IEPhO 2015, 9 класс

Ответ

A2: \[\gamma=\beta-\alpha=(n-1)\varphi\qquad(1)\];  A3: \[z=L\gamma=L(n-1)\varphi\qquad(2)\];  B1: Луч раздваивается, если он попадает в точку между выемками (острый выступ) на изогнутой поверхности.;  B3: \[R=\frac{l}{2\sin\theta}\approx16~мм\qquad(6)\] \[h=R(1-\cos\theta)=R-\sqrt{R^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}\approx0.98~мм\qquad(7)\];  B5: Так как наклоны и внешний вид участков графиков, соответствующих попаданию луча в разные выемки одинаковы, то приближенно можно считать, что формы всех выемок одинаковы.;  B6: \[\beta=n\alpha\implies\gamma=(n-1)\frac{x}{R}\qquad(10)\];  B7: \[R=(n-1)\frac{L}{K}=0.5\cdot\frac{350}{8.3}\approx 21~мм\qquad(13)\] \[h=R-\sqrt{R^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}\approx 0.73~мм\qquad(14)\]

Решение

A1. Требуемое построение показано на рис. 1.

Ответ:

Рис. 1

Наиболее существенными особенностями данного построения являются:

1. Лучи отклоняются в сторону утолщения пластинки

2. Угол отклонения возрастает по мере удаления от центра выемки

3. Луч, попадающий в центр выемки, не преломляется.

A2. Для решения данного пункта следует провести перпендикуляр к границе раздела (рис. 2). Из рисунка следует, что угол падения равен углу наклона верхней поверхности пластинки \(\alpha=\varphi\). Тогда в соответствии с законом преломления угол преломления \(\beta=n\varphi\). Наконец, угол отклонения луча,

Рис. 2

Ответ:

\[\gamma=\beta-\alpha=(n-1)\varphi\qquad(1)\]

A3. Из рисунка 2, приведенного в условии задачи непосредственно следует, что смещение луча на экране определяется формулой:

Ответ:

\[z=L\gamma=L(n-1)\varphi\qquad(2)\]

B1. Ответ:

Луч раздваивается, если он попадает в точку между выемками (острый выступ) на изогнутой поверхности.

B2. Так как лазерный луч имеет конечную ширину, то часть его попадает на левую часть выступа и отклоняется вправо, часть луча попадает на правую часть выступа и отклоняется влево (рис. 3).

Ответ:

Рис. 3

B3. Из рисунка следует, что максимальный угол отклонения лучей \(\gamma\) определяется максимальным наклоном поверхности, который равен углу \(\theta\), показанном на рис. 6 условия задачи.

Из формулы \((1)\) следует, что:\[\gamma=(n-1)\theta\qquad(3)\]Тогда максимальное расстояние между пятнами на экране будет равно:\[\Delta y_{\max}=2L\gamma=2L(n-1)\theta\qquad(4)\]С помощью этой формулы по измеренным значениям \(\Delta y_{\max}=120~мм\), \(l=11~мм\), \(L=350~мм\) можно найти угол \(\theta\):\[\theta=\frac{\Delta y_{\max}}{2L(n-1)}=\frac{120}{2\cdot 350\cdot 0.5}=0.34\qquad(5)\]Теперь не сложно найти радиус цилиндрической поверхности (см. рис. 4):

Рис. 4

Ответ:

\[R=\frac{l}{2\sin\theta}\approx16~мм\qquad(6)\]

И глубину выемки:

Ответ:

\[h=R(1-\cos\theta)=R-\sqrt{R^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}\approx0.98~мм\qquad(7)\]

B4. Результаты измерений зависимости смещения луча \(z\)на экране от координаты точки его падения на пластинку \(x\) приведены в таблице ниже. На рис. 5 приведен график полученной зависимости.

Ответ:

Ответ:

Рис. 5

B5. Ответ:

Так как наклоны и внешний вид участков графиков, соответствующих попаданию луча в разные выемки одинаковы, то приближенно можно считать, что формы всех выемок одинаковы.

