IEPhO 2017, 11 класс

В этой задаче погрешности оценивать не нужно!

Теоретическое введение

Люминесценция – свечение вещества после поглощения энергии возбуждения. Если возбуждение вещества происходит с помощью света, такой процесс будет носить название фотолюминесценции. Фотолюминесценцию делят на два типа по длительности послесвечения: флуоресценцию (характерные времена послесвечения \(10^{-12}-10^{-6}~с\)) и фосфоресценцию (большие характерные времена).

Рассмотрим с квантовой точки зрения процессы, происходящие в молекуле и приводящие к возникновению люминесценции (см. рис. 1). Как известно, атомы и молекулы могут находиться в состояниях только с определенными значениями энергии (говорят, на определенных энергетических уровнях). Состояния с минимальной энергией называются основными. При отсутствии возбуждения все молекулы находятся в основных состояниях. При поглощении кванта света молекулы переходят в возбужденные состояния, которые можно разделить на две группы: короткоживущие (времена жизни \(10^{-12}-10^{-6}~с\)) и долгоживущие (времена жизни \(10^{-3}-10^{+3}~с\) и более).

Рис. 1

При поглощении света молекулы переходят из основного в одно из короткоживущих возбужденных состояний. Далее за очень короткие времена (порядка \(10^{-14}-10^{-13}~с\)) происходит процесс релаксации, в результате которого молекулы теряют энергию и переходят в нижние возбужденные состояния: большая часть оказывается в нижнем короткоживущем состоянии, а малая их часть попадает в долгоживущие состояния.

Молекулы, оказавшиеся в нижнем короткоживущем состоянии могут перейти в основное состояние как с испусканием кванта света (это процесс флуоресценции), так и без излучения. В любом случае эти процессы завершаются за времена меньшие \(10^{-8}~с\), поэтому в данном эксперименте не наблюдаются. Те же молекулы, которые попали в долгоживущие состояния, могут находиться в них заметное время, превышающее несколько секунд. Часть из них с некоторой вероятностью могут перейти в основное состояние с испусканием света, который мы наблюдаем как фосфоресценцию (см. рис. 2).

Рис. 2

В любом случае интенсивность фосфоресценции \(I(t)\) пропорциональна числу молекул \(N(t)\), находящихся в возбужденном долгоживущем состоянии: \(I(t) \propto N(t)\). Таким образом, изучая зависимость интенсивности фосфоресценции от времени, можно делать выводы о процессах, происходящих с молекулами, находящихся в долгоживущих состояниях.

Если молекула не взаимодействует с другими молекулами, находящимися в возбужденных состояниях, то скорость убывания числа возбужденных молекул пропорциональна числу этих молекул \[\frac{d N}{d t}=-\alpha N \qquad(1)\]Из-за того, что в рассматриваемых состояниях молекулы в возбужденных состояниях живут достаточно долго, заметную роль играют взаимодействия между ними.

Самым существенным является процесс, получивший название аннигиляция (см. рис. 3). При взаимодействии двух возбужденных молекул возможен безызлучательный перенос энергии с одной возбужденной молекулы на другую, в результате чего последняя переходит в одно из короткоживущих состояний и затем в результате быстрой релаксации она оказывается в основном состоянии. В итоге обе молекулы быстро переходят в основное состояние. Если этот процесс является преобладающим, то скорость убывания числа возбужденных молекул оказывается пропорциональной квадрату их числа, т.е. \[\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}=-\beta N^{2} \qquad(2)\]

Рис. 3

В реальности присутствуют оба механизма уменьшения числа молекул в возбужденных состояниях. Тем не менее, можно рассматривать два предельных случая (две модели):

• преобладающую роль играют процессы внутри одной молекулы, в этом случае динамика изменения числа возбужденных молекул описывается уравнением \((1)\);

• преобладающую роль играет процесс парной аннигиляции, в этом число изменение числа молекул описывается уравнением \((2)\).

Часть A. Инженерная

A1. Соберите установку, в которой лазерное излучение попадало бы на фосфоресцирующее вещество, а после выключения лазерного излучения можно было бы зафиксировать сигнал (напряжение) на фотоприемнике от фосфоресценции вещества. Соберите установку таким образом, чтобы во время проведения измерений на вещество могло бы попасть только излучения лазера, а от внешнего света вещество было изолировано. Конструкция установки должна обеспечивать сбор как можно большего количества света от процесса фосфоресценции. Зарисуйте собранную Вами установку, обозначьте на ней все основные элементы. Поясните, как Вы выполнили вышеуказанные требования к установке.

Часть B. Измерительная

B1. Снимите зависимость напряжения на фотоприемнике от времени после выключения лазерного излучения. Считайте, что напряжение на фотоприемнике пропорционально суммарной мощности попадающего на него света. Освещайте вещество в течение 1 минуты перед каждым измерением зависимости сигнала на фотоприемнике от времени.

Подробно опишите методику проведения измерений. Постройте график измеренной зависимости.

Часть C. Теоретическая

C1. Представленные модели будут соответствовать разной временной зависимости количества молекул в возбужденном состоянии. Запишите, как для каждой из моделей должно изменяться количество молекул в возбужденном состоянии от времени.

Предложите координаты для каждой из моделей, в которых график зависимости напряжения от времени будет линейным.

Часть D. Обработка

D1. С помощью линеаризации полученных Вами данных в соответствии с моделями \((1)\) и \((2)\), определите, какой из предложенных моделей подчиняется процесс фосфоресценции в вашем эксперименте.

Оборудование

1. Люминесцирующее вещество

2. Фотодиод

3. Фиолетовый лазер

4. Секундомер с памятью этапов

5. Мультиметр

6. Штатив

7. Пластиковая трубка

8. Ножницы

9. Канцелярский зажим (для фиксации кнопки лазера)

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Соберём установку в соответствии с рис. 1.

Ответ:

Рис. 1. Схема установки

Фосфоресцирующее вещество намажем кисточкой на стекло фотоприемника. В этом случае сигнал от фосфоресценции будет максимальным. Пластиковую трубку, будем использовать как светонепроницаемы кожух.

B1. Осветим вещество лазером в течение 1 минуты. Выключим лазер. Сигнал на фотоприемнике довольно быстро затухает. Для измерения его зависимости от времени будем делать следующее. В момент прекращения освещения запустим секундомер. Т.к. секундомер обладает памятью этапов, будем нажимать на кнопку этапа и одновременно записывать показания мультиметра. По окончании серии этапов остановим секундомер и запишем показания этапов в соответствующие клетки таблицы. Проделав аналогичные манипуляции 3-4 раза наберем необходимую статистику эксперимента. Результаты измерений и график зависимости приведены ниже.

\(U_1,~мВ\)	\(t,~с\)	\(U_2,~мВ\)	\(t,~с\)	\(U_3,~мВ\)	\(t,~с\)	\(U_4,~мВ\)	\(t,~с\)
24.8	1.9	25.7	1.8	22.4	2	27.1	1.5
12.2	4.1	12.8	3.5	13.2	3.3	11.9	3.7
8.3	6.1	8.8	5	9	4.7	7.2	6.5
6.7	7.6	6.8	6.6	6.9	6.4	5.8	8
5.7	9.1	5.8	8.1	5.6	8	4.9	9.5
4.9	10.8	5	9.5	4.6	10.3	4.3	10.9
4.2	12.8	4.3	11.1	4	12	3.8	12.5
3.7	14.7	3.8	12.7	3.6	13.7	3.4	14.1
3.4	16.3	3.4	14.2	3.1	16	3	16.5
3.1	18	3.1	16.4	2.9	17.6	2.8	18
2.7	20.6	2.8	18	2.7	19.2	2.5	20.3
2.4	24	2.5	20.6	2.4	21.1	2.3	22.1
2.1	26.7	2.2	23.5	2.2	23.8	2.1	24.6
2	28.4	2	26.1	2.1	25.8	1.9	27.7
1.9	30.4	1.8	29.2	2	27.6	1.8	30
1.7	33.3	1.6	33.4	1.8	29.4	1.7	31.5
1.4	38.5	1.5	35.5	1.6	32.6	1.6	33.2
1.3	43.3	1.4	38	1.5	36.4	1.5	35.7
1.2	48.4	1.3	41	1.4	40.8	1.4	38.1
1.1	51.9	1.2	44.6	1.3	45.3	1.3	41.2
1	57	1.1	48.8	1.2	50.2	1.2	44.8
0.9	63.3	1	55	1	54.8	1.1	49.4
0.8	72	0.9	60	0.9	61	0.9	60
0.7	84	0.8	67	0.8	70	0.8	69
0.6	94	0.7	76	0.7	78	0.7	78
0.5	112	0.6	90	0.6	91	0.6	91
0.4	134	0.5	105	0.5	107	0.5	109
0.3	175	0.4	133	0.4	134	0.4	136

