IEPhO 2014, 11 класс

Ответ

A1: Заметные различия в двух кривых объясняются остаточными деформациями резины.;  A3: На рис. 2 приведены графики полученных зависимостей – они практически совпадают.

Решение

A1. Результаты измерений зависимости удлинения резинки от числа подвешенных грузов при нагрузке и разгрузке приведены в таблице и на графике ниже.

Ответ:

Ответ:

Рис. 1. Зависимость удлинения резинки от нагрузки

Ответ:

Заметные различия в двух кривых объясняются остаточными деформациями резины.

A2. Традиционно при описании упругих свойств рассматривают зависимость относительной деформации от механического напряжения. Однако в данном случае площадь поперечного сечения, во-первых, изменяется, во-вторых, не известна. Помимо использованной здесь величины можно рассматривать как равно-ценные: силы тяжести, деленная на число резинок, число грузов, деленное на число резинок. В качестве независимых от геометрических размеров параметров можно выбрать относительное удлинение \(\varepsilon = {\Delta l}/{l_0}\) и массу, приходящуюся на одну резинку \(\mu = {m}/{j}\). В таблице ниже приведены результаты измерений удлинения одинарной и двойной резинок, их относительные удлинения, отношение массы подвешенных грузов к числу резинок.

Ответ:

A3. Ответ:

Рис. 2. Зависимость относительного удлинения от приведенной массы

Ответ:

На рис. 2 приведены графики полученных зависимостей – они практически совпадают.

B1. В таблице ниже представлены результаты измерения периодов колебаний в зависимости от массы подвешенных грузов. График этой зависимости показан на рис. 3.

Ответ:

Ответ:

Рис. 3. Зависимость периода колебаний от массы грузов

B2. Согласно известной формуле для периода колебаний

\[T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{k}}}, \qquad(1)\tag{1}\]период колебаний должен возрастать при увеличении массы. Однако, данные измерений показывают, что данная зависимость не является монотонной, при массах грузов больших \(300~г\) период колебаний начинает уменьшаться. Объяснением этому факту является нелинейная зависимость удлинения резины от приложенной силы – иными словами жесткость резины изменяется при изменении ее относительной деформации. Поэтому для теоретических расчетов в формулу \((1)\) следует подставлять значение дифференциального коэффициента жесткости

\[\tilde{k}=\frac{\Delta F}{\Delta l}=\frac{g\Delta m}{\Delta l} \qquad(2)\tag{2}\]В таблице выше приведены результаты расчетов этого коэффициента (расчет проведен по симметричной схеме вычисления производной), в последнем столбце показаны результаты расчета периода колебаний, эти же данные показаны на рис. 3.

Конечно, трудно ожидать полного совпадения (причинами таких несовпадений являются: неточность расчета дифференциального коэффициента жесткости, влияние отмеченного гистерезиса деформаций пружины, погрешности измерений) однако, качественное соответствие на лицо: отмеченное увеличение жесткости резины объясняет уменьшение периода колебаний.

Источник: pho.rs/p/3907.

Ответ

A1: \[C_x = \left(21.5\pm 0.07\right)~нФ\]

Решение

A1. Соединяем параллельно катушку, конденсатор и лампочку (см. схему). Подаем на них напряжение через переменный резистор и кнопку. Переменный резистор позволяет изменять начальный ток \(I_0\), который мы измеряем амперметром.

Кнопка позволяет быстро разомкнуть цепь источника. В оставшемся \(LC\)-контуре в начальный момент через катушку течет ток \(I_0\), а конденсатор не заряжен. Происходит зарядка конденсатора. Допустим, что напряжение на конденсаторе в какой–то момент достигнет \(U_0\) . Запишем закон сохранения энергии в этот момент\[\frac{LI_{0}^{2}}{2}=\frac{CU_{л}^{2}}{2}+\frac{LI_{1}^{2}}{2}\]После этого лампочка на мгновение вспыхнет и разрядит конденсатор. Получаем условие зажигания лампочки\[I_{0}^{2}\geq\frac{CU_л ^2}{L}\]Экспериментально находим минимальный начальный ток \(I_{кр}\), при котором лампочка вспыхивает. Повторяем измерения для нескольких значений токов вблизи \(I_{кр}\). Чтобы уверенно утверждать, что при заданном токе лампочка не загорается, необходимо воспроизвести этот результат 3-5 раз. Чтобы уверенно утверждать, что она загорается, достаточно 2-3 зажиганий.

Измеряем \(I_{кр}\) для конденсаторов \(10~ нФ\), \(33~нФ\), и последовательно соединенных \(33~нФ\) и \(47~нФ\), что эквивалентно \(19.4~нФ\). Для конденсатора \(47~нФ\) не удается добиться зажигания лампочки даже при максимальном токе.

