IEPhO 2013, 8 класс

В данной работе вам необходимо изготовить прибор для измерения плотности жидкости (ареометра) и провести измерения зависимости плотности смеси жидкостей от ее концентрации.

Ареометр представляет собой цилиндрический сосуд (аптекарский пузырек) с солью внутри и тонкой трубкой, вертикально вставленной в его крышку.

Плотность воды считайте известной и равной

\[\rho_0=1.00~{г}/{см^3}. \tag{1}\]Диаметр трубки равен \(d = 5.0~мм\).

Часть A. Теоретическая

Экспериментально удобнее измерять длину части трубки, находящейся над поверхностью жидкости, \(h\). 

A1. Запишите уравнение, связывающую объем пузырька \(V_0\), его массу \(m\), диаметр трубки \(d\), длину трубки \(l\), длину части трубки, находящейся над поверхностью жидкости \(h\) и плотность исследуемой жидкости \(\rho\).

A2. Можно доказать, что при изменении плотности раствора на малую величину \(\Delta\rho\) (то есть от \(\rho_0\) до \(\rho_0 + \Delta\rho\) ) объем погруженной части ареометра изменяется на величину \(\Delta V\), равную \[\Delta V=-V_1\frac{\Delta\rho}{\rho_0}, \qquad(1) \tag{2}\]где \(V_1\) – объем погруженной части ареометра в растворе плотности \(\rho_0\) (т.е. в чистой воде).

Используя формулу \((1)\), найдите изменение глубины погружения ареометра \(\Delta h\) при изменении плотности раствора на величину \(\Delta\rho\). Запишите эту формулу.

Часть B. Конструкторская

B1. Экспериментально подберите такое количество соли внутри пузырька, что бы в чистой воде глубина погружения ареометра была максимальна (но пузырек еще не утонул), а в жидкости \(\mathrm X\) минимальна (но поддающаяся измерению). Укажите пределы глубины погружения, которые вам удалось добиться.

B2. Измерьте плотность жидкости \(\mathrm X\). Укажите результаты всех измерений, которые Вам пришлось провести, чтобы определить плотность жидкости \(\mathrm X\).

Часть C. Исследовательская

Вам необходимо исследовать зависимость плотности раствора жидкости \(\mathrm X\) в воде. Используйте следующее определение концентрации раствора:

\[C_X=\frac{V_\mathrm X}{V_\mathrm X + V_{воды}}, \qquad(2) \tag{3}\]где \(V_\mathrm X\) – объем жидкости \(\mathrm X\), \(V_{воды}\) – объем чистой воды, налитые при приготовлении смеси. Согласно этому определению, концентрация чистой воды равна \(0\), а концентрация жидкости \(\mathrm X\) равна \(1\).

Для приготовления растворов известной концентрации рекомендуем использовать следующую методику. Удобно использовать порции жидкости постоянного объема \(40~мл\) (для этого используйте выданный вам шприц).

1. Залейте в мензурку 10 порций жидкости \(\mathrm X\), после этого отливайте одну порцию смеси, а добавляйте одну порцию чистой воды.

2. Проведите необходимые вам измерения.

3. Повторите эту процедуру 10 раз.

Расчет концентраций смеси после \(k\) переливаний можно проводить последовательно по формуле\[C_{Xk}=\frac{9}{10}C_{Xk-1} , \qquad(3) \tag{4}\]где \(C_{\mathrm Xk-1}\) – концентрация раствора после \((k-1)\) переливания, \(C_{\mathrm Xk}\) – концентрация после \(k\)-того переливания.

C1. Проведите измерения зависимости длины трубки над жидкостью \(h\) от концентрации смеси. Постройте график полученной зависимости.

C2. Постройте график зависимости изменения плотности раствора (разности между плотностью раствора и плотностью чистой воды \(\Delta\rho = \rho_{раствора} - \rho_{воды}\)) от его концентрации.

Оборудование

1. Пузырек аптекарский

2. Трубка для коктейля

3. Соль

4. Ложка чайная одноразовая

5. Мензурка

6. Стаканчики одноразовые

7. Шприц на \(20~мл\)

8. Штангенциркуль

9. Вода чистая

10. Жидкость \(\mathrm X\) (\(0.5~литра\))

Примечания:

• Воду и жидкость \(\mathrm X\) наливать не более \(400~мл\).

• При выполнении заданий части C перемешивайте раствор с помощью вашего ареометра.

• Следите за положением вашей нитки (она не должна прилипать к стенкам мензурки).