Ответ:

График зависимости сигнала от времени

Поставим некоторое количество точек на аппроксимирующей кривой, с которыми в дальнейшем продолжим работать:

\(U,~мВ\)	27.1	11.9	8.6	5.9	4.2	3.7	3.4	2.9	2.3	2.2
\(t,~с\)	1.5	3.5	5.0	8.0	11.1	13.7	16.0	18.0	22.1	24.6
\(U,~мВ\)	1.9	1.6	1.4	1.2	1.0	0.9	0.7	0.6	0.5	0.4
\(t,~с\)	28.4	32.6	38.0	48.4	55.0	63.3	78.0	94.0	112.0	134

C1. Мощность излучения вещества, как и напряжение на фотодиоде, пропорциональна количеству молекул, излучающих в единицу времени, что в свою очередь, согласно теории, пропорционально числу возбужденных молекул: \[U \sim N \qquad(1)\]Последнее выполняется независимо от того, как происходит процесс релаксации. В соответствии с \((1)\) в каждой из моделей будем проверять следующее:

Модель 1:\[\frac{\mathrm d U}{\mathrm d t} \sim U \qquad(2)\]

Модель 2: \[\frac{\mathrm d U}{\mathrm d t} \sim U^{2} \qquad(3)\]

В рамках первой модели сигнал зависит от времени по следующему закону (проинтегрируем зависимости \((2)\) и \((3)\):

Модель 1:\[\ln \left(\frac{U}{U_{0}}\right) \sim t  \qquad(4)\]

Модель 2: \[\frac{1}{U} \sim t \qquad(5)\]

D1. Построим графики:

• для первой модели: \(\ln \left(\frac{U}{U_{0}}\right)(t)\)

• для второй модели: \(\left(\frac{1}{U}\right)(t)\)

Приведем таблицы написанных выше зависимостей, \(U_{0}=1~мВ\).

\(1/U,~мВ^{-1}\)	0.04	0.08	0.12	0.17	0.24	0.27	0.29	0.34	0.43	0.45	0.53	0.63	0.71	0.83	1	1.11	1.43	1.67	2	2.5
\(\ln \left(U/U_0\right)\)	3.3	2.48	2.15	1.77	1.44	1.31	1.22	1.06	0.83	0.79	0.64	0.47	0.34	0.18	0	-0.11	-0.36	-0.51	-0.69	-0.92
\(t,~с\)	1.5	3.5	5	8	11.1	13.7	16	18	22.1	24.6	28.4	32.6	38	48.4	55	63.3	78	94	112	134
\(U,~мВ\)	27.1	11.9	8.6	5.9	4.2	3.7	3.4	2.9	2.3	2.2	1.9	1.6	1.4	1.2	1	0.9	0.7	0.6	0.5	0.4

График зависимости \(\ln \left(\frac{U}{U_{0}}\right)\) от \(t\)

График зависимости \(U^{-1}\) от \(t\)

Как видно, второй из полученных графиков линеен, что соответствует применимости второй модели к исследуемому процессу фосфоресценции.

Источник: pho.rs/p/4131.

Введение

Радиоактивность – это способность ядер неустойчивых изотопов самопроизвольно распадаться, испуская ионизирующее излучение.

Для регистрации радиации в задаче используется радиометр (рис. 1).

Рис. 1

Радиометр состоит из счётчика Гейгера и счётного устройства. При пролёте ионизирующего излучения сквозь трубку счётчика в цепи счётчика возникает импульс тока. Счётное устройство регистрирует импульс. На дисплее отображается количество частиц, зарегистрированных счётчиком, с момента его включения. Чтобы обнулить показания счётного устройства, надо нажать на кнопку.

Условие Часть 1. Измерение естественного радиационного фона

Естественный радиационный фон – ионизирующее излучение естественного происхождения. Он всегда окружает нас, так как любое вещество в некоторой степени радиоактивно. Основными источниками является космос, почва, горные породы.

A1. Измерьте естественный радиационный фон. В качестве единицы измерения используйте число \(I_{0}\) срабатываний счётчика за 1 минуту (имп/мин). Оцените погрешность.

Часть B. Излучение поглощения \(\beta-\)излучения веществом

В качестве вещества-источника радиоактивного излучения - потока быстрых электронов или \(\beta\)–частиц, в этом упражнении используется хлорид калия (\(\mathrm{K C l}\)) – порошкообразное вещество, которое широко используется в медицине и агротехнике. Помимо стабильных (нерадиоактивных) ядер атомов калия, в веществе в небольшом количестве присутствуют ядра радиоактивного изотопа калия \({ }^{40} \mathrm{K}\). По сравнению со стабильными ядрами, радиоактивных ядер в источнике крайне мало (\(0.01 \%\)), поэтому такой источник не представляет опасности для жизни и здоровья людей.

При распаде ядра \({ }^{40} \mathrm{~K}\) появляется бета–частица (электрон).

Источник представляет собой прямоугольный пакет, внутри которого находится радиоактивное вещество. В качестве материала-поглотителя использован картон.

B1. Расположите источник на столе. Распределите порошок внутри пакета так, чтобы он равномерно занимал всё его пространство. На источник положите сверху листы картона. На картон положите трубку счётчика Гейгера (трубка должна лежать примерно посередине источника). Снимите зависимость числа \(I\) срабатываний счётчика в минуту, обусловленного потоком частиц от источника \(\beta\)–излучения, от количества \(N\) листов картона, расположенных между источником и счётчиком. Оцените погрешности.

B2. Постройте график зависимости \(I(N)\).

B3. Получите теоретическую зависимость потока частиц, прошедших через слой вещества – поглотителя, от толщины слоя поглотителя. Качественно объясните физические процессы, которые описывает формула.

B4. На основе предыдущего пункта постройте линеаризованный график зависимости \(I(N)\), измеренной в пункте B1. Определите угловой коэффициент аппроксимирующей прямой. Объясните, какой смысл имеет этот коэффициент.

Оборудование

Часть 1

1. Радиометр

2. Секундомер

Часть 2

1. Радиометр

2. Источник \(\beta\)-излучения

3. Десять листов картона

4. Секундомер

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Подсчитаем количество срабатываний счётчика за 1 минуту. Время будем измерять с помощью секундомера. Измерения повторим несколько раз. Результаты представлены в таблице ниже.

\(№\)	\(I,~имп/м\)	\(№\)	\(I,~имп/м\)	\(№\)	\(I,~имп/м\)	\(№\)	\(I,~имп/м\)
1	17	6	24	11	24	16	28
2	23	7	32	12	20	17	25
3	30	8	31	13	17	18	15
4	20	9	23	14	21	19	23
5	16	10	27	15	19	20	25

Вычислим среднее значение и стандартное отклонение от среднего значения:

Ответ:

\[I_{фон}=(23.0 \pm 5.0)~имп/мин\]

B1. Получим теоретическую зависимость потока частиц от толщины слоя поглотителя.

Рис. 1.

