IEPhO 2017, 8 класс

В этой задаче нужно оценивать погрешности!

Замечание. Колба Бунзена должна оставаться сухой внутри в течение всего эксперимента! Газ обладает способностью изменять свой объем при изменении его температуры. В предложенном эксперименте Вам будет необходимо измерить зависимость объема газа от его температуры при фиксированном давлении. Для этого:

A1. Определите площадь поперечного сечения выданной Вам силиконовой трубки.

Один край трубки наденьте на носик колбы.

Проверьте герметичность колбы, при необходимости вдавите посильнее пробку в колбу.

Попросите дежурного налить горячей воды в емкость.

Поместите колбу в воду, зафиксируйте колбу скотчем так, чтобы она была практически полностью погружена в горячую воду.

Включите термометр. После того, как температура в колбе достигла максимального значения, край трубки не надетый на носик колбы, опустите в холодную воду.

С течением времени в него должна начать набираться вода, так как газ в колбе начнет сжиматься. Когда в трубку наберется примерно \(1~ см\) воды, выньте край трубки из воды.

Таким образом, в вашей трубке окажется водяной поршень, который по мере остывания воздуха в колбе будет перемещаться.

A2. Снимите зависимость координаты водяного поршня от температуры воздуха в колбе.

A3. Рассчитайте из полученных данных зависимость изменения объема внутри системы

колба-трубка от температуры. Постройте график зависимости.

A4. Аппроксимируйте экспериментальные точки математической зависимостью.

Рассчитайте коэффициенты зависимости.

Определите при какой температуре объем системы колба–трубка окажется равным нулю.

Найдите модуль разности вашего результата и абсолютного нуля температуры \(−273^\circ\mathrm{С}\).

Оборудование

1. Колба Бунзена с пробкой (объем колбы воздушного пространства колбы с учетом вставленной пробки составляет \(300~мл\))

2. Термометр

3. Шприц

4. Длинная силиконовая трубка

5. Стакан с холодной водой

6. Емкость для наливания горячей воды

7. Скотч

8. Линейка \(50~см\)

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Соберем установку, нарисованную ниже:

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

Наберем в трубочку воду с помощью шприца. Объем шприца, занятый водой, совпадает с объемом воздуха в трубке.

\[V=(15.0 \pm 0.1)~мл\]\[l=(133.0 \pm 0.3)~см\]\[S=\frac{V}{l}=(0.113 \pm 0.01)~см^{2}\]Погрешность объема это цена деления, то есть \(\Delta V=0.1~мл\). А погрешность длины это \(\Delta l=0.3~см\).

Ответ:

\[S=(0.113 \pm 0.01)~см^{2}\]

A2. Снимем зависимость координаты водяного поршня от температуры воздуха в колбе. Измерить можно лишь температуру воды, поэтому частыми помешиваниями добьёмся установления термодинамического равновесия в системе «вода–колба». После установления равновесия можно считать, что температура воздуха внутри колбы совпадает с температурой воды.

Ответ:

\(\Delta V,~мл\)	0	0.24	1.37	1.88	2.39	2.84	3.57	4.08	4.47	4.87	5.49	6.28	9.26	10.4	10.84
\(x,~см\)	0	4	14	18.5	23	27	33.5	38	41.5	45	50.5	57.5	84	94	98
\(t, ~^{\circ}\mathrm{C}\)	55.5	55.2	53.7	53.2	52.7	52.2	51.1	51	50.5	50	49.5	48.5	45.5	44.5	44

A3. Пересчитаем изменение координаты в изменение объема:

\[\Delta V=x S \qquad(1)\]Построим график зависимости изменения объема от температуры воздуха в колбе (см. рис. 2).

Ответ:

Рис. 2. График зависимости \(\Delta V\) от \(t\)

A4. Экспериментальные точки хорошо аппроксимируются линейной функцией. Рассчитаем коэффициенты аппроксимации \[V=\Delta V_{0}+k T\] \[\Delta V_{0}=(52.6 \pm 0.5) ~мл\] \[k=\frac{\Delta V}{\Delta T}=-(0.95 \pm 0.01) ~\frac{мл}{{}^{\circ}\mathrm{C}}\] Объем системы «колба–трубка» \(V_с\) найдем как сумму объема колбы \(V_к\) и объема воздуха в трубке \(V_в\). Последний несложно вычислить из длины трубки и ее поперечного сечения. \[l_в=(193 \pm 0.5)~см\] \[V_с=V_к+V_в=V_к+l_вS=(322 \pm 0.3)~мл\] Определим температуру при которой изменение объема воздуха в трубке будет равно начальному объему системы:\[T=\frac{\Delta V_{0}}{k}+\frac{V_с}{k}=T_{0}+\frac{V_с}{k}=-(283 \pm 6)~^{\circ}\mathrm{C}\] Результат отличен от абсолютного нуля температуры на \(10~^{\circ}\mathrm{C}\).

Ответ:

\[T=-(283 \pm 6)~^{\circ}\mathrm{C}\]

Источник: pho.rs/p/4090.

В этой задаче нужно оценивать погрешности!

