IEPhO 2016, 8 класс

Ответ

A4: Зависимость \(N(H)\) является линейной

Решение

A1. Помещаем иглу в чашку с водой, затем откачиваем шприцем воздух из капилляра. Ждем некоторое время, пока уровень воды в капилляре поднимается. После этого отсоединяем шприц, иглу достаем из воды, и наблюдаем за тем, как уровень воды начинает постепенно падать. В момент, когда уровень воды будет иметь координату \(H_{0}=40~см\) запускаем секундомер. Используя функцию памяти временных этапов секундомера, снимаем зависимость координаты уровня воды в капилляре от времени \(H(t)\) и строим ее график. Результаты измерений приведены в таблице, рядом изображен график полученной зависимости (рис. 2).

Ответ:

Ответ:

Рис. 2

A2. Аналогичным образом проведем вторую серию измерений. В этот раз запускаем секундомер в момент, когда координата столба жидкости также будет равна \(H_{0}=40~см\). Будем отсчитывать 20 капель, после чего делать отметку времени на секундомере. Таким методом измеряем зависимость количества упавших капель от времени \(N(t)\), где \(N\) меняется с шагом 20. Результаты второй серии измерений приведены в таблице 2, рядом изображен график полученной зависимости (рис. 3).

Ответ:

Ответ:

Рис. 3

A3. Теперь найдем зависимость \(N(H)\), «сшив» две полученные зависимости. Выберем некоторые значения координаты столба жидкости \(\left\{H_{1}, H_{2}, H_{3} \ldots\right\}\), для каждого из этих значений определим времена \(\left\{t_{1}, t_{2}, t_{3} \ldots\right\}\). Из графика \(N(t)\) построенного на миллиметровой бумаге найдем значение \(\left\{N_{1}, N_{2}, N_{3} \ldots\right\}\) соответствующих временам \(\left\{t_{1}, t_{2}, t_{3} \ldots\right\}\). Поскольку и в первом и во втором эксперименте измерения проводились для одинаковой начальной координаты столба жидкости \(H_{0}\), то определенные нами пары точек \(\left[N_{i}, H_{i}\right]\) как раз представляют собой искомую зависимость \(N(H)\).

Значения \(N\) и \(H\) определенные в этом пункте представлены в таблице, рядом с ней график полученной зависимости \(N(H)\) (рис. 4).

Ответ:

Рис. 4

A4. Ответ:

Зависимость \(N(H)\) является линейной

A5. Рассчитаем объем единицы длины трубки. Шприцем закачаем в нее воду. Измерим изменение объема воды в шприце \(V=2.4~мл\). Измерим длину части трубки заполненной водой \(l=35~см\).

Отсюда объем единицы длины трубки равен:

\[V_{трубы}: l=V: l=\frac{2.4~мл}{35~см}=(0.069 \pm 0.003)~мл/см\]Определим, как будет при этом меняться размер капель \(V_{капли}(H)\) от высоты столба. Пусть за некоторое время \(\Delta t\) из трубки выпало некоторое количество капель \(\Delta N\). При этом объем воды в трубке уменьшился, а значит и высота трубки уменьшилась на некоторое \(\Delta H\). Считая, что за малое время \(\Delta t\) объем капель \(V_{капли}(H)\) можно считать постоянным, получаем:

\[\frac{\Delta N \cdot V_{капли}(H)}{\Delta t}=\frac{S \cdot \Delta H}{\Delta t}\]где \(S\) – площадь сечения трубки. Отсюда получаем, что:

\[V_{капли}(H)=\frac{S \Delta H}{\Delta N}\]Поскольку \(N(H)\) – линейная, делаем вывод, что \(\dfrac{\Delta H}{\Delta N}=\operatorname {const}\), т.е. размер капель можно считать постоянным в процессе истечения жидкости.

Рассчитаем размер капель. Возьмем высоту \(H'=8~см\), которой соответствует количество капель \(N^{'}=530~штук\). Объем капли отсюда:

Ответ:

\[V_{капли}=\frac{H_{0}H^{\prime}V_{трубы}}{l N^{\prime}}=\frac{32 ~см\cdot 0.069~мл/см}{530~шт}=(4.2 \pm 0.6)~мкл\]

Источник: pho.rs/p/4005.