По аналогии со световыми пучками, можно сказать, что пучок электронов, двигающихся от плоского протяженного источника, является плоским. Тогда на поверхность слоя вещества по нормали падает параллельный пучок частиц. На расстоянии \(x\) от поверхности вещества мысленно выделим бесконечно тонкий слой \(\mathrm d x\). Так как вероятность поглощения электрона этим тонким слоем одинакова для всех электронов, изменение потока частиц \(\mathrm d I_{x}\), поглощённых слоем вещества \(\mathrm d x\) пропорционально плотности потока \(I_{x}\), падающего непосредственно на слой \(\mathrm d x\) :

\[-\mathrm d I_{x}=k I_{x} \,\mathrm d x\]Знак минус указывает на снижение плотности потока, \(k\) – коэффициент поглощения. Перепишем уравнение:

\[\frac{\mathrm d I_{x}}{I_{x}}=-k\,\mathrm d x\]Проинтегрируем обе части уравнения:

\[\int_{I_{0}}^{I} \frac{\mathrm d I_{x}}{I_{x}}=-\int_{0}^{a} k\,\mathrm d x\]где \(I_{0}\) – плотность исходного пока частиц, падающего на слой вещества-поглотителя, \(a\) толщина слоя. Отсюда получаем, что:

\[\ln \left(\frac{I}{I_{0}}\right)=-k a\]откуда:

\[I=I_{0} e^{-k a}\]Для каждого фиксированного количества листов картона \(N\), поглощающих частицы, будем проводить несколько замеров количества срабатываний счётчика в минуту (имп/мин). Результаты приведены ниже.

Ответ:

\(N\)	\(I_1,~имп/м\)	\(I_2,~имп/м\)	\(I_3,~имп/м\)	\(I_4,~имп/м\)	\(I_5,~имп/м\)	\(I_6,~имп/м\)	\(I_7,~имп/м\)
1	131	133	127	132	160	125	144
2	110	132	107	123	112	101	118
3	90	99	89	107	84	98	85
4	89	67	77	68	74	78	81
5	66	63	70	66	84	63	64
6	53	49	65	65	57	54	55
7	59	41	53	52	45	54	45
8	46	37	36	47	43	49	50
9	39	45	31	49	37	39	41
10	33	32	37	45	30	41	34

Далее для каждого значения \(N\) вычислим среднее значение \(I\) потока частиц. Вспомним, что, помимо бета-частиц от источника, наш счётчик регистрирует естественный фон. Вычтем его из наших показаний и таким образом вычислим величину \(I^{\prime}\). Оценим стандартное отклонение от среднего с учётом погрешности измерения фона. Результаты расчётов представлены ниже.

Ответ:

\(N\)	\(I,~имп/мин\)	\(\sigma_I,~имп/мин\)	\(I^{\prime},~имп/мин\)	\(\sigma_I^{\prime},~имп/мин\)
1	136.0	12.2	113.0	13.2
2	114.7	10.5	91.7	10.5
3	93.1	8.4	70.1	8.4
4	76.3	7.6	53.3	7.6
5	68.0	7.5	45.0	7.5
6	56.9	6.1	33.9	6.1
7	49.9	6.3	26.9	6.3
8	44.0	5.6	21.0	5.6
9	40.1	5.8	17.1	5.8
10	36.0	5.4	13.0	5.4

B2. Построим график зависимости \(I^{\prime}(N)\). Форма кривой напоминает график экспоненциальной функции с отрицательным показателем:

\[I^{\prime}=I_{0} e^{-k N}\]

Ответ:

График зависимости \(I^{\prime}\) от \(N\)

B3. Проверим применимость данного закона к исследуемой зависимости. Для этого выполним операцию линеаризации:

\[\ln I^{\prime}=\ln I_{0}-k N\]В том случае, если данный закон с достаточной точностью описывает исследуемую зависимость, график зависимости \(\ln I^{\prime}\) от \(N\) должен с достаточной точностью аппроксимироваться прямой. Проведём линеаризацию.

Ответ:

\(N\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(\ln I^{\prime} / I_{0}\)	4.73	4.52	4.25	3.98	3.81	3.52	3.29	3.04	2.84	2.56

B4. Построим график зависимости \(\ln I^{\prime} / I_{0}\) от \(N\):

Ответ:

График зависимости \(\ln I^{\prime} / I_{0}\) от \(N\)

Построенный график с достаточной точностью аппроксимируется прямой, что подтверждает экспоненциальный характер зависимости.

Определим из линеаризованного графика угловой коэффициент \(\alpha=-0.24\). Заметим, что \(\alpha=-k\).

Величина \(k\) имеет смысл вероятности поглощения электрона одним слоем картона.

Замечание: Из теории известно, что бета-излучение, в отличие от гамма-излучения, обладает конечной максимальной длиной пробега частиц в среде. Поэтому, экспоненциальных характер зависимости \(I^{\prime}(N)\) лишь приближен к реальному.

Источник: pho.rs/p/4139.

Крутильный маятник состоит из толстого металлического стержня, на верхний конец которого прикреплена пластиковая трубка, в трубку вставлена деревянная палочка, по которой можно перемещать две гайки. В трубке проделаны два отверстия для крепления маятника к пружине.

Данный маятник может совершать различные типы колебаний. В данной задаче вам необходимо исследовать два из них: продольные колебания (вверх-вниз) и крутильные (вращение вокруг вертикальной оси). Эти моды колебаний взаимодействуют между собой, т.е. энергия крутильных колебаний может переходить в энергию продольных колебаний и обратно.

Легко наблюдать, что амплитуда крутильных колебаний периодически изменяется. Это эффект называется биения.

A1. Измерьте с максимальной точностью период продольных колебаний. Оцените погрешность измерений.

В дальнейших пунктах задачи оценивать погрешности не требуется!

A2. Измерьте зависимость периода крутильных колебаний от расстояния между гайками. Постройте график полученной зависимости в таких координатах, чтобы он был линейным.

A3. Измерьте зависимость периода биений от расстояния между гайками.

A4. Предложите формулу для периода биений и его связи с периодами продольных и крутильных колебаний.

A5. Постройте график зависимости периода биений от периода крутильных колебаний в таких координатах, чтобы он был квазилинейным.

Оборудование

1. Пружина со струбциной для крепления к столу

2. Секундомер

3. Крутильный маятник

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Для измерения периода продольных колебаний выведем маятник из равновесия, отклонив его на небольшое расстояние вдоль вертикали. В процессе измерений будем следить за тем, чтобы маятник имел только продольную моду.

Измерим время \(T\), за которое маятник совершил \(N\) колебаний. Повторим измерения 5 раз. Тогда период одного колебания может быть рассчитан по формуле: \[T_{1}=\frac{\langle T\rangle}{N} \qquad(1)\]Погрешность измерения периода может быть оценена как сумма погрешности, возникающей из-за конечного времени реакции, и случайной погрешности. \[\Delta T_{1}=\Delta T_{реак} / N+\Delta T_{случ} \qquad(2)\]Результаты измерений периода продольных колебаний:

\(T_1,~с\)

8.92

9.04

8.71

9.13

8.9

Откуда:

Ответ:

\[T=(0.88 \pm 0.04)~с\]

A2. Снимем зависимость периода крутильных колебаний \(T\) от расстояния между гайками \(L\). Результаты измерений представлены в таблице ниже.

\(L,~см\)	\(N\)	\(t,~с\)	\(T,~с\)	\(L^2,~см^2\)	\(T^2,~с^2\)
2.00	20	15.00	0.75	4.00	0.5625
2.50	20	15.65	0.78	6.25	0.6084
3.00	20	16.28	0.81	9.00	0.6561
3.50	20	17.03	0.85	12.25	0.7225
4.00	20	18.16	0.91	16.00	0.8281
4.50	20	18.97	0.95	20.25	0.9025
5.00	20	20.18	1.01	25.00	1.0201
5.50	20	20.97	1.05	30.25	1.1025

Из уравнений динамики вращательного движения следует, что \(T^{2} \sim I\), где \(I\) – момент инерции системы. Он складывается из моментов инерции тел относительно осей, проходящих через их центры масс, и добавки \(2 m_г\left(\frac{L}{2}\right)^{2}\), следующей из теоремы Гюйгенса–Штейнера. Таким образом график \(T^{2}\left(L^{2}\right)\) должен быть линейным.

Построим экспериментальный график зависимости \(T^{2}\left(L^{2}\right)\).