Введение

Точка, находящаяся на ободе колеса, которое катится по плоской поверхности без проскальзывания, движется по криволинейной траектории. Эта траектория – циклоида, замечательная кривая, обладающая целым рядом удивительных свойств.

В данной работе вам необходимо как можно точнее построить циклоиду и измерить некоторые ее геометрические характеристики.

Часть A. Построение циклоиды

Для достаточно точного построения циклоиды удобно использовать круглый картонный диск, разделенный на \(24\) одинаковых сектора, периметр (длина окружности) диска должен быть равен \(24~см\).

A1. Чему должен быть равен диаметр диска \(D_0\), чтобы его периметр равнялся \(24~см\)?

A2. Чтобы разбить диск на \(24\) равных сектора рекомендуем поступить следующим образом. На листе бумаги с помощью циркуля постройте окружность, диаметр которой превышает \(D_{0}\). С помощью того же циркуля разбейте построенную окружность на \(6\) равных частей. После этого каждую из \(6\) частей разбейте на \(2\) равные части, а затем каждую из \(12\) частей еще раз разделите пополам. Проведите построения с помощью циркуля и линейки, без измерения длин различных отрезков.

Лист с вашими построениями необходимо сдать. Правильность и точность построений оцениваются!

A3. Вырежьте из куска картона круг, диаметра \(D_{0}\) (при котором длина окружности равна \(24~см\)). Используя лист с геометрическими построениями разбейте диск на \(24\) равных сектора.

Этот картонный кружок также необходимо сдать для оценивания. Наклейте на него наклейку для упрощения процедуры опознания.

A4. Используя размеченный диск, постройте на листе миллиметровой бумаги дугу циклоиды, соответствующую одному обороту диска. Достаточно построить \(24\) точки, лежащие на дуге циклоиды, (соответствующие повороту диска на \(1/24\) одного оборота) и аккуратно соединить их плавной линией.

Кратко опишите с помощью рисунка использованный метод построения циклоиды.

Часть B. Измерение параметров циклоиды с максимальной точностью

B1. Проведите «оцифровку» построенной кривой, т.е. измерьте и занесите в таблицу в листе ответов координаты построенных точек.

Ось \(X\) совпадает с прямой, по которой прокатывается диск. Ось \(Y\) перпендикулярная оси \(X\). Начало координат совпадает с начальной точкой. В этой же таблице Вы можете приводить и результаты дальнейших расчетов.

B2. Используя найденные координаты всех точек рассчитайте длину циклоиды \(L\). Приведите формулы, по которым Вы провели этот расчет.

B3. Длина циклоиды связана с радиусом диска простым соотношением

\[L=C_{1} D_{0} \qquad(1)\]Используя результаты своих измерений и расчетов, найдите значения коэффициента \(C_{1}\) в этой формуле. Выскажите предположение о точном (теоретическом) значении коэффициента в формуле \((1)\).

B4. Используя найденные координаты всех точек рассчитайте площадь под циклоидой (от циклоиды до оси \(X\)) \(S_{0}\). Приведите формулы, по которым Вы провели этот расчет.

B5. Площадь циклоиды связана с площадью диска простым соотношением

\[S=C_{2} S_{0} \qquad(2)\]Используя результаты своих измерений и расчетов, найдите значения коэффициента в этой формуле. Выскажите предположение о точном (теоретическом) значении коэффициента в формуле \((2)\).

Часть C. Приближенное измерение длины циклоиды

В данной части Вам следует показать, что проведенные во второй части задачи громоздкие вычисления являются излишними.

C1. Вырезанный вами диск не является идеальным! Проведите несколько измерений диаметра вашего диска, найдите относительную погрешность измеренного значения диаметра \(\varepsilon_{D}={\Delta D}/{D_{0}}\). С какой относительной погрешностью следует измерять длину дуги циклоиды?

C2. Используя измеренное значение диаметра и точную формулу, полученную в B3 предыдущей части, рассчитайте длину циклоиды.

C3. Проведите приближенные измерения длины циклоиды. Для этого замените циклоиду на вписанную ломанную линию, состоящую из \(2\), \(4\), \(8\) отрезков. Длина циклоиды приближенно равна длине построенной ломанной. Измерьте длины построенных ломанных \(L_{2}\), \(L_{4}\), \(L_{8}\). Сделайте вывод: по скольким отрезкам можно измерять длину циклоиды с максимально допустимой погрешностью?

Оборудование

1. Кусок картона \(10\times10~см\)

2. Циркуль

3. Линейка

4. Миллиметровая бумага

5. Ножницы

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Длина окружности диска \(L_{окр}=\pi D_{0}\), а значит диаметр диска

Ответ:

\[D_{0}=L_{окр} / \pi \simeq 7.64~см\]

A2. Разбиение окружности на 24 равных сектора

Шаг 1

Чертим окружность с центром в точке \(O\) с диаметром \(A B\):

Шаг 1

Шаг 2

Чертим окружности радиуса \(A O\) с центрами в точках \(A\) и \(B\). Треугольники \(A E O\), \(O B C\), \(O D C\), \(A F O\) – равносторонние. Все углы у этих треугольников равны \(60^{\circ}\). Проводим прямые \(D F\), \(E C\), \(A B\). Таким образом мы разбили нашу начальную окружность на \(6\) равных частей.