Ответ

A1: \[U=(31 \pm 1)~В\];  C2: Очевидно, что \(k'=1-k\), так как суммарная длительность импульса и «окна», в котором светодиод не горит равна полному периоду.;  C3: Используя это соображение можно получить граничные значения скважностей (\(10 \%\) и \(90\%\))

Решение

A1. Ответ:

\[U=(31 \pm 1)~В\]

A2. Значение частоты колеблется в пределах \(66-68~Гц\). Картинка получается следующего вида:

Ответ:

A3. Удвоение частоты приводит к удвоению количества пятен с уменьшением вдвое их углового размера.

Ответ:

A4. Утроение исходной частоты приводит к возникновению трех пятен втрое меньшего углового размера, чем в пункте A2.

Ответ:

A5. Появляется 1 широкое пятно вдвое большего углового размера, чем в пункте A2.

Ответ:

A6. 3 широких пятна вдвое большего размера, чем в пункте A4.

Ответ:

B1. Ответ:

В том случае, когда между миганиями светодиода вентилятор успевает прокрутиться ровно на 1 оборот мы получаем одно пятно минимально возможного размера. При дальнейшем увеличении частоты одно пятно получить уже не удастся. Таким образом максимальная частота, на которой еще можно увидеть одно пятно и является частотой вращения вентилятора.

B2. Используя эти соображения снимем зависимость частоты вращения вентилятора от напряжения на источнике питания.

Ответ:

Последовательно вентилятору присоединен резистор номиналом \(118 ~Ом\), поэтому это напряжение на источнике не совпадает с напряжением на самом вентиляторе.

B3. Ответ:

C1. В предыдущих пунктах на генераторе была установлена скважность импульсов в \(10 \%\).

Ручка «SYM» позволяет при неизменном положении ручки инвертирования добиться изменения скважности от \(10 \%\) до \(50 \%\).

C2. Ответ:

Очевидно, что \(k'=1-k\), так как суммарная длительность импульса и «окна», в котором светодиод не горит равна полному периоду.

C3. Таким образом, используя ручки « SYM » и « INV » совместно можно добиться изменения скважности в диапазоне от \(10 \%\) до \(100-10=90 \%\). Именно эти значения и нужно было получить участникам в этом пункте.

Скважность на частоте \(f_0\) равна освещенной доле окружности, описываемой светлой точкой на вентиляторе.

Оценить эту долю можно по длине дуги окружности, освещенной и не освещенной соответственно для \(10 \%\) и \(90 \%\). Длину дуги можно измерить линейкой и считать ее примерно равной длине отрезка ввиду малости угла. (см. Рис. 5). Видно, что ввиду линейной зависимости угла от времени в пределах периода зависимость освещенной доли окружности от скважности также линейна.

Рис. 5

Ответ:

Используя это соображение можно получить граничные значения скважностей (\(10 \%\) и \(90\%\))

C4. Ответ:

Значение скважности в крайнем левом положении ручки «SYM» равно \(50 \%\) (освещена половина окружности). Для грубой оценки этого значения достаточно заметить, что при таком положении ручки «SYM» инвертирование сигнала практически не изменяет средней яркости свечения светодиода.

Источник: pho.rs/p/4006.

Ответ

A2: \[k=\left(232\pm11\right)~\frac{мН}{см}=\left(23.2\pm1.1\right)~\frac{Н}{м}\]

Решение

A1. Кладем динамометр на стол, крепим к нему пружину с гайкой, рукой деформируем пружину, держась за гайку. Снимаем зависимость \(\Delta x(F)\):

Ответ:

Погрешность измерения линейкой \(\sigma(\Delta x)=0.5~ мм\).

Погрешность динамометра \(\sigma(F)=0.05 ~Н\).

A2. Так как пружина подчиняется закону Гука \(F=k \Delta x\), то из наклона графика зависимости \(F(\Delta x)\) легко определить коэффициент жесткости пружины:

Ответ:

\[k=\left(232\pm11\right)~\frac{мН}{см}=\left(23.2\pm1.1\right)~\frac{Н}{м}\]

A3. Собираем установку, снимаем зависимость \(H(\Delta x)\). Так как заметно, что пружина подлетает каждый раз на разную высоту, для каждой величины \(\Delta x\) проведем серию измерений высоты \(H\), для уменьшения статистической ошибки.