Ответ:

График зависимости квадрата периода крутильных колебаний от квадрата расстояния между гайками

A3. Снимем зависимость периода биений от расстояния между гайками. Для этого будем запускать продольную моду колебаний маятника. В начальный момент времени деревянная палочка неподвижна. Периодом биения будем считать время, за которое система вернется в исходное состояние. Результаты измерений представлены в таблице.

Ответ:

\(x,~см\)	\(T_{биен},~с\)	\(T_{крут}\)	\(T_{биен}^{-1},~с^{-1}\)	\(T_{крут}^{-1},~с^{-1}\)
1	4.46	0.70	0.22	1.42
2	5.73	0.75	0.17	1.34
3	8.7	0.82	0.11	1.23
4	16.71	0.90	0.06	1.11
5	\(\infty\)	1.00	0.00	1.00
6	16.69	1.11	0.06	0.90
7	9.02	1.23	0.11	0.81
8	6.39	1.35	0.16	0.74

A4. Биения возникают при сложении двух колебаний с близкими частотами. Зависимость отклонения маятника от положения равновесия в общем случае описывается формулой: \(A=A_{0}(t) \cos \left(w_{0} t\right)\), где \(A_{0}(t)\) – амплитуда колебаний маятника, модулированная медленным косинусом.

Периодом биений называется промежуток времени между двумя последовательными узлами, т.е. точками, в которых \(A_{0}(t)=0\).

Известно, что частота биений выражается через частоты мод входящих колебаний по формуле:

\[\nu_{биен}=\left|\nu_{прод}-\nu_{крут}\right|.\]Отсюда следует, что график зависимости \(\dfrac{1}{T_{биен}}\left(\dfrac{1}{T_{крут}}\right)\) должен быть квазилинейным.

A5. Рассчитаем для каждого \(L\) соответствующий период крутильных колебаний, пользуясь зависимостью, измеренной в пункте A2, и построим экспериментальный график \(\dfrac{1}{T_{биен}}\left(\dfrac{1}{T_{крут}}\right)\). Для удобства умножим значения частот биений и крутильных колебаний на \(10^{2}\).

Ответ:

Графики зависимости частоты биений от частоты крутильной моды

Заметим, что в измерениях присутствует точка, в которой биения вообще не наблюдаются. Эта точка соответствует равенству периодов колебаний крутильной и продольной моды.

Источник: pho.rs/p/4140.

Погрешности в задаче оценивать не требуется!

Теоретическое введение Часть 1. Электрический диполь. Точечный диполь

Простейший электрический диполь представляет собой систему из двух одинаковых по величине и противоположных по знаку точечных электрических зарядов, смещенных друг относительно друга на вектор \(\vec{l}\), проведенный от отрицательного к положительному заряду. Электрический диполь (момент) \(\vec{p}\) – это векторная величина, \(\vec{p}=q \vec{l}\). Диполь называют точечным (или элементарным), если его размеры малы по сравнению расстоянием до диполя: \(l\ll r\).

Часть 2. Диполь-дипольное взаимодействие. Взаимодействие диполя с точечным зарядом

Сила взаимодействия точечных электрических или магнитных диполей в отличие от взаимодействия точечных масс или точечных зарядов в общем случае не подчиняется третьему закону Ньютона: направление действия этих сил может не совпадать с линией, соединяющей точечные диполи, как того требует третий закон Ньютона, хотя по величине эти силы равны между собой и направлены противоположно (это очевидное следствие из закона сохранения импульса замкнутой системы).

Рис. 1

Рассмотрим, к примеру, силы взаимодействия между диполем и точечными зарядами в случае, если заряды лежат на оси диполя или в плоскости, перпендикулярной диполю (см. рис. 1).

Несложно показать, что в приближении точечного диполя, т.е. в пределе \(l\ll r\), сила, действующая на заряд \(q_{1}\): \[\vec{F}_{1}=-\frac{k \vec{p} q_{1}}{r^{3}}\] а сила, действующая на заряд \(q_{2}\): \[\vec{F}_{2}=\frac{2 k \vec{p} q_{2}}{r^{3}}\] Силу \(\vec{F}_{1}\) можно найти и из следующих соображений: на диполь со стороны поля заряда действует момент сил \(\left|\vec {M}_{q}\right|=p E_{q}={k p q}/{r^{2}}\). Поскольку полный момент внутренних сил, как следует из закона сохранения момента импульса, равняется нулю, то \(\vec{M}_{q}\) должен компенсироваться моментом силы взаимодействия заряда с диполем: \(\left|\vec{M}_{1}\right|=F_{1} r\). В итоге приходим к тому же результату: \[\vec{F}_{1}=-\frac{k \vec{p} q_{1}}{r^{3}}\]

Часть 3. Электрические и магнитные диполи

В силу отсутствия в природе магнитных зарядов (монополей), магнитный диполь нельзя определить аналогично электрическому. Но эксперимент и теория показывают, что картина силовых линий напряженности \(\vec{E}\) поля электрического точечного диполя \(\vec{p}\) не отличается от картины силовых линий магнитной индукции \(\vec{B}\) магнитного точечного диполя \(\vec{p}_{m}\) (маленького постоянного магнитика или виточка с током). Соответственно, с точностью до обозначений и констант, не отличаются и законы взаимодействия магнитных и электрических диполей. Это означает, что, получив законы взаимодействия электрических точечных диполей и заменив в формулах \(\vec{p}\) на \(\vec{p}_{m}\), а константу электрического взаимодействия \(k_{\varepsilon}=\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}=9 \cdot 10^{9} ~{м}/{Ф}\) на константу магнитного взаимодействия \(k_{\mu}=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi}=10^{-7} ~{Гн}/{м}\), мы сможем рассчитать поля и законы взаимодействия магнитных диполей. При этом необходимо иметь ввиду, что вектор магнитного момента \(\vec{p}_{m}\) постоянного магнита направлен от южного к северному полюсу (для витка с током это направление соответствует правилу буравчика).

Часть 4. Магнитный шар

Шарообразные магниты в нашей работе изготовлены из магнитожесткого материала (неодима). Это означает, что под действием внешних магнитных полей намагниченность шара не изменяется, и он ведет себя как жесткий диполь.

Поле однородно намагниченного шара радиусом \(R\) на расстояниях \(r \geq R\) совпадает с полем точечного магнитного диполя \(\vec{p}_{m}\), равного полному магнитному моменту шара и расположенного в его центре. Взаимодействуют магнитные шары, как жесткие точечные диполи, расположенные в центрах шаров.

Часть 5. Стальной шар в магнитном поле

Стальной шар изготовлен из магнитомягкого материала с очень узкой петлей гистерезиса. Это означает, что, в отсутствие магнитных полей, шар

практически не намагничен и, соответственно, не несет никакого магнитного момента. В магнитном поле он намагничивается, приобретая магнитный момент пропорциональный индукции магнитного поля \(\vec{B}\):

\[\vec{p}_{m}=\alpha \vec{B}\]В результате возникает взаимодействие между наведенным магнитным моментом шара \(\vec{p}_{ш}\) и магнитным моментом \(\vec{p}_{m}\) постоянного магнита.

Часть 6. Формулы, которые могут потребоваться в предлагаемой работе

Индукция магнитного поля точечного магнитного диполя на расстоянии:

\[\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3\left(\vec{p}_{m}, \vec{r}\right) \vec{r}}{r^{5}}-\frac{\vec{p}_{m}}{r^{3}}\right)\]На магнитный диполь \(\vec{p}_{m}\) в поле \(\vec{B}\) действует механический момент сил:

\[\vec{M}=\left[\vec{p}_{m}, \vec{B}\right]\]Энергия диполя \(\vec{p}_{m}\) в поле \(\vec{B}\):

\[W=-\left(\vec{p}_{m}, \vec{B}\right)\]Полезно также иметь ввиду, что при вычислении полей, а также сил, действующих на диполь \(\vec{p}_{m}\), его всегда можно представить в виде двух (или нескольких) диполей, векторная сумма которых равна моменту рассматриваемого диполя \(\vec{p}_{m}\) – это следует из свойства аддитивности магнитного момента и принципа суперпозиции магнитных полей (см. рис. 2).