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Сила тяжести, действующая на ареометр, уравновешивается силой Архимеда

Ответ:

\[mg=\rho g \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h)\right) \qquad(1) \tag{5}\]

A2. Обозначим \[V_1= \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h_0)\right) \tag{6}\] – объем погруженной части ареометра в воде, который легко измерить с помощью мензурки. Так как масса ареометра не изменяется, то при изменении плотности жидкости выполняется соотношение \[\rho_0V_1=(\rho_0 + \Delta\rho)(V_1 +\Delta V) . \qquad(2) \tag{7}\] Раскроем скобки в правой части этого уравнения \[\rho_0V_1= \rho_0V_1 + \rho_0 \Delta V + \Delta\rho V_1 + \Delta\rho \Delta V \tag{8}\] Последним слагаемым можно пренебречь из-за его малости, \[\Delta V = -V_1 \frac{\Delta\rho} {\rho_0} \implies \Delta V = - \frac{\pi d^2} {4} \Delta h \tag{9}\]знак минус, т.к. ареометр всплывает.

Ответ:

\[\Delta h = - \frac{4V_1} {\pi d^2 \rho_0} \Delta \rho \qquad(3)\tag{10}\]

поэтому формула для расчета изменения плотности имеет вид

\[\Delta \rho = \rho_0 \frac{\pi d^2} {4V_1} \Delta h \tag{11}\]

B1. Ответ:

Глубина погружения изменяется примерно на \(11-13\) см.

B2. Для определения плотности жидкости \(\mathrm X\) можно использовать формулу \((3)\). Измерения параметров ареометра дают следующие значения\[d = (5.00 \pm 0.05) ~мм ,\quad V_1 =(25.00 \pm 1) ~см^3 ,\quad \Delta h =(12.50 \pm 0.25) ~см \tag{12}\]Плотность жидкости \(\mathrm X\):

Ответ:

\[\rho= \rho_0 \left ( 1 + \frac{\pi d^2}{4 V_1} \Delta h\right) = 1.00\frac{г}{см^3} \left (1 + \frac{3.14\cdot0.50^2} {4\cdot25}\cdot 12.5\right) = 1.098~ \frac{г}{см^3} \tag{13}\]\[\delta (\Delta\rho)= \Delta\rho \sqrt{\left ( 2 \frac{\delta d}{d}\right)^2 +\left (\frac{\delta V_1}{V_1}\right)^2 + \left ( \frac{\delta (\Delta h)}{\Delta h}\right)^2 } = ~0.004 \frac{г}{см^3} \tag{14}\]

C1. При добавлении воды концентрации пересчитываются по формуле

\[C_{Xk} = \frac{9c_{Xk-1}} {10} \qquad(4)\tag{15}\]Результаты измерений и расчетов изменения плотности смеси приведены в таблице.

Ответ:

\(C_\mathrm X\)	1.000	0.900	0.810	0.729	0.656	0.590	0.531	0.478	0.430	0.387	0.349
\(\Delta h,~ см\)	11.0	9.8	8.9	8.2	7.6	7.0	6.0	5.2	4.8	4.2	3.3
\(\Delta \rho\cdot10^3, ~{кг}/{см^3}\)	69.96	62.33	56.60	52.15	48.34	44.52	38.16	33.07	30.53	26.71	20.99

Ответ:

График зависимости изменения длины трубки над жидкостью \(\Delta h\) от концентрации смеси \(C_\mathrm X\)

C2. Ответ:

График зависимости изменения плотности раствора (разности между плотностью раствора и плотностью чистой воды \(\Delta \rho = \rho_ {раствора} - \rho_ {воды}\)) от его концентрации \(C_\mathrm X\)

Источник: pho.rs/p/3883.

Вы, конечно, знаете, что в природе существует сила трения, возможно, что вы знаете даже ее некоторые свойства.

В данной работе вам предстоит экспериментально изучить, как нить трется о пластиковый стержень.

Часть A. Теоретическая

Чтобы ваша экспериментальная работа была осмысленной, а полученные результаты понятны, решите небольшую теоретическую задачу. Вы можете полностью решить эту задачу, даже не используя формулы.

Рис. 1

По горизонтальной поверхности может скользить брусок, привязанный с помощью пружины к неподвижному упору. Естественно, что между бруском и поверхностью существует трение.

Направим ось \(Ox\) вдоль пружины, начало отсчета совместим с положением недеформированной пружины. Будем считать, что брусок может двигаться только вдоль этой оси. Оказывается, что брусок может находиться в состоянии равновесия, даже если пружина слегка деформирована. В этой области (она называется областью застоя) координата бруска может принимать значения от \(x= -l\) до \(x=l\) (где \(l\) – некоторое число).

Постарайтесь очень кратко (но точно!) ответить на следующие вопросы.

A1. Объясните, почему существует область застоя.

A2. От чего зависит размер этой области?

A3. Вы растянули пружину, расположив брусок в точке с координатой \(x_0\), и отпустили. Брусок придет в движение и окончательно остановится в точке с координатой \(x_1\). Нарисуйте схематический график зависимости конечной координаты бруска \(x_1\) от его начальной координаты.