B6. Рассмотрим преломление луча на цилиндрической поверхности (рис. 6). В этом случае угол падения луча определяется формулой

\[\alpha=\frac{x}{R}.\qquad(8)\]А угол отклонения луча \(\gamma\) связан с углом преломления соотношением

\[\beta=\alpha+\gamma\qquad(9).\]Используя закон преломления света. Определим зависимость угла отклонения от координаты точки падения

Рис. 6

Ответ:

\[\beta=n\alpha\implies\gamma=(n-1)\frac{x}{R}\qquad(10)\]

B7. Найдем зависимость смещения луча на экране от координаты точки падения: \[z-L\gamma=(n-1)\frac{L}{R}x.\qquad(11)\]Из этого выражения следует, что коэффициент наклона графика зависимости \(z(x)\) описывается формулой (и не зависит от начала отсчета обеих координат): \[k=\frac{\Delta z}{\Delta x}=(n-1)\frac{L}{R}.\qquad(12)\]Из графика зависимости. полученной в п. B4. следует, что среднее значение коэффициента наклона равно \(K\approx 8.3\). Тогда из формулы \((12)\) следует, что радиус выемки равен

Ответ:

\[R=(n-1)\frac{L}{K}=0.5\cdot\frac{350}{8.3}\approx 21~мм\qquad(13)\]

Тогда глубина этой выемки

Ответ:

\[h=R-\sqrt{R^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}\approx 0.73~мм\qquad(14)\]

что более правдоподобно, чем было получено ранее.

C1. Для усреднения необходимо сместить начала отсчета для каждой выемки, после чего проводить усреднение.

C2. Расчет угла наклона \(\varphi\) проводится по формуле, следующей из формулы \((2)\):

\[\varphi=\frac{z}{L(n-1)}\qquad(15)\]

Ответ:

Рис. 8. Зависимость угла наклона площадки от координаты

C3. Для расчета профиля следует принять во внимание, что изменение высоты \(\Delta y\) на каждом шаге изменения \(\Delta x\) можно рассчитать по очевидной формуле

\[\Delta y_i=\varphi\cdot\Delta x.\qquad(16)\]

Рис. 7

Ответ:

Рис. 9. Профиль выемки

Дополнение

Профили выемки, полученные в каждой части задачи, на одном графике

C4. Ответ:

\[h\approx0.78~мм\]

Источник: pho.rs/p/3951.

Ответ

A1: Измерив отношение плотностей находим, что тело A является cплавом \(PS\), тело B – телом из более плотного материала \(P\), тело C – тело из металла \(S\).;  A2: \[V_{{P}/{PS}}=\frac{1-\beta}{\alpha-\beta}=\frac{1/{\beta}-1}{\gamma-1}=0.30,\qquad V_{{S}/{PS}}=\frac{\alpha-1}{\alpha-\beta}=\frac{1-1/{\alpha}}{1-1/{\gamma}}=0.71\];  A3: \[\omega_{{S}/{PS}}=\frac{m_S}{m_{PS}}=\frac{\rho_SV_S}{\rho_{PS}V_{PS}}=\beta V_{{S}/{PS}}=\frac{\alpha-1}{\gamma-1}=0.61\] \[\omega_{{P}/{PS}}=\alpha V_{{P}/{PS}}=\frac{1-\beta}{1-1/{\gamma}}=0.39\];  A4: \[\frac{N_S}{N_P}=\frac{m_S}{A_S}:\frac{m_P}{A_P}=\frac{\omega_{{S}/{PS}}}{\omega_{{P}/{PS}}}\cdot\frac{A_P}{A_S}=2.69\];  B1: \[C_\nu=24.93~\frac{Дж}{^\circ\mathrm C}.\];  B3: \[\nu_B=\frac{m_B}{A_PN_A}=\frac{\gamma m_C}{A_PN_A}=\gamma\frac{A_S}{A_P}v_C=1.010~моль\] \[\nu_A=\frac{v_C}{\beta}\left(\omega_{S/{PS}}+\frac{A_S}{A_P}\,\omega_{{P}/{PS}} \right)=1.11~моль\]

Решение

A1. С помощью линейки и нитки соберем рычаг и проведем сравнение масс тел. Тела привязываем к нитке, на другом конце нитки делаем петлю, которую надеваем на линейку. Саму линейку тоже подвешиваем на нити, которую держим в руке. Использование нитей позволяет сконцентрировать действие сил в одной точке, и точно померить, где они приложены. Так же важно, чтобы грузы были подвешены на края линейки, чтобы плечи рычага были как можно длиннее.

