IEPhO 2015, 10 класс

Ответ

A1: \[d_к=\sqrt{\frac{4V}{\pi l_к}}=(0.59\pm0.01)~мм\];  A2: \[\eta_{возд}=(19.45\pm1.53)~мкПа \cdot с\];  A3: \[d_и=(0.1997\pm0.0055)~мм\]

Решение

A1. Для нахождения диаметра выданного вам капилляра соберем установку как на рисунке.

В дальнейшем всегда будем использовать желтую иглу в качестве адаптера для подсоединения капилляра. Будем оттягивать поршень шприца до тех пор, пока весь капилляр не будет занят водой. Затем измерим объем воздуха в шприце \(V\). Этот объем будет равен объему воды внутри капилляра: \[V=\pi\frac{d^2_к}{4}l_к,\] где \(d_к\) – диаметр капилляра, \(l_к\) – длина капилляра.

Проведем несколько измерений объема и найдем среднее значение. \[V_1=0.25~мл,~V_2=0.26~мл,~V_3=0.24~мл\implies V=(0.250\pm0.005)~мл,\\l_к=(90.0\pm0.05)~см.\]Тогда:

Ответ:

\[d_к=\sqrt{\frac{4V}{\pi l_к}}=(0.59\pm0.01)~мм\]

Погрешность рассчитана по формуле:

\[\Delta d_к=\frac{1}{2}d_к\left(\frac{\Delta V}{V}+\frac{\Delta l_к}{l_к}\right).\]После проведения этого опыта в капилляре могут остаться капельки воды, которые будут влиять на последующие измерения. Для того чтобы избавиться от них, мы должны в собранной установке заменить шприц \(1~мл\) на систему «шприц на \(160~мл\) – трубка – шприц на \(160~мл\) с поршнем» и с помощью поршня для шприца на \(160~мл\) быстро выдуть все капли.

A2. Для нахождения динамической вязкости воздуха и диаметра серой иглы соберем установку как на рисунке.

Вначале будем производить измерения с капилляром, так как его диаметр нам известен. Если мы наденем капилляр на наконечник шприца (как показано на рисунке) и опустим первый шприц относительно второго, то жидкость будет перетекать по трубке из верхнего шприца в нижний. Тогда воздух будет выходить из нижнего шприца через капилляр. Нам известно, что при течении жидкости или газа по трубке кругового сечения для потока массы жидкости или газа применима формула Пуазейля:

\[Q=\pi\rho\frac{\Delta\rho}{8\eta l}R^4\]Рассмотрим вытекание воздуха через капилляр. Поток массы через капилляр по формуле Пуазейля равен:

\[Q_1=\frac{\pi\rho_{возд}\Delta\rho R^4_к}{8\eta_{возд}l_к}\]где \(\rho_{возд}\) – плотность воздуха, \(\Delta\rho\) – разность давлений на концах капилляра, \(R_к={d_к}/{2}=(0.295\pm0.005)~мм\) – радиус капилляра, \(\eta_{возд}\) – динамическая вязкость воздуха.

В это время такой же поток воздуха проходит внутри шприца с двумя наконечниками. Считая, что скорость подъема жидкости постоянна за интервал времени \(dt\), и учитывая, что скорость движения воздуха в шприце с двумя наконечниками равна скорости подъема жидкости, для потока воздуха в шприце можно записать формулу:

\[Q_2=\pi\rho_{возд}R^2_ш\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt},\]где \(R_ш=(1.900\pm0.025)~см\) – радиус шприца на \(160~мл\), \(\mathrm dx\) – высота, на которую поднимается уровень жидкости в нижнем шприце за время \(\mathrm dt\).

Будем считать, что в пределах \(\mathrm dx=1~см\) скорость остается постоянной, поэтому в дальнейшем будем производить все измерения для \(\mathrm dx=(1.00\pm0.05)~см.\) Выбирать значение \(\mathrm dx>1~см\) не желательно, так как из-за этого увеличится время проведения эксперимента; выбирать значение \(\mathrm dx<1~см\) также нежелательно, так как в результате этого возрастет погрешность измерения.