Часть B. Наконец-то экспериментальная

Соберите установку, показанную на рис. 1: доска закреплена на столе, к крайнему гвоздику прикреплён динамометр; нить, привязанная к его другому концу, переброшена через стержень. В подвешенный на ней стаканчик можно складывать грузы. Нить можно считать нерастяжимой.

Если в стаканчик помещать грузы, то пружина динамометра растягивается. Договоримся растяжение пружины \(x\) измерять в показаниях шкалы (одно маленькое деление – 1, большое деление – 10 единиц).

Внимание: во время измерений необходимо убедиться, что нить не касается столешницы (в том числе торца).

Теоретическая подсказка

При скольжении нити по неподвижному стержню (рис. 2) из-за наличия трения сила натяжения нити уменьшается, причём по разные стороны от стержня силы натяжения связаны соотношением

\[T_1= \beta T_0 \qquad(1) \tag{1}\]где \(\beta\) – постоянный коэффициент (очевидно, что \(\beta < 1\) ), зависящий только от коэффициента трения нити о стержень.

Рис. 2

Часть B1. Статика

B1.1. Если в стаканчик помещать грузы, то пружина динамометра может находится в равновесии (опять явление застоя!) в некотором диапазоне от \(x_{нг}\) (нижняя граница) до \(x_{вг}\). Измерьте зависимость координат нижней и верхней границ зоны застоя от числа грузов, помещенных в стакан. Постройте графики полученных зависимостей.

B1.2. Предложите простую формулу, описывающую (может приближенно) эти зависимости. Найдите численные значения коэффициентов, входящих в эти формулы.

B1.3. На том же листе миллиметровки постройте график зависимости положения равновесия пружины динамометра от числа грузов в стакане, при отсутствии силы трения.

B1.4. С помощью построенных графиков и найденных коэффициентов, рассчитайте коэффициент \(\beta\) в формуле (1).

Часть B2. Динамика

Поместите в стаканчик 3 груза и все измерения в этой части проводите с тремя грузами!

Пружина окажется в некотором положении равновесия. С помощью нити, связывающей пружину со стаканчиком ее можно вывести из положения равновесия. Пусть начальное положение пружины определяется координатой \(x_0\). Если после этого нить отпустить, то стаканчик и пружина могут начать двигаться. Обозначим конечное (после полной остановки) положение пружины \(x_1\).

B2.1. Измерьте зависимость координаты конечного положения пружины \(x_1\) от ее начального положения \(x_0\) (рекомендуем проводить измерения для \(x_0\) от 0 до 50 с шагом в 5 делений). Постройте график полученной зависимости.

B2.2. Укажите на этом графике найденную вами ранее область застоя (как для величины \(x_0\), так и для величины \(x_1\)).

B2.3. На этом же бланке нарисуйте, примерный график теоретической зависимости \(x_1\) от \(x_0\).

B2.4. Объясните причины возможных расхождений между теоретической зависимостью и вашими экспериментальными данными.

Оборудование

1. Набор \(10\) грузов по \(50~г\)

2. Динамометр

3. Нитки

4. Подставка для установки (доска с закреплённым пластмассовым стержнем)

5. Пластиковый стаканчик

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Ответ:

Область застоя существует потому, что:

• действует сила трения;

• величина трения покоя достигает максимального значения, после чего тело начинает двигаться;

• направление силы трения может быть различным.

A2. Ответ:

Размер области застоя зависит от:

• материалов поверхности и бруска (коэффициента трения);

• массы бруска;

• жесткости пружины.

A3. Ответ:

Требуемый график имеет вид, показанный на рисунке (показана часть соответствующая \(x_0 > 0\)).

Качественное объяснение: диапазон \([ 0, l ]\) – область застоя, диапазон \([ l, 3l ]\) – брусок сдвигается с места под действием пружины и останавливается в области застоя, диапазон \([3 l, 5l ]\) – брусок успевает проскочить зону застоя, после остановки движется в обратном направлении.

Последующие диапазоны соответствуют разному нарастающему количеству «проскакиваний» области застоя.

B1.1. Результаты измерений зависимостей \(x_{нг}\) и \(x_{вг}\) от числа грузов в стаканчике \(n\) приведены в таблице и на графике.

