«Гранит науки», 2023/24, заключительный этап, 9 класс

Выразите время встреч через расстояние \(s\) от дома до дачи и скорости. Ограничения по времени дают систему неравенств; она совместна только при одном соотношении скоростей автомобиля и автобуса.

В \(17\) ч \(45\) мин.

Пусть \(s\) — расстояние от дома до дачи, \(v_И\) — скорость автомобиля Ивана Петровича, \(v_П\) — скорость автобуса, тогда скорость мотоцикла \(2v_П\). Иван Петрович прибывает на дачу через \(5\) ч \(50\) мин: \(\dfrac{s}{v_И} = \dfrac{35}{6}\) ч.

Встреча с Василием не ранее чем через \(2\) ч \(30\) мин: \(\dfrac{s}{v_И + 2v_П} \ge \dfrac{5}{2}\) ч. Разница между встречами с Василием и с автобусом не менее часа: \(\dfrac{s}{v_И + v_П} - \dfrac{s}{v_И + 2v_П} \ge 1\) ч.

Подставляя \(s/v_И\), получаем систему неравенств на отношение \(v_П/v_И\): \[\frac{v_П}{v_И} \le \frac{2}{3}, \qquad \frac{2}{3} \le \frac{v_П}{v_И} \le \frac{3}{4}.\] Она совместна только при \(\dfrac{v_П}{v_И} = \dfrac{2}{3}\). Тогда время пути автобуса \[\frac{s}{v_П} = \frac{s}{v_И}\cdot\frac{v_И}{v_П} = \frac{35}{6}\cdot\frac{3}{2} = \frac{35}{4}~\text{ч} = 8~\text{ч}\ 45~\text{мин}.\] Пётр выехал в \(9\) ч и приедет домой в \(17\) ч \(45\) мин.

В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна нулю. Сравните максимальные высоты мячей: они одинаковы, так как мячи встречаются в верхних точках.

\(v_{02} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14\) м/с.

Проекции начальных скоростей: \(v_{01x} = v_{01}\cos\alpha_1\), \(v_{01y} = v_{01}\sin\alpha_1\), и аналогично для второго мяча. Время подъёма \(t_{y1} = \dfrac{v_{01}\sin\alpha_1}{g}\), \(t_{y2} = \dfrac{v_{02}\sin\alpha_2}{g}\). Максимальные высоты одинаковы: \[\frac{v_{01}^2\sin^2\alpha_1}{2g} = H = \frac{v_{02}^2\sin^2\alpha_2}{2g}.\] Так как \(\alpha_2 = 1{,}5\,\alpha_1 = 45^\circ\), получаем \[v_{02} = \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\,v_{01} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\cdot 20 = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14~\text{м/с}.\]

Скорость звука не зависит от частоты. Сравните глубину, найденную по вертикальному сигналу, с глубиной по наклонному сигналу.

\(\alpha = 30^\circ\).

Для вертикального сигнала глубина \(h = \dfrac{v_{зв}t_в}{2}\), где \(t_в = 1{,}36\) с. При наклонном сигнале вертикальная составляющая скорости звука равна \(v_{зв}\sin\alpha\), и за время \(t_н\) звук проходит до дна и обратно: \(h = \dfrac{v_{зв}\sin\alpha\, t_н}{2}\). За то же время корабль проходит \(L = v_к t_н\), откуда \(t_н = \dfrac{L}{v_к}\) и \(h = \dfrac{v_{зв}\sin\alpha\, L}{2v_к}\).

Приравнивая выражения для глубины, получаем \[\sin\alpha = \frac{v_к t_в}{L} = \frac{4{,}5\cdot 1{,}36}{12{,}24} = 0{,}5, \qquad \alpha = 30^\circ.\]

Длина волны связана с частотой через скорость света. Частота колебаний контура определяется формулой Томсона \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) с новыми значениями \(L\) и \(C\).

\(\Delta\lambda \approx 0{,}23\) м.

Формула Томсона: \(T = 2\pi\sqrt{LC}\). После попытки исправить: \(C' = 0{,}85\,C = 1{,}7\) нФ, \(L' = L + \Delta L = 1{,}62 + 0{,}08 = 1{,}7\) нГн. Тогда \[\lambda_0 = \frac{c}{n_0} = \frac{3\cdot 10^8}{87{,}5\cdot 10^6} \approx 3{,}43~\text{м},\] \[\lambda' = cT = c\cdot 2\pi\sqrt{L'C'} \approx 3{,}20~\text{м}.\] Разность длин волн: \(\Delta\lambda = \lambda_0 - \lambda' \approx 3{,}43 - 3{,}20 = 0{,}23\) м.

Между пластинами луч идёт параллельно первоначальному направлению, поэтому смещение складывается из смещений в каждой пластине. Угол падения на пластину — дополнительный к углу с поверхностью.

\(H \approx 0{,}012\) м \(= 12\) мм.

Угол падения \(\alpha_1 = \dfrac{\pi}{2} - \alpha_и = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Из закона преломления \(\sin\beta_1 = \dfrac{\sin\alpha_1}{n}\). Смещение луча после прохождения одной пластины \(h = d\sin\alpha_1\left(1 - \dfrac{\cos\alpha_1}{n\cos\beta_1}\right)\), а после преобразования \[h = d\sin\alpha_1\left(1 - \frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha_1}}{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha_1}}\right).\] Между пластинами направление луча не меняется, поэтому смещение после двух пластин \(H = 2h\): \[H = 2d\sin\alpha_1\left(1 - \frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha_1}}{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha_1}}\right) = 2\cdot 0{,}03\cdot 0{,}5\left(1 - \frac{\sqrt{0{,}75}}{\sqrt{2}}\right) \approx 0{,}012~\text{м}.\]

Закон радиоактивного распада: \(N = N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\). Найдите, сколько периодов полураспада прошло при уменьшении числа ядер в четыре раза.

\(5\frac{1}{3}\) суток (то есть \(128\) ч), осталось \(250\) ядер.

Закон радиоактивного распада: \(\dfrac{N}{N_0} = 2^{-t/T_{1/2}}\). По условию \(N = 0{,}25\,N_0 = 250\) ядер. Тогда \(2^{-t/T_{1/2}} = 0{,}25 = 2^{-2}\), откуда \(t = 2T_{1/2} = 2\cdot 64 = 128\) ч \(= 5\frac{1}{3}\) суток.