Рис. 2

Часть 7. Основная задача нашего эксперимента

Сила взаимодействия двух шарообразных магнитов изменяется при повороте одного шара относительно другого. В этом не сложно убедиться экспериментально: не изменяя расстояние между двумя притягивающимися магнитами, поверните один из шаров на \(180^{\circ}\), и Вы обнаружите, что притяжение сменится отталкиванием. Если же один из шаров повернуть на \(90^{\circ}\), то Вы явно почувствуете силу, направленную перпендикулярно к линии, соединяющей центры шаров.

В данной работе предлагается исследовать зависимость полной силы взаимодействия двух постоянных шарообразных магнитов от взаимной ориентации их магнитных моментов, а также исследовать силу притяжения (отталкивания) магнитного и стального шаров.

Часть 8. Экспериментальная

Снимите зависимости продольной (притяжение или отталкивание) \(F_{r}(\theta)\) и поперечной \(F_{\tau}(\theta)\) (перпендикулярной к \(\vec{r}\)) составляющих силы взаимодействия двух магнитных шаров от угла \(\theta\) между их магнитными моментами (см. рис. 3). Расстояние между центрами шаров возьмите равным \(r=10 ~{см}\); магнитный момент \(\vec{p}_{m}\) одного из шаров (неподвижного) направлен вдоль прямой, соединяющей центры шаров.

Опишите и зарисуйте схему установки и методику измерений \(F_{r}(\theta)\) и \(F_{\tau}(\theta)\), а также Ваш метод юстировки (настройки) установки.

Постройте графики вышеуказанных зависимостей на одной координатной плоскости.

Рис. 3.

Примечание. Будьте внимательны, если показания весов не меняются в течении минуты, весы отключаются, поэтому проводите измерения без особых задержек!

Рекомендация по использованию зубочистки. Для надежного закрепления шара и в качестве стрелки-указателя угла поворота удобно использовать зубочистку. Для этого вставьте ее между шаром и креплением.

Часть 9. Теоретическая

B1. Получите теоретические зависимости \(F_{r}(\theta)\), \(F_{\tau}(\theta)\) и \(F(\theta)\) – полной силы взаимодействия магнитных шаров. Постройте график зависимости \(F(\theta)\) на той же координатой плоскости, что и в части 1.

Определите теоретическое значение отношения \({F_{\max }}/{F_{\min }}\) (во сколько раз максимальное значение полной силы больше, чем минимальное).

Сравните полученное значение с экспериментальными данными.

Часть 10. Оценочная

C1. Исследуйте зависимость продольной составляющей силы \(F_{r}(\theta)\) (притяжение или отталкивание) взаимодействия постоянного шарообразного магнита со стальным шаром от угла \(\theta\) между магнитным моментом \(\vec{p}_{m}\) постоянного магнита и линией, соединяющей центры шаров при расстоянии между центрами шаров \(r=4~см\). Экспериментально определите \({F_{r_{\max}}}/{F_{r_{\min}}}\).

Рассчитайте \({F_{r_{\max}}}/{F_{r_{\min}}}\) теоретически и сравните полученное значение с экспериментальным.

Из теории известно, что \(F_{r}(\theta)\) имеет вид \(F_{r}(\theta)=A(1+\beta \cos n \theta)\). Определите экспериментально значения \(\beta\) и \(n\).

Оборудование

1. Два неодимовых магнитных шара диаметром \(d=20~мм\)

2. Штатив

3. Устройства для крепления и поворота шаров

4. Шкала для отсчета угла поворота магнита

5. Электронные весы

6. Деревянная линейка

7. Перманентный маркер

8. Стальной шар диаметром \(20~мм\)

9. Струбцина

10. Зубочистки

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Полюса определяем по точкам сцепления двух шарообразных магнитов. Учитывая, что магниты сцепляются противоположными полюсами, помечаем их цифрами «1» и «2».

Зависимость продольной силы \(F_{r}(\theta)\) снимаем, расположив шары на одной вертикали на расстоянии (между центрами шаров) \(r=10~см\). Схема установки показана на рис. 1.

Рис. 1. Фотография экспериментальной установки

Нижний магнит, закреплённый на подставке, находится на весах. Для исключения силы тяжести подставки с закреплённым магнитом, показания весов при удалённом расположении магнитов зануляем с помощью клавиши «TARE». Тогда при сближении магнитов весы показывают только силу магнитного взаимодействия, причём знаку «+» соответствует отталкивание (вес «увеличивается»), а знаку «-» – притяжение магнитов (вес «уменьшается»).

Магнитный момент нижнего, неподвижного шара ориентируем по вертикали. Магнитный момент верхнего шара в начальном положении ориентируем по вертикали и закрепляем так, чтобы нулю отсчёта по градусной шкале соответствовала максимальная сила. Поворачивая магнитный момент верхнего шара (нижний шар - неподвижен) снимаем зависимость показаний весов \(F_{r}(\theta)\).

Результаты измерений приведены в таблице ниже.

Ответ:

\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{r},~мН\)		\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{r},~мН\)		\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{r},~мН\)
0	-11.87	-116		120	6.91	68		240	5.95	58
10	-11.44	-112		130	8.53	84		250	4	39
20	-10.62	-104		140	9.72	95		260	1.71	17
30	-9.59	-94		150	10.63	104		270	-0.38	-4
40	-8.07	-79		160	11.38	112		280	-2.64	-26
50	-6.36	-62		170	11.82	116		290	-4.59	-45
60	-4.55	-45		180	1.88	117		300	-6.35	-62
70	-2.68	-26		190	11.6	114		310	-8.23	-81
80	-0.59	-6		200	11.09	109		320	-9.53	-93
90	1.38	14		210	10.15	100		330	-10.76	-106
100	3.44	34		220	9.06	89		340	-11.5	-113
110	5.27	52		230	7.72	76		350	-11.87	-116

Зависимость поперечной силы \(F_{\tau}(\theta)\) снимаем аналогично зависимости \(F_{r}(\theta)\), но шары располагаем на одной горизонтали. Расстояние между центрами шаров также \(r=10~см\). Фотография установки представлена на рис. 2.

Рис. 2. Фотография экспериментальной установки

Один из магнитов закреплён в штативе, другой, вместе с подставкой находится на весах. Вначале магнитные моменты обоих магнитов направлены горизонтально вдоль линии, соединяющих центры шаров. Для исключения силы тяжести подставки с магнитом, показания весов при удалённом расположении магнитов зануляем с помощью клавиши «TARE». Тогда, при сближении магнитов, весы показывают только поперечную (вертикальную) \(F_{\tau}\) силу магнитного взаимодействия, причём знаку «+» соответствует сила, направленная вниз, а знаку «-» – вверх. Для измерения зависимости \(F_{\tau}(\theta)\) магнитный момент закреплённого в штативе магнита поворачиваем в вертикальной плоскости.

Результаты измерений приведены ниже.

Ответ:

\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{\tau},~мН\)		\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{\tau},~мН\)		\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{\tau},~мН\)
0	0	0		120	5.07	50		240	−4.58	-45
10	1.1	11		130	4.58	45		250	-4.93	-48
20	2.13	21		140	3.91	38		260	-5.33	-52
30	3.04	30		150	3.25	32		270	-5.52	-54
40	3.94	39		160	2.38	23		280	-5.56	-55
50	4.67	46		170	1.53	15		290	-5.37	-53
60	5.06	50		180	0.54	5		300	-4.91	-48
70	5.43	53		190	-0.3	-3		310	-4.33	-42
80	5.76	57		200	-1.38	-14		320	-3.69	-36
90	5.83	57		210	-2.23	-22		330	-2.83	-28
100	5.7	56		220	-3.15	-31		340	-1.8	-18
110	5.45	53		230	-3.86	-38		350	-0.74	-7

Графики полученных зависимостей будут приведены в следующей части.

