IEPhO 2016, 10 класс

Ответ

A1: \[n_1=1.515 \pm 0.015\]

Решение

A1. Для определения показателя преломления материала параллелепипеда удобно использовать следующий метод: начертить на миллиметровке прямую линию, которую мы обозначим \(A C\), поставить на нее параллелепипед, увидеть изображение этой линии после преломления на двух противоположных гранях параллелепипеда (штриховая линия), и отметить положение точки \(B\) пересечения этого изображения с ребром параллелепипеда. Теперь, отметив точку \(A\) пересечения самой прямой со вторым ребром, можно восстановить ход падающего и преломленного лучей при преломлении на второй грани. Показатель преломления будет равен отношению синусов углов падения и преломления \(\phi\) и \(\psi\). Если же отметить точки, отвечающие равному противолежащему катету, показатель преломления будет равен обратному отношению гипотенуз \(\frac{A D}{A C}\). Иллюстрация дана на рисунке 1.

Рис. 1. К схеме измерения показателя преломления параллелепипеда

Рис. 2. Изображение прямой линии

Проделав измерения несколько раз, можно заметить, что результаты достаточно сильно отличаются. Это вызвано малой точностью геометрических построений (при измерении следует выбирать точки \(C\) и \(D\) максимально удаленными от границы параллелепипеда). Основной вклад в погрешность итогового ответа вносит именно случайная погрешность. Возможный результат имеет следующий вид:

Откуда получаем:

Ответ:

\[n_1=1.515 \pm 0.015\]

Заметим, что при преломлении на границе с воздухом невозможно увидеть что-либо через две смежные грани, так как при падении луча света на вторую грань изнутри он всегда испытывает полное отражение. Но если граница будет не с воздухом, а с молоком, то, из-за того, что относительный показатель преломления уменьшится, при определенных углах падения на параллелепипед свет все же будет проходить. Найдя угол, соответствующий началу полного внутреннего отражения, можно вычислить искомый показатель преломления. Наблюдать это явление можно, накапав немного молока на монету и прижав её гранью параллелепипеда.

Угол, под которым видно монету

Угол, под которым не видно монету

Иллюстрация к схеме измерений дана на рисунке 3. Выражение для показателя преломления получается следующим:

\[\cos \psi=\frac{n_{2}}{n_{1}}=\sqrt{1-\left(\frac{\sin \phi}{n_{1}}\right)^{2}} \Rightarrow n_{2}=n_{1} \sqrt{1-\frac{\sin ^{2} \phi}{n_{1}^{2}}}\]

Рис. 3. К схеме измерения показателя преломления молока

Измерять высоту глаза над столом удобно измерительной лентой. При этом все равно получается достаточно большой разброс значений, поэтому требуется собрать статистику. Результаты измерения высоты \(h\) при фиксированном расстоянии \(d\) могут быть такими:

Откуда получаем:

\[h=(93 \pm 1)~см,\qquad a=(1.0 \pm 0.1)~см,\quad d=(91.5 \pm 0.5)~см.\]

Ответ:

\[n_2=1.335 \pm 0.017\]

Источник: pho.rs/p/4015.

Ответ

A6: \[H=h+\frac{2 \sigma}{\rho g r}\]

Решение

A1. Соберем установку и погрузим иглу в измерительный цилиндр на максимально возможную глубину.

A2. С помощью шприца \(20~мл\), будем заливать в левое колено манометра воду до тех пор, пока из исследуемой иглы не начнут выходить пузыри воздуха.

A3. Запишем показания манометра \(H\), начнем поднимать линейку с медицинской трубкой, тем самым уменьшая \(h\). Показания манометра будут постоянны до тех пор, пока из иглы не начнут выходить пузыри. Запишем высоту \(h\) в этот момент. После выхода из иглы пузырьков, \(H\) в манометре уменьшится автоматически для измерения следующей точки.

