«Гранит науки», 2023/24, заключительный этап, 10-11 класс

Подсказка

Минимальное зеркало, в котором человек видит себя в полный рост, имеет высоту, равную половине его роста, и не зависит от расстояния до зеркала. Сравните высоты двух зеркал.

Ответ

\(x_1 = 60\) см.

Решение

Из рисунка к решению видно, что для полного роста зеркалу нужна высота \(x_2 = \dfrac{h_1}{2} + \dfrac{h_2}{2} = \dfrac{h}{2}\), где \(h_1\) и \(h_2\) — расстояния от глаз до макушки и до ступней, \(h = 180\) см. Тогда \(x_2 = \dfrac{h}{2} = 90\) см. Так как высота второго зеркала в \(1{,}5\) раза больше первого, \(x_1 = \dfrac{x_2}{1{,}5} = \dfrac{h}{3} = 60\) см.

Подсказка

Запишите первый закон Ньютона для каждого подвижного блока: в проекции на вертикаль натяжения связаны через \(\cos(\alpha/2)\). Затем уравнение моментов сил относительно середины стержня.

Ответ

\(\dfrac{x}{L} = \dfrac{1}{6}\) (центр тяжести правее середины).

Решение

Для левого подвижного блока в проекции на ось \(OY\): \(T_1 = 2T_3\cos\dfrac{\alpha}{2}\); для правого подвижного блока: \(T_2 = 2T_3\). Отсюда \(T_1 = T_2\cos\dfrac{\alpha}{2}\).

Уравнение моментов сил относительно середины стержня, где \(x\) — расстояние от середины до центра тяжести: \[T_1\left(\frac{L}{2} + x\right) - T_2\left(\frac{L}{2} - x\right) = 0.\] Подставляя \(T_1 = T_2\cos\dfrac{\alpha}{2}\) и решая относительно \(x\), получаем \[\frac{x}{L} = \frac{1-\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos\frac{\alpha}{2} + 2}.\] При \(\alpha = 120^\circ\) имеем \(\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\), и \(\dfrac{x}{L} = \dfrac{1}{6}\). Знак положительный, значит центр тяжести находится правее середины стержня.

Подсказка

Сначала пар сжимается изотермически, пока давление не достигнет давления насыщенного пара при \(100^\circ\)C. Дальше давление не растёт, а пар конденсируется. Масса конденсата равна массе насыщенного пара в конце сжатия.

Ответ

\(h_в \approx 0{,}0054\) м \(= 5{,}4\) мм.

Решение

При медленном изотермическом сжатии справедлив закон Бойля–Мариотта. Давление растёт до давления насыщенного пара при \(100^\circ\)C, равного атмосферному, \(p_{н.п.} = 10^5\) Па. Высота пара в этот момент: \(h_{н.п.} = \dfrac{p_0 h_0}{p_{н.п.}}\). Дальше пар конденсируется при постоянном давлении.

Масса насыщенного пара равна массе сконденсировавшейся воды: \(h_{н.п.} S\rho_{н.п.} = h_в S\rho_в\), откуда \(h_в = \dfrac{h_{н.п.}\rho_{н.п.}}{\rho_в}\). Плотность пара из уравнения Клапейрона–Менделеева: \(\rho_{н.п.} = \dfrac{M p_{н.п.}}{RT}\). Тогда \[h_в = \frac{p_0 h_0 M}{R T \rho_в} = \frac{24930\cdot 37{,}3\cdot 0{,}018}{8{,}31\cdot 373\cdot 1000} \approx 0{,}0054~\text{м} = 5{,}4~\text{мм}.\]

Подсказка

Скорость системы в положении равновесия найдите по закону сохранения импульса при застревании пули. При смещении, равном половине амплитуды, скорость составляет \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) от максимальной скорости в тех же колебаниях.

Ответ

\(\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{3}{2}\).

Решение

Скорости в одинаковых фазах колебаний относятся как амплитудные значения скоростей. При смещении \(x = A/2\) скорость равна \(v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\omega A\), поэтому отношение скоростей в искомых точках равно \(\dfrac{\omega_2 A_2}{\omega_1 A_1}\), то есть отношению максимальных скоростей колебаний, которые равны скоростям системы в положении равновесия.

После первого выстрела (закон сохранения импульса): \(m v_0 = (M+m) v_1\), откуда \(v_1 = \dfrac{m v_0}{M+m}\).

После второго выстрела: \(m v_0 + (M+m) v_1 = (M+2m) v_2\), откуда \(v_2 = \dfrac{2 m v_0}{M+2m}\).

Тогда \[\frac{v_2}{v_1} = \frac{2(M+m)}{M+2m} = \frac{2(4+2)}{4+2\cdot 2} = \frac{3}{2}.\]

Подсказка

Начальная схема — два последовательно соединённых слоя. После сдвига — три параллельные ветви из двух последовательных конденсаторов. Приравняйте ёмкости до и после сдвига и выразите длину перекрытия \(x\).

Ответ

\(S = 10^{-3}\) м\(^2\) (то есть \(10\) см\(^2\)).

Решение

Начальная ёмкость (два последовательных слоя с \(d_1 = d_2 = d\)): \[C_0 = \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_0 a^2}{d(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}.\] После сдвига пластины перекрываются на длине \(x\), и система состоит из трёх параллельных пар последовательных конденсаторов с площадями \(a x\) (слой с \(\varepsilon_1\) и \(\varepsilon_2\) вместе) и \(a(a-x)/2\) (каждый слой отдельно): \[C' = \frac{\varepsilon_1\varepsilon_0 a\,\frac{a-x}{2}}{d(\varepsilon_1+1)} + \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_0 a x}{d(\varepsilon_1+\varepsilon_2)} + \frac{\varepsilon_2\varepsilon_0 a\,\frac{a-x}{2}}{d(\varepsilon_2+1)}.\] Приравнивая \(C' = 0{,}48\,C_0\) и решая относительно \(x\) при \(a = 0{,}1\) м, получаем \(x = 0{,}01\) м. Площадь соприкасающейся части \(S = a x = 0{,}1\cdot 0{,}01 = 10^{-3}\) м\(^2\).