Шаг 2

Шаг 3

Проведём биссектрису углов \(D O B\) и \(A O F\): построим окружности радиуса \(A O\) с центрами в точках \(D\) и \(F\). Прямая \(H O L\) (через \(3\) точки точнее проводить прямую) – биссектриса выше упомянутых углов.

Шаг 3

Шаг 4

Повторяем Шаг 3 для проведения биссектрис в углах \(D O E\), \(E O A\), \(F O C\), \(C O B\).

Шаг 4

Шаг 5

Аналогично Шагу 3 проводим биссектрисы во всех углах, тем самым разбивая круг на \(24\) части.

Шаг 5

A3.

A4. Построение циклоиды

1. За полный оборот наш диск проедет свою длину окружности – \(24~см\). Значит при обороте на \(1 / 24\) оборота центр диска проедет \(1~см\).

2. На миллиметровой бумаге построим оси. Пронумеруем отметки на диске от 0 до 23.

3. Ставим отметку номер 0 в точку \((0 ; 0)\), далее будем следить за отметкой 0.

4. При обороте диска на \(1 / 24\), точка 1 должна совместиться с координатой 1 см на оси \(X\). Ручкой делаем отметку о местонахождении точки 0.

5. При обороте ещё на \(1 / 24\), точка 2 должна совпасть с координатой 2 по оси \(X\). Ручкой делаем отметку о местонахождении точки 0.

Продолжая описанный выше алгоритм, после полного оборота диска на миллиметровой бумаге появятся точки циклоиды. Соединим точки плавной линией.

B1. Полученный график и оцифровка результатов представлены ниже.

Ответ:

Номер точки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
\(X,~см\)	0	0.1	0.2	0.5	0.9	1.5	2.5	3.5	4.8	6.4	8.2	10.3
\(Y,~см\)	0	0.2	0.5	1.2	2	3	4	5	5.8	6.6	7.2	7.5
\(L,~см\)	0.22	0.32	0.76	0.89	1.17	1.41	1.41	1.53	1.79	1.9	2.12	1.8
\(S,~см^2\)	0.01	0.04	0.26	0.64	1.5	3.5	4.5	7.02	9.92	12.42	15.43	13.59
Номер точки	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
\(X,~см\)	12.1	14.6	16.1	18.1	19.5	20.8	22	22.8	23.4	23.7	23.9	24
\(Y,~см\)	7.6	7.4	7	6.4	5.6	4.7	3.7	2.8	1.9	1	0.5	0
\(L,~см\)	2.51	1.56	2.09	1.61	1.58	1.56	1.2	1.08	0.95	0.54	0.51
\(S,~см^2\)	18.75	10.8	13.4	8.4	6.7	5.04	2.6	1.41	0.46	0.15	0.03

В таблице за \(L\) обозначено расстояние до следующей точки, а за \(S\) – площадь до следующей точки. График получившейся циклоиды представлен ниже.

График зависимости \(Y\) от \(X\)

B2. Приблизим нашу циклоиду ломанной линией состоящей из \(23\) отрезков. Тогда длина циклоиды - это сумма длин отрезков. Длина одного отрезка:

\[l=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} \qquad(1)\]где \(x_{1}, y_{1}\) – координаты первой точки, а \(x_{2}, y_{2}\) – второй. Просуммировав все отрезки, получим приближенную длину циклоиды:

Ответ:

\[L=(30.5 \pm 1.5)~см\]

B3. Значение \(C_{1}\):

Ответ:

\[C_{1}=L / D_{0}=(4.0 \pm 0.2)\]

Теоретическое значение: \(C_{1}=4\).

B4. Для расчета площади циклоиды разобьём её на трапеции. Площадь трапеции выражается как\[s=h \frac{a+b}{2},\]где \((a+b) / 2\) – средняя линия трапеции, а \(h\) – её высота. Площадь всей циклоиды \(S\) будем считать равной сумме площадей трапеций.

Из полученных результатов:

Ответ:

\[S=(137 \pm 7)~см^{2}\]

B5. Значение \(C_{2}=\frac{S}{S_{0}}=\frac{4 S}{\pi D_{0}^{2}}=(3 \pm 0.2)\).

Ответ:

\[C_{2}=(3 \pm 0.2)\]

Теоретическое значение: \(C_{2}=3\).

C1.

\(D_0,~см\)

7.6

7.5

7.5

7.6

7.6

Ответ:

\[D=(7.56 \pm 0.08)~см,\quad\varepsilon_{D}=1\%\]

Однако погрешность накапливается при нанесении точек на миллиметровую бумагу и при оцифровке данных. Таким образом можно оценить погрешность в \(5\%\).

C2. Ответ:

\(L_{теор}=30.2~см\)

C3. Заменим циклоиду на \(2\), \(4\), \(8\) отрезков и рассчитаем их длину:

Ответ:

\[L_{2}=28.4~см\] \[L_{4}=29.8~см\] \[L_{8}=30.3~см\] Получается, что достаточно \(8\) отрезков для вычисления длины циклоиды с точностью \(5\%\).

