IEPhO 2014, 8 класс

Теория весов не так проста и очевидна, как кажется на первый взгляд! Конечно, основой являются правила рычага, сформулированные еще Архимедом, но и в конце 19 века Д.И. Менделеев строил теорию рычажных весов. Вам также предстоит разработать свою собственную теорию и проверить ее на практике.

Основа вашей работы — самодельные весы, которые вам предстоит разработать самостоятельно.

Воткните две спицы симметрично в ластик, так чтобы они держались прочно в нем – это коромысло ваших весов. В лапке штатива зажмите проволочный подвес. Поставьте на него ластик со спицами, используя в качестве оси длинную иголку. Убедитесь, что весы устойчиво (с колебаниями) удерживаются на подвесе. На спицы вы можете подвешивать нужные вам предметы. Измерительную линейку следует располагать на столе с помощью пластилина (можно и под небольшим углом к вертикали).

Показания весов – это смещение конца спицы на шкале \(x\) (измеряйте эту величину в мм). Подвешивайте грузы (скрепки) с помощью нити, положение нити определяется расстоянием \(l\) (в мм) от оси до точки подвеса

Разумно предположить, что смещение конца спицы описывается формулой

\[x= Cml \qquad(1)\tag{1}\]где \(m\) – масса подвешенного груза, \(C\) – постоянный коэффициент

Часть A. Градуировка и чувствительность

В этой части работы Вам необходимо экспериментально проверить применимость формулы \((1)\) и определить коэффициент пропорциональности \(C\).

A1. Укажите размерность коэффициента \(C\).

A2. Прикрепите нить на расстоянии \(l\) примерно равном \(20-30 ~мм\). Измерьте это расстояние и укажите его. Подвешивайте к нити скрепки. Измерьте зависимость отклонения спицы \(x\) от числа подвешенных скрепок \(n\). Постройте график полученной зависимости.

A3. Используя данные полученные в п. A2, рассчитайте численное значение коэффициента \(C\).

A4. Измерьте зависимость смещения спицы \(x\) от положения точки подвеса \(l\). Измерения проведите для одной и двух скрепок. Постройте графики полученных зависимостей.

A5. Используя данные полученные в п. A4, рассчитайте численное значение коэффициента \(C\) для обеих зависимостей.

A6. Сделайте вывод о применимости формулы \((1)\) для ваших весов.

Часть B. Бумага

B1. Измерьте массу выдано вам кусочка бумаги. Укажите параметры, при которых Вы проводили измерения.

B2. Рассчитайте массу \(1~м^2\) такой бумаги. Оцените погрешность найденной величины.

Оборудование

1. Штатив с лапкой и держателем

2. Ластик

3. Две спицы длиной \(35~см\)

4. Иголка швейная

5. 2 линейки \(50~см\)

6. Кусок пластилина

7. 10 канцелярских скрепок (масса одной скрепки \(m_0=0.56~г\))

8. Нитки

9. Кусочек бумаги

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Ответ:

Коэффициент \(C\) имеет размерность \([r^{-1} ]\).

A2. Результаты измерений зависимости отклонения спицы x от числа подвешенных скрепок \(n\) приведены в таблице и на графике ниже. Измерения проведены при \(l=30~мм\) .

Зависимость смещения от числа скрепок

Ответ:

\(x, ~мм\)	7	15	23	31	39	46	53	61	67	74
\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Ответ:

Рис. 1. Зависимость смещения от числа скрепок.

A3. Полученный график описывается прямо пропорциональной зависимостью \(x=a_1 n\), где \(a_1=7.5~ {мм}\) . Сравнивая с анализируемой зависимостью \(x=Cml=Cm_0 l\cdot n\) находим, что значение коэффициента:

Ответ:

\[C=\frac{a_{1}}{m_{0}l}={\frac{7.5}{6.56\cdot30}}=0.45~г^{-1} \qquad(1)\tag{2}\]

A4. Результаты измерений зависимости смещения спицы \(x\) от положения точки подвеса \(l\) для одной и двух скрепок приведены в таблице и на графике ниже.

Зависимость смещения от положения точки подвеса

Ответ:

Одна скрепка	Две скрепки
\(L,~мм\)	\(X,~мм\)	\(L,~мм\)	\(X,~мм\)
35	7	34	17
45	10	52	26
57	12	71	35
66	16	88	43
83	18	105	51
105	25	121	57
124	30	140	65
147	35	163	74
173	41	184	83
198	46	208	91
220	51	231	100
241	55	251	108
259	60	276	117
282	65	296	124
306	71	315	133
327	75	344	148

Ответ:

A5. В данном случае зависимости для одной и двух скрепок имеют вид

\[x_{(1)}=Cm_{0}l,\quad x_{(2)}=2Cm_{0}l \qquad(2)\tag{3}\]Коэффициенты наклона прямых (найденные по графикам) равны \(a_1=0.24\), \(a_2=0.40\).

