IEPhO 2015, 11 класс

Решение

A1. В таблице ниже приведены результаты измерений разности давлений \(\Delta P\) в колбе и вне ее от температуры \(t,{ }^{\circ}\mathrm{C}\). На рис. 1 показан график полученной зависимости.

Ответ:

Ответ:

Рис. 1

Полученная зависимость нелинейная, поэтому ею нельзя объяснить только изменение температуры газа в колбе.

A2. Основная теоретическая проблема в решении данной задачи состоит в разделении измеренного давления в колбе на парциальные давления сухого воздуха \(P_{air }\) и водяного пара \(P_{water}\). Так как масса воздуха в колбе и объем самой колбы остаются неизменными, то для расчета давления воздуха можно воспользоваться уравнением

\[\frac{P_{air}}{T}=\frac{P_{air0}}{T_0}=\operatorname{const}\qquad(1)\]В условии задачи задано значение давления насыщенных паров воды \(P_{water0}=92.6~Па\) при температуре \(t_0=50^\circ\mathrm C\). Эти значения позволяют найти постоянную величину в уравнении \((1)\), а затем рассчитать значения парциального давления в измеренном диапазоне температур. Так по результатам измерений при указанной температуре разность давлений равна \(\Delta P_0=138~мм\,рт{.} \,ст{.}\), атмосферное давление равнялось \(P_{atm}=770~мм\,рт{.} \,ст{.}\),следовательно, парциальное давление сухого воздуха в колбе при этой температуре \(\left(T_0=50+273.2=323.2~К\right)\) равнялось

\[P_{air0}=P_{atm}+\Delta P_0-P_{water0}=815.4~мм\,рт{.} \,ст{.}\qquad(2)\]Далее из формулы \((1)\) следует, что при температуре \(T=\left(t\,[{}^{\circ}\mathrm C]+273.2\right)~К\) парциальное давление сухого воздуха можно рассчитать по формуле \[P_{air}=\frac{P_{air0}}{T_0}T.\qquad(3)\]После этого следует найти давление насыщенных паров воды с помощью формулы

\[P_{water}=P_{atm}+\Delta P-P_{air}.\qquad(4)\]В таблице ниже приведены результаты необходимых расчетов (жирным шрифтом выделена «нулевая» точка).

Ответ:

A3. Для проверки применимости формулы \((3)\) для описания полученной зависимости ее следует линеаризовать, то есть представить в виде

\[\ln P_{water}=\ln P_{water0}+\frac{ML}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right) \qquad(5)\]Из этой записи видно, что зависимость логарифма давления \(\ln P_{water}\) от величины, обратной абсолютной температуре \(T^{-1}\), должна быть линейна. В двух последних столбцах таблицы также показаны эти значения. На рис. 2 построен график полученной зависимости. Отметим, что единицы измерения давления (в данном случае мы оставили \(мм\,рт{.} \,ст{.}\)) не влияют ни на вид графика, ни на коэффициент его наклона. Определяют только несущественный параллельный сдвиг вдоль вертикальной оси.

Ответ:

Рис. 2

Полученная зависимость является линейной, что подтверждает справедливость проверяемой формулы \((3)\) из условия задачи.

A4. Из выражения \((5)\) следует, что коэффициент наклона графика, изображенного на рис. 2 равен

\[K=\frac{\Delta\left(\ln P_{water}\right)}{\Delta\left(T^{-1}\right)}=-\frac{ML}{R}.\qquad(6)\]Поэтому удельную теплоту испарения воды можно рассчитать по формуле

\[L=-\frac{KR}{M}.\qquad(7)\]Расчет по методу наименьших квадратов приводит к следующему значению коэффициента наклона

\[K=-(4.82\pm0.08)\cdot10^{3}~К\qquad(8)\]

Ответ:

Следовательно, среднее значение удельной теплоты испарения воды в данном диапазоне температур равно

\[L=-\frac{KR}{M}=\frac{4.82\cdot10^{3}~К \cdot 8.31~\dfrac{ Дж}{моль\cdot К}}{18.0 \cdot 10^{-3}~кг}=2.23\cdot10^{6}~\frac{Дж}{кг}. \qquad(7)\]Экспериментальная погрешность найденного значения определяется по формуле

\[\Delta L=L\frac{\Delta K}{K}\approx 0.04\cdot 10^{6}~\frac{Дж}{кг}.\qquad(8)\]что составляет менее \(2\%\).

Дополнение

Источник: pho.rs/p/3958.