Ответ:

\[\sigma(H)=\frac{\sum_{i-1}^7|\langle H \rangle -H_i|}{7}\].

A4. Ответ:

График зависимости \(H\left(\Delta x^{2}\right)\)

A5. Оценим отношение масс гайки и пружинки. Закрутим гайку на конец пружины, эту систему сбалансируем на ребре линейки, откуда через отношение плеч найдем отношение масс:

Центр масс пружины находится в геометрическом центре пружины, центр масс гайки – в её геометрическом центре. Центр масс системы, очевидно находится на ребре линейки.

\[m_г g L_{2}=m_{пр} g L_{1}\]\[\alpha=\frac{m_г}{m_{пр}}=\frac{L_{1}}{L_{2}} \approx 1.6\]Длина пружинки \(L=5~см\), будем замерять высоту \(H\) от центра масс системы в положении равновесия:

\[L_{2}=\frac{L}{2}-L_{1}=L-L_{2} \frac{m_{г}}{m_{пр}} \implies L_{2}=\frac{L m_{пр }}{2\left(m_{пр }+m_{г}\right)} \approx 1~см\]После растяжения пружины на \(\Delta x\) её центр масс перейдет в новое положение:

\[L_{1.1}+L_{2.1}=\frac{L+\Delta x}{2}\]Откуда:\[L_{2.1}=\dfrac{L+\Delta x}{2} \dfrac{m_{пр}}{\left(m_{пр}+m_г\right)}.\]А смещение центра масс:\[\Delta y=L_{2}+\Delta x-L_{2.1}=\Delta x-\frac{\Delta x}{2} \frac{m_{пр}}{\left(m_{пр}+m_г\right)}=\frac{\Delta x}{2}\left(\frac{m_{пр}+2 m_г}{m_{пр}+m_г}\right)=\frac{\Delta x}{2}\left(\frac{1+2 \alpha}{1+\alpha}\right) \approx0.8 \Delta x\]Запишем закон сохранения энергии. При деформации пружины, в ней запасается энергия, но из-за того, что центр масс системы опускается, понижается потенциальная энергия. После сжатия пружины, часть энергии теряется, часть идет в кинетическую энергию:

\[-\left(m_г+m_п\right) g \Delta y+\frac{k \Delta x^{2}}{2}=Q+\frac{\left(m_г+m_п\right) v^{2}}{2}; \qquad(1)\]После вылета пружины и гайки, они свободно летят до высоты \(H\):

\[\frac{\left(m_г+m_п\right) v^{2}}{2}=\left(m_г+m_п\right) g H \qquad(2)\]Подставим \((2)\) в \((1)\):

\[-g \Delta y+\frac{k \Delta x^{2}}{2}=Q+\left(m_г+m_п\right) g H \qquad(3)\]Выразим из \((3)\) теплоту:

\[Q_{1}=\frac{k \Delta x^{2}}{2}-\left(m_г+m_п\right) g H+0.8 g \Delta x\]Используя данные и найденные величины, пересчитаем значения всех энергий в таблицу:

Из таблицы видно, что при деформации \(\Delta x=4~см\) потерянная энергия \(Q=(7.18 \pm 0.73)~мДж\), а запасенная энергия \(\dfrac{k x^{2}}{2}=(18.56 \pm 0.46)~мДж\). Таким образом:

Ответ:

\[\beta=0.33 \pm 0.04\]

Источник: pho.rs/p/4007.

Ответ

A1: Размерность коэффициента \([\beta]=K^{-1}\);  A2: \[\frac{\Delta \rho}{\rho_{0}} \approx-\frac{\Delta V}{V_{0}} \qquad(2)\];  A3: \[\Delta h=\frac{4 V_{0}}{\pi d^{2}} \frac{\Delta \rho}{\rho_{0}}\];  A4: \[h=\dfrac{4 V_{0}}{\pi d^{2}}=\dfrac{4\left(\dfrac{1}{6} \pi D^{3}+V_{гайки}\right)}{\pi d^{2}} \approx 2.5 \cdot 10^{3}~мм\];  A5: Так как при нагревании вода расширяется, ее плотность уменьшается, то ареометр должен тонуть, т.е. величина \(h\) уменьшается.;  B1: Температура должна быть примерно равной \(20^{\circ} \mathrm{C}\);  B2: Примерно \(5~см\);  B3: Примерно \(20~мл\)