Следовательно, значения коэффициента \(C\), найденные из этих графиков, равны

Ответ:

\[C_{(1)}={\frac{0.24}{0.56}}=043~ г^{-1}, \qquad C_{(2)}={\frac{0.40}{0.56\cdot2}}=0.35~ г^{-1}. \qquad(3)\tag{4}\]

A6. Ответ:

Как следует из полученных данных, приведенная в условии формула применима при небольших смещениях, так как при больших смещениях коэффициент пропорциональности изменяется.

Примечание. Для иллюстрации нелинейности смещения приведем обобщенный график зависимости смещения спицы от момента приложенной силы.

Обобщенный график – зависимость от момента силы

B1. Кусочек бумаги располагаем на конце спицы и измеряем смещение: при \(l=345~мм\), \(x=(7\pm1)\). Для расчета массы используем приведенную в условии формулу (с коэффициентом \(C=(0.44\pm0.01)~г^{-1}\)) , из которой определяем

Ответ:

\[m=\frac{x}{Cl}=\frac{7}{0.44\cdot345}=0.046~г \qquad(4)\tag{5}\]

B2. Площадь выданного кусочка бумаги равна \(5 ~см^2\), поэтому масса \(1~м^2=10^4 ~см^2\) равна

Ответ:

\(\mu=0.046\cdot{\dfrac{10^{4}}{5}}\approx90~{г}/{м^2}\) с погрешностью порядка \(15\%\)

(основная – погрешность определения смещения спицы).

Источник: pho.rs/p/3901.

Если луч света проходит через границу двух сред, то он преломляется. Это явление вам знакомо, оно лежит в основе работы линз. Однако закон преломления света не совсем прост. Если закон отражения был известен уже древним грекам в 5 веке до н.э., то закон преломления был открыт 2000 лет спустя. Этот закон устанавливает связь между углом падения \(\alpha\) и углом преломления \(\beta\). Напоминаем, что в оптике углы отсчитываются от перпендикуляра (нормали) к поверхности в точке падения луча (см. рис. 1).

В данной работе вам необходимо исследовать количественно это явление, получить приближенный закон преломления света, а также изучить условия, при которых круговой цилиндр может считаться тонкой линзой.

Рис. 1

Часть A. Прохождение света через «линзу»

Теоретическая задача

Пусть луч света падает на тонкую линзу с центром \(O\) с фокусным расстоянием \(F\) параллельно его главной оптической оси на расстоянии \(x\) от главной оптической оси. На расстоянии \(L\) \((L > F)\) от линзы находится экран, плоскость которого параллельна плоскости линзы. Постройте ход луча после преломления в линзе, укажите точку падения луча на экран. Получите формулу, определяющую координату \(x_1\) точки падения луча на экран.

Рис. 2

Измерения

A2. Расположите лазер так, чтобы его луч шел параллельно столу на небольшом расстоянии от его поверхности и мог проходить через боковые стенки чашки Петри. Не забудьте заполнить ее водой полностью. Чашку Петри расположите в центре угломерной шкалы.

Будем считать, что чашка является тонкой линзой, плоскость которой проходит через центр чашки. Экран расположите за линзой так, чтобы луч, прошедший через чашку попадал на него (как показано на рисунке в Теоретической задаче).

Проведите измерения зависимости координаты \(x_1\) точки падения луча на экран от расстояния \(x\).

Расстояние \(L\) выберите самостоятельно. Не забудьте указать его в своей работе. При измерениях следите, чтобы при смещении лазера направление его луча не изменялось. Используйте разграфленный лист для точного направления луча.

A3. Постройте график полученной зависимости. Укажите диапазон значений координаты \(x\), при которых полученная вами в теоретической задаче формула является справедливой. Найдите фокусное расстояние линзы в этом диапазоне.

Часть B. Закон преломления света

Добавьте в чашку Петри маленькую каплю молока, так чтобы вода слегка помутнела. В этом случае луч в чашке станет видимым сверху.

Расположите чашку Петри и направляйте луч лазера так, чтобы по угломерной шкале можно было измерять углы \(\angle COA = \phi\) и \(\angle COB = \gamma\) (\(AB\) – видимый в чашке луч).