Так как объёмы тел равны, то найдя отношение масс находим отношение плотностей:

\[\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{l_2}{l_1},\]где \(l_1\) и \(l_2\) – плечи рычага.

Для трёх тел получаем следующие результаты:

Ответ:

Измерив отношение плотностей находим, что тело A является cплавом \(PS\), тело B – телом из более плотного материала \(P\), тело C – тело из металла \(S\).

A2. Масса стержня, изготовленного из сплава складывается из масс каждого компонента, входящего в сплав:

\[m_A = m_{PS} = m_P + m_S,\]которые можно выразить через плотности и объёмы:\[\rho_{PS}V_{PS}=\rho_PV_P+\rho_SV_S.\]Разделим всё на \(\rho_{PS}V_{PS}\) и получим:\[1=\alpha V_{{P}/{PS}}+\beta V_{{S}/{PS}}\]Для частей объёмов верно соотношение:\[1= V_{{P}/{PS}}+ V_{{S}/{PS}}.\]В итоге, для объёмных долей получаем:

Ответ:

\[V_{{P}/{PS}}=\frac{1-\beta}{\alpha-\beta}=\frac{1/{\beta}-1}{\gamma-1}=0.30,\qquad V_{{S}/{PS}}=\frac{\alpha-1}{\alpha-\beta}=\frac{1-1/{\alpha}}{1-1/{\gamma}}=0.71\]

A3. Вычислим массовую долю металла \(S\):

Ответ:

\[\omega_{{S}/{PS}}=\frac{m_S}{m_{PS}}=\frac{\rho_SV_S}{\rho_{PS}V_{PS}}=\beta V_{{S}/{PS}}=\frac{\alpha-1}{\gamma-1}=0.61\]

Аналогично, для массовой доли металла \(P\):

Ответ:

\[\omega_{{P}/{PS}}=\alpha V_{{P}/{PS}}=\frac{1-\beta}{1-1/{\gamma}}=0.39\]

A4. Отношение количества атомов \(S\) к количеству атомов \(P\) в сплаве:

Ответ:

\[\frac{N_S}{N_P}=\frac{m_S}{A_S}:\frac{m_P}{A_P}=\frac{\omega_{{S}/{PS}}}{\omega_{{P}/{PS}}}\cdot\frac{A_P}{A_S}=2.69\]

B1. Ответ:

\[C_\nu=24.93~\frac{Дж}{^\circ\mathrm C}.\]

B2. Для измерения теплоёмкости тела воспользуемся следующим методом: погружаем тело в стакан с горячей водой, ждем несколько секунд, пока тело нагреется; достаём тело; переносим в сосуд с холодной водой, достаём, делаем всё с начала. Повторяем данные операции несколько раз, таким образом, холодная вода в сосуде постепенно нагревается. Предварительно необходимо измерить температуру холодной воды, которая совпадает с комнатной \(t_0\) и конечную температуру \(t_1\). Термометр можно держать в сосуде с горячей водой, и фиксировать температуру тела перед каждым выниманием из горячей воды.

Теплота, которая была подведена к холодной воде, складывается из теплот, которые были перенесены горячим телом за несколько переносов

\[C_в\rho_вV_в(t_1-t_0)=NC(t_{гор,ср} -t_{хол,ср} ),\]где  \(V_в\) – объём холодной воды, \(N\) – количество переноса тела из горячей воды в холодную, \(C\) – искомая теплоёмкость, \(t_{гор,ср}\) – средняя температура воды в горячем сосуде, \(t_{хол,ср}\) – средняя температура воды в холодном сосуде.

Проведя измерения, получаем значения температур и теплоёмкостей:

Ответ:

B3. Количество вещества в теле C составляет \(\nu_C=1.14~моль\). Количество вещества в теле В числим следующим образом:

Ответ:

\[\nu_B=\frac{m_B}{A_PN_A}=\frac{\gamma m_C}{A_PN_A}=\gamma\frac{A_S}{A_P}v_C=1.010~моль\]

Количество вещества в теле A:

Ответ:

\[\nu_A=\frac{v_C}{\beta}\left(\omega_{S/{PS}}+\frac{A_S}{A_P}\,\omega_{{P}/{PS}} \right)=1.11~моль\]

B4. Молярные теплоёмкости:

Ответ:

Источник: pho.rs/p/3943.