\({h}_1\) – координата уровня воды в цилиндре, считываемая с погружаемой линейки. \(H_{1}\) – высота столба жидкости в левом колене, \(H_{2}\) – в правом. \(h_0=12.8~см\) – координата края иглы по линейке. Тогда \(H=H_{1}\), \(H_2=\left|h_{1}- h_0\right|\).

Ответ:

Погрешность считывания показаний с линейки \(x=1~мм\) значит погрешность \(H\) и \(h\)равна \(2~мм\).

A4. График полученной зависимости:

Ответ:

Рисунок 1. График зависимости для фиолетовой иглы

Зависимость аппроксимируется прямой \(y=k_{1} x+b_{1}\), где:\[b_{1}=(7.99 \pm 0.05)~см, \quad k_{1}=0.996 \pm 0.005\]

A5. Снимаем аналогичную зависимость для зеленой иглы:

\[{h}_{0}=(14.40 \pm 0.05)~см\]

Ответ:

График зависимости:

Ответ:

Рисунок 2. Зависимость для зеленой иглы

Данная зависимость, так же аппроксимируется прямой \(y=k_{2} x+b_{2}\), где:\[k_{2}=0.992 \pm 0.004, \quad b_{2}=(5.86 \pm 0.04)~см\]

A6. Исходя из результатов двух экспериментов, видно, что угловые коэффициенты графиков совпадают и примерно равны \(1\) но различаются точки пересечения с осью ординат. Откуда можно сделать вывод, что зависимость имеет вид: \[H=h+b(r)\]где \(b\) – функция, зависящая от геометрических параметров иглы.

Тогда, для дополнительного давления следует записать: \[\rho g H=\rho g+P\]где \(P\) – поправка на давление связанная с геометрическими параметрами иглы, называемая поправкой Лапласа:\[P=\frac{2 \sigma}{r}.\]Используя поправку Лапласа прокомментируем метод измерения \(H(h)\):

Высота \(H\) постоянна (пузыри не выходят, значит объём воздуха в капилляре с хорошей точностью постоянный), \(\rho g H=\rho g+P= \operatorname{const}\), при уменьшении \(h\) должна увеличиваться поправка Лапласа (\(P={2 \sigma \cos (\theta)}/{r}\), где \(\sigma\) – поверхностное натяжение воды, постоянное в рамках нашей задачи, \(r\) – радиус иглы). Значит \(P \sim \cos (\theta) \cdot \cos (\theta)\) растет и достигает максимального значения \(\cos (\theta)=1\) в момент выхода пузырей из иглы.

Итоговая зависимость:

Ответ:

\[H=h+\frac{2 \sigma}{\rho g r}\]

A7. Давление Лапласа:

• для фиолетовой иглы \[P_{1}=\frac{2 \sigma}{\rho g r_{1}}=\rho g b_{1},\]

• для зеленой \[P_{2}=\frac{2 \sigma}{\rho g r_{2}}=\rho g b_{2}.\]

Отношение внутренних диаметров игл:\[\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{b_{2}}{b_{1}}=(1.36 \pm 0.01)\]

Ответ:

\[\frac{d_{1}}{d_{2}}=1.36 \pm 0.01\]

Источник: pho.rs/p/4016.

Ответ

A2: \[l(n)=l_{0}+\frac{l_{0}}{2} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\]

Решение

A1. Снимем зависимость \(l(n)\). Контрольные данные приведены в таблице.

A2. Рассчитаем, как надо смещать линейки друг относительно друга, чтобы получить максимально возможный сдвиг \(d_{\max }\) верхней линейки относительно нижней, лежащей на столе линейки. Этот сдвиг, равный сумме ширин всех ступенек лестницы, рассчитывается, очевидно, из условия, что центр масс стопки, лежащей над какой то линейкой, приходится точно на её опорный край. Будем отсчитывать номера линеек сверху. Тогда очевидно, что самую верхнюю, первую сверху линейку можно сместить относительно второй максимум на половину её длины, т.е. на \(\Delta_{1}=l_{0} / 2\). Это означает, что, если мы строим лестницу, например, всего лишь из двух линеек, то её максимальная длина будет равна \(l_Т(2)=3 l_{0} / 2\).