Погрешность измерений \(I_{кр}\) составляет \(2~мА\). Построим график \(I_{кр}^2\) от \(C\) и определим угловой коэффициент

\[K={I_{кр}^{2}}/{C}=\left(573\pm20_{приб}\pm10_{стат}\right) \cdot 10^3 А^2/{Ф}\]Отсюда получаем емкость неизвестного конденсатора:

Ответ:

\[C_x = \left(21.5\pm 0.07\right)~нФ\]

Измерение тока для последовательно соединенных конденсаторов \(33~ нФ\) и \(47~ нФ\) было особенно важно, поскольку их эквивалентная емкость наиболее близка к \(C_x\).

Зная напряжение зажигания лампочки, вычисляем:

Ответ:

\[L={U_л^2}/{K} = \left(11.2\pm0.6\right) ~ мГн\]

Источник: pho.rs/p/3908.

Решение

A1. Заливая воду из первого шприца, получим, что после примерно \(5~ мл\), ушедших на заполнение системы трубок, вода начинает собираться в первый внутренний шприц. Высота растет по линейному закону, площадь сечения шприца обратна коэффициенту линейного возрастания. По первому излому определяется высота \(H = 10.0~ см\), по коэффициенту \(S_1 = 3.2~ см^3\).

После заливания примерно \(35~ мл\) на графике должен появиться скачок, связанный с работой сифона. В нашем случае это \(30~ мл\). Когда уровень воды превышает перегиб трубки, вода начинает переливаться. При этом достигается высота \(h_2 = 17.5 ~см\). У внешнего конца трубки давление атмосферное, тогда как у внутреннего она превышает его на высоту водяного столба. Из-за разницы давлений образуется поток из внутреннего шприца во внешний. Сифон прекратит работу, когда вода прекратит доставать до внутреннего конца трубки. В трубке остается некоторый объем, который можно будет вычислить далее. Узнав его величину, мы сможем вычислить \(h_1\). Отметим, что в шприц до сифона влезло \(26~ см^3\) воды.

Заливая воду повторно, мы видим, что коэффициент наклона тот же самый. На промежутке от \(50\) до \(60~ см^3\) сифон должен сработать второй раз. В нашем случае это произошло на \(53~ см^3\). Как можно заметить, в этот раз до сифона потребовалось \(23~ см^3\). Разница получилась из-за того, что в шприце осталась вода с прошлого сифона. Вычисляя разницу, получаем, что объем до внутреннего края трубки – \(3~ мл\). Следовательно, высота до дна внутреннего шприца – примерно \(1~ см\). Откуда \(h_2 = 11.0~ см\).

Заливая воду в третий раз, мы обнаруживаем, что в этот раз сифон срабатывает на большей высоте, в нашем случае \(18.7~ см\). Это происходит из-за того, что во второй раз вода во внешнем шприце уже превысила уровень внешнего края трубки. Таким образом, в трубке запирается пузырек воздуха, и чтобы произошло «проталкивание» пузыря, требуется избыточное давление, равное уровню воды над внешним краем трубки. Такое могло произойти и ранее, если наливать воду слишком быстро. Однако это не повредит дальнейшему ходу работы, если измерено хотя бы два срабатывания сифона, о чем смотри ниже. Далее, после третьего срабатывания сифона до того, как выльется вся вода, внешний конец трубки придет в контакт с поверхностью воды в большом шприце. Вода уже оттуда не выйдет, так как с обеих сторон трубка соединена с водой. Это создаст эффект того, что внутренний и внешний шприц станут сообщающимися сосудами, и уровень жидкости в них будет равен. По коэффициенту наклона определим площадь сечения большого шприца \(S_2= 11.8~ см^2\).

Далее, пользуясь тем, что мы знаем объем, залитый в систему, и знаем сечение \(S_2\), находим высоту водяного столба \({ (120-4) ~см^3}/{11.8~ см^2} = 9.8 ~см\). Высота уровня при данном объеме \(15.3~ см\), следовательно, высота дна шприца примерно \(h = 6.0 ~см\).

Стоит отметить, что в некоторых случаях установка может сработать по-другому, и в третий раз сифон может не сработать, о чем отмечалось выше – вместо этого вода дойдет до края внутреннего шприца, не продавив пузырь, и останется на том же уровне. Тогда, однако, рано или поздно уровни выровняются, и все равно коэффициент на графике станет соответствовать площади большого шприца.

На общем графике также может быть выход на константу после срабатывания сифона, так как школьник может лить воду быстрее или нечаянно наклонить установку, так, что вода из трубки не успеет выйти, оставляя сифон в рабочем состоянии, до тех пор, пока случайное колебание или ожидание не прекратит этот режим. Это никак не скажется на решении, если школьник померит два срабатывания сифона. Если он измерит срабатывание сифона лишь однажды, то он не сможет получить \(h_1\) из разницы залитых объемов. В этом случае воду нужно было бы вылить и залить её ещё раз.