Источник: pho.rs/p/4091.

В этой задаче не требуется оценка погрешностей!

Введение

Вантовые мосты современны и красивы. В данной задаче с помощью предоставленной модели моста вам необходимо экспериментально исследовать характеристики натяжения вант (тросов подвеса) моста, разработать методику последовательного натяжения этих тросов. Оптимальной является такая подвеска, когда силы натяжения всех вант одинаковы. Вам необходимо добиться такого подвеса, чтобы силы натяжения двух вант были равны.

Задание

На рис. 1 показана схема моста.

Рис. 1

На опоре \(1\) шарнирно \((3)\) закреплена доска – полотно моста \(2\). На доске закреплено несколько крючков \(4\), на последний крюк можно подвешивать грузы \(5\). В качестве подвески (вант) используется нитка с динамометром. Один конец крепится к крючку, второй на нитке, переброшенной через гвоздь болт \(6\). Натягивая нить можно добиться, чтобы полотно моста было горизонтально (именно при таком положении следует проводить все измерения). При этом можно измерить силу натяжения.

Часть A. Один подвес

A1. Подвес прикреплен к крайнему крючку (\(x\) максимально). Измерьте зависимость силы натяжения ванта \(F\) от массы подвешенного груза \(m\). Постройте график полученной зависимости. Приведите формулу, описывающую полученную зависимость, определите численные значения параметров этой формулы. Используя полученную зависимость, определите массу полотна подвеса.

A2. Подвесьте к крайнему крючку груз массой \(100~г\). Измерьте зависимость силы натяжения ванта от расстояния до точки подвеса \(x\). Постройте график полученной зависимости.

A3. На листе миллиметровой бумаги постойте схему моста в масштабе \(1: 2\). На чертеже укажите точки приложения сил, их плечи. Рассчитайте теоретические значения зависимости сил натяжения ванта от координаты \(x\). Результаты измерений и расчетов внесите в таблицу в листе ответов.

Часть B. Два подвеса

В этой части Вам необходимо исследовать силы натяжения двух вантов, прикрепленных к крайним точкам подвеса (при минимальном и максимальном значениях \(x\)).

Рис. 2

В этом случае пролет моста может располагаться горизонтально при различных значения сил натяжениях \(F_{1}\), \(F_{2}\). Масса груза в этой части должна быть равна \(300~г\).

B1. Подберите несколько различных вариантов сил натяжения \(F_{1}, F_{2}\) при которых полотно моста горизонтально. Постройте график зависимости \(F_{1}\left(F_{2}\right)\), при которых полотно моста горизонтально.

B2. Используя полученную зависимость определите значения равных сил натяжения при которых полотно располагается горизонтально.

B3. С помощью рисунка укажите последовательность действий, в результате которых полотно моста будет располагаться горизонтально, а силы натяжения вант будут одинаковы. На каждом этапе укажите промежуточные значения сил натяжения. Проверьте экспериментально предложенную последовательность действий.

Оборудование

1. Макет моста

2. Два динамометра (\(5~Н\) и \(10~Н\)) с нитками

3. Набор грузов

4. Линейка

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Запишем условие равновесия: \[F d=m g l+m_{0} g \frac{l}{2}, \qquad(1)\] где \(m_{0}\) – масса моста, \(m\) – масса грузов.

Тогда выразим зависимость силы от массы подвешенных грузов: \[F=\frac{2 m g l+m_{0} g l}{2 d} \qquad(2)\]

Снимем зависимость \(F\) от массы подвешенного груза \(m\):

Ответ:

\(F,~Н\)	2.1	2.9	3.8	4.7	5.4	6.4	7.3	8.1	9.0	9.9
\(m,~г\)	0	50	100	150	200	250	300	350	400	450

Построим график полученной зависимости:

Ответ:

График зависимости \(F\) от \(m\)

Полученный график является линейной зависимостью: \[F=k m+b, \qquad(3)\] Численно найдем его параметры: \[k =(1.74 \pm 0.08) \cdot 10^{-2}~ Н/г \qquad(4)\] \[b =(2.05 \pm 0.05)~Н \qquad(5)\] Для определения массы пролета, найдем значение \(m^{*}\), при котором \(F=0\).

Тогда \(m^{*}+{m}/{2}=0\) или \(m_{0}=-2 m^{*}\). Из полученных параметров зависимости получаем, что

Ответ:

\[m_{0}=(236 \pm 11)~г\]

A2. Теперь, зная массу полотна подвеса, снимем зависимость силы натяжения ванта \(F\) от расстояния до точки подвеса \(x\):

Ответ:

\(x,~см\)	\(F,~Н\)	\(d,~см\)	\(F_{теор},~Н\)
42	5.4	26.43	5.64
37	5.6	25.04	5.84
32	5.8	23.30	6.06
27	6.2	21.14	6.37
22	7.0	18.47	6.84

Построим график:

Ответ:

График \(F(x)\) и \(F_{теор}(x)\)

A3.

B1. Подберем \(F_{1}\) и \(F_{2}\) такие, что пролёт моста горизонтален.