Ответ

B1: \[I=4.3 \cdot 10^{-5} ~кг\cdot м^{2}.\];  B2: \[\nu_{\max } \simeq 100~Гц\];  C2: \[M_{тр}=1.7 \cdot 10^{-4} ~Н\cdot м\];  D1: \[T_{2}=\frac{2 \pi \omega I}{z m g} \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \qquad(6)\]

Решение

A1. За один оборот конец вектора \(\vec{L}\) описывает окружность длиной

\[\Delta L=2 \pi|L| \sin (\alpha), \qquad(1)\]где \(\alpha\) – угол с вертикалью. Момент силы тяжести

\[\left|\vec{M}_{g}\right|=r \sin (\alpha) m g \qquad(1.1) \tag{1}\]Из уравнения для момента импульса относительно точки \(O\) следует:

\[\left|\vec{M}_{g}\right| T_{1}=\Delta L \qquad(2) \tag{2}\]Выразив \(T_{1}\) получим:

Ответ:

\[T_{1}=\frac{2 \pi I \omega}{r m g} \qquad(3) \tag{3}\]\[\Omega=\frac{r m g}{I \omega}\qquad(4) \tag{4}\]

B1. Для нахождения момента инерции волчка воспользуемся законом сохранения энергии и уравнением \((3)\). Получим систему уравнений:

\[\left\{\begin{array}{l} {T}_{1}=\dfrac{2 \pi I \omega}{r m g}, \\ m_{1} g h=\dfrac{m_{1}(b \omega)^{2}}{2}+\dfrac{I \omega^{2}}{2} . \end{array}\right.\]Здесь \(r=4.1~см\) – расстояние от точки опоры \(О\) до центра масс волчка, \(h=85~см\) – длина той части нити, которой раскручивают волчок, \(b\) – расстояние от точки приложения силы тяжести груза к волчку до оси волчка. Чтобы определить \(b\), посчитаем, сколько оборотов совершает волчок, когда на него накручивают нить длинной \(c=21.8~см\). Он совершает \({N}_{об}=10\):

\[2 \pi b N_{об}=c\implies b=0.35~см.\]\({T}_{1}\) – период прецессии после раскручивания грузом. Измеряем его, поставив волчок на подставку сразу после раскручивания. Если гироскоп начинает вибрировать, вставать в вертикальное положение или по каким-то еще причинам вследствие его не идеальности большая угловая скорость не позволяет измерить период прецессии, то следует укоротить разгонную часть нити.

\[T_{1}=2.9~с.\]Из первого уравнения выражаем \(\omega\) и подставляем во второе. Получаем квадратное уравнение относительно \(I\):

\[\frac{8 \pi^{2} m_{1} h}{T_{1}^{2} m^{2} g r^{2}} I^{2}=m_{1} b^{2}+I\]Решив квадратное уравнение и выбрав положительный корень, получим:

\[I=\frac{1+\sqrt{1+4 a m_{1} b^{2}}}{2 a},\qquad a=\frac{8 \pi^{2} m_{1} h}{T_{1}^{2} m^{2} g r^{2}}\]

Ответ:

\[I=4.3 \cdot 10^{-5} ~кг\cdot м^{2}.\]

При различных оценках могут понадобиться другие параметры волчка такие как внешний радиус \(R_1=3~см\), внутренний \(R_2=2~см\).

B2. Подставив значение \(I\) в \((3)\), получим\[\nu_{1}=\dfrac{\omega}{2 \pi}=T_{1} \dfrac{r m g}{4 \pi \pi I}=91~Гц\implies \omega=571~\frac{рад }{с}\]При раскручивании руками максимальный период прецессии

\[T_{\max } \simeq 3~с.\]А соответствующая частота из \((3)\):

Ответ:

\[\nu_{\max } \simeq 100~Гц\]

Оценим погрешность полученного значения \(I\). Абсолютная погрешность при измерении \(r-\Delta r=1~мм\), \(b-\Delta b=0.2~мм\), \(h-\Delta h=2~см\) (высокая погрешность \(b\) и \(h\) обусловлена растяжением нити), \(T_{1}-\Delta T_{1}= 0.2~с\) (вызвано сложностью замера поворота на \(2 \pi\) а так же установкой гироскопа на подставку).

Итого для \(I\) имеем:\[\varepsilon \simeq 20 \% .\]

C1. Нужно раскрутить волчок и с помощью секундомера, измеряющего круги, снять все периоды прецессии, пока период не упадёт в два раза. К частоте вращения от периода прецессии переходим по формуле:

\[\nu=T_{1} \frac{r g m}{4 \pi^{2} I}.\]Время находится как сумма всех предыдущих периодов.

График измеренной зависимости:

Ответ:

C2. Из линейности полученной зависимости можно сделать вывод о том, что момент силы трения постоянный, он никак существенно не зависит от скорости вращения ротора. Возможно получение неправильного результата, если не добиться того, чтобы рама не проворачивалась относительно подставки.

\[M_{тр}=-\frac{\Delta \nu}{\Delta t} 2 \pi I \qquad(5)\]

Ответ:

\[M_{тр}=1.7 \cdot 10^{-4} ~Н\cdot м\]

D1. Записав момент силы тяжести относительно точки подвеса, и использовав промежуточные выкладки из первой части задачи получим:

Ответ:

\[T_{2}=\frac{2 \pi \omega I}{z m g} \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \qquad(6)\]

Здесь \(z=4~см\) – расстояние от точки подвеса до оси волчка.

