«Гранит науки», 2024/25, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Радиус ядра связан с массовым числом формулой \(R = r_0 A^{1/3}\). Выразите объём ядра через \(A\) и приравняйте к объёму куба.

Ответ

\(A = 14\); это атом азота.

Решение

В первом приближении ядро — шар радиуса \(R = r_0 A^{1/3}\), его объём \(V_я = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi r_0^3 A\). Приравняв его к объёму куба \(a^3\), получаем \[A = \frac{3a^3}{4\pi r_0^3} = \frac{3\cdot(5{,}05\cdot10^{-15})^3}{4\pi\cdot(1{,}3\cdot10^{-15})^3} \approx 14.\]

Подсказка

Посмотрите на схему: какая линза на ней изображена, собирающая или рассеивающая? Для неё формула с другим знаком у слагаемого с \(F\).

Ответ

Мнимое прямое уменьшенное изображение на расстоянии около \(11\) см от линзы.

Решение

Школьник использовал формулу собирающей линзы, а на схеме изображена рассеивающая линза, изображение которой всегда мнимое, прямое и уменьшенное. Формула для неё: \[\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = -\frac{1}{F}.\] Оптическая сила \(D = \dfrac{1}{F}\), поэтому \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + D \quad\Rightarrow\quad f = \frac{d}{1 + dD} = \frac{0{,}25}{1 + 0{,}25\cdot5} \approx 0{,}11~\text{м} = 11~\text{см}.\]

Подсказка

Рёбра, выходящие из \(A\), имеют разные сопротивления: одно длинное и два коротких. Из симметрии найдите, какие узлы имеют одинаковый потенциал.

Ответ

\(R_{\text{экв}} \approx 2{,}69\) мОм (именно такой ответ в официальном решении; \(\approx 0{,}00269\) кОм).

Решение

Сопротивления рёбер: сечение \(S = \pi d^2/4 = 1{,}77\cdot10^{-6}\) м\(^2\), короткие рёбра \(R_к = \rho\cdot 0{,}05/S \approx 2{,}69\) мОм, длинные \(R_д = \rho\cdot0{,}10/S \approx 5{,}38\) мОм.

Ток, дойдя до точки \(A\), распределяется между тремя рёбрами \(AB\), \(AD\), \(AE\). Так как \(R_{AB} = 2R_к\), а напряжения на всех трёх рёбрах одинаковы, потенциалы точек \(B\), \(D\), \(E\) равны. Так же \(C\), \(F\), \(K\) имеют одинаковый потенциал. Тогда три ребра у \(A\) соединены параллельно, три ребра у \(G\) — тоже, а между точками \(\{B, D, E\}\) и \(\{C, F, K\}\) стоят шесть рёбер, также включённых параллельно: \[R_A = R_G = \frac{1}{\dfrac{1}{R_д} + \dfrac{2}{R_к}} \approx 1{,}08~\text{мОм}, \qquad R_{\text{ср}} = \frac{1}{\dfrac{4}{R_к} + \dfrac{2}{R_д}} \approx 0{,}54~\text{мОм}.\] Итого \(R_{\text{экв}} = 2R_A + R_{\text{ср}} \approx 2{,}69\) мОм.

Подсказка

Найдите сопротивление провода и выделяемую мощность. Нагрев проволоки за полчаса связан с её теплоёмкостью, а потери — с площадью поверхности и разностью температур.

Ответ

\(\alpha \approx 74{,}75\) мВт/(м\(^2\cdot\)К).

Решение

Сопротивление провода \(R = \rho\ell/S\), \(S = \pi d^2/4\); мощность Джоуля–Ленца \(P = I^2R\); выделившаяся за время \(t\) теплота \(Q = I^2Rt\). Масса провода \(m = \rho_ж S\ell\), теплоёмкость \(mc\); температура провода поднимается на \(\Delta T = Q/(mc)\).

Потери в окружающую среду: \(0{,}1\,P = \alpha S_{\text{пов}}\Delta T\), где \(S_{\text{пов}} = \pi d\ell\). Отсюда \[\alpha = \frac{0{,}1\,I^2R}{S_{\text{пов}}\,\Delta T} = \frac{0{,}1\,mc}{S_{\text{пов}}\,t} \approx \frac{0{,}1\cdot6{,}34}{4{,}71\cdot10^{-3}\cdot1800} \approx 0{,}0748~\text{Вт/(м}^2\text{К)} \approx 74{,}75~\text{мВт/(м}^2\text{К)}.\]

Подсказка

Работа силы тяги на горизонтальном участке идёт на кинетическую энергию, которая на склоне тратится на подъём и на работу против трения. Угол склона найдите по отношению высоты к пути по склону.

Ответ

\(F \approx 752{,}5\) Н.

Решение

Угол склона: \(\sin\alpha = h/s = 1/2\), \(\alpha = 30^\circ\), где \(s = \ell\) — путь по склону.

На склоне по теореме об изменении энергии \(\dfrac{mv^2}{2} = mgh + \mu_2 mg\cos\alpha\cdot s = mg\ell\left(\dfrac12 + \mu_2\cos\alpha\right)\).

На горизонтальном участке сила тяги \(F\) за время разгона совершает работу против силы трения \(\mu_1 mg\) и разгоняет лыжника: \((F - \mu_1 mg)\,\ell = \dfrac{mv^2}{2}\) (разгон на длине \(\ell\), как в официальном решении).

Отсюда \[F = mg\left(\mu_1 + \frac12 + \mu_2\cos\alpha\right) = 784\cdot(0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3\cdot0{,}866) \approx 752{,}5~\text{Н}.\]