«Гранит науки», 2020/21, заключительный этап, 9–11 класс

Расход жидкости равен площади сечения трубы, умноженной на скорость. Внутренний диаметр трубы меньше наружного на две толщины стенки.

\(v \approx 1{,}4\) м/с.

Расход \(Q = \dfrac{V}{\Delta t} = Sv = \dfrac{\pi}{4}(D - 2h)^2 v\), откуда \[v = \frac{4Q}{\pi(D - 2h)^2}.\] Здесь \(D = 0{,}53\) м, \(h = 0{,}008\) м, \(Q \approx 0{,}3\) м\(^3\)/с: \[v = \frac{4\cdot0{,}3}{3{,}14\,(0{,}53 - 2\cdot0{,}008)^2}~\text{м/с} \approx 1{,}4~\text{м/с}.\]

Запишите закон сохранения энергии для падения от высоты \(h\) до максимального сжатия \(x\) и второй закон Ньютона в момент максимального сжатия.

\(k = \dfrac{49{,}5\,Mg}{h}\).

Энергия от начала падения до максимального сжатия пружины на \(x\): \[Mg(h + x) = \frac{kx^2}{2}.\] В момент максимального сжатия сила пружины тормозит лифт с ускорением \(a = 10g\), так что \(kx - Mg = Ma = 10Mg\), откуда \(x = \dfrac{11\,Mg}{k}\). Подставляя в энергетическое уравнение, \[Mgh = \frac{k}{2}\cdot\frac{121\,M^2g^2}{k^2} - Mg\cdot\frac{11\,Mg}{k} = \frac{49{,}5\,M^2g^2}{k},\] откуда \(k = \dfrac{49{,}5\,Mg}{h}\).

После селектора скоростей ион движется по окружности в магнитном поле. Какие величины в формуле радиуса одинаковы для обоих изотопов, а какие различаются?

\(R_1 \approx 5{,}6\) мм, \(R_2 \approx 6{,}3\) мм.

Ионы, прошедшие скрещенные поля селектора скоростей, имеют скорость \(v = \dfrac{E}{B}\). В магнитном поле \(qvB' = \dfrac{mv^2}{R}\), откуда \(m = \dfrac{qBB'R}{E}\). Для ионов с одинаковым зарядом все величины, кроме \(R\), одинаковы, поэтому \[\frac{R_2}{R_1} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{18}{16} = 1{,}125.\] Расстояние между точками попадания на пластинку \(x = D_2 - D_1 = 2(R_2 - R_1) = 1{,}4\) мм, откуда \(R_2 - R_1 = 0{,}7\) мм. Тогда \[R_1 = \frac{0{,}7}{0{,}125}~\text{мм} = 5{,}6~\text{мм}, \qquad R_2 = 6{,}3~\text{мм}.\]

Работа за цикл равна площади прямоугольника в координатах \(pV\). Тепло получает газ только на участках, где он нагревается: на изохоре с ростом давления и на изобаре с расширением.

\(\eta = \dfrac{2(n-1)(m-1)}{5nm - 2n - 3}\).

Пусть \(p_1\) и \(V_1\) — минимальные давление и объём цикла, тогда \(p_2 = np_1\), \(V_2 = mV_1\) (состояния \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) на \(pV\)-диаграмме: \(A(p_1, V_1)\), \(B(p_2, V_1)\), \(C(p_2, V_2)\), \(D(p_1, V_2)\)).

Работа за цикл равна площади прямоугольника: \[A = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1) = p_1V_1(n-1)(m-1).\] Газ получает тепло на участках \(AB\) (изохорное нагревание) и \(BC\) (изобарное расширение): \[Q_{AB} = \frac{3}{2}V_1(p_2 - p_1) = \frac{3}{2}p_1V_1(n-1), \qquad Q_{BC} = \frac{5}{2}p_2(V_2 - V_1) = \frac{5}{2}np_1V_1(m-1).\] Суммарное подведённое тепло \[Q = Q_{AB} + Q_{BC} = \frac{p_1V_1}{2}\,(5nm - 2n - 3).\] КПД \[\eta = \frac{A}{Q} = \frac{2(n-1)(m-1)}{5nm - 2n - 3}.\]

Точка \(L\) лежит на шатуне, поэтому её координаты выражаются через координаты точки \(A\) кривошипа и точки \(B\) ползуна. Исключение времени даст траекторию.

\(x = 1{,}2\cos 10t\) м, \(y = 0{,}6\sin 10t\) м; траектория \(\dfrac{x^2}{1{,}44} + \dfrac{y^2}{0{,}36} = 1\); \(v = 6\sqrt{1 + 3\sin^2 10t}\) м/с.

Координаты точки \(A\): \((0{,}9\cos\omega t,\; 0{,}9\sin\omega t)\); точка \(B\) ползуна лежит на оси \(x\): \((1{,}8\cos\omega t,\; 0)\). Точка \(L\) делит отрезок \(AB\) так, что \(AL = \frac{1}{3}AB\), поэтому \[x = 0{,}9\cos\omega t + \tfrac{1}{3}\cdot0{,}9\cos\omega t = 1{,}2\cos 10t~\text{м}, \qquad y = 0{,}9\sin\omega t - \tfrac{1}{3}\cdot0{,}9\sin\omega t = 0{,}6\sin 10t~\text{м}.\] Исключив \(t\), получаем траекторию — эллипс с полуосями \(1{,}2\) м и \(0{,}6\) м: \[\frac{x^2}{1{,}2^2} + \frac{y^2}{0{,}6^2} = 1.\] Скорость точки: \[v_x = \dot x = -12\sin 10t~\text{м/с}, \qquad v_y = \dot y = 6\cos 10t~\text{м/с},\] \[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{144\sin^2 10t + 36\cos^2 10t} = 6\sqrt{1 + 3\sin^2 10t}~\text{м/с}.\]