Теперь необходимо найти \(\Delta p\). Разность давлений воздуха на концах капилляра равна разности давления воздуха внутри нижнего шприца и атмосферного давления. Такая же разность давлений будет между воздухом в нижнем шприце и воздухом в верхнем шприце. В то же время она равна сумме гидростатического давления и давления, создаваемого на концах трубки за счет вязкого течения воды:

\[\Delta p=\rho_{воды}gh+\Delta p'.\]Давление, создаваемое за счет вязкости воды, можно найти из формулы Пуазейля, зная динамическую вязкость воды \(\eta_{воды}=1.004\cdot 10^{−3}~Па\cdot с\) (при \(t=20\,^\circ\mathrm C\)):

\[\Delta\rho'=\frac{8R^2_ш\eta_{воды}l_к}{R^4_к}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\]Для оценки величины этого давления достаточно провести одно измерение \(\mathrm dt\) для любого подходящего значения \(\mathrm dx\) и \(h\). Во время всех дальнейших измерений за значение \(h\) будем брать среднее между максимальной \(h_1\) и минимальной \(h_2\) разностью высот столба за время \(\mathrm dt\). Для значения \(h=50~см\) получим \(\mathrm dt= 13.29~с.\) Тогда:

\[\Delta p'\approx9~Па,\qquad \rho_{воды}gh=4900~Па.\]Отсюда следует, что \(\rho_{воды}gh\gg\Delta p',\) т.е. вязкостью воды можно пренебречь в данном эксперименте.

Окончательно, приравнивая потоки, получаем:

\[\frac{\pi\rho_{возд}\rho_{воды}ghR^4_к}{8\eta_{возд}l_к}=\pi\rho_{возд}R_ш^2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\implies \mathrm dt=\frac{8\eta_{возд}l_кR^2_ш\mathrm dx}{\rho_{воды}9R^4_к}\frac{1}{h}.\]Заметим, что зависимость \(\mathrm dt({1}/{h})\) – линейна с тангенсом угла наклона:

\[A=\frac{8\eta_{возд}l_кR^2_ш\mathrm dx}{\rho_{воды}9R^4_к}\frac{1}{h}.\]Тогда снимем зависимость \(\mathrm dt(h)\), построим график зависимости \(\mathrm dt(1/{h})\), найдем угловой коэффициент \(A\), а затем динамическую вязкость воздуха \(\eta_{возд}\) по формуле:

\[\eta_{возд}=\frac{A\rho_{воды}gR^4_к}{8l_кR^2_ш\mathrm dx}.\]Для увеличения точности измерений будем измерять \(\mathrm dt\) 3 раза для каждого значения \(h\)

Здесь и в дальнейшем погрешности рассчитаны по формулам:

\[\Delta\mathrm dt_{сл}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^3(dt-dt_i)^2}{3\cdot2}},\quad \Delta \mathrm dt_{сист}=0.2~с\implies\Delta\mathrm dt=\Delta\mathrm dt_{сл}+\Delta\mathrm dt_{сист},\]\[\Delta h=0.2~см,~~\Delta\left(\frac{1}{h}\right)=\frac{\Delta h}{h^2}.\]

График зависимости \(\mathrm dt({1}/{h})\)

Из графика:

\[A=(6.46\pm0.35)~м\cdot с.\]Окончательно для динамической вязкости воздуха получаем:

Ответ:

\[\eta_{возд}=(19.45\pm1.53)~мкПа \cdot с\]

Погрешность рассчитана по формуле:

\[\Delta\eta_{возд}=\eta_{возд}\left(\frac{\Delta A}{A}+4\frac{\Delta R_к}{R_к}+\frac{\Delta l_к}{l_к}+2\frac{\Delta R_ш}{R_ш}+\frac{\Delta \mathrm dx}{\mathrm dx}\right).\]

A3. Для нахождения диаметра иглы мы можем написать аналогичные уравнения для потоков воздуха и приравнять потоки: \[\frac{\pi\rho_{возд}\rho_{воды}ghR_и^4}{8\eta_{возд}l_и}=\pi\rho_{возд}R_ш^2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt},\]где \(R_и\) – радиус иглы, \(l_и=(1.9\pm0.5)~мм\) – длина иглы.