Ответ:

\(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7
\(x_{вг}\)	0	9	15	22	28	35	42	48
\(x_{нг}\)	0	4	7	11	15	18	22	26

Ответ:

B1.2. Ответ:

Из приведенных графиков хорошо видно, что полученные зависимости с хорошей точностью являются прямо пропорциональными, поэтому могут быть описаны формулой:

Ответ:

\[x=kn \qquad(1)\tag{2}\]

С помощью графиков можно найти значения коэффициентов наклона:

Ответ:

\[k_{вг}=7.0 ,\quad k_{нг}=3.7\qquad(2) \tag{3}\]

B1.3. Ответ:

Очевидно, что требуемая зависимость также является прямо пропорциональной. Коэффициент наклона этой прямой находится точно: если на пружину динамометра подвесить два груза, то его показания равны \(1~Н\) (или \(x=10\) в принятой системе единиц), следовательно, коэффициент наклона равен \(k_0=5.0\) (по условию его рассчитывать не требовалось, но прямая должна быть проведена точно!) На рисунке в пункте B2.1 это пунктирная .линия.

B1.4. Теоретически коэффициенты наклона прямых, описывающих верхнюю и нижнюю границы рассчитываются по формулам (при движении в одну сторону силы трения ослабляет силу тяжести, при движении в другую сторону ослабляет силу упругости пружины):

\[k_{вг}=\frac{k_0}{\beta} ,\quad k_{нг} = k_0 \cdot \beta\qquad(3) \tag{4}\]Отсюда следует, что коэффициент \(\beta\) может быть найден по формуле

Ответ:

\[\beta = \sqrt \frac{k_{нг}}{k_{вг}} \approx 0.73 \qquad(4)\tag{5}\]

Отметим, что этот коэффициент также можно найти из формул \((3)\), при правильно найденном значении коэффициента \(k_0\).

B2.1. Ответ:

\(x_1\)	16	12	15	20	19	16	12	15	17	19
\(x_0\)	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50

Ответ:

B2.2. Ответ:

Зона застоя выделена на рисунке жёлтым цветом.

B2.3. Ответ:

Качественно получается такая же зависимость, как и в рассмотренной в части A теоретической задаче. Поэтому и соответствующая теоретическая зависимость аналогична – она изображена на рисунке пунктиром.

B2.4. Ответ:

Наибольшие отличия между экспериментальными и теоретическими значениями наблюдаются при больших начальных отклонениях. Причиной этого являются дополнительные потери механической энергии, главным образом из-за трения между стержнем и корпусом динамометра.

Источник: pho.rs/p/3884.

Плотность воды считать равной\[\rho_0 = 1.00\cdot10^3~{кг}/{м^3}. \tag{1}\]

Экспериментальная установка показана на рис. 1. Две стеклянные трубки соединенные снизу резиновым шлангом закреплены на вертикально расположенном куске картона, рядом с трубками приклеены полоски миллиметровой бумаги. Трубки расположены под некоторыми различными углами к вертикали. Начала отсчета шкал также могут находиться не на одном уровне. С помощью шприцов (один для масла, второй для воды) в трубки можно доливать воду и масло.

Рис. 1

Будьте аккуратны! Добавляйте воду и масло не спеша, постарайтесь поменьше его вылить на свою одежду! При необходимости вы можете слить жидкости из трубок, сняв всю установку со штатива!

Теоретическое описание

Пусть в обеих трубках находится вода. Обозначим высоты начал отсчета обеих шкал \(h_{10}\), \(h_{20}\) (они вам неизвестны). С помощью шкал (полосок миллиметровой бумаги) вы можете (и должны) измерять длины столбиков воды в трубках \(l_1, l_2\) . Обозначим \(h_1\), \(h_2\) – высоты, измеренные по вертикали обоих столбиков. Очевидно, что

\[h_1 = k_1l_1 ,\quad h_2 = k_2l_2 \qquad(1) \tag{2}\]где \(k_1\), \(k_2\) – некоторые постоянные коэффициенты (они вам не известны, но могут понадобиться).

Рис. 2.

A1. Запишите условия равновесия воды в трубке, выразите из него зависимость длины столба \(l_2\) от длины столба \(l_1\).

A2. Медленно добавляя воду в трубки, проведите измерения длин столбиков в обеих трубках. По полученным данным постройте график зависимости \(l_2 (l_1)\) .

A3. С помощью построенного графика определите отношение коэффициентов \({k_1}/{k_2}\), которые входят в формулы \((1)\).

Заполните трубки водой примерно наполовину. Теперь вам необходимо добавлять в одну из трубок подсолнечное масло. Во вторую трубку при необходимости можно добавлять воду. Но прежде, чем вы начнете…

Опять теоретическое описание

Все прежние обозначения оставляем в силе и добавляем к ним \(\Delta l\) – длину столбика масла в трубке и \(\rho_1\) – плотность масла.

Запишите условия равновесия жидкостей в этом случае. Получите уравнение, связывающее длины столбиков воды, масла и их плотности. Это уравнение можно привести к виду

\[al_1 + bl_2 = F(\Delta l) \qquad(2) \tag{3}\]где \(a\), \(b\) – уже известные коэффициенты, \(F(\Delta l)\) – некоторая простая функция от длины столбика масла. Получите уравнение вида \((2)\), так как оно позволяет достаточно просто определить плотность масла по экспериментальным данным.