Решение

A1. Ответ:

Размерность коэффициента \([\beta]=K^{-1}\)

A2. Условие постоянства массы имеет вид

\[\left(\rho_{0}+\Delta \rho\right)\left(V_{0}+\Delta V\right)=\rho_{0} V_{0} \qquad(1)\]Раскрывая скобки и пренебрегая малой величиной \(\Delta \rho \Delta V\), получаем требуемое соотношение:

Ответ:

\[\frac{\Delta \rho}{\rho_{0}} \approx-\frac{\Delta V}{V_{0}} \qquad(2)\]

A3. Так масса ареометра постоянна, то постоянна и сила Архимеда, т.е.

\[\left(\rho_{0}+\Delta \rho\right)\left(V_{0}+\Delta V\right)=\rho_{0} V_{0} \qquad(3)\]где \(V_{0}\) – объем вытесненной воды, т.е. объем ареометра. \(\Delta V=-s\Delta h=-\dfrac{\pi d^{2}}{4} \Delta h\) изменение объема вытесненной воды при всплытии на высоту \(\Delta h\). Из условия \((3)\) следует, что\[\frac{\Delta \rho}{\rho_{0}} \approx-\frac{\Delta V}{V_{0}}=\frac{\pi d^{2}}{4 V_{0}} \Delta h \implies\]

Ответ:

\[\Delta h=\frac{4 V_{0}}{\pi d^{2}} \frac{\Delta \rho}{\rho_{0}}\]

Что соответствует приведенной в условии формуле.

A4. Из предыдущей формулы следует, что:

Ответ:

\[h=\dfrac{4 V_{0}}{\pi d^{2}}=\dfrac{4\left(\dfrac{1}{6} \pi D^{3}+V_{гайки}\right)}{\pi d^{2}} \approx 2.5 \cdot 10^{3}~мм\]

A5. Ответ:

Так как при нагревании вода расширяется, ее плотность уменьшается, то ареометр должен тонуть, т.е. величина \(h\) уменьшается.

B1. Ответ:

Температура должна быть примерно равной \(20^{\circ} \mathrm{C}\)

B2. Ответ:

Примерно \(5~см\)

B3. Ответ:

Примерно \(20~мл\)

C1. Данные измерений в таблице и на графике

Ответ:

C2. Ответ:

C3.

C4. Коэффициент наклона графика \(\dfrac{\Delta h}{\Delta t} \approx 2.2~ \dfrac{мм}{К}\).

Коэффициент теплового расширения воды связан с этой величиной соотношением \[\Delta h=K \frac{\Delta \rho}{\rho_{0}} \Rightarrow \beta=\frac{\Delta \rho}{\rho_{0} \Delta t}=\frac{1}{K} \frac{\Delta h}{\Delta t}\]Его численное значение

Ответ:

\[\beta=\frac{1}{K} \frac{\Delta h}{\Delta t} \approx \frac{2.2~ {мм}/{К}}{2.5 \cdot 10^{3}~{мм}} \approx 1 \cdot 10^{-4} ~К^{-1}\]

Источник: pho.rs/p/4008.

Ответ

A1: \[\frac{m_{л}}{m_{п}}=0.99 \pm 0.02\];  A2: \[\frac{m_{п}}{M}=0.21\pm 0.01\]

Решение

A1. Вначале найдём положение центра масс линейки, уравновесив её на карандаше.

Далее определим отношение \(\dfrac{m_{л}}{m_{п}}\). Для этого, используя линейку и карандаш в качестве рычажных весов, уравновесим на весах кусок пластилина и линейку (рис. 1).

Рис. 1

Запишем правило моментов для данного случая:

\[m_{л} g L_{л}=m_{п} g L_{п}\]\(L_{л}\) – плечо силы тяжести, действующей на линейку, \(L_{п}\) – плечо силы тяжести, действующей на кусок пластилина.