Ответ

A1: Птичка начинает опрокидываться в тот момент, когда центр масс поднимается до уровня металлического крепления (оси).;  A2: \[d_1=15~мм,\qquad d_2=20~мм\];  A3: \[M=26.1~г\];  A5: \[P=91.1~мкВт\];  B2: \[P=\frac{\rho\pi d^2}{4}\cdot h\cdot\left(\frac{g(h+2b)}{2t}+\frac{h^2}{2t^3}\right)\];  C1: Мощность, развиваемая птичкой, равна \(91.1~мкВт\) без вентилятора и \(194~мкВт\) с вентилятором.

Решение

A1. Движение птички представляет собой колебания, во время которых жидкость – поднимается по трубке под действием разности сил давления паров. После подъема жидкости на определенный уровень птичка опрокидывается и цикл повторяется.

Ответ:

Птичка начинает опрокидываться в тот момент, когда центр масс поднимается до уровня металлического крепления (оси).

A2. Для нахождения координат центра масс необходимо двигать крепление до тех пор, пока птичка не будет опрокидываться в тот момент, когда жидкость доходит до верха (низа) трубки.

Для нахождения центра масс рассмотрим следующую схему:

Измеренные таким способом значения:

Ответ:

\[d_1=15~мм,\qquad d_2=20~мм\]

A3. Запишем выражение для координаты центра масс заполненной трубки, считая координату центра масс при пустой трубке равной \(0\). Получим (считая, что можно пренебречь высотой столба жидкости, которая перетекла в тонкую трубку во время ее нахождения в нижнем шарике): \[X_{ц.м.}=d_2-d_1=\frac{(c+d_1) m-(d_1+b)\cdot(-m)}{M},\\ M(d_2-d_1)=m(d_1+b+c-d_1)\implies M=\frac{b+c}{d_2+d_1}m=\frac{b+c}{d_2-d_1}\frac{\pi d^2}{4}\rho h.\]В формуле \(m\) – масса воды в трубке, \(M\) – полная масса игрушки, \(c\) – половина длины трубки.

Измеряем \(b=29~мм\), \(c=30~мм\), тогда:

Ответ:

\[M=26.1~г\]

Реальная масса, измеренная на весах равна \(27.2~г\) (с учетом намоченного клюва).

A4. Сделаем на стекле пометки на расстоянии \(0.5~см\) друг от друга и, используя память секундомера, измерим зависимость \(X(t)\). При этом нужно фиксировать моменты прохождения этих меток секундомером.

Ответ:

A5. Ответ:

Из графика \(X(t)\) можно заключить, что зависимость линейная. Это дает нам право считать скорость постоянной в следующих пунктах, связанных с подъемом жидкости по трубке, и измерять лишь время подъема воды на полную высоту, не снимая в явном виде зависимости.

Рассмотрим подъем жидкости по трубе. Рассчитаем увеличение энергии жидкости при подъеме до верхнего края. \[\Delta E=mg\left(b+\frac{h}{2}\right)+\frac{mv^2}{2}=\rho \left(\frac{\pi d^2}{4}gh\left(\frac{h}{2}+b\right)+\frac{1}{2}\frac{\pi d^2}{4}h\cdot\frac{h^2}{t^2}\right).\]Теперь получим среднюю мощность.\[P=\frac{\Delta E}{t}=\rho\left(\frac{\pi d^2}{4t}\cdot gh\cdot\left(\frac{h}{2}+b\right)+\frac{1}{2}\frac{\pi d^2}{4}h\cdot\frac{h^2}{t^3}\right)=\frac{\rho\pi d^2}{4}\cdot h\cdot\left(\frac{g(h+2b)}{2t}+\frac{h^2}{2t^3}\right)=91.1~мкВт\]

Ответ:

\[P=91.1~мкВт\]

При дальнейших расчетах кинетической энергией будем пренебрегать ввиду ее малости.