Используйте разграфленный лист для точного направления луча.

B1. Укажите какой из углов, показанных на рисунке 3, является углом падения \(\alpha\), а какой углом преломления \(\beta\).

Запишите формулу, позволяющую по измеренным углам \(\phi\) и \(\gamma\) рассчитать угол преломления \(\beta\).

B2. Смещая луч лазера (но не меняя его направления), измерьте зависимость угла преломления от угла падения \(\beta(\alpha)\). Постройте график полученной зависимости.

B3. Укажите при каких углах падения \(\alpha\) угол преломления \(\beta\) оказывается прямо пропорциональным углу падения \(\alpha\). Для этого диапазона найдите отношение \({\alpha}/{\beta}\), которое называется показателем преломления воды.

Оборудование

1. Лазер с блоком питания

2. Стеклянная чашка Петри

3. Вода

4. Разграфленный лист бумаги (с угломерной шкалой)

5. Линейка

6. Пластилин (для крепления лазера)

7. Молоко

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. На рисунке показан ход луча после преломления в тонкой линзе. Из подобия треугольников следует соотношение между координатой точки падения луча и координатой луча на экране

\[- \frac{x_1}{L-F} = \frac{x}{F} \qquad(1)\tag{1}\]Из этого отношения следует искомая зависимость

Ответ:

\[x_1 = - \frac{L-F}{F}x \qquad(2)\tag{2}\]

A2. Результаты измерений зависимости координаты светового пятна на экране \(x_1\) от координаты точки падения луча на «линзу» приведены в таблице ниже. На рис. 1 показан график полученной зависимости. Измерения проведены при \(L=13.5~см\).

Ответ:

\(X, ~см\)	\(X_1,~ см\)	\(X, ~см\)	\(X_1, ~см\)
0	0	0	0
0.5	-0.3	-0.5	0.4
1	-0.9	-1	0.8
1.5	-1.4	-1.5	1.3
2	-1.9	-2	1.6
2.4	-2.5	-2.4	2.3
2.9	-3.1	-2.9	2.9
3.3	-3.7	-3.3	3.7
3.7	-4.6	-3.7	4.6
4.1	-5.7	-4.1	5.6
4.4	-7.2	-4.4	7.2

A3. Ответ:

Ответ:

Полученная зависимость не является линейной, как предсказывает формула \((2)\). Однако в диапазоне \(x =\pm 2 ~см\) ее можно считать линейной. По графику находим коэффициент наклона \(k\approx 0.87\) этой прямой. Из формулы \((2)\) следует, что

\[|k| = \frac{L-F}{F}\implies F= \frac{L}{|k|+1}\approx 7.2~см \qquad(3)\tag{3}\]

B1. Ответ:

Очевидно, что углом падения является угол \(\alpha=\angle COA = \phi\), а углом преломления \(\angle OAB\) .

Так как треугольник \(OAB\) является равнобедренным, то угол преломления может быть рассчитан по формуле

\[\beta=\frac{180^\circ -(\gamma -\alpha)}{2} \qquad(4)\tag{4}\]

B2. Результаты измерений зависимости угла выхода луча \(\gamma = \angle COB\) от угла падения \(\alpha = \angle COA\) представлены в таблице ниже, там же приведены значения рассчитанных по формуле \((4)\) углов преломления \(\beta\). На рис. 2 показан график зависимости угла преломления \(\beta\) от угла падения \(\alpha\).

Ответ:

\(\beta^\circ\)	0	2.5	7.5	9	13.5	18.5	22.5	27.5	28.5	31	32.5	37.5	41	47.5	47.5
\(\gamma^\circ\)	180	180	175	177	173	168	165	160	163	163	165	160	158	150	155
\(\alpha^\circ\)	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70

Ответ:

Рис. 2. Зависимость угла преломления от угла падения

B3. Ответ:

Видно что прямо пропорциональная зависимость между указанными углами наблюдается до углов меньших \(30^\circ\). Рассчитанный в этом диапазоне (по углу наклона графика) показатель преломления воды оказывается равным \(n=1.34\) .

Источник: pho.rs/p/3902.