Выразим отношение \(\frac{m_{л}}{m_{п}}\):

\[\frac{m_{л}}{m_{п}}=\frac{L_{п}}{L_{л}}\]Проведём измерения:\[l_{п}=126.0~мм,\quad L_{л}=127.0~мм.\]Длины измерялись с помощью шкалы на линейке. Погрешность измерения длин: \(\sigma_{x}=1.0~мм\).

Ответ:

\[\frac{m_{л}}{m_{п}}=0.99 \pm 0.02\]

Кусочки пластилина, выданные участникам, имеют разброс значений массы около \(5 \%\).

A2. Определим отношение \(\dfrac{m_{п}}{M}\). Для этого, используя линейку и карандаш, соберём рычажные весы. Уравновесим на весах неваляшку и кусок пластилина (рис. 2).

Рис. 2

Запишем правило моментов для данного случая: \[Mg l_{н}=m_{л}g l_{л}+m_{п} g l_{п}\]\(M\) – масса неваляшки, \(l_{н}\) – плечо силы тяжести, действующей на неваляшку, \(m_{л}\) – масса линейки, \(l_{л}\) – плечо силы тяжести, действующей на линейку, \(m_{п}\) – масса куска пластилина, \(l_{п}\) – плечо силы тяжести, действующей на кусок пластилина.

Из полученного уравнения выразим отношение \(\dfrac{m_{п}}{M}\) : \[\frac{m_{п}}{M}=\frac{l_{н}}{l_{п}+l_{л} \frac{m_{л}}{m_{п}}}\]Сделаем подстановку соотношения \(\dfrac{m_{л}}{m_{п}}\), измеренного в 1 пункте в уравнение для \(\dfrac{m_{п}}{M}\). Получим: \[\frac{m_{п}}{M}=\frac{l_{н}}{l_{п}+l_{л} \frac{L_{п}}{L_{л}}}\]Проведём измерения:\[l_п=391.0~мм,\quad _н=109.0~мм,\quad l_л-137.0~мм.\]

Ответ:

\[\frac{m_{п}}{M}=0.21\pm 0.01\]

A3. Если к голове неваляшки прикрепить кусок пластилина, устойчивое положение неваляшки окажется отличным от вертикального.

Подберем такой кусок пластилина, чтобы ось симметрии неваляшки оказалась расположена горизонтально (рис. 3).

Рис. 3

Для данного случая запишем правило моментов: \[m_{п} g a=M g b\] \(m_{п}\) – масса куска пластилина, \(M\) – масса неваляшки, \(a\) и \(b\) – длины плеч рычага, в роли которого выступает неваляшка.

Выразим длину \(b\): \[b=\frac{m_{п}}{M} a\] Сделаем подстановку соотношения \(\dfrac{m_{п}}{M}\), полученного в 2 пункте, в это уравнение. Тогда: \[b=\frac{a l_{н}}{l_{п}+l_{л} \frac{L_{п}}{L_{л}}}\] Длины плеч \(l_{н}, l_{п}, L_{п}\) и \(L_{л}\) измерим с помощью шкалы на линейке. Чтобы измерить величину \(a\), под неваляшку следует положить лист бумаги. Предварительно на нём проведём отрезок. Расположим неваляшку на листе бумаги таким образом, чтобы точка, соответствующая центру тяжести кусок пластилина, расположенного на голове неваляшки, оказалась строго над отрезком, а точка опоры неваляшки совпала с началом отрезка. Далее спроецируем точку, соответствующую центру тяжести куска пластилина на отрезок и сделаем соответствующую отметку. Далее приложим к отрезку линейку и измерим расстояние \(a\).

По условию основание неваляшки (рисунок 4) можно считать сферическим. В таком случае: \[h=R-b\] Найдём радиус \(R\) основания неваляшки. Для этого от листа бумаги, используя линейку, оторвём полоску бумаги. Используя полоску и линейку, измерим длину охвата \(L\) основания («талии») неваляшки: \[L=2 \pi R\] Отсюда: \[R=\frac{L}{2 \pi}\]

Рис. 4

Проведём измерения. Так как первые два пункта задания выполнялись для целого куска пластилина, аналогичным образом проведём измерения с использованием кусочка, позволяющего привести ось симметрии неваляшки в горизонтальное положение (рис. 3).