D2. Привяжем к ободу гироскопа нить и сделаем на ней петлю. Раскрутив гироскоп повесим его за эту петельку на подставку, удерживая гироскоп рукой от прецессии. Зададим угол \(\alpha\) (удлинив ось волчка зубочисткой, измерять \(\alpha\) удобнее) и измерим период прецессии, убрав руку. Так как решение о виде зависимости будет приниматься по анализу измерений лишь в 3 различных углах, то для исключения промаха измерения следует повторить несколько раз.

Ответ:

Ответ:

Как видно из графика эту зависимость можно считать линейной, что подтверждает полученную теорию.

Источник: pho.rs/p/3719.

Решение

A1. Удельное электросопротивление \(\rho\) можно определить по скорости уменьшения заряда уединённого шарика с течением времени. Заряд шара (см. теорию ниже) уменьшается по экспоненте \(q=q_{0} e^{-{t}/{\tau}}\), где время релаксации \(\tau=\rho \varepsilon_{0}\).

Теория

Заряд уединённого заряженного шарика, подвешенного на тонкой нити в воздухе, с течением времени уменьшается. Это связано с конечной величиной удельного сопротивления воздуха \(\rho\). По закону Ома в дифференциальной форме плотность электрического тока пропорциональна напряжённости \(\vec E\) электрического поля шарика:

\[\vec j=\frac{1}{\rho} \vec E.\]Величину полного тока \(I\), определяющего скорость изменения заряда шарика \(q\), находим интегрированием по замкнутой поверхности, охватывающей шарик. Используя теорему Гаусса для потока вектора \(\vec E\) через замкнутую поверхность, получаем (диэлектрическую проницаемость воздуха считаем равной единице \(\varepsilon \approx 1\)):

\[I=\int \vec j \cdot \mathrm d \vec S=\frac{1}{\rho} \int\vec E \cdot \mathrm d \vec S=\frac{q}{\rho \varepsilon_{0}}.\]Скорость изменения заряда шарика:

\[\frac{\mathrm d q}{\mathrm d t}=-I=-\frac{q}{\rho \varepsilon_{0}}.\]Решая уравнение, находим, что с течением времени заряд шарика изменяется по экспоненциальному закону:

\[q=q_{0} e^{-{t}/{\tau}},\]где \(q_{0}\) – начальный заряд шарика, \(\tau=\varepsilon_{0} \rho\) – характерное время, за которое заряд шарика уменьшается в \(e\) раз (время релаксации).

Эксперимент

Методика

Подвешиваем теннисные шарики на штативе так, чтобы расстояние между нитями равнялось диаметру шарика \(d_{0}=2R=40~мм\). Длина нитей \(l=130~см\). Незаряженные шарики при этом слегка соприкасаются (рис. 1). На высоте \(\sim 20~см\) от шариков подвешиваем линейку в горизонтальном положении.

Калибровка

Заряжаем шарики с помощью пластмассовой палочки, наэлектризованной трением о полиэтиленовый пакет. Измеряем расстояние между нитями на высоте линейки: \(d_{1}\approx75~мм\) (рис. 2). Разряжаем один из шариков, коснувшись его рукой. После соприкосновения между собой шарики расходятся так, что расстояние между нитями на уровне линейки оказывается равным \(d_{2}\approx48~мм\). Заряды шариков при этом уменьшаются вдвое. Калибровка проведена. Вновь заряжаем шарики так, что расстояние между нитями, отсчитанное по линейке, вновь становится равным \(d_{1}=75~мм\). С помощью секундомера измеряем время \(T_{1 / 2}\), за которое расстояние между нитями уменьшается до \(d_{2}=48~мм\). Это время соответствует уменьшению заряда вдвое.

Рис. 1

Рис. 2

Измерения

\[T_{1/2} \approx 14 ~{мин}=840~с \implies \ln 2=\frac{T_{1/2}}{\tau} \implies \tau=\rho \varepsilon_{0}=\frac{T_{1/2}}{\ln 2} \rightarrow \rho=\frac{T_{1/2}}{\varepsilon_{0} \ln 2}\]Подставив измеренное значение \(T_{1/2}\), получим:

Ответ:

\[\rho=\frac{840~с}{ \ln 2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} ~Ф/м } \approx 1.4 \cdot 10^{14}~{Ом} \cdot {м}\]

Источник: pho.rs/p/3959.