Преобразуем уравнение: \[\mathrm dt=\frac{8\eta_{возд}l_иR_ш^2\mathrm dx}{\rho_{воды}gR_и^4}\frac{1}{h}\]Зависимость \(\mathrm dt(1/{h})\) – линейна с тангенсом угла наклона: \[B=\frac{8\eta_{возд}l_иR_ш^2\mathrm dx}{\rho_{воды}gR_и^4}.\]Тогда снимем зависимость \(\mathrm dt(h)\), построим график \(\mathrm dt(1/{h})\), найдем угловой коэффициент \(B\), а затем диаметр иглы \(d_и\) по формуле: \[d_и=2R_и=2\sqrt[4]{\frac{8\eta_{возд}l_иR_ш^2\mathrm dx}{\rho_{воды}gB}}.\]

График зависимости \(\mathrm dt({1}/{h})\)

Из графика:

\[B=(10.95\pm0.47)~м\cdot с.\]Окончательно для диаметра иглы получаем:

Ответ:

\[d_и=(0.1997\pm0.0055)~мм\]

Погрешность рассчитана по формуле:

\[\Delta d_и=\frac{1}{4}d_и\left(\frac{\Delta\eta_{возд}}{\eta_{возд}}+\frac{\Delta l_и}{l_и}+2\frac{\Delta R_ш}{R_ш}+\frac{\Delta\mathrm dx}{\mathrm dx}+\frac{\Delta B}{B}\right).\]

Примечание

Для доказательства того, что при \(\mathrm dx=1~см\) скорость можно считать постоянной, снимем зависимость \(h(t)\) для капилляра и построим ее график.

Тангенс угла наклона касательной к графику в точке \(h\) – это скорость изменения разности высот при разности высот \(h\). В силу того, что радиусы верхнего и нижнего шприцов одинаковые, этот тангенс также будет равен удвоенной скорости подъема уровня жидкости в шприце при разности высот \(h\). Из графика видно, что экспериментальную кривую можно считать прямой на любом участке \(\mathrm dx={(h_1-h_2)}/{2}=1~см\). Это означает, что для любой высоты \(h\), скорость в пределе \(\mathrm dx=1~см\) можно считать постоянной.

Для подтверждения того, что в данном эксперименте учитывать вязкость важно, необходимо рассчитать число Рейнольдса. Число Рейнольдса это безразмерная величина, равная отношению кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине. Из определения понятно, что при значениях числа Рейнольдса \(\mathrm {Re}\gg1\) основную роль играет инерция, а при \(\mathrm {Re}\ll1\) – вязкость.

\[\mathrm {Re}=\frac{K}{A}.\]Используя закон сохранения массы для воздуха, можем записать:

\[R^2_ш\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=R^2_иv_и,\]где \(v_и\) – скорость воздуха внутри иглы.

Оценим плотность воздуха из уравнения Менделеева–Клапейрона (\(p_a=105~кПа\), \(\mu_{возд}=29~{г}/{моль}\), \(T_{комн}=300~К\)):

\[\rho_{возд}=\frac{p_a\mu_{возд}}{RT_{комн}}=1.22~{кг}/{м^3}.\]Тогда для числа Рейнольдса получим:

\[Re=\frac{\rho_{возд}V_иR_и^2}{16\eta l_и}=\frac{\rho_{возд}R_ш^2}{16\eta l_и}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0.056,\]Этот результат свидетельствует о том, что вязкость играет значительную роль в данном эксперименте.

A4.

Источник: pho.rs/p/3954.

Ответ

A1: \[R_{обм}=(9.8\pm0.2)~Ом\];  A4: Тогда для \(f(U,I,R)=U-IR\) зависимость \(f(\omega)\) линейна.;  B2: \[\frac{R}{r}=1.44\pm0.02\]

Решение

A1. Для снятия данной зависимости закрепим один из валов мотора с помощью нитки. Соберем схему с потенциометром, указанную в условии, где за батарейку обозначим то питание, которое у нас имеется. Контрольные данные предоставлены в таблице. Построим график зависимости \(U(I)\).

