«Гранит науки», 2024/25, заключительный этап, 10-11 класс

Скорость груза у подножия найдите из закона сохранения энергии. Попадая в тележку, груз передаёт ей горизонтальную составляющую импульса; вертикальная составляющая гасится опорой.

\(u \approx 1{,}98\) м/с.

Скорость груза в конце соскальзывания: \(\dfrac{mv^2}{2} = mgh\), откуда \(v = \sqrt{2gh}\).

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось (тележка с грузом движутся вместе): \[m v\cos\alpha = (m + M)\,u \quad\Rightarrow\quad u = \frac{m}{m + M}\sqrt{2gh}\cos\alpha = \frac{15}{65}\cdot\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot5}\cdot0{,}866 \approx 1{,}98~\text{м/с}.\]

Из симметрии поле направлено вдоль прямой, проходящей через центр треугольника и искомую точку. Найдите проекцию поля каждого заряда на эту прямую.

\(E \approx 3{,}06\cdot10^{10}\,\dfrac{q}{a^2}\) (в СИ: \(E = \dfrac{16\sqrt{33}}{27}\,\dfrac{kq}{a^2}\), \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\)).

Искомая точка — вершина правильного тетраэдра с основанием в треугольнике зарядов. Расстояние от каждого заряда до центра основания \(L = \dfrac{a}{\sqrt3}\). Высота точки над основанием \(h = \sqrt{x^2 - L^2}\), где \(x = \dfrac{3}{4}a\).

Поле каждого заряда направлено от него, его проекция на вертикальную ось равна \(E_1\cdot\dfrac{h}{x}\), где \(E_1 = \dfrac{kq}{x^2}\). Горизонтальные составляющие трёх полей взаимно уничтожаются. Поэтому \[E = 3\,\frac{kq}{x^2}\cdot\frac{h}{x}, \qquad \frac{h}{x} = \sqrt{\frac{11}{27}}.\] Подставляя \(x^2 = \dfrac{9}{16}a^2\), получаем \(E = \dfrac{16\sqrt{33}}{27}\,\dfrac{kq}{a^2} \approx 3{,}06\cdot10^{10}\,\dfrac{q}{a^2}\) (в СИ).

Сложите последовательно соединённые резисторы в каждом плече. Проверьте, выполняется ли условие баланса мостовой схемы: тогда средний резистор \(R\) можно убрать.

\(I = 5\) А.

Последовательно соединённые резисторы заменяем суммами: верхняя ветвь \(R_1 + R_2 = 5\) Ом и \(R_4 = 7\) Ом, нижняя ветвь \(R_3 = 10\) Ом и \(R_5 + R_6 = 14\) Ом. Отношения сопротивлений плеч совпадают: \(\dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{14}\), поэтому мост сбалансирован, ток через \(R\) не течёт, и резистор \(R\) можно исключить.

Внешнее сопротивление: \(R_{\text{вн}} = (5 + 7)\,\|\,(10 + 14) = \dfrac{12\cdot24}{36} = 8\) Ом.

Сила тока: \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_{\text{вн}} + r} = \dfrac{60}{8 + 4} = 5\) А.

Прямолинейное движение в скрещенных полях означает равенство электрической и магнитной сил. Радиус окружности в поле \(B_1\) найдите по формуле \(R = \dfrac{mv}{qB_1}\); частицы отклоняются в противоположные стороны.

\(\Delta x \approx 1{,}56\cdot10^{-3}\) м.

Равенство сил \(qE = qvB\) даёт скорость частиц \(v = \dfrac{E}{B}= \dfrac{1000}{0{,}20} = 5\cdot10^3\) м/с (здесь \(B = 0{,}20\) Тл, как в официальном решении).

Радиус окружности в поле \(B_1 = 0{,}1\) Тл: \(R = \dfrac{mv}{|q|B_1}\). Для протона \(R_p = \dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot5\cdot10^3}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}1} \approx 5{,}2\cdot10^{-4}\) м; для \(\alpha\)-частицы (\(m = 6{,}64\cdot10^{-27}\) кг, \(q = 3{,}2\cdot10^{-19}\) Кл) \(R_\alpha \approx 1{,}04\cdot10^{-3}\) м.

Частицы отклоняются в противоположные стороны, поэтому расстояние между ними \(\Delta x = R_\alpha + R_p \approx 1{,}56\cdot10^{-3}\) м.

Пружины, закреплённые на площадке с обеих сторон, работают параллельно: их жёсткости складываются. Амплитуду найдите из закона сохранения энергии в момент, когда площадка с шариком на мгновение останавливается.

\(x(t) = \dfrac{mg}{k} + A\sin\!\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t\right)\), где \(k = k_1 + k_2\), \(A = \sqrt{\left(\dfrac{mg}{k}\right)^2 + \dfrac{2mgH}{k}}\); \(x\) отсчитывается вниз от исходного положения площадки.

Жёсткость системы \(k = k_1 + k_2\), циклическая частота \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\) (масса — только масса шарика, так как площадка и пружины невесомы).

Удар неупругий, но площадка невесома, поэтому скорость системы сразу после удара равна скорости шарика. Пусть наибольшее смещение площадки вниз после удара равно \(x\). В этом положении скорость равна нулю, и \[mg(H + x) = \frac{k x^2}{2}.\] Корни: \(x_{1,2} = \dfrac{mg}{k} \pm \sqrt{\left(\dfrac{mg}{k}\right)^2 + \dfrac{2mgH}{k}}\). Их полусумма \(\dfrac{mg}{k}\) — новое положение равновесия, полуразность — амплитуда колебаний: \[A = \sqrt{\left(\dfrac{mg}{k}\right)^2 + \dfrac{2mgH}{k}}.\] Отсюда уравнение колебаний (время отсчитывается от момента прохождения положения равновесия): \[x(t) = \frac{mg}{k} + A\sin\!\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\right).\]