A5. Постепенно добавляя масло в одну трубку, проведите измерения величин \(l_1\), \(l_2\), \(\Delta l\).

A6. Используя полученное уравнение \((2)\) и экспериментальные данные определите плотность масла.

Оборудование

1. Две собранные установки, описание которых дано выше

2. Масло подсолнечное

3. Вода

4. 2 шприца

5. Стаканчики одноразовые

6. Секундомер

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. В сообщающихся высоты уровней жидкости в обоих коленах в состоянии равновесия равны, поэтому должно выполняться условие

Ответ:

\[h_{10} + k_1l_1 = h_{20} + k_2l_2 \qquad(1)\tag{4}\]

Из этого условия следует, что

Ответ:

\[l_2 = \frac{h_{10} - h_{20}}{k_2} + \frac{k_1}{k_2}l_1 \qquad(2)\tag{5}\]

A2. В таблице ниже приведены результаты измерений длин столбиков воды в обеих трубках (проведены две серии измерений и объединены). График полученной зависимости показан на рисунке.

Ответ:

\(l_2, ~мм\)	18	45	68	82	109	133	175	44	60	78	107	135	150	169
\(l_1,~мм\)	14	46	72	89	120	148	194	45	64	85	119	151	168	190

Ответ:

A3. Коэффициент наклона прямой, рассчитанный по методу наименьших квадратов, оказался равным

Ответ:

\[a = 0.865 \pm 0.08 \qquad(2)\tag{6}\]В соответствии с формулой \((1)\) он равен отношению коэффициентов \({k_1}/{k_2}\). Это значение будет использовано в дальнейших расчетах.

A4. В состоянии равновесия суммарные давления жидкостей на нижнем уровне трубок будут равны, что выражается уравнением

\[\rho_0 (h_{10} + k_1l_1) = \rho_0 (h_{20} + k_2l_2) + k_2\rho_1\Delta l, \qquad(3)\tag{7}\]

здесь \(\Delta l\) – длина столбика масла.

Это уравнение легко преобразуется к виду, указанному в условии, если обе его части разделить на \(k_2\rho_0\):

\[\rho_0 (h_{10} + k_1l_1) = \rho_0 (h_{20} + k_2l_2) + k_2\rho_1\Delta l \implies \tag{8}\]

Ответ:

\[\frac{k_1}{k_2}\, l_1 - l_2 =\frac{\rho_1}{\rho_0}\Delta l + \frac{h_{20} - h_{10}}{k_2} \qquad(4)\tag{9}\]

Теперь, если построить зависимость величины \(z ={k_1}l_1 / {k_2} -l_2\) от высоты столбика масла \(\Delta l\) , то эта зависимость должна быть линейна, причем коэффициент наклона прямой равен отношению плотностей масла и воды.

A5. Результаты проведенных измерений показаны в таблице ниже. График зависимости показан на рисунке.

Ответ:

\(l_1, ~мм\)	\(l_2, ~мм\)	\(\Delta l, ~мм\)	\(z, ~мм\)
77	69	0	-2.40
100	44	52	42.50
115	27	83	72.48
135	6	126	110.78
150	-14	164	143.75
167	-32	194	176.46

Ответ:

A6. Коэффициент наклона данного графика (рассчитанный по МНК) равен

\[a_1= \frac{\rho_1}{\rho_0} = 0.91 \pm 0.03 \qquad(5)\tag{10}\]Следовательно, плотность масла равна

Ответ:

\[\rho_1 = a_1 \rho_0 = (0.91 \pm 0.03)\cdot10^3~{кг}/{м^3} \qquad(6)\tag{11}\]

Источник: pho.rs/p/3885.

Кручение – один из распространенных видов деформаций.

В качестве меры деформации используется угол кручения \(\varphi\), а характеристикой упругих сил – момент силы упругости \(M\), который в состоянии равновесия равен моменту внешних сил, приложенных к телу.

Для изучения деформации кручения используется следующая установка.

Исследуемый стержень закреплен с одного конца в лапке штатива. Чтобы избежать изгибания стержня его второй конец с помощью нити привязан к верхнему концу штатива. Вблизи конца стержня через него проходит жесткая металлическая спица, которая служит одновременно рычагом, к которому подвешивается стаканчик с грузами (гвоздями), и стрелкой, служащей для измерения. Второй конец спицы может свободно двигаться вдоль вертикальной шкалы. Чтобы нить, к которой привязан стаканчик, не скользила вдоль стержня, на него насажен кусочек ластика, который можно передвигать вдоль спицы, изменяя расстояние от стержня до точки подвеса \(l\). В качестве показаний данного прибора используется смещение (в сантиметрах) \(x\) конца спицы (относительно начального положения, когда стаканчик пуст).