Максимальный сдвиг второй линейки \(\Delta_{2}\) относительно третьей находим из условия, что центр масс системы из двух верхних линеек должен приходиться точно на опорный край третьей. Поскольку момент силы тяжести стопки из двух верхних линеек относительно центра масс равен нулю, то: \[m g\left(l_{0} / 2-\Delta_{2}\right)=m g \Delta_{2}\] где \(m\) – масса линейки.

В общем случае, сдвиг \(\Delta_{k}\) \(k\)-ой (см. рис.) сверху линейки относительно \(k+1\) определяется уравнением:\[mg\left(\dfrac{l_0}{2}-\Delta_k\right)=(k-1)mg\Delta_k.\] откуда ширина \(k\)-ой ступеньки равна: \[\Delta_{k}=\frac{l_{0}}{2 k}\] Полная длина лестницы складывается из длины линейки \(l_{0}\) и сумме ширин всех её ступенек: \[l=l_{0}+\Delta_{1}+\Delta_{2}+\Delta_{3}+\ldots\] Если, например, мы строим лестницу из \(\mathrm{n}\) линеек, то в результате получим лестницу общей длиной: \[l=l_{0}+\frac{l_{0}}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots\right)\] Таким образом, теоретическая зависимость максимальной длины лестницы от числа линеек имеет вид:

Ответ:

\[l(n)=l_{0}+\frac{l_{0}}{2} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\]

A3. В соответствии с формулой из предыдущего пункта получаются следующие значения максимальной длины лестницы в зависимости от числа линеек:

Приведем таблицу, в которой указано отличие теоретических значений от экспериментальных.

Ответ:

Как видно, максимальное расхождение теоретических и экспериментальных данных составляет \(1.5 \%\), что соответствует точности измеренных нами значений. Поэтому можно утверждать, что теоретические и экспериментальные значения сходятся в пределах погрешности.

A4. Первый способ

Рассмотрим искомую длину: \[L=l_{0}+\frac{l_{0}}{2} \sum_{1}^{159} \frac{1}{n}\] Оценка \({L}\) сводится к оценке суммы \(\sum_{1}^{160} 1 / n\). Обозначим нашу сумму за \(S\). Тогда: \[S=\sum_{1}^{9} \frac{1}{n}+\sum_{10}^{19} \frac{1}{n}+\sum_{20}^{159} \frac{1}{n} \\ L=l_{0}+\frac{1}{2} S l_{0}\] Первую сумму посчитаем на калькуляторе, получим: \[\sum_{1}^{9} \frac{1}{n} \approx 2.83\] \(1 / n\) в диапазоне \(10 \leq n \leq 20\) можно оценить как: \[\left(\frac{1}{n}\right)_{\text {сред }}=\frac{\left(\frac{1}{n}\right)_{\max }+\left(\frac{1}{n}\right)_{\min }}{2} \approx 0.08\] Тогда: \[\sum_{10}^{19} \frac{1}{n} \approx 0.08\cdot 10=0.8\] Рассмотрим: \[\sum_{20}^{39} \frac{1}{n}=\frac{1}{2}\left(\sum_{10}^{19} \frac{1}{n}+\sum_{10}^{19} \frac{1}{n+0.5}\right) \approx \frac{1}{2}\left(2 \sum_{10}^{19} \frac{1}{n}\right)=\sum_{10}^{19} \frac{1}{n}=0.8\] Аналогично: \[\sum_{40}^{79} \frac{1}{n} \approx \sum_{80}^{159} \frac{1}{n} \approx 0.8\] Таким образом получаем, что \(S \approx 2.83+4 \cdot 0.8=6.03\), тогда \(L=12+6 \cdot 6.03 \approx\) \(48.2~см\).