\(F_1,~Н\)	3.90	4.10	4.50	4.90	5.10	5.30	5.45	6.00	6.30	6.70
\(F_2,~Н\)	4.40	4.05	3.50	2.90	2.65	2.40	2.20	1.60	1.20	0.50

По найденным значениям построим график \(F_{1}\left(F_{2}\right)\):

Ответ:

График зависимости \(F_1\) от \(F_2\)

B2. Из параметров этой линейной зависимости:

\[F_{2}=9.54-1.34 F_1, \quad F_{1}=F_{2} \quad \implies F_{1}=F_{2}=\frac{9.54}{2.34} \simeq 4.1~Н \qquad(6)\]

Ответ:

\[F_{1}=F_{2} \simeq 4.1~Н\]

B3.

Источник: pho.rs/p/4092.

В этой задаче нужно оценивать погрешности!

В физике используются шкалы различных величин, смысл которых не всегда понятен. Вспомните, например, шкалы температур – Цельсия, Фаренгейта, Реомюра, Кельвина, Делиля и т.д. Аналогично, практически условно строятся шкалы твердости. Их тоже существует не один десяток. В данной работе вам необходимо построить свою собственную шкалу твердости.

Стальной шарик падает с некоторой фиксированной высоты. В зависимости от материала шарик вдавливается на определенную глубину, которой соответствует определенная площадь пятна. Очевидно, что чем меньше площадь этого пятня, тем больше твердость материала. Измерить площадь контакта в процессе удара не составляет больших проблем. Для этого вам предоставляется установка, изображенная на рис. 1.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

На исследуемый материал положите лист копировальной бумаги (красящей стороной вверх), на него лист плотной желтой бумаги. Когда шарик ударяется об эти слои на бумаге остается четкий отпечаток.

В качестве меры твердости используйте величину, обратную площади образовавшегося пятна. Для того, чтобы высота падения шарика была фиксирована, используйте пластиковую трубку, в которую опускайте шарик без начальной скорости.

A1. Измерьте диаметры пятен удара для каждой из пяти предоставленных пластин. Рассчитайте средние значения диаметров и погрешности их измерения.

Примечание. Для измерения диаметров используйте нониусную шкалу штангенциркуля, позволяющую измерять с точностью \(0.1~мм\).

Желтый лист с отпечатками ударов необходимо сдать!

A2. Мерой твердости материала служит величина \(D^{-2}\) (где \(D\) – диаметр пятна). Примем твердость пластика за 10 условных единиц, а твердость керамической плитки за 100 условных единиц. Шкала должна быть линейной.

Используя результаты измерений, определите твердости (во введенной шкале) остальных образцов.

A3. Измерьте твердость поверхности вашего стола.

Оборудование

1. Стальной шарик

2. Пластиковая трубка

3. Лист копировальной бумаги

4. Лист плотной желтой бумаги

5. Штангенциркуль

6. Набор исследуемых пластинок:

• белый пластик

• ламинат – используйте однородно окрашенную коричневым цветом сторону

• алюминий

• сталь – пластинка с отверстиями

• керамическая плитка – используйте плоскую окрашенную сторону

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Для увеличения точности измерения диаметра будет сбрасывать шарик на одну пластину несколько раз, результаты представлены ниже:

Материал	\(D_1,~мм\)	\(D_2,~мм\)	\(D_3,~мм\)	\(D_4,~мм\)	\(D_5,~мм\)	\(\langle D\rangle, ~мм\)	\(\sigma_{D}\)
Плитка	2.0	2.1	2.2	2.2	2.0	2.1	0.09
Ламинат	3.1	3.3	3.3	3.2	3.0	3.2	0.12
Пластик	4.9	4.6	4.9	4.8	4.9	4.8	0.12
Сталь	2.2	2.1	2.0	2.1	2.2	2.1	0.07
Алюминий	2.3	2.2	2.2	2.2	2.2	2.2	0.05

A2. Зная, что шкала должна быть линейной от \(D^{-2}\), а плитка и пластик имеют жесткость \(100~у.е.\) и \(10~у.е.\) соответственно. Построим график \(T\left(D^{-2}\right)\) и проведём прямую через эти две точки:

График зависимости \(T\) от \(D^{-2}\),

Полученная прямая описывается уравнением:

\[T=\frac{500}{D^{-2}}-10 \qquad(1)\]Тогда пересчитаем по формуле выше значения \(T\) для каждого материала:

Ответ:

Материал	\(\langle D\rangle, ~мм\)	\(D^{-2},~мм^{-2}\)	\(T,~у.е.\)
Плитка	2.1	0.227	100
Ламинат	3.2	0.099	37
Пластик	4.8	0.043	10
Сталь	2.1	0.222	98
Алюминий	2.2	0.207	90

A3. Проведём эксперимент для нахождения твердости нашего стола. В таблице дан размер пятен при падении шарика на стол:

\(D_1,~мм\)	\(D_2,~мм\)	\(D_3,~мм\)	\(D_4,~мм\)	\(D_5,~мм\)	\(\langle D\rangle, ~мм\)
3.0	3.1	3.1	2.8	3.0	3.0

Ответ:

\[T_{стол} \simeq 45.6~у.е.\]

Источник: pho.rs/p/4093.