Для вас собран крутильный маятник: деревянная линейка \((1)\) подвешена на четырёх вертикальных нитях \((2)\), закрепленных в штативе. На линейку поставлены два одинаковых груза \((3)\), которые вы можете передвигать по линейке, изменяя их расстояние до середины линейки \(l\). В центре линейки на пластилине закреплено небольшое стеклышко \((4)\), на которое падает луч лазера \((5)\), отраженный луч должен попадать на бумажную мерную ленту \((6)\), прикрепленную к шторе вашей кабины. Линейка может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, которые Вам предстоит исследовать. Амплитудой колебания называется максимальное отклонение от положения равновесия.

Расположите лазер так, чтобы его луч попадал на стеклышко маятника, а его отражение попадало на мерную ленту. При вращении линейки отраженный луч должен двигаться по мерной ленте, или вблизи нее. Координату зайчика следует отсчитывать от его положения при неподвижной линейке (в положении равновесия).

Не изменяйте длину нитей подвеса и расстояние между ними!

Расстояние от стёклышка до мерной ленты (вашей шкалы) должно равняться \(30~ см\).

Рассчитывать погрешности в данной работе не требуется!

Часть A. Закон движения

Расположите грузы на концах линейки.

A1. Используя секундомер с памятью этапов, измерьте зависимость координаты зайчика на шкале от времени \(x(t)\). Постройте график полученной зависимости.

A2. Укажите, в каких пределах координат зайчика, его движение можно считать равномерным. Найдите скорость этого движения.

Часть B. Изучение колебаний

B1. Исследуйте зависимость периода колебаний маятника от их амплитуды. Измерения проводите при грузах, расположенных на концах линейки. Сформулируйте закон, описывающий ваши результаты.

B2. Теоретические расчеты показывают, что при симметричном положении грузов на линейке период колебаний зависит от величины \(l\) по закону

\[T = \sqrt{Al^2+B} \qquad(1)\tag{1}\]Экспериментально докажите, что данная формула является верной, рассчитайте численные значения постоянных коэффициентов \(A\), \(B\) в этой формуле.

Оборудование

1. Крутильный маятник (линейка с грузами на подвесе в штативе)

2. Секундомер с памятью этапов

3. Мерная лента

4. Лазер

5. Пластилин

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Прежде всего, успешное выполнение этого задания возможно только при правильной и аккуратной юстировке установки.

Для измерений удобно записывать в память секундомера времена прохождения зайчика через определенные точки – фактически снимается зависимость времени от координаты. Результаты этих измерений приведены в таблице ниже и на графике на рис. 1.

Ответ:

\(X,~см\)	20	15	10	5	0	-5	-10	-15	-20
\(T,~с\)	0.00	1.39	2.00	2.89	3.59	4.35	5.23	6.17	7.89

Ответ:

Рис. 1. Закон движения

Как это ни странно на первый взгляд, график является практически прямой линией – т.е. движение близко к равномерному.

A2. Ответ:

Как следует из рисунка 1, движение можно считать равномерным в интервале координат примерно равным \([-15,+15]~см\). Скорость найденная по графику примерно равна \(v = 6.3~ {см}/{с}\).

B1. Ответ:

Эксперимент однозначно говорит, что период колебаний от амплитуды не зависит!

B2. Результаты измерений периодов колебаний, при различных расстояниях до грузов приведены в Таблице 2.

Таблица 2. Зависимость периода от расстояния до грузов.

\(L,~см\)	\(T,~с\)		\(L^2,~см\)	\(T^2,~с\)
5	6.87		25	47.20
8	8.19		64	67.08
10	9.08		100	82.45
14	11.35		196	128.82
18	14.18		324	201.07
21	16.46		441	270.93
24	18.58		576	345.22

Для проверки приведенной формулы следует построить зависимость квадрата периода от квадрата расстояния.

\(T = \sqrt{Al^2+B} \implies T^2 = Al^2+B\)

Графики прямых измерений и возведенных в квадрат показаны на рис. 2 -3.

Рис. 2. Зависимость периода от положения грузов

Рис. 3. Зависимость квадрата от периода \(l^2\)

Ответ:

Видно, что «квадратная» зависимость линейна, что подтверждает справедливость приведенной формулы.

По графику найдены параметры зависимости:

Ответ:

\[A = 54~{см^2}/{с^2}, \qquad B=29~с^2\]

Источник: pho.rs/p/3909.

В коробку, закреплённую горизонтально на углу стола, помещён однородный стержень. Он привязан нитью к крышке. Нити же, прикреплённые к концам стержня, выходят наружу через отверстия снизу (рис. 1). К ним можно подвешивать скрепки.

Рис. 1

A1. Предложите и обоснуйте способ найти как можно точнее массу стержня «в скрепках». Проведите необходимые измерения и обработку данных и оцените погрешность результата.