Не рекомендуем разбирать установку, потому, что потом не соберете!

Не смещайте спицу относительно стержня!

Установку можно целиком передвигать по столу.

Часть A. Все просто

В данной части используйте в качестве грузов гвозди меньшего размера (\(50~мм\)). Все измерения проводите при расстоянии от стержня до шкалы \(L = 30~см\).

A1. Измерьте зависимости показаний смещений конца спицы \(x\) от числа \(n\) гвоздей, помещенных в стаканчик для четырех расстояний \(l\) (от стержня до точки подвеса стаканчика), лежащих в диапазоне от \(l = 10~см\) до \(l = 20~см\) . Постройте графики полученных зависимостей.

A2. Можно ли считать, что смещение конца спицы \(x\) пропорционально числу гвоздей в стакане

\[x=Kn, \qquad(1)\tag{1}\]где \(K\) коэффициент пропорциональности, зависящий от расстояния \(l\)? Ответ обоснуйте с помощью построенных графиков.

A3. Даже если формула \((1)\) не выполняется точно, считайте ее приближенной. Рассчитайте значения коэффициента \(K\) для всех значений \(l\), которые использовались при измерениях в A1. Постройте график зависимости \(K\) от \(l\).

A4. Зависимость, полученная в A3, описывается формулой \[K = K_0l^{\gamma}. \qquad(2)\tag{2}\]Найдите численные значения параметров \(K_0\), и \(\gamma\), при которых формула \((2)\) наиболее точно описывает ваши экспериментальные данные. Укажите размерности этих параметров.

Часть B. Все просто?

В данной части используйте большие гвозди (\(100~мм\)).

Все измерения проводите при расстоянии от стержня до шкалы \(L = 25~см\).

Подвесьте стаканчик на расстоянии \(L = 15~см\) от стержня и не меняйте это расстояние.

B1. Измерьте зависимость смещения конца спицы \(x\) от числа гвоздей (больших!) в стакане. Измерения проведите в двух направлениях: при нагрузке (последовательно добавляя гвозди) и при разгрузке (последовательно вынимая их). Постройте графики полученных зависимостей.

B2. Объясните, почему измеренные в B1 могут не совпадать.

2.3. Укажите возможные причины того, что полученные зависимости не являются линейными.

Оборудование

1. Штатив с зажимом

2. Пластиковая трубка (гелевый стержень)

3. Металлическая спица

4. Набор грузов (гвозди)

5. Линейка

6. Вертикальная доска со шкалой

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Результаты измерений в таблице и на графике.

Ответ:

	Смещение \(x,~см\)
\(n\)	\(l = 10~ см\)	\(l = 15~ см\)	\(l = 20~ см\)
0	0	0	0
1	0.3	0.4	0.6
2	0.6	0.9	1.3
3	1	1.4	2
4	1.3	2	2.8
5	1.6	2.5	3.4
6	2.1	3.1	4.4
7	2.4	3.7	5.2
\(K (см)\)	0.34	0.51	0.71

Ответ:

A2. Ответ:

Приведенная формула справедлива, так как графики – прямые линии, проходящие через начало координат.

A3. Коэффициенты наклона приведены в последней строке таблицы.

Ответ:

График зависимости \(K(l)\)

A4. И этот график прямая, проходящая через начало координат. Поэтому в формуле

\[K = K_0l^{\gamma} \tag{3}\]

Ответ:

\[\gamma = 1,\qquad K_0 = 0.035\]

– безразмерная величина (найдена по наклону графика).

B1. Результаты измерений в таблице и на графике.

Ответ:

\(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7
\(X, ~см\)	0.0	2.0	4.3	7.3	9.3	11.9	14.1	17.0
\(X, ~см\)	2.1	4.3	6.8	9.0	11.2	13.3	15.1	17.0

Ответ:

B2. Ответ:

Причина несовпадения – остаточные деформации (гистерезис)

2.3. Ответ:

Причина нелинейности:

• свойства самого пластика (неупругие деформации);

• нелинейность шкалы (углы не малые, поэтому тангенс угла заметно отличается от самого угла).

Для подтверждения – график в радианах (от участников олимпиады не требовался).

Источник: pho.rs/p/3886.

Внимание: проведение эксперимента требует предельной аккуратности и выдержки. Не торопитесь, при каждом измерении добивайтесь полного прекращения колебаний.

«На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила...» – узнаете закон Архимеда. А действует ли погруженное тело на жидкость? Поиску ответа на этот вопрос посвящено данное задание.

Установите на чашках весов стаканы, заполненные водой. Тщательно уравновесьте их. Погрузите в один из стаканов гвоздь, держа его в руке, так чтобы он не касался ни стенок, ни дна стакана. Убедитесь, что при этом равновесие весов нарушается.