Проведём измерения:\[a=80.0~мм,\  L_{п}^{'}=186.0~мм,\ L_{л}^{'}=58.0~мм,\ l_{н}^{'}=75.5~мм,\ l_{п}^{'}=424.5~мм,\ l_{л}^{'}=180.5~мм,\ L^{'}=250.0~мм.\]Длины измерялись линейкой. Погрешность измерения длин \(l_{н}^{'}, l_{п}^{'}, L_{п}^{'}\) и \(L_{л}^{'}\): \(\sigma_{x}=1.0~мм\).

Погрешность измерения \(a: \sigma_{a}=3.0~мм\).

Результаты вычислений:

\[R=39.8~мм,\quad \dfrac{m_л}{m_п^{'}}=3.21\pm0.07,\quad \dfrac{m_п^{'}}{M}=0.075\pm0.02\]

Ответ:

\[h=33.7 \pm 0.6~мм\]

Источник: pho.rs/p/4009.

Решение

A1. При растяжении шарика, находящегося под водой в ведре, оказывается, что на одинаковом уровне давления воды внутри шарика и снаружи отличаются на \(\rho gh\), где \(h\) нужно отсчитывать от уровня воды в сосуде (см. Рис.1)

Рис. 1.

A2. Перед началом измерений нужно измерить площадь поперечного сечения прозрачной трубки, залив в нее воду шприцем. Зная ее длину \((1~м)\), обнаруживаем, что для полного заполнения нужно залить \(100~мл\) воды. Отсюда находим \(S=1~см^2\). При измерениях из полного залитого в шарик объема воды следует вычитать объем воды в трубке, чтобы получить объем шарика.

Начинать измерения нужно, заливая маленькие порции (не более \(10~мл\)) воды для того, чтобы точно обнаружить максимум давления. Далее можно увеличить порцию до \(20-50~мл\); при приближении к минимуму предпочтительно снова уменьшить порцию. Дальнейшие измерения можно производить, заливая воду большими порциями ввиду отсутствия на графике особенностей.

Пример значений экспериментальных точек и их обработки:

При измерениях значение объема устанавливается не мгновенно. Поэтому (это особенно важно при заливании воды) перед снятием значений нужно подождать некоторое время (не более 2 минут, сильно зависит от текущего объема шарика), пока уровень воды в трубке не установится.

A3.

A4. Для откачивания воды нужно воспользоваться гибким шлангом с надетым на ее конец шприцем. При этом меняется уровень воды в прозрачной трубке. Для измерения давления достаточно измерить новое значение высоты.

В случае, если шланг погружался до самого низа прозрачной трубки и оставался там до конца откачивания воды из шарика, следует учесть, что в нем скапливается вода. Для учета влияния этого фактора объем гибкого шланга можно измерить: \(V=30~мл\). Итак, для корректного измерения объемов можно воспользоваться двумя способами:

• сохранять трубку всегда наполненной и учитывать объем воды в ней.

• вытаскивать трубку перед каждым снятием показаний. Впрочем, если для откачивания погружать шланг глубоко в трубку, то мы несколько нарушаем условия опыта, так как изменения уровня воды происходят немонотонно. Но если погружать трубку на малую глубину, влияние этого фактора можно существенно уменьшить. В этом случае, конечно, давление тоже нужно считывать без шланга.

Пример значений экспериментальных точек и их обработки в этом случае:

A5. Построенный по экспериментальным точкам график выглядит следующим образом:

На ветке, соответствующей прямым измерениям (где объем шарика увеличивался), наблюдается локальный максимум в районе \(100~мл\) и локальный минимум в районе \(500~мл\). Максимум объясняется тем, что при заливании воды в трубку вначале шарик деформируется достаточно слабо и его объем, соответственно, растет медленно. Затем, при достижении высотой в трубке некоторого значения, избыточное давление в шарике становится достаточно велико для того чтобы деформировать его существенно больше. Шарик быстро растягивается, при этом давление, требуемое для увеличения его объема, уменьшается, что соответствует минимуму той же ветке графика.

Соответствующая уменьшению объема ветка графика идет ниже первой, так как шарик деформируется необратимо.

Источник: pho.rs/p/4010.