Ответ

A1: \[\Delta \varphi =( 60\pm 5){}^\circ\];  D1: \[\delta \varphi=k \cdot N L\] \[k=0.58\cdot 10^{-2}  {}^\circ/{(см\cdot о.е.)}\quad\text{для красного лазера} \\k=0.90 \cdot10^{-2} {}^\circ/{(см\cdot о.е.)}\quad\text{для зелёного лазера}\];  E3: Меняется частота следования максимумов и минимумов. Для зеленого света минимумы и максимумы интенсивности располагаются чаще.

Решение

A1. Зависимость \(I\) от угла \(\varphi\) между поляризаторами:

Данный точки можно линеаризировать, используя закон Малюса:

\[\begin{gathered} I=I_{pol} \cdot \cos ^{2}\left(\varphi-\varphi_{0}\right)+I_{0} \\ I_{\max }=I_{p o l}-I_{0} \\ \varphi=\varphi_{0}+\arccos \left(\sqrt{\frac{I-I_{0}}{I_{\max }-I_{0}}}\right) \end{gathered}\]

Определение угла между опорной линией и главной осью второго поляризатора – задача простая. Необходимо расположить поляризаторы так, чтобы через поляризаторы проходило как можно меньше света от фонарика. В этом случае поляризаторы будут скрещены и их оси будут находиться под углом в \(90^\circ\). Таким образом можно определить положение главной оси исследуемого поляризатора и определить угол между опорной линией и осью поляризации. Для нашего эксперимента он составил:

Ответ:

\[\Delta \varphi =( 60\pm 5){}^\circ\]

B1. Ответ:

Результаты B1 схожи с результатами, полученными в A1. То есть зависимость показаний фотодетектора от угла поворота поляризатора также есть функция, обладающая минимумом. Причем минимумом находится близко с нулем по показаниям люксметра. Такое поведение этой зависимости говорит о том, что излучения красного лазера является поляризованным.

C1. Из аналитических соображений, а также при выполнении заданий А1 и В1 видно, что если смотреть через поляризатор на свет с естественной (случайной поляризацией) то, при вращении поляризатора не будет заметно ни каких изменений. Поляризатор просто уменьшает интенсивность проходящего излучения в два раза.

Если испускаемый или рассеиваемый объектами свет будет линейно-поляризован, то при вращении поляризатора изображение будет меняться. Если плоскость пропускания поляризатора совпадает с плоскостью поляризации излучения – не будет видно ни каких изменений по сравнению с картиной, наблюдаемой в отсутствии поляризатора между глазом и рассматриваемым объектом. Если плоскость пропускания поляризатора перпендикулярна плоскости поляризации излучения, то изображение объекта полностью пропадет.

• При наблюдении рассеянного света видно, что если направление распространения луча перпендикулярно плоскости пропускания поляризатора \((\beta=90^{\circ})\), то мы видим рассеянный «столб света» без изменений.

• Если же направление распространения света лежит в плоскости поляризации \((\beta=0)\), то он полностью пропадает. Данное наблюдение свидетельствует о том, что рассеянный свет является плоско-поляризованным.

• При этом рассеяние во все стороны происходит с одинаковой интенсивностью, что легко установить из соображений симметрии относительно оси пучка света от фонарика.

C2. При линейно-поляризованном свете наблюдаемая картина несколько изменяется. Рассеянный свет все так-же плоско-поляризован в плоскости перпендикулярной направлению распространения рассеиваемого луча. Но интенсивность рассеяния зависит от направления наблюдения. Максимально интенсивно рассеяние происходит в направлении перпендикулярном плоскости поляризации рассеиваемого луча света. В направлении, лежащем в плоскости поляризации луча света, рассеяние практически не идет.

\[I\left(\alpha=90^{0}\right)=I_{\max} \\I(\alpha=0) \approx 0\]

D1. Измерение зависимости поворота плоскости поляризации от длины пути излучения в растворе производится методом простого удаления части раствора с помощью шприца с надетой на него силиконовой трубкой.

Для экономии времени, при определении поляризации выходящего излучения используется «метод скрещенных поляризаторов». Из теории и результатов предыдущих заданий следует, что если плоскость пропускания поляризатора перпендикулярна плоскости поляризации излучения, то на выходе из поляризатора будет минимально возможная яркость света.

Расположив поляризатор П1 после пробирки, вращая поляризатор П1 необходимо добиться максимально возможного затемнения луча. Даже определение минимума «на глаз» дает достаточную точность для данной работы.

Для изучения поворота плоскости поляризации зеленого света необходимо использовать поляризатор П2, располагая его между лазером и пробиркой с раствором.