Второй способ

Также существует и более простой метод оценки \(L\). При больших n выполняется равенство: \[\sum_{n_{1}}^{n_{2}} \frac{1}{n} \approx \int_{n_{1}}^{n_{2}} \frac{\mathrm d n}{n}=\ln \left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)\] Просуммировав первые десять членов, а сумму других заменив логарифмом, получим: \[L \approx l_{0}+2.83\cdot\frac{l_{0}}{2}+\ln (15.9) \cdot \frac{l_{0}}{2} \approx 3.8~~ l_{0}=45.6~см\] Теоретическое значение, полученное честным суммированием \(L=45.9~см\).

Ответ:

\[L=45.9~см\]

Источник: pho.rs/p/4017.

Ответ

A3: \[\eta_{\max } \approx 37 \%,\qquad \eta_{\min } \approx 31 \%\]

Решение

A1. Снимаем зависимость освещенности датчика люксметра \(E\) от мощности \(P\), подаваемой на светодиод, при расстоянии \(s=25~см\) между светодиодом и датчиком. Для нахождения мощности мы будем измерять силу тока \(I\) через светодиод с помощью мультиметра в режиме амперметра и напряжение \(U\) на светодиоде с помощью вольтметра источника питания. Мощность будем вычислять по формуле:

\[P=I U\]

Ответ:

A2. Помещаем светодиод в стакан. Наливаем воду объемом \(V=100~мл\). Масса этой воды \(m=100~г\). Снимаем зависимость температуры воды \(T\) от времени \(t\) для различных значений мощности \(P\), подаваемой на светодиод. Измерения начинаем не сразу же после подачи напряжения на светодиод, а после того как температура поднимется примерно на \(1{ }^{\circ} \mathrm{C}\). В течение этого времени происходит установление режима, при котором практически вся теплота расходуется на нагревание воды.

Ответ:

Используя измеренные зависимости, можно вычислить значения тепловых мощностей \(N\) светодиода для различных значений мощностей \(P\), подводимых к светодиоду. Будем считать, что вся теплота расходуется на нагревание воды. Тогда тепловая мощность вычисляется по формуле:

\[N=m c \frac{\Delta T}{\Delta t}\]где \(c=4.2~ \dfrac{Дж}{г \cdot{ }^{\circ}\mathrm C}\) – удельная теплоемкость воды.

Ответ:

Ответ:

Рис. 1. График зависимости температуры \(T\) воды от времени \(t\).

A3. По результатам измерений определяем максимальные значения освещенности, тепловой мощности и мощности, подаваемой на светодиод:

\[E_{\max }=4370~ Лк,\quad N_{\max }=5.75~Вт,\quad P_{\max }=8.40~Вт.\]Вычисляем величины \(\dfrac{E}{E_{\max }}\), \(\dfrac{N}{N_{\max }}\) и \(\dfrac{P}{P_{\max }}\), а затем строим графики зависимости \(\dfrac{E}{E_{\max }}\) и \(\dfrac{N}{N_{\max }}\) от \(\dfrac{P}{P_{\max }}\), используя общие оси.

Ответ:

Для того чтобы оценить максимальный и минимальный «КПД» светодиода в измеряемом диапазоне мощностей, необходимо построить график зависимости «КПД» светодиода от мощности, подаваемой на светодиод. Учитывая, что подаваемая мощность складывается из тепловой мощности и мощности излучения, мы можем вычислить «КПД» по формуле:

\[\eta=\frac{W}{P}=\frac{P-N}{P}=1-\frac{N}{P},\]где \(W\) – мощность излучения.

Ответ:

Рис. 2. График зависимости \(\dfrac{E}{E_{\max }}\) и \(\dfrac{N}{N_{\max }}\) от \(\dfrac{P}{P_{\max }}\)

Из графика видно, что в измеряемом диапазоне мощностей максимальный и минимальный «КПД» равны соответственно:

Ответ:

\[\eta_{\max } \approx 37 \%,\qquad \eta_{\min } \approx 31 \%\]

Ответ:

Рис. 3. График зависимости КПД \(\eta\) от мощности \(P\), подаваемой на светодиод

Источник: pho.rs/p/4018.