Предостережение: коробку не вскрывать, скрепки не ломать, к нитям разрешено подвешивать только скрепки, нити не отрывать.

Оборудование

1. Коробка со стержнем закрепленная на крае стола

2. Набор скрепок (100 шт.)

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Метод

Пусть большее плечо (расстояние от конца стержня до точки подвеса) равно \(L_1\), меньшее плечо \(-L_2\) а масса стержня \(M\). Найдём соотношение для масс подвешенных грузов \(m_2\) и \(m_1\), обеспечивающих равновесие. Из рассмотрения моментов сил имеем:

\[m_2L_2=m_1L_1+\frac{M(L_1+L_2)}{2},\]ведь сила тяжести стержня приложена к его середине, а тогда её плечо – это \({(L_1-L_2)}/{2}\) (рис.2).

Рис. 2

Введём массу скрепки \(m\), тогда в переменных \(x = {m_1}/{m}\) и \(y = {m_2}/{m}\)

\[y = \lambda x + {\mu(\lambda -1)}/{2}\]

где \(\lambda={L_1}/{L^2}\), а \(\mu = {M}/{m}\). График зависимости \(y(x)\) – прямая с угловым коэффициентом \(\lambda\), значение \(y\) при \(x=0\) – \(y_0 ={\mu(\lambda -1)}/{2}\).

Однако уравновесить систему целым числом скрепок не удаётся, то есть нельзя установить прямо из измерений зависимость \(y\) от \(x\). Но при заданном целом \(x\) можно получить ближайшее целое \(y\) с избытком (перевес) и с недостатком (недовес), когда длинная часть стержня упирается в крышку или дно коробки.

Измерения и обработка

Проводим для достаточного количества целых \(x\) измерения \(y\) с избытком и недостатком.

\(x\)	\(y\) (с недостатком)	\(y\) (с избытком)		\(x\)	\(y\) (с недостатком)	\(y\) (с избытком)		\(x\)	\(y\) (с недостатком)	\(y\) (с избытком)
0	5	6		7	22	23		14	39	40
1	8	9		8	24	25		15	41	42
2	10	11		9	27	28		16	44	45
3	12	13		10	29	30		17	46	47
4	15	16		11	32	33		18	48	49
5	17	18		12	34	35		19	51	52
6	20	21		13	36	37		20	53	54

На листе миллиметровой бумаги в координатах \(x y\) наносим точки. Соединяем ломаной экспериментально полученные точки с избытком – верхняя синяя линия, и с недостатком – нижняя красная линия, она получается из верхней сдвигом вниз на \(1\). «Точный» прямолинейный график должен лежать в коридоре между этими ломаными. То же даст проведение единичных отрезков вниз от \(y\) с избытком, точный график должен пересекать все эти отрезки.

Прикладывая линейку, находим граничные прямые с наибольшим и наименьшим наклоном, лежащие в коридоре. Если эти прямые сильно расходятся, то удлиняем коридор, проводя дополнительные измерения.

Определение массы

Для граничных прямых определяем \(y_0\) и \(\lambda\) и находим \(\mu ={2 y_0}/{(\lambda -1)}\). После чего находим средние арифметические значения, а погрешность даётся половиной разницы максимального и минимального значения. В случае, отвечающим ломаным на нашем рисунке, \(\lambda = 1.40\) и

Ответ:

\[\mu_{ср} = 8.2\]

а \(\Delta \lambda = 0.04\) и \(\Delta \mu = 0.6\).

Примечание

В переменных \(z = \mathrm y – x\) соотношение \((1)\) даёт: \(z = k(x + {\mu}/{2})\), где \(k =\lambda – 1\). При \(z = 0\) тогда \(x=-{\mu}/{2}\) и можно «прочитать» искомую массу на графике по пересечению граничных прямых с горизонтальной осью.

Возможно, участники олимпиады ограничатся всего двумя измерениями; если при этом максимальное \(x\) будет достаточно большим (\(\sim20\)), то проведение граничных прямых (диагоналей параллелограмма) может дать неплохую точность. Но этот способ всё же не самый точный...

Источник: pho.rs/p/3910.

Будьте внимательны и аккуратны при работе с пробирками – они могут разбиться!

Закрепите большую пробирку в лапке штатива вертикально, открытым концом вверх. Под пробиркой поместите тарелку. Нижняя часть пробирки должна находится на такой высоте, чтобы вы могли свободно (не касаясь тарелки) перевернуть пробирку не вынимая ее из лапки штатива (а вращая саму лапку в зажиме).