Поскольку необходимо определить на сколько повернулась поляризация света, то даже нет необходимости прибавлять \(90^{\circ}\) к результатам измерений. То если найти положение выходного поляризатора, при котором наблюдается минимум интенсивности на фотодетекторе, без прохождения света через раствор, а потом найти аналогичное положение поляризатора с уже прошедшем через раствор пучком, то разность углов поворота выходного поляризатора и будет углом поворота плоскости поляризации раствором.

Поскольку сечение пробирки постоянно, то вместо измерения толщины столба жидкости достаточно измерять объем раствора внутри пробирки.

Измерение длины шкалы миллиметровкой позволяет получить коэффициент пропорциональности:

\[h/V=0.0913~см/ мл\]Результаты измерений положения поляризатора, при котором достигается минимальная яркость луча при его прохождении, приведены в таблице:

Построим графики полученных зависимостей:

Из полученных графиков видно, что угол поворота плоскости поляризации излучения в растворе фруктозы является линейной функцией глубины проникновения света в раствор. Тангенсы углов наклона линейной аппроксимации:

\[\frac{\Delta \varphi}{\Delta V}=-0.58~ {}^\circ/{ мл }\quad \text{для красного лазера}\\\frac{\Delta \varphi}{\Delta V}=-0.90 ~{}^\circ/{мл }\quad \text{для зеленого лазера}\]Для измерения зависимости угла поворота от концентрации фруктозы будем удалять часть раствора фруктозы, доливая такое же количество воды (водный раствор молока). Для того, чтобы раствора фруктозы хватило на следующее упражнение, будем использовать \(150~ мл\). раствора. Измерение будем проводить только с красным лазером.

Начальная концентрация фруктозы не известна. Будем считать концентрацию раствора в относительных единицах, то есть отношение концентрации разбавленного раствора к его начальной концентрации.

Данные измерений и расчетов приведены в таблице:

Построим график полученной зависимости:

Из графика видно, что данная зависимость так же является линейной.

Из двух полученных зависимостей, можно сделать вывод о том, что угол поворота плоскости поляризации излучения можно определить по следующей формуле:

Ответ:

\[\delta \varphi=k \cdot N L\]

Из полученных данных и углов наклона линий аппроксимации получаем следующую зависимость:

Ответ:

\[k=0.58\cdot 10^{-2}  {}^\circ/{(см\cdot о.е.)}\quad\text{для красного лазера} \\k=0.90 \cdot10^{-2} {}^\circ/{(см\cdot о.е.)}\quad\text{для зелёного лазера}\]

E1. Наблюдаемая картина изображена на фотографии ниже:

Ответ:

• Нет, интенсивность рассеянного света, распространяющегося в выбранном направлении, меняется не монотонно. Присутствуют максимумы и минимумы.

• Максимумы и минимумы меняются местами.

E2.

Ответ:

• Нет, интенсивность рассеянного света, распространяющегося в выбранном направлении, меняется не монотонно. Присутствуют максимумы и минимумы.

• Максимумы и минимумы меняются местами.

E3. Ответ:

Меняется частота следования максимумов и минимумов. Для зеленого света минимумы и максимумы интенсивности располагаются чаще.

E4. Ответ:

Присутствие максимумов и минимумов интенсивности рассеянного излучения распространяющемся в выбранном направлении объясняется поворотом плоскости поляризации в растворе фруктозы. Максимум соответствует точке, в которой плоскость поляризации излучения перпендикулярна направлению наблюдения. Минимум – направление наблюдения лежит в плоскости поляризации. (См. пункт C.2)

F1. Наблюдаемая картина показана на фотографии ниже:

Ответ:

Появление цветной спирали объясняется тем, что для различных длин волн скорость вращения поляризации раствором фруктозы отличается (см. результаты части D).

При этом, в какой-то точке луча становится возможной ситуация, когда свет с длиной волны соответствующей красному цвету поляризован в плоскости перпендикулярной направлению наблюдения, а для зеленого – направления наблюдения лежит в плоскости поляризации. В такой ситуации из белого свет будет «вырезан» зеленый цвет, а красный будет преобладать.

Что получится, если вырезать один из цветов из белого света вы можете узнать из задачи про RGB-светодиод данной олимпиады.

Стоит особо отметить, что в данном случае речь не идет о том, что в каждой точке мы видим тот цвет, для которого направление наблюдения является максимумом рассеяния. В таком случае мы получили бы классическую радугу, чего не происходит. Изменение цветов происходит скорее из-за обратного процесса – удаления части спектра.

Источник: pho.rs/p/3781.

Ответ

A3: \[n\sim q.\]

Решение

A1. Используя конденсаторы на \(1~мкФ\), будем собирать батареи конденсаторов различной емкости. Батареи конденсаторов будем заряжать до напряжения батарейки \(U_б=9.95 ~В\), а затем подключать к амперметру и смотреть на сколько делений \(n\) отклонится стрелка амперметра.