Ответ:

Ответ:

Из графика определяем \(R_{обм}\):

Ответ:

\[R_{обм}=(9.8\pm0.2)~Ом\]

A2. Прикрепим теперь другим концом нитку к динамометру, будем измерять силы при намотке нитки на катушку и сматывании нитки с нее: минимальную и максимальную соответственно. Контрольные данные приведены в таблице. Данные точки были сняты на маленьком вале. Для определения момента силы нам понадобится радиус вала. Наматывая нитку \(N\) раз получаем:\[2\pi Nr=l\implies r=\frac{l}{2\pi N}.\\N=10,~l=66.6~см\implies r= (1.06\pm0.01)~см.\]Пересчитаем силы в моменты:

Ответ:

Ответ:

A3. При измерении силы с помощью динамометра можно заметить, что пружина «бьется». Это связано с тем, что на катушки действует сила, зависящая от их положения относительно магнитов статора. Нетрудно понять, что количество «биений» связано с количеством катушек на роторе. В нашем случае количество «биений» равно 6. Несложным геометрическим построением картины работы мотора при 3-х катушках можно обнаружить, что именно при 3-х катушках ротора будет наблюдаться 6 одинаковых положений за один период вращения по моменту сил, действующих на вал.

A4. Ответ:

Запишем для моторчика закон сохранения энергии:\[UI=M\omega+I^2R,\]\(M\) – момент сил, раскручивающих моторчик, \(\omega\) – его угловая скорость вращения; первый член – мощность потребляемая от сети, второй член – мощность затрачиваемая на вращение вала и третий – мощность тепловых потерь на катушках ротора. Отсюда следует, что:\[U-IR=\frac{M\omega}{I}=\alpha I\omega,\]где \(\alpha\) – это среднее значение угловых коэффициентов зависимости \(M(I)\).

Ответ:

Тогда для \(f(U,I,R)=U-IR\) зависимость \(f(\omega)\) линейна.

Снимем данную зависимость с помощью схемы, показанной в условии. Для измерения \(\omega\) будем использовать светящийся диод в качестве стробоскопа. Для этого будем светить диодом на вращающийся шкив мотора. Будем подбирать частоты вращения вала с помощью потенциометра так, чтобы на вале наблюдалась устойчивая картинка из \(N\) темных или светлых пятнышек. В этом случае частота вращения ротора будет кратной частоте свечения светодиода. Если пятнышек \(N\), то частота вращения вала \(f={240}/{N}~Гц\), пересчитаем ее в \(\omega\) (\(\omega=2\pi f\)). Внесем данные частоты вращения, напряжения и тока мотора в таблицу. Построим график зависимости \(U-IR(\omega)\). Данный график линеен, его коэффициент наклона \(k\approx0.01~В/рад\), заметим, что он такой же как и средний коэффициент наклона в графике \(M(I)\).

Ответ:

B1. Ответ:

Запишем для генератора закон сохранения энергии:\[M\omega =UI+I^2R,\]тогда для \(f(U,I,R)=U+IR\) зависимость \(U(\omega)\) линейна. Оденем на нашу установку резинку и будем напрямую снимать напряжение на генераторе, регулируя частоту вращения ведущего мотора так, чтобы на генераторе частота вращения была кратна \(240~Гц\). Занесем измерения в таблицу. Заметим, что, так как \(R_v\gg R_{обм}\), то \(IR_{обм}\ll U\). Значит слагаемым \(IR\) в формуле для \(f=f(U,I,R)\) можно пренебречь. Тогда построим график \(U(\omega)\).

Ответ:

Как видно наше пренебрежение верно, так как наш график является прямой. Угловой коэффициент этой прямой совпадает с угловым коэффициентом у прямой из пункта A4.

B2. Для снятия данной зависимости не будем разбирать установку, собранную в предыдущем пункте. Теперь мы будем получать кратные частоты на ведущем моторе, а с генератора снимать напряжение, по которому с помощью предыдущего пункта будем узнавать частоту его вращения. Зависимость представлена в таблице.