Таким образом, график качественно может быть таким:

Или таким:

Результаты измерений занесем в таблицу:

Таким образом, получаем:

Ответ:

\[\begin{array}{ll}H = 10.0 ~см,& h = 6.0 ~см,\\ h_1= 11.0 ~см,& h_2= 17.5~ см\\S_1 = 3.2~ см^2,& S_2 = 11.8~ см^2\end{array}\]

Источник: pho.rs/p/3921.

Ответ

A2: \[R=(159\pm 21) ~ Ом,\qquad C=(22 \pm 4) ~ мкФ\];  A3: \[r=(14\pm 5)~кОм\]

Решение

A1. Напряжение источника \(42~ В\), частота – \(50~ Гц\), масса воды \(210~ г\). Для лучшего понимания происходящего в задаче, приведем график нагревания СЯ во всех трех возможных случаях подключения СЯ к источнику напряжения:

Как видно из графиков, даже за 1 час ни одна из кривых не выходит на насыщение. То есть за 2 часа невозможно измерить максимальную температуру воды. Поэтому, основной проблемой в задаче является правильное распределение времени на выполнение работы.

Оптимальное распределение времени:

• 20 минут нагрев при первом подключении

• 20 минут нагрев при втором варианте подключения

• 20 минут нагрев при третьем варианте подключения

• 20 минут остывания

Выведем формулы, используемые в задаче:\[P=cm\left ({\frac { \mathrm d T} {\mathrm d t}+k(T-T_0 )}\right),\]где \(P\) – тепловая мощность выделяющаяся на элементах СЯ, \(T\) – температура СЯ, \(T_0\) – комнатная температура, а \(k\) – коэффициент теплопроводности.

Для различных вариантов подключения \(P\) будет определяться следующим образом:

\(\left\{\begin{array}{l}P_R={U^2}/{R}\\P_C={U^2}/{r}\\P_{R+C}=\dfrac{U^2 R}{R^2+{1}/{\omega^2 C^2}}\end{array}\right.\)

По условию, \(r\gg R\). Следовательно \(P_R\gg P_C\). Также очевидно, что \(P_R > P_{R+C}\).

Проведем измерения зависимости температуры от времени. Возможны 6 различных вариантов последовательности выполнения:

1. \(R \to C\to R+C\)

2. \(R\to R+C\to C\)

3. \(C\to R\to R+C\)

4. \(C\to R+C\to R\)

5. \(R+C\to R\to C\)

6. \(R+C\to C\to R\)

Рассмотрим график в четвертом случае:

Во всех других случаях вид графика изменится, но нас будут интересовать только угловые коэффициенты на них. Измерим угловые коэффициенты для каждого из участков. Контакты красный–чёрный:

Из графика находим\[\frac{\mathrm d T}{\mathrm d t}=1.39\cdot 10^{-3}~{{}^\circ\mathrm C}/{с}\]Контакты чёрный–зелёный:

Из графика находим\[\frac{\mathrm d T}{\mathrm d t}=5.97\cdot 10^{-3}~{{}^\circ\mathrm C}/{с}\quad\text{при}\quad T=25\,{}^\circ\mathrm C\]Контакты красный–зелёный:

Из графика получаем\[\frac{\mathrm d T}{\mathrm d t}=8.54\cdot 10^{-3}~{{}^\circ\mathrm C}/{с}\quad\text{при}\quad T=37\,{}^\circ\mathrm C\]Также учтем теплоотдачу. Измерим зависимость остывания СЯ при полностью отключенных контактах:

Из графика получаем

\[\frac{\mathrm d T}{\mathrm d t} =-3.88\cdot 10^{-3}~{{}^\circ\mathrm C}/{с}\quad\text{при}\quad T=40\,{}^\circ \mathrm C\]

Из полученных результатов получаем:

\[k=(2.30\pm0.15)\cdot 10^{-4} ~с^{-1},\\P_{кч}=(0.12\pm 0.5)~ Вт,\quad P_{зк}=(6.15 \pm 0.24)~Вт,\quad P_{чз}=(11.1\pm 0.8)~Вт\]Линия с наибольшим наклоном соответствует резистору (подключению между выводами \(AB\)). Поскольку мы получили \(P_3 > P_2 \gg P_1\), линия с наименьшим наклоном соответствует конденсатору (выводы \(BD\)). Таким образом получаем для цветов:

Ответ:

• \(A\) – зеленый 1

• \(B\) – черный 2

• \(D\) – красный 3

A2. Зная действующее напряжение источника, вычисляем \(R\), \(C\) и \(r\):

Ответ:

\[R=(159\pm 21) ~ Ом,\qquad C=(22 \pm 4) ~ мкФ\]

A3. Ответ:

\[r=(14\pm 5)~кОм\]

A4.

Источник: pho.rs/p/3922.