В этой задаче не нужно оценивать погрешности!

Закрепите трубку анкерного болта в лапке штатива, при этом болт должен свободно проходить через трубку. Ниже прикрепите кусок пластилина со вставленным в него гвоздем. При отпускании болта он должен ударять по шляпке гвоздя. Постоянно регулируйте положение трубки, чтобы высота удара оставалась приблизительно постоянной.

Часть A. Теоретическая

Можно считать, что при движении гвоздя в пластилине на него действуют две силы: постоянная сила \(F_{0}\), действующая на острие гвоздя, и сила трения, действующая на его боковую поверхность. Эта сила пропорциональна глубине погружения гвоздя \(h\):\[F_{тр}=f h\]

A1. Постройте схематический график зависимости суммарной силы сопротивления, действующей на гвоздь от глубины его погружения \(h\).

A2. Считайте, что при каждом ударе болт сообщает гвоздю одну и ту же энергию \(E_0\). Получите зависимость числа ударов \(n(h)\), которое потребуется, чтобы забить гвоздь на глубину \(h\), при условии, что начальная глубина погружения равна \(h_0\).

Часть B. Практическая

Сначала проведите измерения с гвоздем меньшего диаметра. Вдавите гвоздь в пластилин на глубину \(h_0=5.0~мм\). В этом эксперименте высота удара должна равняться \(L=2.0~см\).

B1. Измерьте зависимость числа ударов \(n\) от глубины \(h\), на которую потребуется забить гвоздь. Постройте график полученной зависимости.

B2. Постройте график полученной зависимости в таких координатах, чтобы получить линейную зависимость. (возможно, что эта зависимость не будет линейной во всем диапазоне – в этом случае выберите ее линейный участок). Найдите значения параметров этой зависимости.

B3. Определите отношение силы, действующей на острие, к силе трения, действующей на \(1~см\) боковой поверхности.

Проведите аналогичные измерения и расчеты для гвоздя большего диаметра. В этом случае высота удара должна быть \(L=4.0~см\).

Оборудование

1. Анкерный болт с трубкой

2. Штатив

3. Линейка

4. Кусок пластилина

5. Маленький и большой гвозди

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Схематичный график показан на рисунке.

Ответ:

A2. Энергия, необходимая для забивания гвоздя численно равна площади под графиком, поэтому:

\[E_{0} n=\frac{\left(F_{0}+f h_{0}\right)+\left(F_{0}+f h\right)}{2}\left(h-h_{0}\right)= \left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right) \qquad(1)\]От сюда следует необходимая зависимость:\[n=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right) \qquad(2)\]

Ответ:

\[n=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right)\]

B1. Зависимость числа ударов от глубины погружения для гвоздя меньшего диаметра приведена в таблице и на графике

\(h,~см\)	\(N,~шт\)	\(h+h_0,~см\)	\(\dfrac{n}{\left(h-h_0\right)}\)
1.0	11	1.5	22.00
1.5	27	2.0	27.00
2.0	49	2.5	32.67
2.5	75	3.0	37.50
3.0	105	3.5	42.00
3.5	149	4.0	49.67
4.0	211	4.5	60.29
4.5	301	5.0	75.25

В соответствии с формулой \((2)\) данная зависимость квадратичная.

Ответ:

График зависимости количества ударов от глубины погружения \(h\)

B2. Для линеаризации зависимости можно проделать следующие преобразовании, которые следуют из формулы \((2)\):

\[\frac{n}{\left(h-h_{0}\right)}=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right) \qquad(3)\]Построим график зависимости \(\dfrac{n}{\left(h-h_{0}\right)}\) от \(\left(h_{0}+h\right)\):

Ответ:

График зависимости \(\dfrac{n}{\left(h-h_{0}\right)}\) от \(\left(h_{0}+h\right)\)

Полученная зависимость близка к линейной \(y=k x+b\).

B3. Из вида зависимости \((3)\) следует, что отношение силы, действующей на острие, к силе трения, действующей на \(1~см\) боковой поверхности, определяется формулой:\[\frac{F_{0}}{f h}=\frac{b}{2 k}=\frac{6.98}{2 \cdot 10.1} \simeq 0.35 \qquad(4)\]

Ответ:

\[\frac{F_{0}}{f h} \simeq 0.35\]

Для более толстого гвоздя измерения и обработка проводятся аналогично.

\(h,~см\)	\(N,~шт\)	\(h+h_0,~см\)	\(\dfrac{n}{\left(h-h_0\right)}\)
1.0	21	1.5	42.00
1.5	44	2.0	44.00
2.0	73	2.5	48.67
2.5	95.3	3.0	47.50
3.0	121	3.5	48.40
3.5	155	4.0	51.67
4.0	197	4.5	56.29
4.5	245	5.0	61.25
5.0	296	5.5	65.78
5.5	357	6.0	71.40
6.0	437	6.5	79.45

Для большого гвоздя:

График зависимости количества ударов от глубины погружения \(h\)

Линеаризация:

График зависимости \(\dfrac{n}{\left(h-h_{0}\right)}\) от \(\left(h_{0}+h\right)\)

Отношение сил оказалось:\[\frac{F_{0}}{f h}=\frac{b}{2 k}=\frac{13.0}{2 \cdot 10.7} \simeq 0.35 \qquad(5)\]

Ответ:

\[\frac{F_{0}}{f h}\simeq 0.35\]

Источник: pho.rs/p/4094.