Часть A. Теоретическая

A1. Кратко объясните, почему при погружении гвоздя в воду равновесие весов нарушается.

A2. На одной чашке весов находится стакан с водой и кусок проволоки, на второй гири. Весы уравновешены. Нарушится ли равновесие весов, если кусок проволоки переложить в стакан?

A3. Гвоздь диаметром \(d\), изготовленный из материала плотностью \(\rho\) погружен на глубину \(h\) в стакан с жидкостью плотностью \(\rho_0\). Рассчитайте, на сколько изменится вес стакана.

Плотность воды считайте известной и равной \(\rho_0 = 1.0\cdot10^3~{кг}/{м^3}\).

Часть B. Экспериментальная

Для погружения гвоздя создайте следующую установку: на гвоздь подвеса в кусочком ластика воткните декоративную кнопку, на которую намотайте нить, к концу которой привяжите гвоздь. Расположите весы так, чтобы гвоздь погружался в один из стаканов. Вращая головку кнопки, вы сможете медленно и аккуратно регулировать глубину погружения, добиваясь установления равновесия. На стакан наклейте полоску миллиметровой бумаги.

Добивайтесь установления полного равновесия по стрелке!

B1. Уравновесьте два стакана с водой на чашках весов. Внутрь одного из стаканов положите обрезок проволоки. Погружая гвоздь во второй стакан, измерьте при какой глубине погружения \(h\) гвоздя, весы снова окажутся в состоянии равновесия.

Повторите измерения, при разном числе обрезков проволоки.

B2. Постройте график зависимости глубины погружения гвоздя (при котором весы приходят в состояние равновесия) от числа кусочков проволоки, положенных в стакан на другой чашке весов.

Используя полученные данные, вам необходимо рассчитать плотность стали. Можете считать, что гвоздь и обрезки проволоки изготовлены из одного материала (стали).

B3. Проведите необходимые вам дополнительные измерения. Обязательно укажите, что и как вам пришлось измерять и результаты ваших измерений.

B4. Рассчитайте плотность стали. Укажите плотность чего, вы все-таки, измерили.

Постарайтесь провести свои расчеты так, чтобы на их результаты не влияла погрешность, связанная с острием гвоздя (которое не является цилиндрическим).

Оборудование

1. Весы лабораторные (без разновесов)

2. Два пластиковых стакана с водой

3. Гвоздь железный

4. Обрезки стальной проволоки 10 штук (диаметр этой проволоки \(d = 0.80~мм\); считайте, что длины всех кусочков одинаковы)

5. Ластик

6. Кнопка декоративная

7. Полоска миллиметровой бумаги

8. Подвес

9. Нитка

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Ответ:

Повышается уровень воды в стакане, поэтому увеличивается сила давления на дно

A2. Ответ:

Не нарушится

A3. При погружении тела в воду на него действует сила Архимеда, такая же по модулю, но противоположная по направлению сила действует на воду.

Поэтому изменение веса стакана при погружении стержня равно

Ответ:

\[\Delta P = F_{Арх} = \rho_0\frac{\pi d^2}{4} hg \qquad(1) \tag{1}\]

B1. Результаты измерений зависимости глубины погружения гвоздя от числа кусочков проволоки приведены в таблице.

Ответ:

\(h, ~мм\)	14	22	30	38	45	52	60	68	75	82
\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

B2. Ответ:

Как следует из графика зависимость почти строго линейная. То, что она не проходит через нуль, частично связано с наличием у гвоздя острия.

B3. Изменение веса грузов, связанное с добавлением числа кусочков проволоки равно

\[\Delta P = \rho_1\frac{\pi d_1^2}{4} gl_0n. \qquad(2) \tag{2}\]\(d_1\), \(l_0\) диаметр и длина одного кусочка проволоки.

Если приравнять эту величину к изменению веса стаканчика, то получим теоретический вид полученной экспериментальной зависимости

\[\rho_1\frac{\pi d_1^2}{4} gl_0n = \rho_0\frac{\pi d^2}{4} ng \implies h = \frac{\rho_1d_1^2}{\rho_0d^2} l_0n. \qquad(3) \tag{3}\]Из этой формулы следует, что плотность материала проволоки (а не гвоздя) выражается через коэффициент наклона графика

\[\rho_1 = \rho_0\frac{d^2}{d_1^2}\frac{\Delta h}{\Delta n}\frac{1}{ l_0}. \qquad(4) \tag{4}\]

Ответ:

Коэффициент наклона графика равен \({\Delta h}/{\Delta n} = 7.55~ мм\), диаметры проволоки и гвоздя равны \(d_1 = 4.0~ мм,\) \(d = 0.8~ мм\), \(l_0 = 23~ мм.\)

B4. Следовательно, плотность материала проволоки равна

Ответ:

\[\rho_1 = 1.0\cdot10^3\, \left( \frac{4.0}{0.8}\right)^2\,\frac{7.55}{23} = 8.2\cdot10^3~{кг}/{м^3} \qquad(5) \tag{5}\]

Оценка погрешности дает \(\Delta\rho_1 = 0.9\cdot10^3 ~{кг}/{м^3}\), что составляет величину порядка \(10\%\). Основной вклад в погрешность дает ошибка измерения диаметра проволоки.