B1. Представим диполь, повернутый на угол \(\theta\) в виде векторной суммы вектора параллельного оси и вектора перпендикулярного оси. Используя аналогию с электрическими диполями и формулы для сил, действующих со стороны поля диполя на заряд, получим, что:

\[\begin{aligned} & F_{r}(\theta)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{6 p_{m}^{2} \cos \theta}{r^{4}} \\ & F_{\tau}(\theta)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{3 p_{m}^{2} \sin \theta}{r^{4}} \end{aligned}\]Тогда модуль полной силы равен:

\[F(\theta)=\sqrt{F_{r}^{2}+F_{\tau}^{2}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{3 p_{m}^{2}}{r^{4}} \sqrt{1+3 \cos ^{2} \theta}\]откуда получается, что отношение:

Ответ:

\[\frac{F_{\max }}{F_{\min }}=2\]

Результаты расчета зависимости полной силы \(F\) от угла \(\theta\) представлены в таблице ниже.

\(\theta,~^{\circ}\)	\(F_{r},~мН\)	\(F_{\tau},~мН\)	\(F,~мН\)		\(\theta,~^{\circ}\)	\(F_{r},~мН\)	\(F_{\tau},~мН\)	\(F,~мН\)		\(\theta,~^{\circ}\)	\(F_{r},~мН\)	\(F_{\tau},~мН\)	\(F,~мН\)
0	−116	0	116		120	68	50	84		240	58	-45	73
10	-112	11	113		130	84	45	95		250	39	-48	62
20	-104	21	106		140	95	38	103		260	17	-52	55
30	-94	30	99		150	104	32	109		270	-4	-54	54
40	-79	39	88		160	112	23	114		280	-26	-54	60
50	-62	46	77		170	116	15	117		290	−45	-53	70
60	-45	50	67		180	117	5	117		300	−62	-48	78
70	−26	53	59		190	114	-3	114		310	−81	-42	91
80	-6	56	56		200	109	-14	110		320	−93	-36	100
90	14	57	59		210	100	-22	102		330	−105	-28	109
100	34	56	66		220	89	-31	94		340	−113	-18	114
110	52	53	74		230	76	-38	85		350	−116	-7	116

Графики исследуемых зависимостей представлены ниже.

Ответ:

Графики зависимости компонент полной силы и самой полной силы от угла \(\theta\)

Из полученных данных рассчитаем \({F_{\max }}/{F_{\min }}=2.06\), что очень близко к теоретическому значению, посчитанному выше.

C1. Соберем установку для измерения \(F_{r}(\theta)\) из части 1, но вместо закрепленного нижнего магнитного шара поместим стальной шар. Для исключения силы тяжести подставки с закреплённым стальным, показания весов при удалённом расположении магнитов зануляем с помощью клавиши «TARE». Медленно прокручивая магнитный шар, заметим, что показания весов всегда отрицательны \(\left(F_{r}(\theta)\right.\) – сила притяжения). Минимальное по модулю значение показаний весов \(m_{\min }=-5.53~г\), максимальное \(-m_{\max }=-22.41~г\). Значит,

Ответ:

\[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=4.05\]

Также при измерениях заметим, что показания весов совершают два полных «колебания» при повороте магнита на \(360^{\circ}\), в отличие от всех ранее измеренных в части 1 зависимостей, совершающих одно полное «колебание» (см. рис. 3). Это пригодится нам в дальнейшем.

Рис. 3

Для вывода теоретической формулы найдем выражение для силы взаимодействия между двумя параллельными диполями, показанными на рисунке (рассмотрим аналогию с электрическими диполями). Сила, действующая на верхний диполь осесимметрична, направлена вниз и численно равна\[F=\frac{3 k p_{1} p_{2}}{r^{4}}.\]

Рис. 4

Рассмотрим магнитный и стальной шары, как жесткий и наведенный магнитные диполи \(\left(B=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{p_{m}}{r^{3}}\right)\). Очевидно, что вклад в продольную составляющую силы вносят взаимодействие двух горизонтальных компонент и взаимодействия двух вертикальных компонент магнитных моментов. Сила взаимодействия между вертикальными компонентами уже была рассчитана в части 2, сила взаимодействия между горизонтальными компонентами была найдена выше в аналогии с электрическими диполями. Таким образом, продольная сила взаимодействия магнитного и стального шаров \(F_{r}(\theta)=A(1+0.6 \cdot \cos 2 \theta)\), где \(A\) – константа. Значит, теоретически\[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=\frac{1+0.6}{1-0.6}=4,\]что хорошо согласуется с экспериментом.

Ответ:

\[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=4\]

Экспериментальное значение \(\beta\) определяется из соотношения\[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=\frac{1+\beta}{1-\beta}=4.05,\]откуда \(\beta=0.60\). Экспериментальное значение \(n=2\), что было объяснено выше.

Ответ:

\[\beta=0.6,\quad n=2\]

Источник: pho.rs/p/4141.

В этой задаче не требуется оценка погрешностей!

Введение

Звук – это распространяющиеся в упругих средах (газах, жидкостях, твердых телах) механические колебания. Для возбуждения этих колебаний нужен механический источник колебаний. В роли такого источника при разговоре обычно выступают голосовые связки, расположенные в гортани. Через гортань проходит поток воздуха, которой заставляет связки колебаться (см. рис. 1).

Рис. 1. Вид сбоку

Эти колебания возбуждают звук, который мы слышим от собеседника. Частота звука регулируется натяжением связок: так для низких частот связки натянуты слабо, а для высоких сильно (см. рис. 2).

Рис. 2. Вид сверху

Однако, как и любая другая акустическая система, артикуляционный аппарат нуждается в усилителе или резонаторе. По сути, связки производят звук некоторой частоты или, правильнее сказать, звук определенного спектра, то есть набора некоторых частот. А резонатор, которым в случае акустической системы человека является ротовая полость, усиливает некоторые частоты из этого спектра сильнее, а некоторые слабее. Наиболее низкая сильно выраженная частота спектра называется основной; зачастую именно она определяет тон звука, который мы слышим. Более высокие сильно выраженные частоты спектра носят названия обертонов (см. рис. 3). Таким образом, музыкальные инструменты могут звучать на одной и той же ноте (той же частоте), но восприниматься человеческим ухом по-разному, так как обладают различными обертонами. С точки зрения описания звуковых колебаний во временном, а не в спектральном пространстве, осциллограмма звуков (зависимость отклонения точек среды от времени) разных инструментов на одинаковой ноте будет отличаться формой повторяющегося сигнала.

Рис. 3. Спектр звука

Экспериментальная часть Часть A. Осциллограммы звука

A1. Включите компьютер в режим снятия осциллограммы микрофона. В качестве изучаемого музыкального инструмента в этом задании будете выступать непосредственно вы. Спойте гласные звуки «а», «у», «о», «и», «э» на одной частоте из диапазона \(200 - 250~Гц\). Зарисуйте соответствующие осциллограммы. Какая из пропетых вами букв наиболее соответствует чистому звуку, то есть чья осциллограмма наиболее близка к синусоидальной?

Как видно, звук разных гласных одной и той же частоты сильно отличается. Как уже говорилось выше, причиной отличия является различие в коэффициентах усиления различных обертонов. За усиление звука в механических акустических системах отвечают резонаторы. Ротовая полость является крайне сложным резонатором и не может быть изучена в короткий срок тура олимпиады, однако существуют намного более простые резонаторы, которые в дальнейшем и будут Вами изучаться.

Часть B. Линейный резонатор

Наиболее простой резонатор, используемый человеком для извлечения звуков – обыкновенная труба. Всем Вам известно, что существует большое множество духовых инструментов, в которых резонатором является трубка, снабженная различными технологическими устройствами для изменения частоты звучания. Чаще всего у духовых инструментов есть мундштук, который, как и связки, является первоначалом колебаний струи воздуха в инструменте. Однако, так как струя воздуха в любом случае обладает турбулентностью, а, следовательно, неоднородностью и не стационарностью потока, то даже струя воздуха, выдуваемая нами, обладает некоторым набором звуковых частот (спектром). Набор частот зависит как от характерных размеров струи, так и от ее скорости. Так, при определённых размерах обычной трубки, простое дуновение в нее уже вызывает ее звучание. То есть, в спектре струи воздуха находится резонансная частота, которую усиливает трубка, и происходит ее звучание, которые мы способны уловить ухом.