В этой задаче не нужно оценивать погрешности!

Теоретические основы

Основные понятия, используемые в электричестве, - это понятия «сила тока» и «напряжение».

Для того, чтобы в них было проще разобраться, используем аналогии и сравним перемещение электрического заряда по проводнику с течением жидкости по горизонтальной трубе.

Основной величиной, которая описывает течение жидкости, считается объем \(V\), который протекает через поперечное сечение трубы в единицу времени (назовём эту величину расходом жидкости).

Чтобы жидкость протекала по трубе, к ее концам нужно приложить некоторую разность давлений \(P\).

Зависимость расхода от разности давлений определяется свойствами трубы. Чем тоньше и длиннее труба, тем больше потребуется разность давлений для того, чтобы пропустить через неё воду.

Всё то же самое можно сказать и про электрический ток, текущий по проводу. Его основной характеристикой является количество заряда, протекающего через поперечное сечения провода в единицу времени. Эта величина называется силой тока \(I\), измеряется в амперах.

Чтобы по проводу протекал электрический ток, к его концам следует приложить электрическое напряжение, которое создается источником. Напряжение измеряется в вольтах.

Сила электрического тока также зависит от свойств и геометрических размеров провода, например, от его длины.

Характеризующая способность проводника препятствовать прохождению электрического тока называется сопротивлением.

Очевидно, для того, чтобы через трубу за единицу времени прошло больше воды, нужно увеличить давление на её концах.

Подобный закон, названный законом Ома, справедлив и для электрического тока.

Закон Ома (для проводника): Сила тока \(I\) в проводнике прямо пропорциональна напряжению \(U\) на концах проводника и обратно пропорциональна его сопротивлению \(R\):\[I=\frac{U}{R}\]Проводники можно соединять друг с другом различными способами создавая схемы. Проводник с постоянным конечным сопротивлением называют резистором, на схемах их обозначают прямоугольником. Такие проводники могут соединяться друг с другом проводниками с гораздо меньшим сопротивлением, которым можно пренебречь, их называют «соединительные провода» и на схемах обозначают просто линиями.

Законы параллельного и последовательного соединения проводников

Если два проводника соединены последовательно, то выполняются следующие условия:

\(I_1=I_2\)

Если два проводника соединены параллельно, то выполняются следующие условия:

\(U_1=U_2\)

Электрическая мощность тока в цепи, определяется таким соотношением: \[N=I \cdot U\] где \(N\) – мощность, \(I\) – сила тока, \(U\) – напряжение.

Именно эта мощность уходит в тепло.

Рассмотрим мощность \(N_{R}\), выделяющуюся на резисторе с постоянным сопротивлением \(R\). По закону Ома через резистор \(R\) течёт ток \(I_{R}={U_{R}}/{R}\).

Подставив выражение для тока в формулу для мощности получаем: \[N_{R}=\frac{U_{R}}{R} \cdot U_{R}=\frac{U_{R}^{2}}{R}\]

Инструкция

Для измерения силы тока используется мультиметр в режиме амперметра. Чтобы измерить ток большой величины \((\geq 200\mathrm{~mA}\) ) необходимо повернуть переключатель в режим \(10\mathrm А\), и подключить провода к разъёмам \((1)\) и \((3)\).

В данном режиме прибор показывает силу тока, выраженную в амперах.

Для более точного измерения силы тока небольшой величины \((<200\mathrm{~mA})\) можно использовать режим \(200\mathrm m\). В этом случае поверните переключатель в режим \(200\mathrm m\), и подключите провода к разъёмам \((2)\) и \((3)\).

В данном случае прибор показывает силу тока в миллиамперах (\(1~ ампер~=1000~ миллиампер\)).

Измерение больших токов в данном режиме может вывести прибор из строя. Поэтому измерение неизвестного вам тока необходимо начинать в режиме \(10\mathrm А\).

Для измерения напряжения у вас на столе стоит источник. Его необходимо включить, и рукоятки \((1)\) и \((2)\) привести в нулевое положение, повернув их до конца против часовой стрелки.

Для получения необходимого напряжения на выходах(красный и черный разъемы) требуется повернуть рукоятку \((2)\) до этого напряжения, а далее для более точной настройки использовать рукоятку \((1)\).

Как видно на картинке источник показывает напряжение \(3.0~В\) и какое-то значение тока. Рекомендуется измерять ток с помощью мультиметра способом, который описан выше.

При больших значениях напряжения источник может выйти из строя, поэтому не рекомендуется превышать значение выходного напряжения более чем \(12~В\).

Введение

Представьте, что вы приезжаете в загородный дом на выходные. Вполне естественное желание жить в тепле (температура внутри должна превышать наружную на \(20^{\circ} \mathrm{C}\)).

Существует два варианта отапливать дом:

1. Приезжаем и включаем нагреватель на максимальную мощность, дожидаемся нужной температуры и далее ее поддерживаем.