В ходе всей работы погрешность \(\Delta n=0.5\).

Построим график зависимости \(n(C)\):

Ответ:

Из графика видно, что зависимость \(n(C)\) линейна, причем проходит через точку \((0,0)\). Тогда можно записать: \[n=\alpha C,\]где \(\alpha\) – угловой коэффициент графика.

Из графика находим: \[\alpha=(2.36\pm0.19)\cdot10^6 ~Ф\]

A2. Для зарядки конденсатора до нужного напряжения соберем схему, изображенную на рисунке:

Причем в качестве конденсатора будем использовать батарею конденсаторов общей емкостью \(5~мкФ\). Это делается в целях уменьшения погрешности, так как отклонение стрелки пропорционально емкости, как мы выяснили в предыдущем пункте.

Зарядив конденсатор до нужного напряжения, подключаем его к амперметру и смотрим на сколько делений смещается стрелка амперметра.

Снимем зависимость \(n(u)\):

Ответ:

Построим график зависимости \(n(u)\).

Ответ:

Из графика видно, что зависимость \(n(u)\) линейна, причем проходит через точку \((0,0)\). Тогда можно записать:

\[n=\beta u,\]где \(\beta\) – угловой коэффициент графика.

Из графика находим:\[\beta=(1.15\pm0.05)~{В}^{-1}.\]

A3. Мы обнаружили, что количество делений \(n\), на которое отклоняется стрелка амперметра, пропорционально емкости конденсатора при неизменном начальном напряжении на конденсатоpe, а также пропорционально напряжению на конденсаторе при неизменной емкости конденсатора.

Известно, что заряд на конденсаторе можно найти по формуле: \[q=C u.\]Тогда можно сделать вывод, что количество делений \(n\), на которое отклоняется стрелка амперметра, пропорционально начальному заряду на конденсаторе.

Измерим сопротивлением амперметра с помощью мультиметра в режиме омметра. Получим: \[R_{a}=631~\mathrm{Ом}\]Тогда характерное время \(\tau\) разрядки конденсатора емкостью \(5~мкФ\) через амперметр равно: \[\tau=R_{a}C\approx 3~\mathrm{мс}.\]Это время очень мало, поэтому мы можем утверждать, что начальный заряд на конденсаторе примерно равен заряду, протекшему через амперметр за время движения стрелки.

Таким образом, количество делений \(n\), на которое отклоняется стрелка амперметра, пропорционально заряду, протекшему через амперметр:

Ответ:

\[n\sim q.\]

A4. Для измерения сопротивления шунта соберем схему, изображенную на рисунке:

В качестве конденсатора будем использовать батарею конденсаторов емкостью \(5~мкФ\). Зарядим конденсатор с помощью батарейки до фиксированного напряжения. Будем разряжать конденсатор через шунтированный амперметр, используя схему, изображенную на рисунке.

Снимем зависимость \(n\left(R_{ш}\right)\):

Ответ:

Напряжение на амперметре в любой момент времени равно напряжению на шунте, так как они соединены параллельно. Тогда можно записать:

\[I_{0} \frac{{R_ш}{R_а}}{R_ш+R_a}=I R_a\]где \(I_{0}\) – суммарная сила тока через амперметр и шунт, \(I\) – сила тока через амперметр.

Если мы проинтегрируем по времени обе части этого равенства в пределах от времени замыкания контакта до времени полной разрядки конденсатора, то мы получим связь между зарядами:

\[q_{0} \frac{R_{ш}R_{a}}{R_{ш}+R_{a}}=q R_{a}\]где \(q_{0}\) – заряд, протекший через амперметр и шунт, равный в свою очередь первоначальному заряду конденсатора, \(q\) - заряд, протекший через амперметр.

Преобразуем это выражение:

\[\frac{q_{0}}{q}=\frac{R_{ш}+R_{a}}{R_{ш}}=1+\frac{R_{a}}{R_{ш}}.\]В свою очередь \(n\sim q\), как мы выяснили в предыдущем пункте. Первоначальный заряд конденсатора \(q_{0}\) постоянный, так как мы заряжаем один и тот же конденсатор до фиксированного напряжения, то есть:

\[q_{0}=\operatorname{const}\]Тогда окончательно получаем:

\[\frac{1}{n}\sim\frac{1}{R_{ш}}\]Для подтверждения такой зависимости построим график зависимости \(\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{R_{ш}}\right)\):

Ответ:

График является прямой, что доказывает наше предположение.