B1. Заливаем воду и опускаем туда кусочек льда. Устанавливаем вертикально корпус птички (без ножек) в воду. Используя шприц на \(1~мл\) доливаем горячей воды и измеряем зависимость времени подъема от температуры в нижней части. Жидкость в принципе начинает подниматься по трубке при температуре \(t\) около \(17-18 \,^\circ \mathrm C\). \(P\) – мощность, рассчитанная без учета кинетической энергии.

Ответ:

B2. Ответ:

\[P=\frac{\rho\pi d^2}{4}\cdot h\cdot\left(\frac{g(h+2b)}{2t}+\frac{h^2}{2t^3}\right)\]

B3. Ответ:

Видно, что кривая сильно загибается вверх. Это связано с тем, что температура кипения дихлорметана близка к комнатной, поэтому в диапазоне температур, в котором проводятся измерения давление его паров сильно зависит от температуры.

Для первых четырех точек зависимость значительно слабее.

C1. Измерения в этой части довольно простые. Нужно измерить время, за которое жидкость поднимается до верха трубки (скорость ее подъема полагается постоянной) при включенном вентиляторе, напряжение на батарейках и силу тока, протекающего через вентилятор. В значениях силы тока возможны колебания в пределах \(0.01-0.02~мА\). Само значение довольно сильно зависит от самого вентилятора и состояния батареек, но для всех установок оно находится в пределах от \(0.25~А\) до \(0.38~А\).

Для одной из установок \(I=0.25~А\), \(U=4.3~В\).

Время подъема \(t_2=6.72~с\) с вентилятором и \(t_1=14.32~с\) без него (значение \(t_1\) получено из первого пункта).

Таким образом, проведя необходимые расчеты получаем:

Ответ:

Мощность, развиваемая птичкой, равна \(91.1~мкВт\) без вентилятора и \(194~мкВт\) с вентилятором.

C2. Дополнительная мощность, обусловленная наличием вентилятора равна \(103.9~ мкВт\). Затраченная же мощность равна \(1.032~Вт\). Искомая доля энергии

Ответ:

\[\approx10^{-4}\]

Источник: pho.rs/p/3950.

Ответ

A1: Получается диапазон \([- 169.4~ мВ, - 45~ мВ]\) и \([1124~ мВ, 1274~ мВ]\).;  B1: Диапазон промеряемых значений расширялся до границ \([-169.4 ~мВ, 26~ мВ]\) и \([743 ~мВ, 1274~ мВ]\).;  D1: \[\Delta I = 0.4\pm0.09~мА,\qquad U_1 = 85\pm8~мВ,\qquad U_2=425\pm18~мВ\]

Решение

A1. В этой части необходимо было собрать схему и снять ВАХ диода на областях, достижимых только с помощью поворота ручки потенциометра (в основном крайние положения).

Ответ:

Получается диапазон \([- 169.4~ мВ, - 45~ мВ]\) и \([1124~ мВ, 1274~ мВ]\).

(Границы сильно зависят от направления изменения напряжения). Здесь указаны границы, получаемые при медленном увеличении напряжения с нуля.

B1. В этой части нужно было определить границы диапазона и получить часть кривой ВАХ.

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Диапазон промеряемых значений расширялся до границ \([-169.4 ~мВ, 26~ мВ]\) и \([743 ~мВ, 1274~ мВ]\).

C1. Усовершенствование схемы измерений предыдущего пункта заключается в подключении параллельно диоду резистора. Это позволяет получить более точные значения в областях с резкими скачками тока (большим значением модуля дифференциального сопротивления). При использовании резистора ток на диоде является функцией тока на амперметре и напряжения на вольтметре \(I=I_a-{U}/{R}\) (по второму правилу Кирхгофа).

При уменьшении \(R\) коэффициент наклона графика вышеописанной функции становится больше по модулю, и, когда он превышает значение модуля наклона участков ВАХ, мы получаем возможность измерить эти участки. Т.е. участок ВАХ диода может быть измерен, если дифференциальное сопротивление параллельно включенных диода и резистора становится положительным на этом участке. Но при этом, при увеличении числа резисторов уменьшается диапазон измерений, поэтому всю кривую так снять невозможно.