2. В течении недели держим нагреватель включенным и поддерживаем требуемую температуру.

Нужно рассчитать энергию, потребляемую за неделю.

Считайте, что в нашей модели 1 день эквивалентен 10 минутам.

Часть A. Характеристика нагревателя

Не превышайте выходное значение более чем на 12 В.

A1. Измерьте зависимость мощности нагревателя \(N\) от напряжения на нем \(U_{0}\). Постройте график зависимости \(N\left(U_{0}\right)\).

A2. Постройте график \(N\left(U_{0}^{2}\right)\). Объясните полученную зависимость.

Часть B. Нагреваем

Перед началом измерений аккуратно откройте дом и продуйте его! После этого закройте дом так, чтобы нагревательный элемент не касался стенок.

Осторожно: нагревательный элемент очень горячий.

B1. Подайте на нагреватель напряжение \(U_{0}=10~В\). Измерьте зависимость температуры внутри домика \(T\) от времени \(t\). Постройте график полученной зависимости.

B2. Измерьте зависимость установившейся температуры \(T_{уст}\) внутри домика от мощности нагревателя \(N\). Постройте график полученной зависимости.

Часть C. Как же лучше?

C1. Используя полученные данные рассчитайте затраты энергии (в Дж) на обогрев дома по двум сценариям, указанным во введении к задаче.

Оборудование

1. Источник, показывающий напряжение

2. Мультиметр в режиме амперметра

3. Соединительные провода

4. Термометр

5. Секундомер

6. Домик, обёрнутый бумагой

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Как было написано в теоретическом введении мощность \(N\) равняется произведению силы тока \(I\) и напряжения \(U\) на элементе.

Соберем установку:

где \(I\) – показания амперметра, \(U\) – показания напряжения на источнике.

Снимем зависимость силы тока \(I\) от напряжения \(U\), которое меняется при повороте рукоятки источника:

Ответ:

\(U^2,~В^2\)	4.41	6.76	10.24	15.21	21.16	29.16	37.21	42.25	53.29	62.41	72.25	82.81	94.09	102.01
\(N,~Вт\)	1.32	1.82	2.50	3.35	4.32	5.51	6.71	7.35	8.83	9.95	11.14	12.38	13.77	14.54
\(I,~А\)	0.63	0.70	0.78	0.86	0.94	1.02	1.10	1.13	1.21	1.26	1.31	1.36	1.42	1.44
\(U,~В\)	2.1	2.6	3.2	3.9	4.6	5.4	6.1	6.5	7.3	7.9	8.5	9.1	9.7	10.1

Построим график \(N(U)\):

Ответ:

График зависимости \(N\) от \(U\)

A2. Посмотрим, можно ли описывать наш нагревательный элемент как резистор постоянного напряжения, для этого построим график \(N\left(U^{2}\right)\):

Ответ:

График зависимости \(N\) от \(U\)

Как мы видим из графика эта зависимость не имеет вид \(y=k x\), т.к. она загибается или не приходит в нуль. Так происходит, так как при увеличении температуры сопротивление изменяется.

B1. Снимем зависимость:

Ответ:

\(T,{ }^{\circ} \mathrm{C}\)	22.1	27.1	32.0	36.1	39.0	41.8	43.6	45.3	46.3	47.1	47.7	48.1	48.5	48.7	48.8	48.9	49.0
\(t,~сек\)	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	360	390	420	450	480

По снятой зависимости построим график:

Ответ:

График зависимости \(T\) от \(t\)

B2. Как видно из предыдущего графика, температура устанавливается за \(6-8\) минут.

Охладим дом до температуры окружающей среды, и увеличивая напряжение будем смотреть какая температура установилась:

Ответ:

\(T_{уст},~{ }^{\circ} \mathrm{C}\)	24.1	25.7	27.1	29.6	32.2	34.8	35.9	38.5	42.3	43.3	45.8	48.6
\(U,~В\)	2.1	2.8	3.5	4.4	5.2	5.8	6.7	7.3	8.2	8.9	9.4	10.1
\(I,~А\)	0.61	0.71	0.80	0.91	0.98	1.05	1.13	1.20	1.28	1.34	1.37	1.42
\(N,~Вт\)	1.28	1.99	2.80	4.00	5.10	6.09	7.57	8.76	10.50	11.93	12.88	14.34

По снятой зависимости построим график:

Ответ:

График зависимости \(T_{уст}\) от \(N\)

C1. Из этого графика видно, что для поддержания необходимой температуры нужна мощность \(N_{0}=10~ Вт\).

Тогда затраты энергии:

Ответ:

\[W_{2}=N_{0} t=30~кДж\]

Теперь рассмотрим вариант, когда нагреватель включен на максимальную мощность. Из графика зависимости \(T\) от \(t\) видно что необходимая температура достигается за время \(t_{0}=150~с\).

Затраты энергии:

Ответ:

\[W_{1}=N_{\max } t_{0}=2.1~кДж\]

Источник: pho.rs/p/4095.

Источник: Олимпиада по экспериментальной физике (IEPhO) 2017, 8 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.