A5. Намотаем на магнит бумагу и зафиксируем ее скотчем. Затем намотаем на эту бумагу примерно \(150\) витков проволоки, причем так, чтобы наша катушка имела как можно меньшую ширину. Затем снимем катушку с магнита и отклеим от нее скотч. После этого катушка может свободно передвигаться вдоль магнита, плотно обхватывая магнит. Если мы подсоединим нашу катушку к амперметру, предварительно зачистив концы проволоки, а затем будем быстро вытаскивать из нее магнит, начиная движение от середины магнита, то стрелка амперметра будет отклоняться. Как мы выяснили, отклонение стрелки пропорционально заряду, протекшему через амперметр. Обозначим этот заряд \(q\).

При вытаскивании магнита из катушки магнитный поток через катушку изменяется, за счет чего в катушке возникает ЭДС индукции \(\varepsilon\), которая определяется по формуле:\[\varepsilon=-\frac{\mathrm d\psi}{\mathrm dt}\]

где \(\mathrm d\psi\) – изменение магнитного потока через катушку за малое время \(\mathrm dt\). В свою очередь по закону Ома ЭДС индукции равна:

\[\varepsilon=IR_{a}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}R_{a}\]где \(I\) – сила тока через амперметр.

Приравнивая, получаем:

\[\begin{aligned} -\frac{\mathrm d\psi}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt} R_{a} \implies -\mathrm d\psi=\mathrm dqR_{a}. \end{aligned}\]

Мы получили связь между изменением магнитного потока через катушку и протекшим через амперметр зарядом за время \(\mathrm dt\).

Суммирую по всем малым изменениям от момента замыкания цепи до момента протекания через амперметр всего заряда, получаем:

\[-(0-B k S)=qR_{a}\]где \(B\) – величина магнитной индукции поля магнита в середине его оси, \(S\) – площадь сечения катушки, \(k\) – количество витков.

Для заряда можем записать:

\[q=\gamma n\]Из первого пункта получим:

\[\gamma_{1}=\frac{u_{6}}{\alpha}=(4.22\pm0,34)\cdot 10^{-6}\mathrm{~B}\cdot\Phi\]

Из второго пункта:

\[\gamma_{2}=\frac{{C}}{\beta}=(4.35\pm0.19)\cdot10^{-6}{~В}\cdot\Phi.\]Возьмем среднее значение:

\[\gamma=(4.29\pm0.34)\cdot10^{-6}{~В}\cdot\Phi\]Площадь сечения катушки равна:

\[S=\frac{\pi d^{2}}{4}\]где \(d=(2.20\pm0.05)~см\) – диаметр сечения катушки.

Тогда получим:

\[\begin{gathered} Bk\frac{\pi d^{2}}{4}=\gamma n R_{a} \\ n=\frac{B \pi d^{2}}{4 \gamma R_{a}} k \end{gathered}\]Замечаем, что зависимость \(n(k)\) линейна. Снимем зависимость \(n(k)\):

\[n=Ak,\]где \(A\) – угловой коэффициент графика.

\[A=\frac{B\pi d^{2}}{4\gamma R_{a}}\]Построим график зависимости \(n(k)\), найдем угловой коэффициент \(A\) и рассчитаем значение \(B\) по формуле:

\[B=\frac{4A\gamma R_{a}}{\pi d^{2}}\]

Из графика:\[A=0.079\pm0.003.\]Тогда для величины индукции магнитного поля получаем:

Ответ:

\[B=(0.56\pm0.09)~{Тл}\]

Источник: pho.rs/p/3956.

Ответ

A2: По закону Гука:\[\Delta l/l=\Delta F/ES \rightarrow \Delta F=(ES/l)\Delta l=k\Delta l \implies\] \[k=\dfrac{ES}{l}\];  A3: \[E=(1.1\pm0.1)~МПа\];  A6: \[E=(110\pm10)~Н/см^2 \quad\text{в пределах}\quad l/l_0 < 2.2\];  A7: \[\mu=-1/2\]

Решение

A1. С помощью бруска и струбцины закрепляем резиновый шнур на столе с закреплённой мерной лентой.

Растягиваем шнур, подцепив его к динамометру и, используя мерную ленту, снимаем зависимость \(l(F)\) (см. таблицу) (\(l\) – длина шнура в сантиметрах, \(F\) – показания динамометра, \(l /l_0\) – отношение длины резины к длине \(l_0\) недеформированного шнура):

Ответ:

Эти измерения удобно проводить следующим образом: закрепляем шнур над шкалой, делаем на шнуре две отметки, расстояние между которыми равно, например, \(l_0=30~см\). Подцепляем к шнуру динамометр, растягиваем шнур и измеряем расстояние \(l\) между метками на резине в зависимости от показаний динамометра \(F\).

A2. Ответ:

По закону Гука:\[\Delta l/l=\Delta F/ES \rightarrow \Delta F=(ES/l)\Delta l=k\Delta l \implies\]

Ответ:

\[k=\dfrac{ES}{l}\]

Здесь \(S=\pi d^2/4\) – поперечное сечение цилиндрического шнура.