Рис. 4. Как подуть в трубку и получить звук

B1. Возьмите трубку, один ее конец заткните пробкой. Поднесите трубку ко рту, как показано на рис. 4. Направляя струю воздуха вниз, подуйте в трубку. Если приноровиться, то трубка начинает звучать. С помощью программы снятия спектра определите основную частоту (частоту основного тона) звучания трубки. Основная частота звучания трубки зависит от ее длины. Заливая в трубку воду, можно изменять ее эффективную длину (длину полости в трубке).

Снимите зависимость частоты звучания трубки от ее эффективной длины. Предположите координаты, в которых эта зависимость является линейной. Постройте график этой зависимости в линейных координатах. Определите его угловой коэффициент.

Примечание 1. Делайте паузы между измерениями. Слишком частое выдувание воздуха может привести к головокружению.

Примечание 2. Если у Вас не получается извлечь звук из трубки, то перейдите к части 3.

B2. По полученным из предыдущего упражнения данным определите скорость звука в воздухе и сравните её с теоретическим значением \(C_{теор}=(\gamma R T / \mu)^{1 / 2}\). Температуру воздуха внутри комнаты спросите у дежурного по аудитории. Нарисуйте распределение амплитуд колебаний воздуха внутри трубки, отсчитывая координату от закрытого конца трубки.

B3. При выполнении пункта B1 можно заметить, что в некоторых случаях в спектре звучания трубки хорошо прослеживается первый обертон (обертон с наименьшей частотой). Каков округленный до целого коэффициент пропорциональности между частотой основного тона и первого обертона трубки? Нарисуйте распределение амплитуд колебаний воздуха внутри трубки, если бы она звучала только на частоте первого обертона, отсчитывая координату от закрытого конца трубки.

Линейный резонатор является самым простым примером акустического резонатора. Ротовая полость все же является объемным резонатором, простейший пример которого мы изучим в следующей части.

Часть C. Объемный резонатор

В качестве объемного резонатора будем использовать пластиковую бутылку. Если в нее подуть таким же образом, как и в трубку в пункте B1 предыдущей части, то она также будет звучать на определенной частоте.

C1. Для теоретического нахождения частоты основного тона такого резонатора воспользуемся следующей моделью. Представим, что воздух в горлышке бутылки является поршнем, закрывающим остальной воздух в бутылке. Масса поршня соответствует массе воздуха в горлышке. Такой поршень может перемещаться вдоль горлышка бутылки. При движении вниз или вверх от положения равновесия на поршень будет действовать возвращающая сила со стороны остального газа в бутылке, тем самым вызывая колебательные движения такого воздушного поршня. Запишите формулу для частоты колебаний такого поршня (частоты основного тона бутылки) через данные об объеме бутылки , высоте и диаметре горлышка бутылки. Каким процессом следует описывать сжимание газа в бутылке – изотермическим или адиабатическим?

C2. Измерьте объем бутылки, а также диаметр и высоту горлышка бутылки.

C3. Аналогично первому пункту предыдущего упражнения эффективный объем (объем полости) бутылки можно изменять, доливая в бутылку воду.

Снимите зависимость частоты основного тона бутылки от ее эффективного объема. Постройте исследуемую зависимость в таких координатах, в которых график будет линейным. Найдите угловой коэффициента первого пункта \(A^{\prime}\) графика.

Рассчитайте теоретическое значение углового коэффициента \(A\), используя результаты первого пункта. Сходятся ли полученные теоретическое и экспериментальное значение углового коэффициента?

C4. Продолжая проверять модель, предложенную в первой пункте, снимите зависимость частоты основного тона пустой бутылки от высоты горлышка бутылки и постройте ее в таких координатах, в которых она должна получиться линейной.

Для изменения высоты горлышка используйте набор втулок разной высоты, вставляйте их в горлышко узкой частью. Для получения хорошего звучания прижимайте втулку к горлышку. Рассчитайте угловой коэффициент \(B^{\prime}\) полученного графика.

Рассчитайте теоретический угловой коэффициент \(B\), соответствующий модели, предложенной в первом пункте. Сходятся ли полученные теоретическое и экспериментальное значение углового коэффициента? Проходит ли полученный график через точку \((0; 0)\)?

C5. Снимите зависимость частоты основного тона пустой бутылки от диаметра горлышка бутылки и постройте ее в таких координатах, в которых она должна получиться линейной. Рассчитайте угловой коэффициент \(C^{\prime}\) полученного графика.

Рассчитайте теоретический угловой коэффициент \(C\), соответствующий модели, предложенной в первом пункте. Сходятся ли полученные теоретическое и экспериментальное значение углового коэффициента? Проходит ли полученный график через точку \((0; 0)\) ?

C6. Результаты, полученные в пунктах C3–C5, позволяют отметить, что модель, предложенная в первом пункте, является не до конца верной. Масса воздуха в горлышке бутылки является мерой инертности колебательной системы. Ясно, что кроме воздуха в горлышке бутылки вместе с ним движутся и соседние слои воздуха. Реальная инертность системы выше, чем предполагается в модели, описанной в упражнении C1. Улучшение модели может состоять во введении эффективной длины горлышка: \[h_{эфф}=h+\Delta h(D) \qquad(1)\] где \(\Delta h(D)\) – это дополнительная длина горлышка, зависящая от его диаметра, описывающая присоединенную массу колеблющегося воздуха. На основе результатов пункта C5 рассчитайте зависимость дополнительной длины горлышка от его диаметpa.

Оборудование

1. Компьютер с встроенным ПО и предустановленным микрофоном

2. Трубка

3. Резиновая пробка

4. Вода в мерном стакане

5. Шприц

6. Весы

7. Пластиковая бутылка \(0.6~л\)

8. Набор втулок разной высоты

9. Набор втулок разного диаметра

10. Беруши

11. Штатив

12. Штангенциркуль

13. Линейка

14. Термометр (один на аудиторию)

▶РешениеСкрыть

Решение

A1.

Из полученных осциллограмм видно, что наиболее похожими на синус являются осциллограммы звуков «У», «И».

B1. Объем трубки измерим шприцем, он составляет \(V=(80 \pm 2)~мл\). Выльем воду из трубки и закрепим ее в штативе. Доливая определенный объем воды в трубку, несложно рассчитать глубину незаполненной части трубки или ее эффективную длину. Снимем зависимость частоты звука от эффективной длины трубки. Результаты измерений представлены ниже.

Ответ:

\(V,~мл\)	\(l,~см\)	\(\sigma_l,~см\)	\(f,~Гц\)	\(1 / f \cdot 10^{2},~с\)
0	48.8	0.2	176	0.57
5	45.75	0.6	185	0.54
10	42.7	1	199	0.5
15	39.65	1.4	214	0.47
20	36.6	1.8	231	0.43
25	33.55	2.2	249	0.4
30	30.5	2.6	275	0.36
35	27.45	3	305	0.33
40	24.4	3.4	337	0.3
45	21.35	3.7	387	0.26
50	18.3	4.1	445	0.23
55	15.35	4.5	521	0.19
60	12.2	4.9	633	0.16

Легко предположить, что полученная зависимость гиперболическая. Построим ее в координатах обратной частоты от эффективной длины трубки.

Ответ:

График зависимости обратной частоты звука в трубке от ее эффективной длины

Как видно, зависимость хорошо аппроксимируется прямой. Рассчитаем ее обратный угловой коэффициент:

\[c_{1} \simeq 84~м/с \qquad(1)\]

Ответ:

\[c_{1} \simeq 84~м/с\]

B2. По указанной в условии формуле рассчитаем теоретическое значение скорости звука в воздуха при температуре \(T=25.0^{\circ} \mathrm{C}\) :

\[C_{теор} \simeq 340~м/с \qquad(2)\]

Ответ:

\[C_{теор} \simeq 340~м/с\]

B3. Несложно найти связь найденного коэффициента и скорости звука:

\[\frac{C_{теор}}{c_{1}} \simeq 4 \qquad(3)\]Это по сути означает, что в трубке образуется стоячая волна, а эффективная длина трубки соответствует длине четверти длины волны звука на этой частоте в воздухе. Из этих соображений совсем несложно нарисовать распределение амплитуд колебаний воздуха в трубке. На дне трубки должен устанавливаться узел стоячей волны, а на открытом конце – пучность. Требуемый график представлен ниже.