Источник: pho.rs/p/3887.

Постарайтесь выполнить задачу как минимум двумя способами, использовав миллиметровую бумагу только в одном из них.

Часть A. С миллиметровкой

A1. Определите массу груза.

A2. Оцените погрешность измерения.

Часть B. Без миллиметровки

B1. Определите массу груза.

B2. Оцените погрешность измерения.

Оборудование

1. Нить, при необходимости вы можете попросить нить дополнительно

2. Груз

3. Штатив

4. Круглый стержень

5. Динамометр

6. Лист миллиметровой бумаги

7. Пластилин

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Напоминаем, что для решения задачи допускается использовать только перечисленное в условии оборудование. При нарушении этого правили работа получает ноль баллов за всё, т.к. предложенная задача не решена.

Соберём оборудование, как показано на рисунке 1.

Рис. 1

1. Проверяем плавность и не заклинивание хода динамометра, при необходимости снимаем нижнюю пробку, даем пружинке принимать свободное положение, затем нижнюю пробку закроем!

2. Проверяем и при необходимости настроим динамометр на отметку \(0\) в горизонтальном положении!

3. Закрепляем груз к нитке и повесим на штатив

4. Миллиметровку настроим вертикально по свободно висящему грузу и закрепим к стоике пластилином

5. Отметим на миллиметровке линию наклонной нити при показаний динамометра \(F_{1N} = 1~Н\)

6. Исходя от треугольника мерим длины отрезков \(l_{1N} = 130~мм\) и \(l_{mg} = 178~мм\) и вычисляем массу груза

Ответ:

\[m = \frac{l_{mg}}{l_{1N}}\cdot\frac{F_{1N}}{g} = \frac{178~мм}{130~мм}\cdot\frac{1~Н}{{9.81}\frac{Н}{кг}} = 139.6~г \tag{1}\]

A2. \(\cfrac{l_{mg}}{l_{1N}}\) есть соотношение и измерить его с миллиметровки можно определив разброс одной величины фиксировав другой погрешность дается погрешностью одного из них.

Ответ:

\[\Delta m = \left(\frac{\Delta l_{mg}}{l_{mg}} + \frac{\Delta F_{1N}}{F_{1N}}\right)\cdot m = \left(\frac{1.5~мм}{178~мм} + \frac{0.03~Н}{1~Н}\right)\cdot 139.6~г = 5.4~г \\ m = (139.6 \pm 5.4)~г \tag{2}\]

B1.

1. Проверяем плавность и не заклинивание хода динамометра, при необходимости снимаем нижнюю пробку, даем пружинке принимать свободное положение, затем нижнюю пробку закроем

2. Проверяем и при необходимости настроим динамометр на отметку \(0\) в вертикальном положений

3. Закрепляем груз и динамометр к концам нитки

4. Закрепляем круглый стержень в штатив

5. Намотаем ниткой 1 полный оборот нитки вокруг стержня

6. Отпускаем груз постоянной скоростью придерживая конец нитки динамометром и регистрируем силу \(F_1 = (0.60 \pm 0.02) ~Н\)

7. Намотаем ниткой ещё 1 полный оборот нитки вокруг стержня

8. Отпускаем груз постоянной скоростью придерживая конец нитки динамометром и регистрируем силу \(F_2 = (0.26 \pm 0.02) ~Н\)

9. Замечаем, что это идентично случаю с одним витком конец которого придерживают вторым витком. А следовательно:\[\frac{F_0}{F_1}=\frac{F_1}{F_2},\quad F_0 = mg = \frac{{F_1}^2}{F_2}\implies\]

Ответ:

\[m = \frac{{F_1}^2}{F_2}\frac{1}{g} = \frac{(0.60~Н)^2}{0.26~Н}\frac{1~кг}{9.81~Н} = 141.1~г \tag{3}\]

B2. Ответ:

\[\Delta m = \left(2\cdot\frac{\Delta F_1}{F_1} + \frac{\Delta F_2}{F_2}\right) \cdot 141.1~г = \left(2\cdot\frac{0.02~Н}{0.06~Н} +\frac{0.02~Н}{0.26~Н}\right) \cdot141.1~г = 20.2~г \\m = (141 \pm 20)~г \tag{4}\]

Источник: pho.rs/p/3888.

Источник: Олимпиада по экспериментальной физике (IEPhO) 2013, 8 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.