Ответ:

Ответ:

Построим график зависимости \(\omega_{ген}(\omega_{вед})\). Заметим, что это прямая с коэффициентом наклона \(k=(1.44\pm0.03)\). Измерим радиус второго шкива методом, описанным в A2, получим:\[R=(1.53\pm0.01)~см.\]Тогда:

Ответ:

\[\frac{R}{r}=1.44\pm0.02\]

Это в точности равняется нашему коэффициенту наклона. Значит нитка не проскальзывает, когда генератор подключен к вольтметру .Снимем эти же зависимости в случае наличия нагрузки. Заметим, что частота вращения генератора умньшилась по сравнению с холостым вращением при фиксированной скорости вращения ведущего моторчика. На основе этого утверждения можно сделать вывод, что резинка начинает проскальзывать по шкиву генератора. Эффект снижения частоты вращения вала генератора тем больше, чем меньше (по сопротивлению) нагрузка на генераторе, что хорошо видно при сравнении графиков с нагрузкой \(100~Ом\) и \(50~Ом\).

B3. Ответ:

Ответ:

График для \(R=50~Ом\)

Ответ:

График для \(R=100~Ом\)

B4. Для снятия ВАХ соберем для ведущего мотора схему с потенциометром. Для генератора соберем схему для одновременного определения тока и напряжения, отдаваемого генератором во внешнюю цепь. За \(\sim\) обозначен генератор.

Чтобы изменять значения тока, отдаваемого генератором во внешнюю цепь, будем изменять сопротивление потенциометра. Для того чтобы частота вращения ротора генератора при измерении ВАХ была неизменной, будем подстраивать частоту вращения ведущего мотора с помощью 2-ого потенциометра. Снимем вольт-амперные характеристики для генератора при частоте его вращения в \(f=30~Гц\) и \(40~Гц\).

Ответ:

Построим графики полученных зависимостей:

Ответ:

Заметим, что оба графика линейны, наклон графиков одинаков, и, очевидно, соответствует сопротивлению обмоток ротора генератора. То есть искомое отношение равно \(1\). Так как напряжения холостого хода генератора линейно зависят от частоты его вращения, то и токи короткого замыкания генератора также прямо пропорциональны частоте вращения его ротора. Искомые величины легко вычисляются из представленных графиков путем поиска пересечения продолжений графиков с осями напряжения и тока.

Ответ:

Токи короткого замыкания составляют \(I_{к.з.}= 217~мА\) для \(f=30~Гц\), \(I_{к.з.}=274~мА\) для \(f=40~Гц\), а напряжения \(U_{х.х.}=2.58~В\) для \(f=40~Гц\), \(U_{х.х.}=1.94~В\) для \(f=30~Гц\).

Источник: pho.rs/p/3955.

Ответ

A1: Получается диапазон \([- 169.4~ мВ, - 45~ мВ]\) и \([1124~ мВ, 1274~ мВ]\).;  B1: Диапазон промеряемых значений расширялся до границ \([-169.4 ~мВ, 26~ мВ]\) и \([743 ~мВ, 1274~ мВ]\).;  D1: \[\Delta I = 0.4\pm0.09~мА,\qquad U_1 = 85\pm8~мВ,\qquad U_2=425\pm18~мВ\]

Решение

A1. В этой части необходимо было собрать схему и снять ВАХ диода на областях, достижимых только с помощью поворота ручки потенциометра (в основном крайние положения).

Ответ:

Получается диапазон \([- 169.4~ мВ, - 45~ мВ]\) и \([1124~ мВ, 1274~ мВ]\).

(Границы сильно зависят от направления изменения напряжения). Здесь указаны границы, получаемые при медленном увеличении напряжения с нуля.

B1. В этой части нужно было определить границы диапазона и получить часть кривой ВАХ.

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Диапазон промеряемых значений расширялся до границ \([-169.4 ~мВ, 26~ мВ]\) и \([743 ~мВ, 1274~ мВ]\).