Часть A. Пробный эксперимент. Наблюдение и объяснение эффекта

Заполните большую пробирку водой полностью. Аккуратно поместите в нее меньшую пустую пробирку дном вниз. Удивительно, но эта пробирка начинает достаточно медленно опускаться!

A1. Какие силы заставляют пробирку погружаться?

A2. Какие силы тормозят движение пробирки?

После того как пробирка полностью остановилась (точно убедитесь в этом!) опустите ее рукой еще на \(1~см\) вглубь и быстро (но аккуратно) переверните обе пробирки, вращая лапку штатива в зажиме.

Еще более удивительно, но внутренняя пробирка начнет подниматься!

A3. Какие силы заставляют подниматься пробирку в этом случае?

A4. Какие силы тормозят ее движение?

Часть B. Измерения и новые объяснения

В этой части вам необходимо провести измерения – исследовать движение пробирки при ее вертикальном движении вниз и вверх, как описано в пробном эксперименте.

B1. Исследуйте закон движения пробирки при ее движении вниз. Постройте график зависимости координаты дна этой пробирки от времени.

Используйте шкалу, наклеенную на большую пробирку, начало отсчета совместите с краем пробирки.

B2. Исследуйте закон движения дна пробирки при ее подъеме вверх. Постройте график закона движения в этом случае.

B3. Укажите при каком движении вверх или вниз, скорость пробирки возрастает, а в каком убывает.

B4. Объясните с помощью формул, почему в в одном случае скорость возрастает, а в другом убывает.

B5. Получите формулу, позволяющую рассчитать на какой глубине (относительно открытого края большей) пробирки меньшая пробирка остановится при ее движении вниз.

B6. Получите формулу, позволяющую рассчитать, при какой глубине погружения может начаться подъем пробирки (после переворачивания).

Оборудование

1. Две пробирки близких диаметров

2. Штатив с лапкой

3. Шприц

4. Секундомер с памятью этапов

5. Бутылка с водой

6. Глубокая тарелка

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. При движении вниз силами, которые заставляют пробирку погружаться являются сила тяжести и сила атмосферного давления, действующая на пустую пробирку.

Ответ:

Сила тяжести, сила атмосферного давления

A2. Силы, которые тормозят движение – сила давления воды в неподвижной пробирке, а также силы вязкого трения. Можно также сказать, что разность сил атмосферного давления и силы давления воды есть сила Архимеда.

Ответ:

Сила давления воды, сила вязкого трения

A3. Ответ:

Атмосферное давление

A4. Ответ:

Сила тяжести, сила давления воды, силы вязкого трения

B1. Результаты измерения времен прохождения сантиметровых отметок для 4 независимых измерений при опускании пробирки приведены в таблице ниже.

Ответ:

\(X,~ см\)	\(t,~ с\)	\(t,~ с\)	\(t,~ с\)	\(t,~ с\)
15	0	0	0	0
16	0.55	0.57	0.51	0.49
17	1.15	1.26	1.14	1.10
18	1.81	2.08	1.97	1.97
19	2.81	3.31	2.82	3.05
20	4.19	4.40	4.54	4.44
21	6.70	6.99	6.90	6.91
22	11.11	11.82	12.45	11.84

Ниже на рисунке представлен график законов движения. Для иллюстрации приведены результаты двух попыток.

Ответ:

Рис. 1. Движение вниз

B2. Аналогично представлены результаты измерений закона движения вверх:

Ответ:

\(X,~ см\)	\(t,~ с\)	\(t,~ с\)	\(t,~ с\)	\(t,~ с\)
24	0	0	0	0
24.5	2.43	3.26	3.27	2.97
25	4.7	5.18	5.24	5.21
25.5	6.31	6.84	6.7	6.57
26	7.49	8.24	7.88	7.78
26.5	8.47	9.47	8.88	8.57
27	9.13	10.31	9.81	9.32
27.5	10.06	10.96	10.66	10.17
28	10.87	11.94	11.33	10.84

Ответ:

Рис. 2. Движение вверх

B3. Ответ:

Графики наглядно показывают, что при движении вниз скорость пробирки уменьшается, а при движении вверх увеличивается.

B4. Рисунок и приведенные на нем формулы объясняют полученные результаты.