Используя один резистор можно увидеть качественную зависимость почти на всей кривой, но без характерных особенностей:

Ответ:

D1. Использование 2-ого и 3-его резисторов дает по 3-4 дополнительных точки, но в области первого пика не удается снять характерные особенности. Используя схему с 4-мя резисторами, получается (на график нанесены все точки, измеренные всеми схемами).

Ответ:

Для точного определения значений \(U_1\), \(U_2\) и \(\Delta I\) полезно построить график в увеличенном масштабе.

Из графика видно, что \(U_1\) лежит в интервале \([80,90]~мВ\), \(U_2\in[410;440] ~мВ\), \(\Delta I\in [0.4, 0.5]~ мА\).

Большинство измерений тока в области скачка проводилось в интервале \(20~мА\), а напряжения – \(2~В\), поэтому можно оценить приборную погрешность как \(\Delta I(a)=0.3~мА\), \(\Delta U(V)=3~мВ\) сами значения измеренных токов составляли около \(5~мА\) (до пересчета, непосредственно на приборе), поэтому погрешность определения отдельных значений \(U\) можно оценить в \(0.04~мА\). Таким образом, заключаем, что:

Ответ:

\[\Delta I = 0.4\pm0.09~мА,\qquad U_1 = 85\pm8~мВ,\qquad U_2=425\pm18~мВ\]

E1.

Источник: pho.rs/p/3952.

Ответ

A1: \[\alpha = 38^\circ \pm 1^\circ\];  A2: \[L=\frac{SS'}{2}=(15.0\pm1.5)~мм\];  A3: \[x=(52\pm2)~мм,\qquad y=(23\pm2)~мм\]

Решение

A1. Расположим рядом с «черным ящиком» стержень (зубочистку) \(Z\). Тогда в зеркале создаётся его изображение \(Z'\). Будем смотреть на стержень \(Z\) так, чтобы за стержнем не было видно его изображения, отметим на миллиметровке точку \(Z\). С помощью второй зубочистки отметим ещё одну точку \(Y\) на этой прямой. Каждая точка определяется с некоторой погрешностью, так как зубочистки имеют ненулевую толщину. Эта погрешность порядка радиуса зубочистки. Через эти точки с крестами ошибок можно провести прямые с разным наклоном. Для уменьшения разброса этого наклона точку \(Z\) необходимо выбирать как можно ближе к ящику, а точку \(Y\) – как можно дальше.

Рис. 1. Построение лучей для нахождения угла \(\alpha\)

Угол \(\alpha\) измеряем как угол между прямой через тангенс угла. Так же находим максимальное и минимальное значение тангенса, для оценки погрешностей:

\[\operatorname{tg}\alpha= 0.79 \pm 0.03.\]Получаем следующее значение угла:

Ответ:

\[\alpha = 38^\circ \pm 1^\circ\]

Погрешность угла определена с помощью метода границ, так как тангенс – монотонная функция.

A2. Найдем положение прямой \(p\), на которой находится изображения \(S'\), аналогичным способом: стержни в точках \(Y\) и \(Z\) перекрывают изображение \(S'\). Найдём вторую такую прямую \(q\). Заметим, что эти прямые необходимо проводить под углом, максимально близким к прямому, чтобы минимизировать погрешность области, в которой может находиться изображение \(S'\).

Рис. 2. Построение лучей для нахождения положений стержня \(S\) и его изображения \(S'\)

Таким же образом, через прямые \(a\) и \(b\), находим положение стержня \(S\). Расстояние \(SS'\) есть удвоенное расстояние между стержнем и зеркалом. Ответ на второй вопрос задачи:

Ответ:

\[L=\frac{SS'}{2}=(15.0\pm1.5)~мм\]

A3. Зная положение стержня \(S\) (из предыдущего пункта) определяем его координаты:

Ответ:

\[x=(52\pm2)~мм,\qquad y=(23\pm2)~мм\]

A4. Поставив ящик на миллиметровку обведём его по контуру. Отметим на этом рисунке точки \(S\) и \(S'\). Под необходимым углом через середину \(SS'\) проводим отрезок, соответствующий зеркалу.

Источник: pho.rs/p/3949.