C1. Усовершенствование схемы измерений предыдущего пункта заключается в подключении параллельно диоду резистора. Это позволяет получить более точные значения в областях с резкими скачками тока (большим значением модуля дифференциального сопротивления). При использовании резистора ток на диоде является функцией тока на амперметре и напряжения на вольтметре \(I=I_a-{U}/{R}\) (по второму правилу Кирхгофа).

При уменьшении \(R\) коэффициент наклона графика вышеописанной функции становится больше по модулю, и, когда он превышает значение модуля наклона участков ВАХ, мы получаем возможность измерить эти участки. Т.е. участок ВАХ диода может быть измерен, если дифференциальное сопротивление параллельно включенных диода и резистора становится положительным на этом участке. Но при этом, при увеличении числа резисторов уменьшается диапазон измерений, поэтому всю кривую так снять невозможно.

Используя один резистор можно увидеть качественную зависимость почти на всей кривой, но без характерных особенностей:

Ответ:

D1. Использование 2-ого и 3-его резисторов дает по 3-4 дополнительных точки, но в области первого пика не удается снять характерные особенности. Используя схему с 4-мя резисторами, получается (на график нанесены все точки, измеренные всеми схемами).

Ответ:

Для точного определения значений \(U_1\), \(U_2\) и \(\Delta I\) полезно построить график в увеличенном масштабе.

Из графика видно, что \(U_1\) лежит в интервале \([80,90]~мВ\), \(U_2\in[410;440] ~мВ\), \(\Delta I\in [0.4, 0.5]~ мА\).

Большинство измерений тока в области скачка проводилось в интервале \(20~мА\), а напряжения – \(2~В\), поэтому можно оценить приборную погрешность как \(\Delta I(a)=0.3~мА\), \(\Delta U(V)=3~мВ\) сами значения измеренных токов составляли около \(5~мА\) (до пересчета, непосредственно на приборе), поэтому погрешность определения отдельных значений \(U\) можно оценить в \(0.04~мА\). Таким образом, заключаем, что:

Ответ:

\[\Delta I = 0.4\pm0.09~мА,\qquad U_1 = 85\pm8~мВ,\qquad U_2=425\pm18~мВ\]

E1.

Источник: pho.rs/p/3952.

Ответ

A1: \[a_{12}=17.0~{мм}/{с^2}\qquad(3)\];  A2: \[a_1=19.8~{мм}/{с^2}\] \[a_2=44.3~{мм}/{с^2}\];  B1: Движение равномерное со скоростью \(v_{12}=127~{мм}/{с}\)

Решение

A1. Результаты представлены в таблице, графики на рисунке.

Скатывание с двумя парами дисков

Скатывание – закон движения

Хорошо видна нелинейная зависимость, что бы проверить, является ли движение равноускоренным, подчиняющемся закону:

\[x=v_0t+\frac{at^2}{2}.\qquad(1)\]Можно провести линеаризацию зависимости:

\[\frac{x}{t}=v_0+\frac{at}{2}.\qquad(2)\]Результат линеаризации приведён на следующем графике.

Скатывание (линеаризация)

График – прямая линия, следовательно, движение равноускоренное. По наклону графика можно определить ускорение. Найденное значение ускорения:

Ответ:

\[a_{12}=17.0~{мм}/{с^2}\qquad(3)\]

A2. Аналогично измеряются ускорения для вертушки с одной парой дисков.

Скатывание (большой диск)

Ответ:

\[a_1=19.8~{мм}/{с^2}\]

Скатывание (малый диск)

Ответ:

\[a_2=44.3~{мм}/{с^2}\]

A3. Зависимость ускорения от высоты наклонной плоскости

B1. Перекатывание (шестигранный большой диск + малый)

Ответ:

Движение равномерное со скоростью \(v_{12}=127~{мм}/{с}\)

B2. Для больших дисков скорость \(v_1=124~{мм}/{с}\)

Для малых дисков скорость \(v_1=143~{мм}/{с}\)

B3. Ответ:

Отношение ускорений :\(\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{44.3}{19.8}\approx 2.3\)

Отношение скоростей \(\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{145}{120}\approx 1.20\)

Источник: pho.rs/p/3953.