«Гранит науки», 2020/21, заключительный этап, 9–11 класс

Удлинение пружины складывается из удлинения от нижнего груза и от груза, подвешенного к середине. Какую силу растяжения испытывает каждая половина пружины?

\(l \approx 19{,}5\) см.

Длина растянутой пружины \(l = l_0 + x_1 + x_2\), где \(x_1 = \dfrac{mg}{k}\) — удлинение от первого груза, \(x_2 = \dfrac{mg}{2k}\) — от второго, подвешенного к середине. Тогда \[l = l_0 + 1{,}5\,\frac{mg}{k} = 0{,}15 + 1{,}5\cdot\frac{0{,}15\cdot 10}{50}~\text{м} = 0{,}195~\text{м} = 19{,}5~\text{см}.\]

Прирост осадки означает дополнительно вытесненную воду. Вес песка равен весу вытесненной им воды, но объём вытесненной воды не равен объёму песка.

\(\rho_п = 1600\) кг/м\(^3\).

Пусть \(M\) — масса баржи, \(m\) — масса песка, \(V_п\) — объём песка. Без песка баржа плавает с осадкой \(h\) и \(Mg = \rho_в g S h\). После погрузки \(F_{арх2} = Mg + mg\), а дополнительный объём воды, вытесненной баржей, равен \(S\cdot 1~\text{м}\). Отсюда \[\rho_в g S(h + 1) = \rho_в g S h + \rho_п V_п g \quad\Rightarrow\quad \rho_п V_п = \rho_в S.\] Плотность песка \[\rho_п = \frac{\rho_в S}{V_п} = \frac{1000\cdot 2000}{1250}~\text{кг/м}^3 = 1600~\text{кг/м}^3.\]

Запишите уравнение состояния для каждого сосуда до открытия крана и для всей смеси после него. Число молей при открытии крана не меняется.

\(p \approx 5{,}4\cdot10^5\) Па (≈ 5,4 атм).

До открытия крана \(p_1V_1 = \dfrac{m_1}{M}RT\), \(p_2V_2 = \dfrac{m_2}{M}RT\). После открытия крана газ занимает объём \(V_1 + V_2\) при температуре \(T' = 1{,}15\,T\): \[p\,(V_1 + V_2) = \frac{(m_1 + m_2)RT'}{M} = 1{,}15\,(p_1V_1 + p_2V_2).\] Отсюда \[p = 1{,}15\,\frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2} = 1{,}15\cdot\frac{4\cdot10^5\cdot3\cdot10^{-3} + 5\cdot10^5\cdot7\cdot10^{-3}}{10\cdot10^{-3}}~\text{Па} \approx 5{,}4\cdot10^5~\text{Па}.\]

Сначала найдите узлы, которые соединены проводом без сопротивления: схему можно упростить. Затем сверните сопротивления в одну эквивалентную цепь.

\(I = 1{,}8\) А.

Правый верхний узел соединён с нижним узлом проводом без сопротивления, поэтому \(R_2\) и \(R_3\) оказываются включены параллельно между узлами, а амперметр и источник — в общей ветви. Эквивалентная схема:

Ветвь \(R_2\parallel R_3\) последовательно соединена с \(R_1\): \[R_{123} = R_1 + \frac{R_2R_3}{R_2 + R_3} = 1{,}25 + \frac{1\cdot 3}{4} = 2~\text{Ом}.\] Эта ветвь параллельна \(R_4\), поэтому \[R_{\text{общ}} = \frac{R_4 R_{123}}{R_4 + R_{123}} = \frac{7\cdot2}{9}~\text{Ом} \approx 1{,}56~\text{Ом}.\] Ток, который показывает амперметр, — полный ток источника: \[I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{общ}}} = \frac{2{,}8\cdot 9}{14}~\text{А} = 1{,}8~\text{А}.\]

Мощность — это сила, умноженная на скорость судна. Запишите её как функцию \(v\) и найдите максимум: производная по \(v\) должна обращаться в нуль.

\(v = \dfrac{v_0}{3} = 2\) м/с.

Мощность ветра \(N = Fv = \dfrac{CS\rho}{2}\,(v_0 - v)^2 v\). Условие максимума \(\dfrac{dN}{dv} = 0\) даёт \[\frac{CS\rho}{2}\,(v_0^2 - 4v_0 v + 3v^2) = 0 \quad\Rightarrow\quad (v_0 - v)(v_0 - 3v) = 0.\] Корень \(v_1 = v_0\) не удовлетворяет условию (при нём мощность равна нулю, это минимум). Поэтому \(v_2 = \dfrac{v_0}{3} = 2\) м/с.