Ответ:

\[mg > (P_0+\rho gx)S-P_0S\implies x < \frac{m}{\rho S}\\F_\Sigma=mg-\rho gSx\implies x\uparrow\Rightarrow F_\Sigma\downarrow\]

Ответ:

\[(P_0+\rho gx)S-P_0S > mg\implies x > \frac{m}{\rho S}\\F_\Sigma=\rho gSx-mg\implies x\uparrow\Rightarrow F_\Sigma\uparrow\]

B5. Важно отметить, что значение \(x ={m}/{\rho S}\) является границей двух случаев: при движении вниз на этой границе движение прекращается, при движении вверх с нее начинается.

При движении вниз результирующая сила уменьшается (поэтому скорость падает), при движении вверх – результирующая сила растет, поэтому скорость возрастает.

Ответ:

\[x=m/\rho S\]

B6. Ответ:

\[x=m/\rho S\]

Источник: pho.rs/p/3915.

Лирическое вступление...

Возможно, что вы еще не изучали, что такое электрический ток, какими величинами он описывается, каким законам подчиняется. Но вы же участник олимпиады по экспериментальной физике! Поэтому, если Вам какой-то закон не знаком, то откройте его самостоятельно!

Пусть вам помогут рассуждения по аналогии. Электрический ток почти то же самое, что и «ток» жидкости по трубе. Представьте себе горизонтальную трубу, по которой надо прокачивать жидкость (например, нефть). Основной величиной, которая описывает течение нефти, считается объем \(W\), который протекает через поперечное сечение трубы в единицу времени (эта величина называется расход). Чтобы нефть протекала по трубе к ее концам нужно приложить некоторую разность давлений \(P\).

Рис. 1

Подумайте, как расход зависит от приложенной разности давлений. Конечно, расход зависит и от других параметров: свойств перекачиваемой нефти, размеров трубы. Подумайте, как, например, зависит расход от длины трубы (при неизменных остальных характеристиках).

Все то же самое можно сказать и про электрический ток, текущий по проводу. Его основной характеристикой является количество заряда, протекающего через поперечное сечения провода в единицу времени. Эта величина называется силой тока \(I\), измеряется в амперах (или тысячных долях ампера – миллиамперах). Чтобы по проводу протекал электрический ток, к его концам следует приложить электрическое напряжение \(U\), которое создается источником, в вашей работе – батарейкой. Сила электрического тока также зависит от свойств и геометрических размеров провода, например, от его длины.

Рис. 2

Для измерения электрического напряжения и силы тока вам необходимо использовать электронный мультиметр. Инструкция по использованию мультиметра приведена в конце условия.

Часть A. Знакомство с мультиметром

A1. Подключите мультиметр (в режиме измерения напряжения) непосредственно к выводам батарейки – запишите значение измеренного напряжения \(U_0\), которое можно назвать напряжением холостого хода, так как в этом случае ток через батарейку пренебрежимо мал.

Часть B. Как напряжение зависит от длины проволоки

Соберите электрическую цепь, изображенную на рис. 3, проволока подключена на всю длину. Измерьте зависимость напряжения на участке проволоки \(U_1(x)\) от его длины.

Постройте график полученной зависимости.

Рис. 3

B2. Предложите простую формулу, описывающую полученную зависимость, найдите численные значения параметров этой формулы.

Часть C. Как зависит сила тока от длины проволоки

Соберите цепь, показанную на рис. 4.

Измерьте зависимость силы тока \(I_2(x)\) в этой цепи от длины подключенного участка проволоки \(x\).

Рис. 4

C2. Покажите, что найденная зависимость может быть описана формулой

\[I_2 = \frac{a_2}{b_2+x}, \qquad(2)\tag{1}\]где \(a_2\), \(b_2\) – постоянные величины. На основании экспериментальных данных определите численные значения этих коэффициентов.

Часть D. Как сила тока зависит от напряжения

Соберите цепь, показанную на рис. 5, в которой батарейка подключается к той же точки провода, что и мультиметр. Измерьте зависимость напряжения от длины \(x\) участка проволоки в этом случае.

Измерения проведите при тех же значениях длины \(x\), которые вы использовали при измерениях силы тока в п. \(\textbf{C1}\).

Рис. 5

D2. Используя данные полученные в п. C1 и п. D1 постройте график зависимости напряжения на участке проволоки \(x\) от силы тока через него.

D3. Предложите простую формулу, описывающую полученную зависимость. Найдите численные значения параметров этой формулы.

Инструкция по использованию мультиметра

Мультиметр позволяет измерять многие электрические параметры. Для выполнения вашего задания необходимо использовать мультиметр как цифровой вольтметр (измерение напряжения) и как цифровой амперметр (измерение силы тока).

