_{\text{дост}}}{\theta + 100\,(\rho_н - \rho_р)}\), где \(Q_{\text{дост}}\) — теплота, доступная до \(100\) К, а температура после реакции пересчитывается с учётом \(Q_{\text{ост}} = X\theta\).
Для \(m_р = 70\) кг и \(m_н = 10\) кг: \(T_1 = 221{,}6\) К к отметке 20 мин, после первой реакции \(T_1' = 198{,}6\) К; к 40 мин \(T_2 = 218\) К; к 60 мин \(T_3 = 194{,}3\) К, после реакции \(T_3' = 162{,}2\) К. Все значения лежат в интервале от 120 К до 250 К, поэтому \(T_{\max} = 221{,}6\) К и \(T_{\min} = 162{,}2\) К.
зад 4 Лазерная навигация
В результате прошедших испытаний было установлено, что при загрузке ХАХа и работе в реальных условиях МЭТР довольно больно переезжает ноги обслуживающему персоналу. Было оперативно решено установить на робота датчики обратной связи. Пожалуйста, подкрепите мою идею датчика расчётами, похожими на человеческие.
Лазерный сканер (лидар) МЭТРа, работающий по принципу TOF, измеряет расстояние до объекта для предотвращения столкновений и корректной навигации. На основе измеренных данных необходимо определить координаты точки \((X, Y, Z)\) в декартовой системе координат, где центр совпадает с геометрическим центром зеркала.
Алгоритм работы лидара TOF:
Зеркало поворачивается на заданный угол.
Излучатель генерирует импульс, фиксируется время его испускания.
Импульс отражается от зеркала, затем от объекта и возвращается.
Приёмник принимает импульс, фиксируется время его окончания.
Рассчитываются координаты \(XYZ\) точки в пространстве.
Допущения: 1) рассеянием в окружающей среде и любыми преломлениями пренебречь; 2) зарегистрированное время — время между окончанием испускания и окончанием приёма импульса.
Приведите промежуточные формулы.
Укажите координаты \(X\), \(Y\), \(Z\) в метрах с точностью до двух знаков после запятой.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите путь, который прошёл луч от центра зеркала до объекта, учтя, что зарегистрированное время включает путь туда и обратно и расстояние \(L_1\). Далее разложите путь по осям, зная углы наклона и поворота.
▶ОтветСкрыть
\(X \approx 12{,}37\) м; \(Y \approx 21{,}43\) м; \(Z \approx 42{,}86\) м.
▶РешениеСкрыть
Путь луча от центра зеркала до объекта: \(S = \dfrac{t\,c}{2} - L_1 = \dfrac{3{,}3\cdot10^{-7}\cdot 3\cdot10^8}{2} - 8\cdot10^{-3} \approx 49{,}49\) м.
Угол падения равен углу отражения и равен углу наклона \(\alpha\), поэтому угол между осью \(Z\) и лучом равен \(90^\circ - 2\alpha\), и \[Z = S\cos(90^\circ - 2\alpha) = S\cos30^\circ \approx 42{,}86~\text{м}.\]
Проекция луча на плоскость \(XOY\): \(S_{xy} = S\sin(90^\circ - 2\alpha) = S\sin30^\circ \approx 24{,}75\) м. Тогда \[X = S_{xy}\cos\beta \approx 12{,}37~\text{м}, \qquad Y = S_{xy}\sin\beta \approx 21{,}43~\text{м}.\]
зад 5 Пора двигаться дальше
МЭТРы с ТЯПК-Ами, ХАХами и ТОФами зарекомендовали себя, и прототипы отправляются в производство. Это последний раз, когда я могу тебе что-то передать. Пусть это будет проект, который каждый раз появляется в моих снах.
Космический лифт состоит из станции, вращающейся по орбите вокруг планеты в плоскости экватора, и троса, соединяющего её с поверхностью. Рассчитать минимальную массу станции, при которой она будет оставаться неподвижной относительно точки закрепления на планете.
Допущения: 1) гравитационным влиянием искусственных тел друг на друга и на планету, а также других астрономических тел пренебречь; 2) трос разделить на три равных отрезка, каждый представить материальной точкой в середине его длины, соединённой с другими телами невесомыми нерастяжимыми нитями; 3) трос натянут строго по нормали к поверхности планеты; 4) период оборота планеты вокруг оси равен 24 ч.
Нарисуйте систему планета — космический лифт, на которой будут указаны линейные скорости, расстояния и все силы.
Приведите промежуточные формулы расчётов.
Укажите минимальную массу станции в кг, округлив до первых трёх значащих цифр.
▶ПодсказкаСкрыть
Каждая точка троса движется по окружности с одной угловой скоростью \(\omega = 2\pi/T\). Натяжение троса в каждом месте должно компенсировать разность между гравитацией и требуемой центростремительной силой. Считайте натяжения, начиная с нижнего конца троса.
▶ОтветСкрыть
\(m_{ст} \approx 3{,}18\cdot10^7\) кг.
▶РешениеСкрыть
Обозначения: \(R\) — радиус планеты, \(M\) — её масса, \(l\) — длина троса, \(\sigma\) — удельная масса троса, \(m_{ст}\) — масса станции. Масса каждого отрезка троса \(m_{тр} = l\sigma/3\).
Угловая скорость \(\omega = \dfrac{2\pi}{24\cdot 3600}\). Гравитационное ускорение точки на расстоянии \(r\) от центра: \(a_g(r) = \dfrac{GM}{r^2}\). Для отрезка \(i\) с серединой на расстоянии \(r_i\) (при \(i = 0, 1, 2\): \(r_i = R + (2i+1)\,l/6\)) натяжение в верхней части отрезка находится из условия \(T_{i+1} = T_i + m_{тр}\,(a_g(r_i) - \omega^2 r_i)\): \[T_1 = m_{тр}\,(a_g(r_0) - \omega^2 r_0), \quad T_2 = T_1 + m_{тр}\,(a_g(r_1) - \omega^2 r_1), \quad T_3 = T_2 + m_{тр}\,(a_g(r_2) - \omega^2 r_2).\] Для станции \(T_3 = m_{ст}\,(\omega^2(R + l) - a_g(R + l))\), откуда \(m_{ст} = \dfrac{T_3}{\omega^2(R+l) - GM/(R+l)^2}\).
В официальном решении ответ: \(m_{ст} = 3{,}18\cdot10^7\) кг.
Источник: Отраслевая олимпиада «Газпром» (физика), 2024/25, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.