Качественное распределение амплитуд колебаний в основном тоне

В случае первого обертона граничные условия для стоячей волны сохраняются. Поэтому частота первого обертона в три раза выше частоты основного тона, и распределение амплитуд колебаний в такой волне имеет два узла. Качественный вид зависимости представлен ниже.

Ответ:

Качественное распределение амплитуд колебаний в первом обертоне

C1. Введем обозначения: температура воздуха – \(T\), давление воздуха – \(P\), плотность воздуха – \(\rho\), показатель адиабаты воздуха – \(\gamma\), молярная масса воздуха – \(\mu=29~г/моль\), универсальная газовая постоянная – \(R=8.31~ \dfrac{Дж}{моль \cdot К}\), площадь сечения горлышка – \(S\). Масса воздушного поршня согласно уравнению состояния идеального газа может быть рассчитана, как:

\[m=\rho S h=\frac{\mu P S h}{R T}. \qquad(4)\]При движения поршня вниз на \(x\) создается избыточное давления газа \(\Delta P\), которое можно рассчитать, исходя из уравнения адиабаты для идеального газа:

\[P V^{\gamma}=\operatorname{const} \qquad(5)\]\[\Delta P=\frac{\gamma x S P}{V} \qquad(6)\]Избыточное давление создает возвращающую силу, действующую на поршень, в результате чего можно записать уравнение колебаний для воздушного поршня:'

\[m \ddot{x}=-\Delta P S \qquad(7)\]\[\ddot{x}=-x \frac{S \gamma R T}{\mu V h} \qquad(8)\]

Рис. 1. Колебания воздуха в бутылке

Из уравнения колебаний несложно найти частоту колебаний воздуха:

\[f=\frac{D}{4} \sqrt{\frac{\gamma R T}{\pi \mu V h}} \qquad(9)\]

Ответ:

\[f=\frac{D}{4} \sqrt{\frac{\gamma R T}{\pi \mu V h}}\]

C2. Измерим геометрические размеры бутылки с помощью штангенциркуля и весов:

Ответ:

\[V=(618 \pm 2)~мл,\quad h_{0}=(2.4 \pm 0.1)~см,\quad D=(2.20 \pm 0.05)~см\]

C3. Снимем зависимость частоты звука от эффективного объема в бутылке. Результаты измерений представлены ниже.

\(V_{добавл},~мл\)	\(V,~мл\)	\(f,~Гц\)	\(f^{-2}\cdot 10^{6},~с^2\)
0	617.5	182	30.19
59.4	558.1	196	26.03
104.5	513	202	24.51
150.4	467.1	217	21.24
213.7	403.8	240	17.36
252	365.5	249	16.13
303.8	313.7	275	13.22
351.2	266.3	287	12.14
406.2	211.3	331	9.13
474.4	143.1	416	5.78
448	169.5	375	7.11
500	117.5	445	5.05

Из результатов, полученных в пункте C1, следует вывод, что в координатах \(f^{-2}(V)\) зависимость должна быть линейной и проходить через ноль координат. Построим график этой зависимости.

График зависимости частоты звука от эффективного объема бутылки

Заметим, что точки хорошо аппроксимируются прямой. Найдем угловой коэффициент полученной зависимости:

\[A^{\prime}=(46.0 \pm 0.7) \cdot 10^{-3}~с^2/м^3 \qquad(10)\]

Ответ:

\[A^{\prime}=(46.0 \pm 0.7) \cdot 10^{-3}~с^2/м^3\]

Рассчитаем теоретическое значение для данных из пунктов C1–C2:\[A=\frac{16 \pi \mu h}{D^{2} \gamma R T}=21.2 \cdot 10^{-3}~с^{2}/м^3 \qquad(11)\]

\[A=21.2 \cdot 10^{-3}~с^{2}/м^3\]

Заметим существенное расхождение теоретического значения и экспериментального.

C4. Снимем зависимость частоты звука от высоты горлышка при пустой бутылке. Высоту горлышка будем менять сменными втулками различной высоты.

\(h,~см\)	\(f,~Гц\)	\(f^{-2} \cdot 10^{6},~с^{2}\)
3	123	66.1
5	104	92.5
7	91	120.8
9	84	141.7
11	76.5	170.9
13	70.25	202.6

Построим график полученной зависимости в линейных координатах \(f^{-2}(h)\) в соответствии с моделью в пункте C1.

График зависимости частоты звука от высоты горлышка

Найдем угловой коэффициент этого графика:

\[B^{\prime}=(13.4 \pm 0.4) \cdot 10^{-4}~с^{2}/м \qquad(12)\]

Ответ:

\[B^{\prime}=(13.4 \pm 0.4) \cdot 10^{-4}~с^{2}/м\]

Рассчитаем теоретическое значение в соответствии с пунктом C1, предварительно измерив внутренний диаметр втулок \(D_{1}=(1.45 \pm 0.01)~см\). \[B=\frac{16 \pi \mu V}{D_{1}^{2} \gamma R T}=12.34 \cdot 10^{-4}~с^{2}/м \qquad(13)\]

Ответ:

\[B=12.34 \cdot 10^{-4}~с^{2}/м\]

Заметим, что теоретическое значение близко к экспериментальному. Отличие составляет примерно \(8.5 \%\). Также стоит отметить, что несмотря на близкое значение углового коэффициента, график полученной зависимости не проходит через точку \((0; 0)\), что говорит о несоответствии теории и практики.

C5. Снимем зависимость частоты звучания пустой бутылки от диаметра ее горлышка. Диаметр горлышка будем изменять втулками одинаковой высоты, но разного внутреннего сечения. Результаты измерений представлены ниже.

\(f,~Гц\)	80	92	102	112	122	131
\(D,~мм\)	8.5	10	11.5	13	14.5	16

В соответствии с теоретической формулой, полученной в пункте A1, график должен быть линейным и проходящим через ноль без преобразования координат. Построим график полученной зависимости.

График зависимости частоты звука от высоты горлышка

Как видно, полученные точки хорошо аппроксимируются прямой, не проходящей через начало координат. Рассчитаем угловой коэффициент этой зависимости:

\[C^{\prime}=(6.76 \pm 0.13) \cdot 10^{3}~Гц/м \qquad(14)\]

Ответ:

\[C^{\prime}=(6.76 \pm 0.13) \cdot 10^{3}~Гц/м\]

Рассчитаем теоретическое значение (высота втулок составляет \(h_{1}=(3.00 \pm 0.05)~ см\)):

\[C=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{\gamma R T}{\pi \mu V h}}=11.33 \cdot 10^{3}~Гц/м \qquad(15)\]

Ответ:

\[C=11.33 \cdot 10^{3}~Гц/м\]

Как видно, в этом упражнение практика совсем разошлась с теорией, и даже значения угловых коэффициентов не совпадают.

C6. Полученные в пунктах C3–C5 результаты можно объяснить дополнением к первоначальной теоретической модели. И действительно, если ввести дополнительную «присоединенную» высоту горлышка, то можно утверждать, что все исследуемые зависимости не будут противоречить модели. Рассчитаем на основе данных из пункта C5 зависимость дополнительной высоты горлышка от его диаметра следующим образом: \[\Delta h=\frac{D^{2} \gamma R T}{16 \pi \mu V f^{2}}-h_{1} \qquad(16)\]

Ответ:

\(D,~мм\)	\(f,~Гц\)	\(\Delta h,~мм\)
8.5	82	12.2
10	91	14.2
11.5	100	17.6
13	105	20.5
14.5	111	23
16	117	26

Построим график полученной зависимости. Как видно, график является монотонно возрастающей функцией.

Ответ:

График зависимости дополнительной высоты горлышка от его диаметра

Источник: pho.rs/p/4142.

Источник: Олимпиада по экспериментальной физике (IEPhO) 2017, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.