Измерение напряжения:

Вставить штекеры щупов в разъемы 6 и 7. С помощью переключателя 2 выбрать необходимый диапазон измерений 3 (например, \(20\) позволяет измерять напряжения до \(20~ В\)). Результат измерений будет отображен на табло 1.

Измерение силы тока:

Вставить штекера щупов в разъемы 5 и 7. С помощью переключателя 2 выбрать диапазон измерений 4 – \(10~А\). Результат измерений будет отображен на табло 1.

При необходимости обращайтесь к представителям жюри.

Оборудование

1. Батарейка \(4.5~ В\)

2. Кусок нихромовой проволоки (ее изображение на всех схемах показано на рис. выше)

3. Мультиметр

4. Линейка \(50~ см\)

5. Соединительные провода

Примечания:

• Подключайте батарейку только во время проведения измерений – иначе батарейка разрядится, а Вы не сможете получить необходимые результаты!

• Во всех измерениях длина участка проволоки, по которой протекает электрический ток, должна быть не менее \(5~ см\).

• Во всех измерениях для подключения батарейки используйте провода, присоединенный к ней! Для подключения мультиметра используете провода присоединенные к нему!

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Исходное напряжение холостого хода на батарейке лежит в пределах

Ответ:

\[3.5 - 4.8~ В\]

B1. Результаты всех необходимых измерений приведены в таблице ниже. Обозначения соответствуют приведенным в условии задачи.

Ответ:

\(x, ~см\)	\(U_1, ~В\)	\(I_2, ~А\)	\({I_2^{-1}}, ~А^{-1}\)	\(U_2, ~В\)
5	0.26	0.92	1.087	0.60
10	0.52	0.79	1.266	1.03
15	0.76	0.71	1.408	1.32
20	1.02	0.65	1.538	1.57
25	1.26	0.59	1.695	1.81
30	1.51	0.54	1.852	1.98
35	1.76	0.50	2.000	2.13
40	2.01	0.47	2.128	2.25
45	2.24	0.44	2.273	2.36
50	2.50	0.41	2.439	2.46

График зависимости зависимость на участке проволоки от его длины показан на рис. 1.

Ответ:

Рис. 1. Зависимость \(U_1(x)\)

B2. Вывод однозначный – напряжение прямо пропорционально длине проволоки:

Ответ:

\[U=al,\quad a = 0.050 ~{В}/{см}\]

C1. График зависимости силы тока \(I_2(x)\) в этой цепи от длины подключенного участка проволоки \(x\) показан на рис. 2 (от участников не требуется). Значения приведены в таблице выше.

Ответ:

Рис. 2. Зависимость \(I_2(x)\)

C2. Для проверки предложенной формулы следует построить зависимость величины, обратной силе тока, от длины участка, \({I_2^{-1}}(x)\). Ее график приведен на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость \(\frac{1}{I_2(x)}\)

Из вида приведенной функции следует, что обратная величина линейно зависит от длины участка

\[I_2 = \frac{a_2}{b_2+x} \implies\frac{1}{I_2} = \frac{1}{a_2}x+\frac{b_2}{a_2} \qquad(1)\]Построенный график подтверждает предложенную зависимость. Ее параметры могут быть найдены из уравнения построенной прямой:

\[\begin{cases}1/a_2=0.030\\b_2/a_2=0.96\end{cases}\implies \qquad(2)\]Отметим, что параметр \(b_2\) имеет смысл внутреннего сопротивления источника и подводящих к нему проводов, измеренный в сантиметрах.

Ответ:

\[a_2=33.3~А\cdot см,\qquad b_2 = 0.96\cdot a_2 = 32~см\]

D1. График зависимости напряжения от длины \(x\) участка проволоки показан на рис. 4 (от участников не требуется). Значения приведены в таблице выше.

Ответ:

Рис. 4. Зависимость \(U_3(x)\)

D2. Если измерения силы тока и напряжения проведены при одинаковых значения длин, то построение графика зависимости напряжения от силы тока не представляет труда (рис. 5).

Ответ:

Рис. 5. Зависимость \(U_3(I_2)\)

D3. Получена линейная убывающая зависимость, которая может быть описана формулой

Ответ:

\[U=U_0-I_r,\quad\text{где}\quad U_0 = 3.7~В,\ r = 4.0~{В}/{А} \qquad(3)\]

Источник: pho.rs/p/3916.

Источник: Олимпиада по экспериментальной физике (IEPhO) 2014, 8 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.