A3. По закону Гука для небольших деформаций:

\[\mathrm dl/l=\mathrm dF/ES\implies \mathrm dl/l^2=\mathrm dF/ESl=\mathrm dF/ EV=\mathrm dF/EV_0.\]Здесь \(V=Sl=S_0 l_0=\pi d_0^2l_0/4\) – объём шнура, который, по условию, не изменяется; \(l_0\), \(d_0\), – длина и диаметр, а \(S_0=\pi d_0^2/4\) – площадь сечения недеформированного шнура.

Интегрируем уравнение:\[\mathrm dl / l^2=\mathrm dF/EV_0 \implies 1 / l_0-1 / l=F/EV_0 \implies l /l_0=1/\left(1-F/ES_0\right)\] – зависимость \(l(F)\) при условии, что модуль Юнга \(E\) и объём \(V\) резины при деформации не изменятся.

Линеаризованный график зависимости \(l(F)\):

Ответ:

Модуль Юнга:

Ответ:

\[E=(1.1\pm0.1)~МПа\]

A4. В координатах (\(F, l_0/l\)) график теоретической зависимости \(l(F)\) имеет вид прямой линии \(l_0/l=1-\beta F\), тангенс угла наклона которой \(\beta=1/ES_0\).

Для сравнения теории с экспериментом, используя данные таблицы, строим график линеаризованной зависимости \(l(F)\), откладывая по оси \({Oy}\) значения \(l_0/l\), а по оси \({Ox}\) – показания динамометра \(F\).

Вплоть до значений \(l_0/l \sim 0.4-0.5\) график этой зависимости хорошо экстраполируется прямой линией с тангенсом угла наклона:

\[\beta=\Delta\left(l_0/l\right) / \Delta F=-0.18~Н^{-1}\]

A5. Поскольку теоретическая зависимость \(l(F)\) была получена в предположении \(E=\operatorname{const}\), то естественно предположить, что отклонение от теоретической зависимости при больших деформациях связано с тем, что модуль Юнга при больших напряжениях начинает зависеть от самой деформации, т.е. перестаёт быть величиной постоянной. Как видно из рисунка заметное отклонение экспериментальных точек от линеаризованного графика \(l(F)\) наблюдается при длинах шнура \(l> 2.5~l_0\).

A6. Экспериментальное значение модуля Юнга определяем по углу наклона \(|\beta|=1 ES_0=0.182~Н^{-1}\) экстраполированного прямой \(l_0/l=1-\beta F\) линеаризованного графика зависимости \(l(F)\):

\[E=1/|\beta|S_0=4/|\beta|\pi d_0^2=112~Н/см^2=1.12~МПа.\]

Ответ:

\[E=(110\pm10)~Н/см^2 \quad\text{в пределах}\quad l/l_0 < 2.2\]

A7. Для шнура цилиндрической формы длиной \(l\) и диаметром \(d\) объём:

\[V=1/4ld^{2} \implies d^{2}=4 V /l.\]Возьмём «логарифмическую производную» последнего выражения, т.е. прологарифмируем обе его части и найдём их дифференциалы, считая \({V}=\operatorname {const}\). Получим:

\[2 \Delta d/d=-\Delta l/ l \implies \Delta d/d=-1/2 \Delta l/ l \implies\]

Ответ:

\[\mu=-1/2\]

При таком значении коэффициента Пуассона объём материала при его деформациях не изменяется.

A8. Найдём теоретическую зависимость ширины ленты \(b/b_{0}\) от длины \(l/l_{0}\) при её растяжении.

Эта зависимость получается из дифференциального уравнения, определяющего коэффициент Пуассона:

\[\mathrm db/b=-\mu \,\mathrm dl/l\implies b/b_{0}=\left(l/l_{0}\right)^{-\mu}\]

Снимаем экспериментальную зависимость \(b(l)\). Для этого растягиваем ленту и измеряем её ширину \(b\) при каждом фиксированном значении длины \(l\) (точнее, длины выделенного на ленте участка). Лента фиксируется с помощью струбцин.

Результаты эксперимента представлены в таблице ниже:

Для определения коэффициента Пуассона построим график зависимости \(b (l)\) в двойном логарифмическом масштабе. В таком масштабе эта зависимость представляет собой прямую линию, с тангенсом угла \(\alpha\) наклона, равным коэффициенту Пуассона \(\mu=-\operatorname{tg} \alpha\):\[\ln {b}={C}-\mu \ln l.\]Линеаризованный график зависимости \({b}(l)\) строим, используя данные таблицы:

Ответ:

График хорошо экстраполируется прямой \(y=5.72-0.36{x}\). Коэффициент Пуассона резины, из которой изготовлена лента:

Ответ:

\[\mu=0.36\]

Источник: pho.rs/p/3957.